《初中数学中考复习专题二 规律性问题》课件

专题二规律性问题类型清单类型一

数式规律类型二图形规律类型三点坐标变换规律例题112数式规律的题目,通常按照一定的顺序给定一列数或者式子,要求我们根据这些已知的量,找到其中蕴含的规律,并解决问题.主要通过观察、分析、归纳、验证然后得出一般性的规律,再通过规律解决问题,培养了学生的抽象能力.题型讲解类型一数式规律将所给的数或者式子进行排列,并观察、归纳规律,用题中所给数据验证规律的正确性,根据所归纳的规律解决问题.方法点拨例题112解题技巧

例题112（

河北模拟）观察1×49=49,2×48=96,3×47=141,…,23×27=621,24×26=624,25×25=625,26×24=624,27×23=621,…,47×3=141,28×2=96,49×1=49.例题1例题112

发现

根据你的阅读回答问题:（1）上述内容中,两数相乘,积的最大值为

;

（2）设参与上述运算的第一个因数为a,第二个因数为b,用等式表示a与b的数量关系是

.

发现(1)观察上述算式,找出最大值;(2)观察上述算式,发现两因数之和是固定值,从而得出数量关系.思路指导625a+b=50例题112

类比首先根据两因数之间存在的关系,写出mn的表达式,然后根据二次函数性质找到最大值.思路指导类比观察下列两数的积:1×59,2×58,3×57,4×56,…,m×n,…,56×4,57×3,58×2,59×1.猜想mn的最大值为

,并用你学过的知识加以证明.900证明：由题意,可得m+n=60,将n=60-m代入mn,得mn=m2+60m=(m-30)2+900,∵-1<0,∴当m=30时,mn有最大值,最大值为900.例题1121.（

河北一模）观察下列等式①1=12,②1+3=22,③1+3+5=32,……,

则第6个等式为

;探究其中的规律,通过猜想

写出第n个等式为

.当堂检测

2.观察依次排列的一串单项式x,-2x2,4x3,-8x4,16x5,…,按你发现的规

律继续写下去,第8个单项式是（）A.-128x7

B.-128x8C.-256x7 D.-256x81+3+5+7+9+11=621+3+5+7+9+…+(2n-1)=n2B例题112类型二图形规律题型讲解图形规律的题目,大致有两种题型:一种是数形规律,即根据一组图形的排列,探究图形所反映的规律;另外一种是图形的变换规律,即根据一组相关图案的变化,从中归纳图形的变换所反映的规律.在中考中以图形为载体的数字规律最为常见.例题234方法点拨数形规律题的解题关键是通过观察图形发现数量关系,并用代数式归纳出规律,再进行验证,进而解决问题;图形变换规律题的解题关键是抓住图形的变化特征,找出规律,进而解决问题.例题234解题技巧第一步:标序号,按图号标序.第二步:找规律,将每个图中所求量的个数表示成与序号n有关的式子,使其呈现一定的规律,从而得到第n个图中所求量的个数.第三步:验证,代入序号验证所列的关系式是否正确.第四步:求结果,将所求项的序号代入关系式求得结果.例题234（

石家庄模拟）下列图形是由边长为1的小正方形按照一定的规律组成的.观察图形.回答下列问题:

（1）按上述规律排列,第5幅图中，图形的周长为__________;例题2

(1)观察图形发现,从第二幅图开始周长以相同长度递增,由此可以得出第5幅图的周长.思路指导26例题234（2）按上述规律排列，第n幅图中，图形的周长为___________;

（2）根据每幅图形的周长与其递增的规律,与序列号建立联系,写出代数式.思路指导4n+6例题234（3）按上述规律排列,若某幅图形的周长为58,则该幅图形由多少个小正方形组成?请说明理由.

