初中一年级数学下册“综合与实践”教学设计：基于项目式学习的“生活中的数学建模”初探

初中一年级数学下册“综合与实践”教学设计：基于项目式学习的“生活中的数学建模”初探

一、课程基本信息与设计理念

【学科】初中数学

【学段/年级】初中一年级（七年级）下册

【课题名称】综合与实践：探索生活中的分段计费问题——建立数学模型解决实际问题

【课时安排】共3课时（每课时45分钟）

【授课对象】初中一年级学生

【设计者】资深课程与教学专家

【设计理念阐述】本教学设计严格遵循《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心精神，将课程改革的理念深度融合于课堂实践的每一个环节。本设计不再将数学视为孤立的符号与规则堆砌，而是将其定位为一种认识世界、解决问题的文化工具和思维模式。核心在于超越传统的“例题-模仿-练习”模式，转向以“真实问题驱动-跨学科探究-合作建模-反思迁移”为核心的项目式学习（Project-BasedLearning,PBL）。我们深刻认识到，初中一年级学生正处于由具体形象思维向初步逻辑思维过渡的关键期，因此，教学设计必须搭建“脚手架”，引导他们在真实情境中经历“发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、求解验证、改进模型”的完整数学建模过程。本设计强调数学的内部联系（如函数、方程、不等式的统一性）以及数学与外部世界（如经济学、社会学、信息技术）的交叉融合，旨在培养学生在复杂情境中的信息处理能力、批判性思维、创新意识以及社会责任感，真正实现数学育人的终极目标。我们追求的不仅仅是知识点的覆盖，更是学生核心素养的生成与思维品质的跃升。本节课作为“综合与实践”领域的典型案例，将充分展示如何通过深度学习的教学设计，将课程标准中的抽象理念转化为课堂上生动、具体、高效的教学行为。

二、教学内容深度解析与整合

【教学内容定位】本课题源自人教版（或通用版本）初中数学七年级下册关于“二元一次方程组”或“一元一次不等式”章末的“综合与实践”活动。传统教材往往提供一个单一的水费或电费计费背景，要求学生列式求解。本设计对其进行深度开发与重构，将其升级为一个微型的跨学科项目。

【核心知识点罗列与标记】

1.【基础】分段计费的实际背景理解：水费、电费、出租车费、快递费、个人所得税等生活中常见的阶梯式定价规则。

2.【重要】数量关系的分析与提取：从文字、图表中准确识别不同区间（段）的计费标准，并找出关键的分界点。

3.【基础】【高频考点】代数式的规范书写与求值：根据自变量（如用水量）所在区间，正确列出表示总费用的代数式。

4.【核心】【重要】【难点】分段函数的解析式表示：理解并掌握用“大括号”表示在不同定义域内对应关系不同的函数。这是连接方程、不等式与函数的桥梁。

5.【重要】【高频考点】建立方程（组）解决“已知费用求总量”问题：根据给出的总费用，判断其所处的区间，并建立相应的一元一次方程或二元一次方程组求解。

6.【重要】【高频考点】建立不等式（组）解决“比较与决策”问题：在给定预算或条件下，通过建立一元一次不等式（组）确定最优选择或最大/最小用量。

7.【拓展】【难点】数学模型的检验、反思与优化：将计算出的数学解带回实际情境中检验其合理性（如用水量必须为非负数，且需验证是否落入假设的区间内）。探讨现行分段计费规则的优缺点及可能的改进方案。

