人教版初中数学九年级下册《位似图形》第一课时教案（27.3位似）

人教版初中数学九年级下册《位似图形》第一课时教案（27.3位似）

一、课标依据与核心素养解读

本节课内容隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“图形与几何”领域。课标明确要求：了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。此要求位于“图形的相似”主题之下，是相似图形知识的深化与特殊化应用。

从数学核心素养的培育角度审视，本节课承载着多重发展目标：

1.直观想象：通过观察、操作、归纳位似图形的特征，建立图形位置、大小与变换之间的关联，发展空间观念和几何直观。

2.逻辑推理：经历位似概念的形成过程，从特殊到一般进行归纳，并运用概念进行判断和说理，提升推理能力。

3.数学抽象：从具体的图形实例中，剥离非本质属性（如颜色、材质），抽象出“对应点连线交于一点且对应边平行（或共线）、对应边成比例”这一本质特征，形成“位似”的数学概念。

4.应用意识：理解位似在生活（如摄影、测绘、图像处理）和科学（如光学、工程制图）中的广泛应用，体会数学的实用价值。

二、教材分析与内容定位

纵向分析：本节是“相似”整章知识的收官与升华。学生在之前已经系统学习了“图形的相似”“相似三角形的判定与性质”等知识，掌握了比例线段、相似比、对应角相等、对应边成比例等核心概念与方法。位似是一种特殊的相似，它不仅有形状相同的要求，更增加了“对应点连线共点”这一严格的相对位置限制。因此，本节既是对相似知识的综合运用，也是对图形变换（与平移、旋转、轴对称、中心对称、缩放并列）体系的完善。

横向关联：位似与物理学中的“凸透镜成像规律”（物距、像距、焦距关系，成像的放大与缩小）有直接对应关系；与信息技术中的“图像缩放算法”、美术中的“透视原理”紧密相连。这为开展跨学科主题学习（STEM/STEAM）提供了绝佳切入点。

本节地位：作为“27.3位似”的起始课时，核心任务是建立“位似图形”和“位似中心”的概念，探究位似图形的基本性质。这是后续学习“平面直角坐标系中的位似变换”和“利用位似进行作图”的认知基础。概念建构的清晰度与深刻度，直接决定本章学习的高度。

三、学情诊断与教学预设

认知基础：

1.优势：九年级学生已具备扎实的相似知识基础，熟悉比例性质和相似判定；具备一定的观察、比较、归纳能力；对图形变换有初步认识。

2.障碍：学生容易将“位似”简单地理解为“放大或缩小”，忽略“对应点连线交于一点”这一核心位置特征；容易混淆位似中心与相似中心；对于“位似比”与“相似比”的关系需要澄清；对于图形在位似中心的同侧与异侧两种情况，理解上可能存在困难。

心理特征：该年龄段学生抽象逻辑思维占主导，但仍有赖于具体经验的支持。他们对具有挑战性的探究任务和与生活科技相关的应用充满兴趣，但需教师搭建适切的“脚手架”。

教学预设应对策略：

1.采用“问题链”驱动探究，引导思维层层深入。

2.大量运用直观教具（几何画板动态演示、实物投影仪、透镜成像实验）与动手操作（方格纸作图），化抽象为具体。

3.设置正误辨析环节，针对典型误解进行深入讨论，在思辨中深化概念理解。

四、教学目标

基于以上分析，确立本节课的三维教学目标：

（一）知识与技能

1.结合具体实例，认识位似图形，能准确说出位似图形、位似中心、位似比的定义。

2.理解并掌握位似图形的基本性质：对应点连线相交于一点（位似中心）；对应边平行或在同一直线上；任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比（相似比）。

3.能够根据定义和性质，判断两个图形是否位似，并能指出位似中心和位似比。

（二）过程与方法

1.经历从生活实例、物理现象中抽象出位似图形共同特征的过程，体会数学建模的思想。

2.通过观察、猜想、验证、归纳等活动，发展合情推理与演绎推理能力。

3.在小组合作探究与交流辨析中，学会用数学语言清晰表达观点，提升批判性思维。

（三）情感、态度与价值观

1.感受位似变换在现实世界和科学技术中的美学价值与应用价值，激发学习数学的内驱力。

2.在探究活动中体验成功的喜悦，养成严谨求实、独立思考与合作交流相结合的学习习惯。

3.初步建立图形变换的整体观，感悟数学知识之间的内在联系。

五、教学重难点

1.教学重点：位似图形、位似中心、位似比的概念；位似图形的基本性质。

2.教学难点：位似图形概念的抽象与归纳过程；对“对应点连线交于一点”这一本质特征的深刻理解；位似中心在图形同侧与异侧两种情况的统一认识。

六、教学准备

1.教师准备：

1.2.多媒体课件（内含丰富的位似生活图片、动画演示）。

2.3.《几何画板》软件，预设好可动态调整的位似图形模型。

3.4.实物投影仪、凸透镜（及配套光具座、蜡烛或LED光源、白屏）、教学用方格纸板。

4.5.设计并打印《课堂探究学习任务单》。

6.学生准备：

1.7.复习相似图形的定义与性质。

2.8.直尺、圆规、量角器、方格纸。

3.9.预习课本相关章节，记录疑点。

七、教学过程设计

（一）创设情境，激趣引疑(预计时间：8分钟)

