第3课时直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行课件高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

2.4.2第3课时

直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行想一想：如图，是一种常见的运动器材—双杠，观察图片，可以发现图中两根杠互相平行，杠所在的直线与地面平行，如何用向量来表示这些平行关系呢？利用线线平行的传递性、等角定理以及线面垂直和面面垂直的判定定理，易证明上述命题均成立．问题1：已知

l1，l2，

v1，v2，

n1，n2表示直线，

α1

，α2表示平面，与同学交流，判定下列命题是否成立.（一）向量与平行画出相应的示意图会比较直观问题2：在下列真命题中，如果把

v1，v2看成直线

l1，l2的方向向量，把

n1，n2看成平面

α1

，α2的法向量，那么我们能否得到利用运算来判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系？

设空间直线

l1，l2的方向向量分别为v1=(x1，y1，z1)，v2=(x2，y2，z2)，平面α1，α2的法向量分别为n1=(a1，b1，c1)，n2=(a2，b2，c2)，则位置关系向量表示图示向量运算坐标运算l1//l2v1//v2v2=kv1

x2

=kx1

y2

=ky1

(k≠0)

z2

=kz1l1//α1v1⊥

n1n1∙

v1=0

a1x1＋b1y1＋c1z1=0

α1//α2n1

//n2n2=kn1

a2

=ka1

b2

=kb1

(k≠0)

c2

=kc1

要点归纳例1已知不重合的两条直线

m，n和平面

α

都垂直．求证：m//n

．1．直线与直线平行证明：具体步骤：归纳总结证明直线与直线平行的思路及具体步骤：思路：设v1，v2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔

⇔∃k∈R，使得

.v1∥v2v2=kv1例2已知

a

α，b⊂α，a//b．求证：a//α

．2．直线与平面平行直线在平面外证明：证明直线与平面平行的思路及具体步骤：归纳总结思路：设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u

n⇔

.⊥u·n=0具体步骤：1.如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC=BC=BB1=2．求证：BC1//平面CA1D．思考：若不用向量法，而是使用判定定理，如何求证呢?判定思路：（内外）线线平行，则线面平行.证明：1.如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，

AC=BC=BB1=2．求证：BC1//平面CA1D．

结合上面的方法，你还能想起其他判定线面平行的方法吗？若要将它们转化为向量法证明，你有什么思路，与同学交流.方法一：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证.1.如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，

AC=BC=BB1=2．求证：BC1//平面CA1D．证明：方法二：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基表示.证明：方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.证明：(1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基表示.(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证.(3)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.利用空间向量证明线面平行一般有三种方法归纳总结3.平面与平面直线平行例3已知平面α1，α2，a与b是平面α1内两条相交的直线，且a//α2，b//α2．求证：α1//α2．证明：思路：设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔

⇔∃k∈R，使得

.n1∥n2n1=kn2证明平面与平面平行的思路及具体步骤：归纳总结具体步骤：例4已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点．求证：平面AMN//平面BDEF．证明：例4已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点．求证：平面AMN//平面BDEF．例4

已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点．求证：平面AMN//平面BDEF．例4已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点．求证：平面AMN//平面BDEF．1.知识清单：(1)线线平行的向量表示.(2)线面平行的向量表示.(3)面面平行的向量表示.2.方法归纳：坐标法、转化化归.3.常见误区：用向量方法证明线线平行时，忽视对两直线不重合的说明；证明线面平行时，忽视直线不在平面内的说明；证明面面平行时，忽视对两个平面不重合的说明.本节课你学到了哪些知识与方法？1.给出下列说法，正确的是（

）A.若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反B.平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量C.两直线的方向向量平行，则两直线平行D.直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面平行A2.在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(-2，-1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线A