8.【跨学科链接】

1.9.【信息技术】利用Excel或WPS表格软件，输入公式，快速生成不同用量下的费用计算表格，并绘制折线统计图，直观感受函数的变化趋势和“分段”的意义。

2.10.【道德与法治/社会学】结合“阶梯水价”、“阶梯电价”政策，探讨其背后的资源节约、环境保护、社会公平（如保障基本生活需求、抑制过度消费）等公共政策理念。

3.11.【语文学科】撰写一份关于“优化家庭用水/用电方案”的调查报告或建议书，要求逻辑清晰、有理有据。

4.12.【经济学】初步接触边际成本、需求弹性等概念，理解价格杠杆如何调节市场行为。

【教学重点】

1.能够从复杂的实际问题中准确地提取分段计费规则，并用数学语言（代数式、分段函数）进行表征。

2.能够根据问题情境，选择恰当的数学模型（方程或不等式）解决“已知总量求费用”或“已知费用求总量”两类基本问题。

【教学难点】

1.理解分段函数中“定义域”与“对应关系”的依存关系，尤其是当已知总费用反推总量时，必须进行分类讨论，并验证解的合理性。

2.在解决具有多个变量或多个限制条件的复杂优化问题时，如何建立正确的数学模型（可能是不等式组与方程的综合运用）。

3.引导学生从单纯的“解题”上升到对模型本身（即政策规则）的评价与优化思考，培养批判性思维。

三、学情精准画像与教学对策

【学生知识储备分析】

1.【基础】学生已经熟练掌握一元一次方程的解法，初步接触了二元一次方程组和一元一次不等式（组）。

2.【基础】能够进行简单的代数式运算，并理解代数式可以表示一般规律。

3.【基础】具备基本的阅读理解和信息提取能力，但处理包含多个条件、多段信息的复杂文本时，容易产生混淆或遗漏。

4.【初步感知】学生在日常生活中对阶梯水价、出租车计价等有朦胧的感性认识，但尚未上升到数学模型的理性高度。

【学生认知特点与潜在困难】

1.【重要】思维的单向性与惯性：学生习惯于“给定量→求总量”的顺向思维，对于“给总量→求定量”的逆向思维，特别是需要进行区间判断的逆向思维，存在思维障碍。例如，当已知水费为150元，求用水量时，学生往往不清楚该用哪个区间的价格来计算，或者忘记检验得出的用水量是否确实属于假设的区间。

2.【难点】分类讨论思想的缺失：受小学及初一前期思维定势影响，学生面对可能出现的多种情况时，缺乏主动进行分类讨论的意识和方法。往往只计算一种情况，导致答案不完整或错误。

3.【难点】对数学模型的抽象性理解不足：难以将数学式子（如分段函数解析式）与现实情境中的“段”对应起来，符号感有待加强。

4.【高频考点】粗心导致的计算错误和信息误读：如抄错计费标准、混淆用水量和费用、不等式方向搞反等。

【教学对策与支架搭建】

1.情境驱动，激发动机：摒弃枯燥的纯数学题，引入“小管家”等角色扮演项目，让学生在完成“家庭开支优化”、“出行方案设计”等真实任务中产生学习的内驱力。

2.可视化工具，化抽象为具体：

1.3.引入“分段计费示意图”或“数轴分界法”，让学生在数轴上清晰标出不同区间的范围和对应的计费标准。

2.4.引导学生利用Excel绘制“费用-用量”散点图或折线图，直观感受直线的斜率变化（即单价变化）如何形成“分段”图形。图形是理解分段函数最有力的工具。

5.问题链引导，搭建思维阶梯：设计层层递进的问题链，引导学生拾级而上。例如：

1.6.“你能用自己的话复述一下这个计费规则吗？”（信息提取）

2.7.“如果用x表示月用水量，y表示水费，你能用数学式子把这种规则表示出来吗？需要分几种情况讨论？”（建立模型）

3.8.“当水费是y元时，你能确定它属于哪个区间吗？如果无法直接确定，我们该怎么办？”（逆向思维与分类讨论）

4.9.“你算出的这个结果，符合我们一开始假设的情况吗？如果不符合，说明什么？”（检验与反思）

10.小组合作，思维碰撞：将复杂问题拆解，分配给小组不同任务，鼓励学生交流、辩论，在同伴互助中修正错误、深化理解。特别是对于“模型评价与优化”这类开放性问题，小组讨论能催生更多元的观点。

11.典型错误辨析，深化认知：故意呈现一些学生作业中常见的典型错误（如不分段、方程列错、不解验证），让学生化身“小老师”进行“批改”和“诊断”，在纠错过程中巩固正确方法。

