初中数学七年级下册《实数》单元起始课导学案（湘教版）

初中数学七年级下册《实数》单元起始课导学案（湘教版）一、教学内容分析《义务教育数学课程标准（2022年版）》将“实数”置于“数与代数”领域，是学生数系认知从有理数到实数的一次关键飞跃，具有承上启下的枢纽地位。从知识技能图谱看，本课需在已有有理数认知基础上，理解无理数与实数的概念，掌握实数的分类与初步性质，其认知层级要求从“理解”向“应用”过渡，并为后续学习二次根式、函数、解析几何等奠定坚实的数域基础。过程方法上，课标强调通过探究活动体验数学知识的发生发展过程，本课是渗透“从特殊到一般”、“数形结合”及数学抽象思维的绝佳载体。通过探究诸如边长为1的正方形对角线长度等不可公度量的过程，引导学生经历无理数的发现，体验数学的严谨性与无限性。在素养价值层面，实数概念的建构过程本身就是培育学生数学抽象、逻辑推理核心素养的生动案例。对“无限不循环”本质的理解，有助于破除对“数”的机械认知，初步形成理性、批判的数学眼光，体会数学与现实世界的深刻联系，感悟数学的简洁与统一之美。基于“以学定教”原则，需进行立体化学情研判。学生的已有基础是熟练掌握有理数的概念、运算及在数轴上的表示，并初步接触了平方根、算术平方根。然而，从“有限”或“无限循环”的认知图式跨越到“无限不循环”，是巨大的思维挑战，学生极易产生“为什么会有这样的数”的困惑，或对无理数存在的必然性理解不深。常见的认知障碍还包括混淆平方根与算术平方根，对实数与数轴上点的一一对应关系感到抽象。因此，教学调适应遵循“感知质疑探究建构”的认知路径。课堂中，将通过“画一画”、“算一算”、“分一分”等多元活动，动态观察学生的操作、讨论与表达，及时诊断其思维卡点。针对不同层次学生，提供差异化的支持：对基础较弱者，强化直观操作与具体实例的支撑；对学有余力者，引导其追问本质，尝试用反证法等思维工具进行更深层的推理论证。二、教学目标知识目标：学生能清晰陈述无理数与实数的定义，并能结合√2、π等典型实例阐明其“无限不循环”的核心特征；能够依据不同标准（定义、正负性）对实数进行准确分类，构建实数系统的结构化认知；理解实数与数轴上的点存在一一对应关系，并能用勾股定理等在数轴上作出某些无理数对应的点，从而在几何直观上确认其存在。能力目标：在探究无理数产生过程中，学生能经历观察、计算、猜想、验证的数学活动，发展合情推理与初步的演绎推理能力；通过将实数分类、与数轴对应等任务，提升归纳概括、数学建模及数形结合解决问题的能力；在小组协作与交流中，能够清晰、有条理地表达自己的观点，并对他人的结论进行有依据的质疑或补充。情感态度与价值观目标：通过重现无理数发现的历史情境，激发学生对数学知识溯源的好奇心与求知欲，体会数学发展中的理性精神与批判意识；在合作探究中，培养乐于分享、敢于质疑、严谨求实的科学态度；通过认识实数系的完备性，感受数学体系的和谐与统一之美，增强学习数学的内在动力。科学（学科）思维目标：重点发展学生的数学抽象思维与逻辑推理思维。具体表现为，能从具体的几何度量问题（如对角线长度）中，抽象出“无法表示为两个整数比”这一数量特征，从而定义无理数；在探究实数与数轴点的一一对应时，运用“任何线段长度都可对应一个实数”的连续性思想，建立代数与几何的深刻联系。评价与元认知目标：引导学生利用教师提供的“探究任务评价量规”，对小组合作的过程与成果进行自评与互评；在课堂小结环节，通过绘制概念图反思本课知识网络的建构过程，审视自己从“有理数够用吗？”的疑问到建构实数概念的问题解决路径，总结迁移此类数学概念学习的一般方法。三、教学重点与难点教学重点确立为无理数与实数的概念理解，以及实数的分类。其依据在于，从课标视角看，此二者是统领整个“实数”单元的“大概念”，是学生数域扩充的逻辑起点和认知核心，后续的实数运算、比较大小等均建立在此坚实基础之上。从学业评价看，对无理数概念辨识（如判断哪些数是无理数）及实数分类的考查是高频基础考点，且常作为综合题的知识背景出现，体现了“双基”的重要地位。