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文档简介

2.4.2第2课时

平面与平面垂直定理

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.图形语言表示符号语言表示a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.这个定理说明，可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直.线面垂直线线垂直面面垂直想一想：你还记得平面与平面垂直的判定定理吗？

显然，要证明两个平面垂直，可以证明两个平面的法向量的数量积为0.例1

如图，已知平面α，β，直线AB⊥平面α，且AB⊂平面β．求证：平面α⊥平面β．分析：只需证明平面α，β的法向量相互垂直．一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直.

运用向量方法对面面垂直的判定定理进行了证明.例2

在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC=CD，∠BCD=90°，∠ADB=30°，E，F分别是AC，AD的中点.求证：平面BEF⊥平面

ABC.要证明两个平面的法向量垂直，首先要确定这两个平面的法向量.你有什么思路？与同学交流试试.，②假设向量n1=(x1，y1，z1)，n2=(x2，y2，z2)分别是平面ABC、BEF的法向量；③在平面ABC、BEF分别找两条相交直线与n1，n2垂直，然后根据坐标运算确定相应坐标.①如图，建立空间直角坐标系

求平面的法向量的具体步骤：建系→求方向向量→设法向量→列方程组→定值求解1.建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标2.求出平面内两条相交直线的方向向量坐标3.设平面法向量坐标4.利用向量数量积为0(垂直)列出两个方程5.给定平面法向量坐标其中的一个值,求另外两个值归纳总结1.若平面α，β的法向量分别为a=(2，-1，0)，b=(-1，-2，0)，则α与β的位置关系是（

）A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.无法确定解：a·b=-2+2+0=0，∴a⊥b，∴α⊥β.础巩B2.已知平面α的法向量为a=(1，2，-2)，平面β的法向量为b=(-2，-4，k)，若α⊥β，则k等于（

）A.4 B.-4 C.5 D.-5解：∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b=-2-8-2k=0.∴k=-5.D3.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CD的中点．求证：平面AED⊥平面A1FD1．证明：3.

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CD的中点．求证：平面AED⊥平面A1FD1．证明：3.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CD的中点．求证：平面AED⊥平面A1FD1．(1)向量法：设n1，n2

分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔____________⇔

.(2)判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.n1⊥n2n1·n2=0注意：利用法向量证明面面垂直时，往往结合几何

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