活动1：视觉谜题，初步感知

教师利用多媒体投影展示一组精心挑选的图片：

1.电影院放映机投射到巨幕上的画面与胶片画面的对比图。

2.同一建筑物在不同距离拍摄的照片（一张全景，一张特写）。

3.用放大镜观察地图上某区域的效果对比图。

4.通过哈哈镜（特定凹面或凸面镜）看到的扭曲但“神似”的人像与真实人像。

提问：“请同学们观察这四组图片，每组中的两个图形在形状和大小上有何关系？它们在‘位置关系’上，有没有共同之处？与我们已经学过的‘相似图形’、‘中心对称图形’相比，有什么相同点和不同点？”

设计意图：从学生熟悉的、跨领域的生活与科技现象入手，唤醒关于“相似”的已有认知，同时引导他们关注“位置关系”这一新视角。通过对比相似和中心对称，制造认知冲突，为引出“位似”这一兼具两者部分特征的新概念埋下伏笔。

活动2：物理实验，聚焦本质

在讲台进行凸透镜成像简易实验。固定蜡烛（物体）和凸透镜，缓慢移动白屏，依次呈现放大倒立的实像、等大倒立的实像、缩小倒立的实像。

提问：“请描述像与物的形状关系？大小关系？位置关系？（引导学生发现‘倒立’意味着对应点连线穿过透镜中心）如果我们把透镜中心看成一个点，物体和它的像上的对应点（如烛焰顶端与像的顶端）与这个点的位置关系是怎样的？”

邀请一位学生上台，用直尺测量几组“物点—透镜中心—像点”的距离，并计算比值，引导学生发现规律。

设计意图：物理实验将抽象的图形关系转化为可观察、可测量的物理现象。“对应点连线交于一点（透镜光心）”这一位似核心特征以最直观的方式呈现。通过测量与计算，学生能初步感知“距离比恒定”，即位似比。这实现了数学与物理的跨学科融合，使概念的引入具有坚实的经验基础。

（二）合作探究，构建概念(预计时间：15分钟)

活动3：动手操作，归纳特征

分发《课堂探究学习任务单》，任务一：在方格纸上完成以下作图。

1.任取一点O作为定点。

2.画一个简单的多边形△ABC。

3.连接OA，在OA（或其延长线）上取点A‘，使OA’/OA=2（可借助方格）；同理得到点B‘、C’。

4.连接A‘B‘C’，得到△A‘B‘C’。

5.改变点O的位置（可在形内、形上、形外），重复步骤2-4。

6.改变比值（如0.5，-1），重复上述过程（此处引入负比值为异侧位似做铺垫）。

学生以4人小组为单位进行操作、观察与讨论。教师巡视指导，重点关注学生如何确定对应点，如何理解“比值”为负的情况。

活动4：交流辨析，抽象定义

小组代表汇报发现。教师利用《几何画板》动态汇总各小组的不同情况（O在形内、形上、形外；位似比k>1,0<k<1,k<0），引导学生聚焦以下问题链进行全班研讨：

1.△ABC与△A‘B‘C’是什么关系？（相似）

2.除了相似，这两个三角形在位置上还有什么更特殊的联系？（所有对应点的连线都经过同一个点O）

3.点O的位置是固定的吗？它有什么特殊性？（是作图时任意取的，但它决定了图形变换的“中心”）

4.比值k=2，0.5，-1在图形上如何体现？（k的绝对值决定放大还是缩小，k的符号决定对应点与O在“同侧”还是“异侧”）

5.你能尝试用自己的语言，给具有这种特殊关系的两个图形下一个定义吗？

经过充分讨论，教师引导学生将零散的描述整合，并最终与课本严谨定义进行对照、修正和确认：

位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。此时，相似比又称位似比。

位似中心的位置：可以在两个图形的同侧、之间，或图形内部。

位似比k的意义：|k|表示放大或缩小的倍数；k>0时，对应点位于位似中心同侧；k<0时，对应点位于位似中心异侧（图形“翻转”）。

设计意图：概念的形成遵循“操作感知—现象描述—特征归纳—本质抽象—语言定义”的认知路径。学生不是被动接受定义，而是主动参与建构。小组合作与全班辨析是关键，它促使学生厘清思维，用数学语言精确表达。动态几何软件的演示，将离散的静态作图整合为连续的、可变的整体认知，帮助学生突破“位似中心位置”和“位似比符号”的理解难点。

（三）深入剖析，理解性质(预计时间：12分钟)

活动5：性质探究与证明

提问：“根据我们刚才的作图过程和位似图形的定义，你能发现位似图形有哪些确定的性质吗？”引导学生从“边的关系”和“角的关系”以及“点与点的关系”三个维度进行总结猜想。