准确把握重点，方能确保学生数系认知框架的稳固。教学难点主要在于对无理数“无限不循环”本质的深层理解，以及实数与数轴上的点一一对应关系的抽象建构。难点成因在于，学生习惯于有理数的有限或循环表示，对“无限不循环”缺乏直观经验和认知模型，容易产生“它到底是多少”的迷思。此外，从“离散”的有理点理解“连续”的实数轴，需要想象力的跨越。预设依据来自常见学情：作业中常出现将π视为3.14或22/7（即误判为有限或循环小数），以及在数轴上标√2等无理数点时感到无从下手。突破方向在于，强化从几何度量不可公度的本源出发，借助计算器进行数值逼近，在“无限”的进程中感受其“不循环”的必然，并通过尺规作图在数轴上“做出”无理点，化抽象为直观。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式电子白板课件（内含历史故事短片、动态几何作图、数轴模型）；实物展示台；两个边长为1的正方形纸板模型；计算器（备用）。1.2学习材料：设计分层《学习任务单》（含探究记录区、分类活动卡、分层练习题）；小组合作评价量规卡片。2.学生准备2.1知识预备：提前复习有理数的定义、分类及数轴表示；了解平方根与算术平方根的概念。2.2学具：直尺、圆规、课堂练习本。3.环境布置3.1座位安排：46人异质分组围坐，便于开展探究与合作交流。3.2板书记划：左侧预留核心概念区（无理数、实数定义），中部为探究过程生成区，右侧为知识结构图（实数分类树状图）。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与认知冲突1.1同学们，我们已经认识了非常“有理”的有理数大家庭。现在，请大家拿出直尺，我们一起来画一个边长为1的小正方形，并画出它的对角线。好了，一个很简单的问题：这条对角线的长度是多少呢？你能用一个我们学过的数，比如分数或整数，把它精确地表示出来吗？大家可以试着量一量，或者用我们刚学过的勾股定理算一算。1.2（等待学生尝试测量、计算并发言）老师听到有同学量出来大约是1.4，有同学算出来是√2。那√2到底是多少呢？它能不能写成一个像3/5、0.6这样“确定”的分数或有限小数呢？历史上，毕达哥拉斯学派的希帕索斯就因为这个发现而陷入了巨大的困惑，甚至引发了数学史上第一次危机。看来，我们熟悉的有理数世界，好像并不“够用”了！2.提出问题与明确路径2.1那么，像√2这样的“新数”究竟是何方神圣？它和我们学过的数有什么关系？今天，我们就化身小小数学家，一起穿越历史，去揭开这类“新数”的神秘面纱，共同构建一个更加完备的“实数”新世界。2.2我们的探索之旅将分三步走：第一站，“发现之旅”，亲手找到有理数之外的数；第二站，“命名与归类”，认识它们的名字（无理数）并将新旧数统合为实数家族；第三站，“安家落户”，看看这些新数在数轴上如何“安家”。第二、新授环节任务一：探究之旅——发现“新数”1.教师活动：首先，引导学生回顾勾股定理，计算边长为1的正方形对角线长度，明确其代数表示为√2。接着，抛出核心驱动问题：“√2究竟是不是一个分数？”组织学生进行小组讨论与猜想。然后，搭建“脚手架”：提供历史背景（希帕索斯的故事），并指导学生使用计算器对√2进行逐步计算（计算1.4²，1.41²，1.414²…），观察其小数部分的变化趋势。教师巡视，重点关注学生计算过程中的发现和疑惑，适时追问：“算出来的结果平方后是等于2吗？它的decimalexpansion（小数展开）有没有可能在某一位之后开始循环？”最后，引导学生对比像1/3=0.333…这样循环小数的情况，强调√2的小数部分“既无限，又不循环”这一关键观察。2.学生活动：以小组为单位，利用勾股定理确认√2。围绕“√2能否表示为分数”展开初步讨论与猜想。使用计算器进行精确到不同小数位的平方计算，记录并观察：1.4²=1.96，1.41²=1.9881，1.414²=1.…他们发现，无论算到多少位，平方数都只能无限接近2，却永远不等于2。