（3）根据代数式,代入数值,求出n;再找出序列号与图形个数之间的规律,列出代数式,代入n即可.思路指导解：40,理由:若某幅图形的周长为58,那么4n+6=58,解得n=13,即第13幅图形;而第n幅图中,图形中正方形个数为3n+1;当n=13时,3n+1=3×13+1=40.例题234当堂检测3.如图是一组有规律的图案,第1个图案由4个基础图形“

”组

成,第2个图案由7个基础图形组成.例题234第n个图案1234…n基础图形个数47

…

（1）填表10133n+1例题234（2）若第n个图案共有基础图形2023个,则n的值是多少?解：当1+3n=2023时,解得n=674,∴n的值为674.例题2344.某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三

角形地砖排列而成,图1表示此人行道的地砖排列方式,其中正方形

地砖为连续排列.

当正方形地砖只有1块时,等腰直角三角形地砖有6块（如图2）;

当正方形地砖有2块时,等腰直角三角形地砖有8块（如图3）,以此

类推.例题234（1）若人行道上每增加1块正方形地砖,则等腰直角三角形地砖增加_________块;（2）现有2023块等腰直角三角形地砖,若按此规律再建一条人行道,要求等腰直角三角形地砖剩余最少,则需要正方形地砖_________块.21009例题234类型三点坐标变换规律例题356点坐标变换型的题目主要考查了点的坐标规律,这类题目一般是点的坐标在平面直角坐标系中递推变化或周期性变化.通过观察和归纳,从所给的数据和图形中寻求规律是解答本类问题的关键.题型讲解方法点拨点坐标变换类题型主要考查点的坐标变化规律,解决此类问题的关键是从点的变化中发现横坐标、纵坐标的变化规律.例题356解题技巧根据图形的变换规律分别求出前几个点的坐标,直到找出点的坐标与序号之间的关系,归纳得出第M个点的坐标与变换次数之间的关系.例题356如图,在平面直角坐标系中,对在第一象限的△ABC进行循环往复的轴对称变换,若原来点A的坐标是(a,b),则经过第2022次变换后所得A点坐标是

.例题3思路指导例题356(-a,-b)

观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环,用2022除以4,然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限,然后解答即可.思路指导当堂检测5.如图,在△OAB中,顶点O(0,0),A(-3,4),B(3,4),将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转,每次旋转90°,则第70次旋转结束时,点D的坐标为(

)A.(10,3)B.(-3,10)C.(10,-3)D.(3,-10)D例题356

B例题356类型清单类型一

数式规律类型二图形规律类型三点坐标变换规律类型一竖式规律1.观察下列各式:-2x,4x2,-8x3,16x4,-32x5,…,则第n个式子是（）A.-2n-1xn

B.(-2)nxn C.-2nxn D.(-2)n-1xn2.下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据此规律,x的值为

（）A.135

B.153

C.170

D.189BC10987654321113.观察下列算式:21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256,…,则2+22+23+24+25+…+22018的末位数字是(

)A.8

B.6

C.4

D.0B

5.将一组数按如下规律排列:则第10行的第3个数是

.

486.(保定莲池区升学模拟)一列数1,x2,7,x4,x5,…,xn,从第二个数开始,每个数等于与它相邻的两个数的平均数.(1)则x6为

;

(2)若xm=52,则m=

.

1618

8.德国数学家莱布尼茨发现了如图所示的单位分数三角形(单位分数是分子为1,分母为正整数的分数),又称为莱布尼茨三角形,根据前5行的规律,写出第6行的第三个数:

.

9.(邯郸二模)把一个矩形纸片ABCD沿其对称轴对折一次会得到一个矩形,照这样对折下去.(1)求对折两次得到的矩形的面积是对折四次得到的矩形的面积的倍数;

(2)若矩形ABCD的面积为1.6m2,请用科学记数法表示对折六次后矩形的面积(m2).

根据上述规律解决下列问题:(1)写出第5个等式;

(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示,n是正整数),并证明.