学生可能猜想：

1.对应边平行（或共线）。

2.对应角相等。

3.任意一对对应点P，P‘到位似中心O的距离之比等于位似比k，即OP’/OP=|k|，且若k>0，P，P‘在O同侧；若k<0，P，P’在O异侧。

验证与证明：

对于性质1和2，因其是“相似图形”的固有性质，引导学生回顾即可。

对于性质3，这是位似特有的核心性质。教师引导学生进行一般化证明（以k>0为例）：

已知：四边形ABCD与四边形A‘B‘C’D‘位似，位似中心为O，位似比为k。

求证：OA‘/OA=OB’/OB=…=k。

（引导学生利用“相似三角形对应边成比例”进行证明，由定义知△OAB∽△OA‘B’，故OA‘/OA=OB’/OB=A‘B’/AB=k）

活动6：概念辨析，巩固理解

多媒体出示辨析题，学生独立判断后说明理由。

1.所有的相似图形都是位似图形。（×，缺少“对应点连线共点”条件）

2.有位似中心的两个图形一定是位似图形。（×，需先满足“相似”）

3.位似中心一定在连接两个图形对应点的线段上。（×，可以在延长线上）

4.位似比等于1时，位似图形就是全等图形。（√）

5.位似中心可以在两个图形的外部、内部或边上。（√）

6.将一个图形放大两倍，就是指位似比为2。（×，未说明以何为中心）

设计意图：性质的探究从猜想开始，培养学生的合情推理能力；而简单的演绎证明，则将新知（位似）与旧知（相似三角形性质）牢固链接，提升逻辑推理的严谨性。辨析环节针对学生常见错误设计，通过“证伪”深化对概念本质要件的理解，避免形式化记忆。

（四）应用迁移，解决问题(预计时间：8分钟)

活动7：典例解析与变式训练

【例题】如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形。如果是，指出位似中心，并说出位似比（图中网格每小格边长为1）。

（呈现三幅图：①明确是位似且中心在图形之间的；②是相似但对应点连线不共点的；③是位似但中心在图形一侧的。）

师生共同分析，强调判断步骤：一判相似（可直观或通过网格计算），二验共点（连接几组关键对应点，看是否交于一点）。

【变式】（几何画板动态演示）已知△ABC和点O。

1.以点O为位似中心，位似比为2:1，画出△ABC放大后的位似图形。

2.以点O为位似中心，位似比为1:3，画出△ABC缩小后的位似图形。

3.以点O为位似中心，位似比为-1:1，画出△ABC的位似图形。（此问引出“位似与中心对称的关系”）

学生在学案上作图，教师规范作图步骤与语言描述：连接关键点并延长（或反向延长），按比例截取，顺次连接新点。

设计意图：例题巩固识别能力，变式训练初步接触位似作图。从“识别”到“创造”，思维层次递进。特别地，变式第3问将位似比设为-1，自然引出“当位似比k=-1时，位似变换即为关于位似中心的中心对称变换”，建立起新旧知识网络的关键连接点，体现了知识体系的统一性。

（五）课堂小结，升华认知(预计时间：5分钟)

活动8：思维导图式总结

教师不直接总结，而是引导学生以小组为单位，用思维导图的形式梳理本节课的核心内容。要求至少包含：核心概念（位似、位似中心、位似比）、核心性质、判定方法、与相似/中心对称的联系与区别、应用举例。

选取优秀作品进行投影展示，并请作者简述思路。

教师最终提炼与升华：

“同学们，今天我们共同探究了一种特殊的图形关系——位似。它像一位严谨的艺术家，不仅要求两个图形‘形似’（相似），更要求它们‘神连’（对应点连线共点）。这个‘连结点’——位似中心，如同变换的‘心脏’，决定了图形缩放的方向与比例。位似，是连接数学、物理（光学）、艺术（透视）和科技（影像处理）的一座桥梁。下节课，我们将把这位‘艺术家’请进平面直角坐标系，探究更精确的位似变换规律。”

（六）分层作业，拓展延伸(预计时间：2分钟)

必做题（巩固基础）：

1.教材课后练习题第1、2、3题。

2.判断：放大镜下的图形与原图形是位似图形吗？为什么？（要求书面写出推理过程）

选做题（提升能力）：

1.探究：在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，位似比为k，点A(x,y)的对应点A‘的坐标是什么？试推导并证明你的结论。（为下节课铺垫）

2.跨学科实践：查阅资料，了解数码相机变焦的原理、Photoshop软件中“自由变换”工具的数学原理，写一篇不超过300字的短文，说明其中涉及的位似思想。

八、板书设计

主板书（左侧）：

27.3位似（第一课时）

一、定义

1.位似图形：相似+对应点连线交于一点

2.位似中心：那个交点(O)

3.位似比(k)：相似比

|k|：放大(>1)或缩小(<1)的倍数

k的符号：同侧(>0)/异侧(<0)

二、性质（以O为位似中心，k为位似比）

1.对应边平行或共线

2.对应角相等

3.核心性质：OP'/OP=|k|，且P,P'在O同侧(k>0)或异侧(k<0)

三、判定

两步法：1.是否