通过讨论与教师引导，初步感知√2的小数表示是“算不尽”且“无规律”的。3.即时评价标准：1.4.能否正确应用勾股定理得出√2。2.5.在计算器操作与数据记录中是否细致、有序。3.6.小组讨论时，能否基于计算数据提出合理的猜想（如“它好像写不成有限小数或循环小数”）。4.7.倾听他人意见，并尝试整合不同观点。8.形成知识、思维、方法清单：★核心发现：存在像√2这样的数，它无法表示为两个整数之比（即不是分数）。▲关键特征：其小数形式是无限不循环的。这是与有理数（有限小数或无限循环小数）的本质区别。★学科方法：通过“计算逼近”的数值方法来探究数的性质，感受“无限”的过程。教师提示：“无限不循环”是一个整体性质，不要拆开理解为“先无限，再不循环”，它描述的是一种整体的、非周期性的状态。任务二：概念建构——命名“无理数”1.教师活动：在学生对√2的特性有直观感受后，正式给出无理数的定义：“无限不循环小数叫做无理数。”并强调定义中的两个关键词：“无限”、“不循环”。接着，进行概念辨析与例证教学。提问：“那么，除了√2，你们还能举出一些无理数的例子吗？”预计学生会提到圆周率π。教师可补充介绍像√3，√5等大部分非完全平方数的算术平方根，以及像0.1010010001…（每两个1之间0依次多一个）这样的人造无限不循环小数。同时，设置反例辨析：“那像22/7、3.1416这样的数，它们是π吗？是无理数吗？”引导学生明确：π是一个确定的无理数，而22/7或3.1416只是它的近似值，是有理数。2.学生活动：聆听并记录无理数的定义。积极举例，从已知的π扩展到思考√3、√5等。参与反例辨析，通过讨论理解“近似值”与“准确值”的区别，深化对无理数“无限不循环”本质的理解，避免将无理数误解为其近似值。3.即时评价标准：1.4.能否复述无理数定义并指出其核心特征。2.5.举例是否恰当，能否区分无理数的准确值与有理数近似值。3.6.在反例辨析中，论证是否有理有据。7.形成知识、思维、方法清单：★核心概念（定义）：无理数：无限不循环小数。★典型实例：圆周率π，非完全平方数的算术平方根（如√2，√3），以及一些具有特定规律但不循环的无限小数。▲易错点/反例：有理数的近似值（如3.14，1.414）不是无理数。无理数是一个确定的数，其小数展开式是唯一的、无限不循环的。★学科思维：从具体实例（√2，π）中抽象出共同本质特征（无限不循环），从而形成概念（无理数）的归纳思维。任务三：体系整合——统合为“实数”1.教师活动：至此，学生认识了“有理数”和“无理数”这两类数。教师提出整合性问题：“那么，有理数和无理数之间是什么关系？它们能组成一个更大的家庭吗？”引出实数的定义：“有理数和无理数统称为实数。”随后，组织分类活动。分发“实数分类活动卡”，上面印有诸如3，1/2，0，√4，√5，π，0.3737737773…等数。布置任务：“请以小组为单位，将这些数‘送回家’，并尝试画出实数家庭的‘家谱图’（分类图）。”教师巡视，指导分类的不同角度（先按定义分有理数、无理数；有理数内部再分整数、分数等）。2.学生活动：理解实数的统一定义。小组合作操作分类活动卡，对给定实数进行辨别与归类。共同讨论、绘制实数分类的结构图（如树状图或韦恩图），并准备派代表进行展示和讲解。3.即时评价标准：1.4.能否准确应用定义对具体实数进行归类，特别是对√4=2这类易错点的判断。2.5.绘制的分类图是否结构清晰、逻辑正确、涵盖全面。3.6.小组展示时，语言表达是否清晰，逻辑是否连贯。7.形成知识、思维、方法清单：★核心概念（定义）：实数：有理数和无理数的统称。★知识结构：实数的分类体系。可以从两个层次理解：第一层，按定义分为有理数和无理数；第二层，对有理数继续细分为整数和分数（或正、负、零）。▲关键辨析：√4、³√8等能化简为有理数的数，本质上是有理数。分类时应看其最终形式。★学科方法：运用分类讨论思想，对数学对象（实数）进行系统化、结构化的组织，形成知识网络。