四、教学目标体系设定（三维与核心素养融合）

本课程目标严格对标《义务教育数学课程标准（2022年版）》中关于“综合与实践”领域以及数学核心素养的要求。

（一）知识与技能

1.理解生活中常见的分段计费问题（如水费、电费、出租车费）的数学本质，掌握其数量关系。

2.能准确、规范地用代数式表示不同区间内的费用，并能用分段函数的形式进行整体表达。

3.能根据具体问题情境，熟练运用一元一次方程、二元一次方程组或一元一次不等式（组）解决分段计费中的求值、比较和决策问题。

4.掌握解决分段计费问题的基本步骤：审题分段、列代数式、建立模型、求解验证。

（二）过程与方法

1.通过项目式学习，经历从现实情境中发现问题、提出问题、分析问题并建立数学模型的全过程，初步体会数学建模的基本思想和方法。

2.在解决逆向求值问题时，学习并掌握分类讨论的思想方法，理解分类的原则（不重不漏）和必要性。

3.通过小组合作与信息技术应用，学会借助工具（如图表、电子表格）分析数据、探索规律、检验结果，培养数据意识和几何直观。

4.在对不同方案进行评价与优化的过程中，初步形成优化意识和批判性思维。

（三）情感、态度与价值观

1.在解决贴近生活的实际问题中，感受数学的应用价值和文化魅力，增强学习数学的兴趣和信心。

2.通过对阶梯水价、电价政策的探讨，理解国家推行资源节约型、环境友好型社会建设的政策意图，增强节约资源、保护环境的社会责任感。

3.在小组合作中，培养乐于交流、善于倾听、勇于质疑的团队协作精神和科学态度。

4.通过撰写调查报告或建议书，培养严谨求实的科学态度和用数学语言表达现实世界的意识。

（四）【非常重要】核心素养具体体现

1.【数学抽象】：能够从具体的计费规则中抽象出分段函数的数学模型。

2.【逻辑推理】：能够依据逻辑，对问题情境进行合理分类，并推出各类情况下的数量关系。

3.【数学建模】：能够针对“家庭节水方案优化”等现实问题，构建数学模型并求解，进而解释现实、预测未来。

4.【直观想象】：借助函数图像理解费用的变化趋势，建立数与形的联系。

5.【数学运算】：准确进行代数式运算和方程、不等式的求解。

6.【数据分析】：能够收集、整理家庭水电消费数据，通过分析提出优化建议。

五、【核心环节】教学实施过程（三课时详尽设计）

【第一课时】项目启动与模型初建：走进“分段计费”的世界

（一）创设情境，发布项目（约8分钟）

【教师活动】播放一段关于“家庭节水”或“城市高峰拥堵”的公益短片，引发学生对资源问题的关注。随后，发布本项目的核心任务：“同学们，我们即将启动一个名为‘智慧小管家’的项目。请你们以小组成员的身份，为一个三口之家设计一份‘家庭月度能源（水/电）消费优化方案’。你们需要收集或了解当地的阶梯水价/电价政策，分析家庭的消费习惯，运用数学知识计算出不同消费量下的费用，最终提出既能满足家庭生活需要，又能节约开支、保护资源的可行性建议。最终的成果是一份图文并茂的《家庭能源消费分析报告》。”

【学生活动】观看视频，聆听项目介绍，初步感知任务，激发探究兴趣。

【设计意图】以项目式学习开启，将单纯的数学问题提升为有意义的、综合性的任务，赋予学习以现实意义和使命感，这是深度学习的起点。

（二）范例引导，剖析模型（约20分钟）

【教师活动】以本地居民阶梯水价政策（假设：第一阶梯0-15吨，单价3元/吨；第二阶梯15-25吨，单价4.5元/吨；第三阶梯25吨以上，单价6元/吨）为范例，引导学生逐步分析。

1.信息提取：【基础】“你能找出这个计费规则中的关键信息吗？”引导学生找出分界点（15吨，25吨）和各段单价。

2.情境计算：【重要】“小明家上月用了12吨水，应缴费多少？”（顺向，第一阶梯）“小红家用了20吨水呢？”（引导学生讨论：20吨由哪几部分组成？其中15吨按3元计，超出的5吨按4.5元计，总费=15×3+5×4.5=45+22.5=67.5元。强调分段计算，不能直接用20乘以某个单价）。

3.建立数学模型（分段函数）：【难点】【核心】“如果月用水量为x吨，应缴费y元，你能写出y与x的关系式吗？”这是本课时的核心。引导学生思考：x的取值范围不同，y的计算方式就不同，必须分类讨论。板书：

y=\begin{cases}

3x\{（0≤x≤15）}\

45+4.5(x-15)\{（15＜x≤25）}\

45+4.5×10+6(x-25)\{即}90+6(x-25)\{（x＞25）}

\end{cases}]

【教师精讲】强调“分段”的本质是“定义域决定对应关系”。解释为什么第二段要用“45+4.5(x-15)”而不是“4.5x”。45是基础费用，即第一阶梯满额的费用。

