第1课时空间向量的基本概念及线性运算课件高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

2.2第1课时

空间向量的基本概念及线性运算如图，有一只蚂蚁在正方体表面游走，它先从D点运动到点A，然后从A运动到B，最后从点B运动到B1.问(1)：蚂蚁的位移在同一个平面上吗？它与平面向量有什么区别和联系？问(2)：这只蚂蚁的实际位移是什么？如何表示这段位移？平面内既有大小又有方向的量称为平面向量，空间向量是平面向量的推广，其表示方法以及一些相关概念与平面向量一致.

（一）空间向量的有关概念概念定义单位向量长度为

的向量零向量模为

的向量，记作

.零向量的方向可以是任意的相等向量方向

且长度

的向量相反向量方向相反、长度相等的向量共线向量(平行向量)对于空间任意两个向量a，b(a≠0)，若

，其中λ为实数，则b与a共线或平行，记作

.零向量与任意向量_____(4)几类特殊向量100相同相等b=λab∥a共线注意：(1)平面向量是一种特殊的空间向量.(2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同.(3)空间向量不能比较大小.(4)空间共线向量不一定具备传递性，比如0.例1

如图，在方体ABCD-A'B'C'D'中：（1）向量DC，A'B'，D'C'

与向量AB相等吗？（2）向量C'D'，CD，BA与向量A'B'相等吗？解：（1）由于DC，A'B'，D'C'

均与AB的方向相同、长度相等，因而它们均与AB相等．（2）由于C'D'，CD，BA的长度均与A'B'的长度相等，但方向相反，因而它们均是A'B的相反向量．

这说明，空间中任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一平面内的两个向量．

如图，对于空间任意两个向量a，b，可以在空间任取一点O，作OA=a，OB=b，从而将向量a，b

用同一平面OAB内的两条有向线段OA，OB来表示．（二）空间向量的加减法平面向量求和采用三角形法则和平行四边形法则，那么这两个法则对空间向量求和是否也成立？

如图，对于空间任意两个向量a，b，作OA=

a，OB=

b，AC

=

b，则

a

＋b

=

OC，a－b

=

BA．

因此，我们可把平面两个向量的加减运算推广到空间两个向量，即平面向量求和的三角形法则和平行四边形法则对空间向量也成立．

对于空间三个或更多的向量的求和，虽然不一定能同时将这些向量都用同一个平面上的有向线段来表示，但与平面内多个向量的加法类似，可将它们依次用首尾相接的折线来表示，从而得到它们的和．

AB＋BC＋CD

=

AD．

如图，三个向量的和AB＋BC＋CD，其总的效果就是从A到D，因而加法运算三角形法则语言表述首尾顺次相接，

为和图形表示

空间向量的加减运算首指向尾归纳总结加法运算平行四边形法则语言表述以共起点的两边为邻边作平行四边形，____

为和图形表示

减法运算几何意义语言表述共起点，连终点，方向指向

向量图形表示

运算律交换律a+b=_____结合律(a+b)+c=________共起点对角线被减b+aa+(b+c)例2

如图，已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，化简下列各式：

三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量.例2

如图，已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，化简下列各式：

①三角形法则和平行四边形法则；②在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减法法则进行运算，加、减法之间可相互转化；③有限个向量顺次首尾相连，则从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量即表示这有限个向量的和向量；④正确使用运算律．归纳总结计算空间向量的和或差时，要注意以下几点：

√√

（三）向量与实数相乘|λ

a|=|λ||a|．

任何一个向量

a

都可看作某平面上的向量，它与实数

λ

相乘可类比平面向量数乘的法则进行，因而有当λ>0时，λa与

a方向相同；当λ<0时，λa与

a方向相反．

长度为1的向量称为单位向量．

对于每个非零向量

a

，可得到与它方向相同的唯一单位向量

对于空间任意两个向量

a，b（a

≠

0

），若

b

=

λ

a，其中λ为实数，则

b

与

a

共线或平行，记作

b

//

a．

零向量的方向可以任取，又0

=

0

a

，则

0

是任意向量

a

的0倍，因此零向量与任意向量共线．

空间向量与实数的乘法满足如下运算律：

(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.利用数乘运算进行向量表示的技巧方法归纳例3

如图，已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，点M在线段A'B上，且

，点N在线段A'C上，且

．求证：M，N，D'三点在一条直线上．

例3

如图，已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，点M在线段A'B上，且

，点N在线段A'C上，且

．求证：M，N，D'三点在一条直线上．

判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a=λb成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形通过化简，计算得出a=λb，从而得到a∥b.方法归纳

√

1.知识清单：(1)空间向量的基本概念.(2)空间向量的