任务四：几何对应——在数轴上为实数“安家”1.教师活动：提出问题：“我们知道每一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。那么，新认识的无理数呢？比如√2，能在数轴上找到它的位置吗？”引导学生回顾数轴的几何意义（原点、单位长度、方向）。然后，搭建脚手架进行作图引导：“还记得我们导入时画的正方形吗？它的对角线长度是√2。我们能否利用这个几何图形，在数轴上‘构造’出长度为√2的线段？”演示或引导学生合作探究：在数轴上，以原点为一个顶点，沿数轴正方向作一个单位长度的线段作为直角边，再作另一条单位长度的垂线段，连接后得到斜边（即√2），最后以此斜边为半径，原点为圆心，用圆规在数轴正方向上截取一点，该点对应的数即为√2。追问：“用类似的方法，我们能把π表示出来吗？”引导学生理解π作为圆周率，可以通过圆的滚动等方式在理论上对应到数轴上。最后总结：“事实上，每一个实数，都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点，都对应着一个实数。这叫做实数与数轴上的点一一对应。”2.学生活动：思考无理数与数轴的关系。动手操作：利用直尺和圆规，尝试在提供的数轴图纸上，通过几何作图（构造直角三角形）找到√2对应的点。观察教师的演示或自主探究出作图方法。理解“一一对应”的结论，并思考其意义：这意味着数轴从此被“填满”了，变得“连续”了。3.即时评价标准：1.4.尺规作图是否规范、准确。2.5.能否理解并口头描述出如何在数轴上找到√2对应的点。3.6.能否解释“一一对应”在实数与数轴关系中的含义。7.形成知识、思维、方法清单：★核心结论：实数与数轴上的点是一一对应的。★重要操作：利用勾股定理和尺规作图，可以在数轴上作出某些无理数（如√2）的对应点。▲学科思想：数形结合思想的典型体现。将抽象的无理数（代数概念）与直观的数轴点（几何概念）联系起来，实现了代数与几何的沟通。★概念深化：这一结论揭示了实数的连续性和完备性，是实数系区别于有理数系的关键几何特征。第三、当堂巩固训练本环节旨在构建分层、变式的训练体系，并提供即时反馈。1.基础层（全体必做，直接应用）：1.2.题1（概念辨识）：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3.14159，√9，π/2，0.3737737773…（每两个3之间依次多一个7），√7，0。（设计意图：巩固有理数、无理数的核心定义及典型实例识别。）2.3.题2（分类操作）：将以上各数填入实数分类框架图中。（设计意图：强化实数分类的结构化认知。）3.4.反馈机制：学生独立完成，同桌互换批改。教师投影标准答案，针对√9、π/2等易错点进行快速点评：“注意哦，√9化简后是3，它可是有理数家族的‘老成员’了。π/2虽然带着π，但它本身依然是一个无限不循环的小数，所以还是无理数。”5.综合层（大多数学生可完成，情境应用）：1.6.题3（数形结合）：如图，数轴上点A表示√2。(1)请仿照探究方法，在数轴上标出表示√5的点B的大致位置（需简述作图思路）。(2)比较√2，√5，2.5这三个数的大小，并用“<”连接。（设计意图：综合运用几何作图法与估算，在具体情境中比较实数大小，深化数形结合能力。）2.7.反馈机制：学生小组讨论后，请不同小组代表上台讲解作图思路（如：构造两条直角边分别为1和2的直角三角形，斜边即为√5）。教师提炼关键：利用勾股定理构造线段是关键，并引导学生总结“在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大”这一比较法则。8.挑战层（学有余力者选做，开放探究）：1.9.题4（思维拓展）：我们知道有理数可以进行加、减、乘、除（除数不为0）运算，结果仍是有理数。那么，两个无理数相加，结果一定是无理数吗？请举例说明你的结论。（设计意图：引发对实数运算封闭性的初步思考，打破思维定式，培养批判性思维。）