4.直观感知：【信息技术融合】打开Excel，快速生成从0到40吨的用水量及对应费用（用IF函数嵌套实现），并插入散点图。引导学生观察图像：图像是由三段不同斜率的线段（或射线）组成的折线。斜率的变化直观地反映了单价的变化。

【学生活动】跟随教师引导，进行计算、思考和讨论。在教师指导下，尝试写出分段函数解析式。观察Excel图表，建立“数”与“形”的对应关系。

【设计意图】通过经典范例，将抽象的建模过程分解为信息提取、分步计算、符号化表达、图形化展示四个层次，层层递进，突破难点。信息技术在此起到了关键的直观化作用。

（三）巩固练习，初步应用（约12分钟）

【学生活动】独立完成一份出租车计价问题（起步价+里程价）的练习题。

1.基础：写出3公里内和超过3公里后的计费代数式。

2.应用：计算行驶7公里的费用。

3.逆向：【重要】【铺垫】若一次打车付费了20元，估算大约行驶了多少公里？（此问不要求精确求解，旨在让学生意识到需要逆向思考，并大致感受区间范围。）

【教师活动】巡视指导，收集典型问题（如分段不分、计算第二段时基础费用漏加等），进行简短点评。

【设计意图】即时巩固，检验模型构建的掌握情况，并为下一课时的逆向问题埋下伏笔。

（四）项目分组与任务布置（约5分钟）

【教师活动】将全班分为若干小组（4-5人一组），明确项目任务：

1.利用周末通过网络搜索或询问家长，了解本地居民用水或用电的阶梯价格政策。

2.调查自己家庭近三个月的用水或用电量（可查看账单）。

3.根据收集到的数据和政策，用今天学习的方法，计算家庭月度水费/电费。

4.准备在下节课分享你们家庭的情况和计算过程。

【学生活动】分组，明确分工（资料收集员、计算员、记录员、汇报员等）。

【设计意图】将课堂学习延伸至课外，在实践中巩固知识，同时为第二课时的深度探究积累素材。

【第二课时】模型应用与思维进阶：解决复杂的计费问题

（一）成果分享，引入新课（约8分钟）

【学生活动】各小组简要分享上节课后任务的完成情况：展示收集到的价格政策，汇报计算出的家庭月度水/电费。

【教师活动】点评学生的分享，肯定成绩，并从中提炼出共性的新问题：“通过同学们的分享，我们发现了一个更有趣的问题：有的家庭想看看如果每月节水2吨，能省多少钱？有的家庭发现水费突然增高，想查查用了多少吨水？还有的家庭想知道，在预算有限的情况下，最多能用多少水电？这些问题，恰好就是我们今天要深入探究的核心——如何利用方程和不等式，解决分段计费中的‘已知费用求用量’和‘用量与费用的比较决策’问题。”

【设计意图】承上启下，将学生自己的真实数据和生活关切作为新知识的切入点，学习动机更强。

（二）深度探究一：已知总费用，求用量（逆向思维，分类讨论）（约15分钟）

【问题呈现】仍以第一课时的阶梯水价为例：若小红家上月水费是80元，你能求出她家上月用水量是多少吨吗？

【小组合作探究】教师引导学生按步骤思考：

1.估算与判断：【重要】“80元的水费，大概会落在哪个计费区间？”引导学生通过计算各阶梯的“封顶费用”来判断。第一阶梯封顶费用45元，第二阶梯封顶费用90元。80元在45和90之间，因此可以判断用水量一定在第二阶梯（15到25吨之间）。

2.建立方程：【核心】既然在第二阶梯，就应用第二阶梯的费用公式：设用水量为x吨（15＜x≤25），则费用为45+4.5(x-15)=80。

3.求解方程：4.5(x-15)=35,x-15=7.78(约等于),x=22.78(吨)。

4.验证结果：【重要】检查22.78是否在假设的区间15＜x≤25内？22.78<25，符合假设。所以用水量约为22.78吨。

5.变式与深化：若水费为100元呢？（此时超过了90元，属于第三阶梯，需用第三阶梯公式求解并验证。）若水费为30元呢？（属于第一阶梯，用第一阶梯公式求解。）

【教师精讲】总结出解决此类问题的“三步曲”：一、算界值，定区间（通过计算各阶梯的最大/最小费用，判断所求费用属于哪个区间）；二、依公式，列方程（用对应区间的代数式列出方程）；三、求其解，再验证（检查解是否满足假设的区间范围）。【非常重要】强调“验证”步骤不可或缺，它是数学严谨性的体现，也是避免错误的最后一道防线。

