初三数学下册相似三角形判定定理教案（人教版）

初三数学下册相似三角形判定定理教案（人教版）

一、课程基本信息

1.学科：初中数学

2.学段与年级：九年级（初三）下册

3.教材版本：人民教育出版社

4.课题名称：相似三角形的判定（第一课时：平行线判定定理及两角相等判定定理）

5.课时安排：2课时（本设计为第1课时，侧重于判定定理的探索与发现；第2课时侧重于综合应用与巩固）

6.授课对象分析：学生已学习了全等三角形的判定（SSS，SAS，ASA，AAS，HL），掌握了比例的基本性质、平行线分线段成比例定理以及相似多边形的基本概念，具备了初步的几何观察、猜想和简单推理能力。但将比例关系与几何图形深入结合，进行系统化逻辑证明的能力尚在形成中，需要搭建从全等到相似、从直观到抽象的认知阶梯。

二、核心素养目标设计

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，本节课旨在达成以下核心素养目标：

1.数学抽象与直观想象：通过观察网格图、动态几何软件演示等，从复杂的图形背景中抽象出相似三角形的结构特征，形成对“对应角相等，对应边成比例”的几何直观。发展从图形位置、数量关系中提取关键信息的能力。

2.逻辑推理：经历“观察-猜想-操作-验证-证明”的完整探究过程，理解并初步掌握相似三角形判定定理的推导逻辑。特别是通过类比全等三角形判定（AAS/ASA），自主探索并证明“两角分别相等的两个三角形相似”这一基本定理，体会从特殊（平行）到一般（角相等）的推理路径，提升演绎推理和合情推理能力。

3.数学建模：初步建立“相似三角形判定”的数学模型，理解该模型在解决不可直接测量物体的高度、距离等实际问题中的应用价值，认识数学与现实的广泛联系。

4.数学运算：在判定过程中，熟练运用比例的基本性质进行简单的线段比例计算和变形，为后续学习相似三角形的性质（周长比、面积比）打下运算基础。

三、教学重点与难点

1.教学重点：

1.2.相似三角形判定定理的探索过程与理解。

2.3.“两角分别相等的两个三角形相似”（AA）判定定理的证明与应用。

4.教学难点：

1.5.如何引导学生自然地从“平行线分线段成比例”的基础定理，过渡到一般三角形的相似判定。

2.6.判定定理证明过程中，辅助线（平行线）的构造思路的理解。

3.7.在复杂图形中准确、快速地识别相似三角形的对应关系。

四、教学资源与准备

1.教师准备：

1.2.多媒体课件（内含网格图对比、几何画板动态演示文件）。

2.3.几何画板软件，用于课堂实时演示图形变化过程中角与边比例关系的不变性。

3.4.设计好学案（含探究任务单、阶梯式例题与练习）。

4.5.实物道具：不同比例缩放的三角板、小镜子（用于导入情境联想）。

6.学生准备：

1.7.复习平行线分线段成比例定理及相似多边形定义。

2.8.直尺、量角器、圆规、方格纸。

3.9.预习学案中的情境与思考问题。

五、教学过程设计

第一环节：创设情境，温故孕新（约8分钟）

活动1：情境链接，问题驱动

呈现一组图片：①同一建筑的不同比例设计图纸；②物理中的小孔成像光路示意图；③地图上两个形状相同的湖泊区域。提问：“这些图片中的图形有何共同特征？”引导学生回顾“形状相同”即“相似”的直观感受，并聚焦到三角形这一基本图形上。

活动2：定义回顾，明确方向

提问：“根据相似多边形的定义，如何用数学语言判断两个三角形相似？”学生回答：需满足①对应角相等；②对应边成比例。教师强调：定义是判定的根本，但六个条件（三对角、三对边）全部验证过于繁琐。进而引出核心问题：“能否像全等三角形判定一样，找到更简便的判定方法？需要几个条件？什么样的条件？”

设计意图：从跨学科（工程、物理、地理）实例出发，凸显相似三角形研究的现实意义。通过回顾定义，既巩固旧知，又揭示定义的局限性，制造认知冲突，激发学生寻找简化判定条件的强烈欲望，明确本节课的探究方向。

第二环节：合作探究，建构新知（约25分钟）

探究活动一：从特殊位置关系中发现判定线索

步骤1：利用几何画板，绘制△ABC，过AB边上一点D作DE∥BC，交AC于E。动态展示无论D点在AB上如何移动，△ADE与△ABC始终保持“形状相同”。

任务：学生四人一组，利用手中学具（方格纸或自画图测量），探究：

1.△ADE与△ABC的对应角之间有何关系？为什么？

2.测量或计算AD/AB，AE/AC，DE/BC这三组比值，你发现了什么？

3.根据相似多边形定义，此时△ADE与△ABC相似吗？

学生通过平行线的性质易得∠A=∠A，∠ADE=∠B，∠AED=∠C。通过测量计算发现AD/AB=AE/AC=DE/BC。从而根据定义判定△ADE∽△ABC。

步骤2：深度追问，提炼定理。

教师提问：“此结论是否具有一般性？若DE不与BC平行，结论还成立吗？”（几何画板演示破坏平行关系，比值立即变化）。引导学生用文字语言概括发现：“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。”此即为“平行线判定定理”（A型图）。板书定理文字及符号语言。