2.10.反馈机制：鼓励学生课后思考，下节课前分享。教师可提供线索：“想想看，√2和它的相反数√2，它们俩加起来是什么？”第四、课堂小结引导学生进行自主结构化总结与元认知反思。1.知识整合：“同学们，今天我们共同构建了‘实数’这座大厦。谁能用一张简单的思维导图或几个关键词，来梳理一下我们这节课探索的主要收获？”请12名学生上台，在白板的知识结构区进行补充和完善。教师引导全班回顾从发现问题（有理数不够用）→探究新数（无理数）→整合体系（实数）→几何验证（数轴对应）的完整逻辑链条。2.方法提炼：“回顾整个探究过程，我们用了哪些‘法宝’来认识新数？”引导学生总结：从实际问题出发（几何度量）、用计算工具进行数值探究（计算器逼近）、用已有知识进行逻辑推演（勾股定理、作图）、用分类思想进行系统整理。3.作业布置与延伸：1.4.必做作业（基础+综合）：完成教材课后练习中关于实数概念、分类及数轴表示的相关题目。2.5.选做作业（探究）：（1）查阅数学史资料，了解“第一次数学危机”的始末，写下你的感想。（2）尝试在数轴上找到表示√3的点，并思考如何表示√10。3.6.预告与思考：“今天我们把实数‘请’进了数的大家庭，并让它们在数轴上‘安了家’。那么，这些新邻居（无理数）和我们的老邻居（有理数）之间如何‘相处’呢？比如，它们怎么比大小？怎么进行运算？这就是我们下节课要探索的内容。”六、作业设计1.基础性作业（必做）：1.2.书面定义无理数和实数。2.3.从给定的10个数中准确识别出有理数和无理数。3.4.完成一道在数轴上标出类似√2、√3等无理数点的作图题，并写出简要步骤。4.5.（设计意图：夯实概念基础，确保全体学生掌握最核心的知识与技能。）6.拓展性作业（建议大多数学生完成）：1.7.情境应用题：“小华想用一条长度为π米的绳子围成一个圆圈，他手头只有一把刻度精确到厘米（0.01米）的卷尺。他能用这把尺子准确地量出π米吗？为什么？这说明了有理数和无理数在现实测量中分别扮演什么角色？”2.8.微型项目：制作一张“实数家族”介绍海报，要求图文并茂，清晰展示实数的分类，并至少用两种不同的方式（如按定义、按正负）进行分类呈现。3.9.（设计意图：将知识置于真实或半真实情境中应用，促进理解内化，并锻炼数学表达与跨学科整合能力。）10.探究性/创造性作业（学有余力学生选做）：1.11.深度探究：“我们已经知道√2是无理数。你能通过查阅资料或自主推理，尝试证明√3也是无理数吗？（提示：可以类比反证法证明√2是无理数的思路）”2.12.创意设计：设计一个可以直观演示“实数与数轴点一一对应”思想的教具或动画脚本方案。3.13.（设计意图：挑战学生的逻辑思维深度与创造性解决问题的能力，满足高阶认知需求。）七、本节知识清单及拓展★1.无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。理解这个定义的关键在于把握“无限”和“不循环”这两个不可或缺的特征。例如，π=3.141592653…，它的小数部分永不终止，且没有重复的循环节。★2.无理数的常见类型：(1)圆周率π及其与有理数运算后仍为无理数的形式（如π+1，2π）；(2)开方开不尽的数（特指非完全平方数的算术平方根，如√2，√3，√5等）；(3)某些具有特定构造规律的无限不循环小数，如0.101001000100001…。▲3.易混淆点辨析：像√4，³√27这类可以化简为整数（2，3）的数，本质上是有理数，不是无理数。同样，22/7或3.14只是π的近似值，是有理数，它们不等于π本身。★4.实数的定义：有理数和无理数统称为实数。实数集合记作R。这意味着我们目前所学的所有“数”，除非特别说明，都属于实数范畴。★5.实数的分类（结构）：可以从两个主要维度分类。(1)按定义：实数分为有理数和无理数。(2)按大小（正负）：实数分为正实数、0、负实数。有理数内部可进一步细分为整数和分数。★6.