【设计意图】通过一个典型问题，将分类讨论和逆向思维的程序性知识清晰地教给学生。从判断到建模，再到求解验证，形成完整的问题解决闭环。

（三）深度探究二：方案比较与决策（不等式模型）（约12分钟）

【问题呈现】承接项目任务，提出新问题：“小明爸爸提议，每月将水费预算控制在70元以内，这样既可以节约开支，又能为环保做贡献。那么，小明家每月用水量应该控制在多少吨以内？”

【小组合作探究】

1.建模准备：问题转化为求用水量x的范围，使得总费用y≤70。

2.分类讨论与解不等式：

1.3.假设x在第一阶梯（0≤x≤15），则3x≤70，解得x≤23.33。但前提是x≤15，取交集得x≤15。

2.4.假设x在第二阶梯（15＜x≤25），则45+4.5(x-15)≤70。解得4.5(x-15)≤25，x-15≤5.56，x≤20.56。与前提15＜x≤25取交集，得到15＜x≤20.56。

3.5.假设x在第三阶梯（x>25），显然最小费用已经超过90元，不可能满足≤70的条件，故无解。

6.整合结论：综合以上两种情况，要满足预算，用水量x应满足0≤x≤20.56（吨）。也就是说，可以将用水量控制在20.56吨以内。

7.优化理解：引导学生思考，为什么结果是两部分范围的并集？

【教师总结】解决此类“费用控制”型问题，需要分区间建立不等式组（包括费用不等式和区间限定不等式），最后综合各区间符合条件的范围。

【设计意图】从方程模型拓展到不等式模型，进一步深化分类讨论思想。同时，“预算控制”问题更贴近项目任务，让学生感受到数学在生活决策中的工具价值。

（四）项目中期汇报与问题梳理（约10分钟）

【学生活动】各小组结合自己家庭的实际数据，尝试用本节课的方法，提出一个初步的优化目标（如：若想将电费控制在某个额度内，每月用电量应如何控制？），并进行初步计算。如有困难，记录问题。

【教师活动】巡回指导，解答各小组在运用新知识解决个性化数据时遇到的问题。收集共性问题（如数据复杂、有多个变量等），为下节课的拓展延伸做准备。

【设计意图】将所学知识即时应用于各自的项目中，学以致用，并在实践中暴露更深层次的问题，为后续学习提供方向。

【第三课时】模型拓展与成果凝练：信息技术整合与项目成果展示

（一）【热点】【拓展】复杂情境建模——出租车计价与等候费问题（约12分钟）

【问题呈现】某市出租车收费标准：起步价10元（3公里内）；超过3公里，每公里2元（不足1公里按1公里计）；行驶途中，若乘客要求等候，每等候5分钟加收1元（不足5分钟按5分钟计）。某次行程，行驶里程8.4公里，途中等候了7分钟，求应付车费。

【小组合作探究】

1.信息解构：这是一个包含两个独立计费系统（里程费和等候费）的复合问题。需要分别计算。

2.里程费计算：【注意】8.4公里，起步3公里，超出部分为5.4公里。但计费规则是“不足1公里按1公里计”，因此超出部分应按6公里计费。里程费=10+6×2=22元。

3.等候费计算：7分钟，按“每5分钟加1元”，不足5分钟按5分钟计，所以应算作2个5分钟（因为7分钟包含1个完整5分钟，余2分钟按5分钟计），等候费=2×1=2元。

4.总费用：22+2=24元。

【变式与讨论】如果问题改为“已知总费用为30元，问最多可能行驶了多少公里（假设无等候）？”或“已知总费用和里程，反推等候时间”，难度将进一步加大，需要引入更复杂的分类讨论或方程模型。此处可作为思维挑战题留给学有余力的学生课后思考。

【设计意图】引入“取整”这一新的实际因素，让学生体会现实问题的复杂性远超课本例题，数学模型需要根据实际情况不断调整和细化，这是对建模思想更深层次的理解。

（二）【非常重要】项目实践与信息技术深度融合（约18分钟）

【任务发布】各小组利用带Excel的电脑（或平板），完成以下项目任务：

1.数据录入与模型构建：将自己收集到的阶梯电价政策输入Excel。创建“用电量”列，并用IF函数构建计算“总电费”的公式。（教师演示如何构建多层嵌套的IF函数）。