11.阅读材料:实际上,所有放射性物质都有自己的半衰期.铀的半衰期为4.5×109年,蜕变后的铀最后成为铅.科学家们测出一块岩石中现在含铀和铅的质量,便可以利用半衰期算出从原来含铀量到现在含铀量经过了多少时间,从而推算出这块岩石的年龄.根据以上材料回答问题:（1）设开始时岩石中含有铀的质量为m0千克,经过n个半衰期后,剩余的铀的质量为m1千克,下表是m1随n的变化情况,请补充完整:半衰期n012345…岩石中剩余铀的质量m1m0

…

（2）写出矿石中剩余的铀的质量m1与半衰期n之间的函数关系;

（3）设铀衰变后完全变成铅,如图是岩石中铅的质量m2与半衰期n的函数关系图象,请在同一坐标系中,利用描点法画出岩石中含铀的质量m1与半衰期n的函数关系图象;解：如图所示（4）结合函数图象,估计经过

个半衰期（精确到0.1）,岩石中铀和铅的质量相等.

1类型二图形规律题型讲解1.边长为a的等边三角形,记为第1个等边三角形,取其各边的三等点,顺次连接得到一个正六边形,记为第1个正六边形,取这个正六边形不相邻的三边中点,顺次连接又得到一个等边三角形,记为第2个等边三角形,取其各边的三等分点,顺次连接又得到一个正六边形,记为第2个正六边形(如图),…,按此方式依次操作,7654321题型讲解

则第6个正六边形的边长为（）A2.为庆祝“六·一”儿童节,某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示:按照上面的规律,摆第n个“金鱼”和第(n+1)个“金鱼”需用火柴棒130根,则n的值为

.

10

4.(河北定州二模)在平面直角坐标系中,直线l:y=x+1与y轴交于点A1,如图所示,依次作正方形OA1B1C1,正方形C1A2B2C2,正方形C2A3B3C3,正方形C3A4B4C4,…,点A1,A2,A3,A4,…在直线l上,点C1,C2,C3,C4,…在x轴正半轴上,则第二个正方形C1A2B2C2的对角线长为

,前n个(n为正整数)正方形对角线的和是

.

5.如图,等腰直角三角形ABC直角边长为1,以它的斜边上的高AD为腰,作第一个等腰直角三角形ADE;再以所作的第一个等腰直角三角形ADE的斜边上的高AF为腰,作第二个等腰直角三角形AFG,…,以此类推,这样所作的第n个等腰直角三角形的腰长为

.

6.(石家庄新华区初中毕业年级质量监测)将长是宽2倍的矩形作如下分割:第1次:将矩形分割成2个全等的正方形(如图1);第2次:将左边的正方形分割成4个全等的正方形(如图2);第3次:将左上角的正方形分割成4个全等的正方形(如图3);…按此方式分割下去,则第n次时得到的所有正方形的个数为

;当正方形的个数为2022个时,分割的次数为

次.

5064n-2

168记做第2次旋转,再绕C将△ABC逆时针旋转,当点B第一次落在圆上,记做第3次旋转,…,若如此旋转下去,当△ABC完成第2017次旋转时,BC边共回到原来位置

次.

类型三点坐标变换规律1.如图,将边长为1的正方形OABC沿x轴正方向连续翻转2020次,点A依次落在点A1,A2,A3,A4…A2021的位置上,则点A2021的坐标为（）A.(2019,0)

B.(2019,1) C.(2020,0) D.(2020,1)76543218D2.如图,动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第一次从原点O运动到点P1(1,1),第二次运动到点P2(2,0),第三次运动P3(3,-2),…,按这样的运动规律,第2022次运动后,动点P2022的纵坐标是（）A.1 B.2 C.-2 D.0D

(1)线段B1B2的长度为

;

(2)点A2022的坐标为

;

(3)线段B2021B2022的长度为

.

(22021,0)

4.(唐山滦南县升学第二次模拟)第一次:将点A绕原点O逆时针旋转90°得到A1;第二次:作点A1关于x轴的对称点A2;第三次:将点A2绕原点O逆时针旋转90°