实数与数轴的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。这称为一一对应关系。★7.数轴上表示无理数的方法：对于√a（a为正数）这类无理数，常利用勾股定理进行几何作图。例如，要表示√2，可以构造两条直角边均为1的直角三角形，其斜边长即为√2，再以原点为圆心，斜边长为半径，用圆规在数轴上截取对应点。▲8.实数的连续性：正是由于实数与数轴点的一一对应，我们说数轴是“连续”的，没有任何“缝隙”。而有理数虽然也在数轴上稠密分布，但点与点之间仍有“空隙”（这些空隙正是无理数的位置），因此有理数集不具备连续性。★9.数学思想方法：本节核心渗透了数形结合思想（实数与数轴）、分类讨论思想（实数分类）、从特殊到一般的思想（从√2，π等到无理数概念）以及逼近思想（用计算器探索√2的近似值）。▲10.历史背景拓展：无理数的发现源于古希腊时期毕达哥拉斯学派对勾股定理的研究，希帕索斯发现等腰直角三角形斜边不可公度，这一发现动摇了学派“万物皆数（指有理数）”的哲学信条，史称“第一次数学危机”。危机的解决推动了数学从基于直觉经验向逻辑演绎体系的深刻转变。八、教学反思一、教学目标达成度分析从当堂巩固训练与学生课堂反馈来看，知识目标基本达成。绝大多数学生能正确辨识典型无理数，并能对实数进行初步分类。能力目标中的探究与推理环节，学生在“任务一”中表现积极，能通过计算逼近感知√2的特性，但在使用规范数学语言进行精确描述上仍有提升空间。情感与思维目标方面，无理数的历史故事有效激发了兴趣，但将数形结合思想内化为分析工具，仍需后续课程的持续强化。元认知目标通过小结环节的思维导图绘制得以初步落实，部分学生已能清晰回溯学习路径。（一）核心教学环节的有效性评估1.导入环节：以“画正方形对角线”这一极简操作制造认知冲突，迅速聚焦核心问题“有理数不够用”，效果显著。那句“你能用一个我们学过的数精确表示它吗？”的提问，直接命中了学生的认知起点。2.“任务一：探究发现”：使用计算器进行逐步平方逼近，是本节课的亮点之一。学生亲眼看到1.414²=1.而非2时，脸上露出的惊讶表情，正是认知发生冲突的生动体现。这个过程成功地将抽象的“无限不循环”转化为可观察、可体验的数值过程。然而，巡视中发现，部分计算能力较弱的学生在记录和比较数据时有些慌乱，下次可考虑在《学习任务单》上设计一个更结构化的记录表格作为支架。3.“任务四：几何对应”：尺规作图找√2的点是难点突破的关键。尽管提前准备了演示动画，但让学生亲手操作一遍的意义无可替代。实际操作中，约三分之一的小组在圆规的使用和点的精确截取上遇到困难，需要教师个别指导。这提醒我，对于此类技能性操作，应预留更充分的独立练习时间，或安排“小老师”互助。4.分层巩固训练：基础层题目通过互评快速反馈，效率高。综合层题目（标√5）暴露出部分学生迁移能力不足，只能机械模仿画√2的图形，而不会灵活构造直角边为1和2的直角三角形。这需要在讲评时重点引导思路，而非仅仅展示步骤。挑战层问题为学优生提供了思考空间，是课堂弹性的体现。（二）对不同层次学生的课堂表现剖析课堂观察可见，学生表现呈现明显分层：A层（学优生）不仅能快速理解概念，还能主动提出深刻问题（如“两个无理数相除会不会是有理数？”），在小组中扮演着思路引领者的角色。对于他们，挑战性任务和课后探究题满足了其认知需求。B层（中等生）能跟上教学节奏，在小组合作和明确指令下能较好地完成任务，他们是课堂活动的主体，其困惑点（如分类时的细节辨析）往往具有普遍性，是教师调整教学节奏的重要依据。C层（基础薄弱生）在理解“无限不循环”的抽象性以及进行尺规作图时存在明显困难。他们更依赖直观演示和同伴帮助。本节课通过异质分组、教师巡视个别指导、以及基础层题目的成功体验，为其提供了支持，但如何设计更个性化的“微支架”帮助其跨越思维障碍，是后续需深入研究的课题。（三）教学策略得失与理论归因本节课成功践行了“基于问题的探究式学习”（PBL）理念，以“有理数为何不够用？”为核心驱动问题贯穿