2.模拟分析与预测：利用构建好的表格，进行“如果……会怎样？”的模拟分析。例如：

1.3.如果每月节约10度电，一年能省多少钱？

2.4.如果家里添置了一台大功率空调，预计月用电增加50度，电费会增加多少？

3.5.若想将月电费控制在某个理想值，用电量上限是多少？（可以结合单变量求解功能，初步体验计算机求解方程）

6.绘制图表：根据生成的数据，插入折线图或柱状图，直观展示电费随用电量的变化趋势。

【学生活动】小组成员分工协作，动手操作Excel，进行数据录入、公式构建、模拟分析和图表绘制。在此过程中，将抽象的数学关系转化为具体的、可操作的电子表格模型。

【教师活动】提供技术支持，指导IF函数的嵌套写法，引导学生如何解读生成的图表和数据。鼓励小组间互相观摩、交流经验。

【设计意图】这是本项目的点睛之笔。信息技术不再是辅助演示，而是成为学生探究和建模的有机组成部分。通过亲手构建电子表格模型，学生能更深刻地理解分段函数的本质，并体验到技术工具在解决复杂、重复计算问题上的巨大优势，极大地提升了学习的效率和深度。模拟分析功能更是让数学成为可以进行“思想实验”的利器。

（三）项目成果凝练与展示准备（约10分钟）

【学生活动】各小组整合三节课的探究成果，开始着手准备最终的《家庭能源消费分析报告》。报告内容应至少包含：

1.封面：课题名称、小组成员、日期。

2.引言：为什么要研究这个问题？（资源现状、政策背景）。

3.本地能源价格政策解读（附上官方截图或文字说明）。

4.本家庭近三个月消费数据分析（用表格和图表呈现）。

5.数学建模过程：

1.6.写出分段计费的数学函数模型。

2.7.展示根据模型计算家庭消费的过程。

3.8.展示预算控制或优化方案的数学模型与计算过程（至少包含一个方程和一个不等式应用实例）。

9.【亮点】基于Excel的动态模拟分析（可以截图或打印模拟表格）。

10.结论与建议：根据分析，对家庭能源消费提出至少三条具体、可行的优化建议，并从数学角度说明理由。

11.活动感悟与反思（每位成员写一句话）。

【教师活动】提供报告撰写框架和评价标准（将从数据真实性、模型准确性、分析深度、建议合理性、团队协作、报告美观度等方面进行评价）。鼓励各小组发挥创意，使报告图文并茂，具有说服力。

【设计意图】将零散的活动成果系统化、文本化。撰写报告的过程本身就是对知识的深度加工和重构。同时，将评价标准前置，为学生的学习提供清晰的指引。

（四）【预留】课后延伸与下阶段预告

布置课后任务：完善并提交《家庭能源消费分析报告》。预告下节课将举办“班级项目成果发布会”，各小组需准备5分钟的PPT展示，分享本组的核心发现和创意建议。届时将评选出“最佳数据分析奖”、“最佳建模奖”、“最佳可行性建议奖”等。

【设计意图】通过成果发布会的形式，为学生搭建展示交流的舞台，让学习成果被看见、被评价，进一步提升学习的成就感和荣誉感。

六、板书设计

（主板书一：分段函数模型构建）

阶梯水价案例

阶梯：用水量x（吨）|单价（元/吨）|费用y（元）计算公式

一、0≤x≤15|3|y=3x

二、15<x≤25|4.5|y=45+4.5(x-15)

三、x>25|6|y=90+6(x-25)

（主板书二：逆向问题解法——三步曲）

已知水费80元，求用水量

1.判区间：【算界值】一阶满额45，二阶满额90。80在45-90间→二阶。

2.列方程：【代公式】45+4.5(x-15)=80

3.求解并验证：x≈22.78，检验15<22.78≤25✔

（副板书）

【核心思想】

分类讨论数形结合数学建模

【注意事项】

1.看清分段规则（包括边界点归属）。

2.逆向求解必验证。

3.实际问题考虑解的实际意义（非负等）。

七、教学评价设计

本设计采用过程性评价与终结性评价相结合，多元主体参与的评价方式。

【过程性评价】（占总评60%）

1.课堂参与度（10%）：