设计意图：从学生最熟悉的平行线基本图形入手，利用信息技术直观感知，通过动手测量验证，降低探究起点。此定理的得出顺理成章，且为后续一般判定定理的证明提供了关键的方法论依据（构造平行线）。

探究活动二：从特殊到一般，猜想并证明核心定理

步骤1：类比迁移，提出猜想。

教师引导：“平行线判定定理依赖于特殊的位置关系（平行）。如果两个三角形没有任何特殊位置关系，仅仅知道它们的某些角相等，能否判定它们相似？”呈现两个角分别对应相等的△ABC和△A‘B’C‘（已知∠A=∠A’，∠B=∠B‘）。

提问：①∠C与∠C‘相等吗？②它们的对应边会成比例吗？③你能类比全等三角形的“两角及一边”判定，提出关于相似三角形判定的猜想吗？

学生通过三角形内角和定理易得∠C=∠C‘。对于边是否成比例，学生可能猜测“是”。教师组织学生分组，利用方格纸绘制满足两角相等的两个三角形，进行测量、计算、比较，初步验证猜想。

步骤2：逻辑证明，突破难点。

这是本节课的思维高峰。教师引导：“测量验证具有偶然性，我们必须进行严格的几何证明。我们的目标是证明AB/A‘B’=AC/A‘C’=BC/B‘C’。目前已知只有角相等，没有平行线，如何建立边的比例关系？”

启发：回忆“探究活动一”的结论，它是在有平行线的条件下得到了相似和边成比例。现在没有平行线，我们能否“创造”出平行线条件？

师生共同分析证明思路：

1.构造：在△ABC的边AB（或其延长线）上截取AD=A‘B’，过点D作DE∥BC，交AC于点E。根据“平行线判定定理”，得到△ADE∽△ABC。

2.过渡：只需证明△ADE≌△A‘B’C‘，即可将△ABC与△A’B‘C’的相似问题，转化为已证明的△ADE与△ABC的相似问题。

3.证全等：由作法，AD=A‘B’。由DE∥BC，得∠ADE=∠B。又已知∠B=∠B‘，故∠ADE=∠B’。又已知∠A=∠A‘。根据ASA，△ADE≌△A’B‘C’。

4.得相似：∵△ADE∽△ABC，且△ADE≌△A‘B’C‘，∴△A’B‘C’∽△ABC。

教师利用几何画板逐步展示构造、推理过程，并强调辅助线的作法和思路来源（类比、转化）。板书完整的证明过程。

步骤3：归纳定理，规范表述。

引导学生用精炼的语言概括定理：“两角分别相等的两个三角形相似。”简记为“AA”或“角角”。板书定理内容、图形、符号语言（在△ABC和△A‘B’C‘中，∵∠A=∠A’，∠B=∠B‘，∴△ABC∽△A’B‘C’）。

设计意图：此环节是本节课的核心。通过类比猜想、实验验证，培养学生合情推理能力。证明环节的设计，重在思路的启发而非过程的灌输，引导学生将未知问题转化为已知模型（平行线基本图），深刻体会数学转化思想。完整的推理论证，有效提升了学生的逻辑推理素养。

第三环节：剖析辨析，深化理解（约10分钟）

1.概念辨析：

1.“两个等腰三角形一定相似吗？”（不一定，顶角或底角需相等）

2.“两个直角三角形有一个锐角相等，它们相似吗？”（是，由AA可判）

3.“全等三角形是相似三角形吗？相似比是多少？”（是，相似比为1。强调相似与全等的包含关系）。

2.基本图形识别（变式训练）：

展示以下常见图形，要求学生快速判断其中是否有相似三角形，并指出依据。

1.图形1：共享一个公共角，且有一组对顶角相等的两个三角形。（AA）

2.图形2：直角三角形被斜边上的高分出的两个小三角形。（AA，每个小三角形都与原大三角形相似，且三者彼此相似——“母子型”相似）

3.图形3：圆中的同弧或等弧所对的圆周角构成的三角形。（AA）

设计意图：通过辨析澄清模糊认识，巩固定理的本质。基本图形识别训练，旨在培养学生从复杂背景中迅速剥离出相似模型的能力，为后续应用扫清障碍。引入圆中图形，体现知识的前瞻性与连贯性。

第四环节：典例精讲，初步应用（约15分钟）

例题1（直接应用定理）：

如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长。

分析：由DE∥BC→△ADE∽△ABC→列出对应边比例式→求解。

教师强调：写相似三角形时，对应顶点要写在对应位置，这是正确列出比例式的关键。

例题2（综合应用与证明）：

已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D。

求证：(1)△ACD∽△ABC；(2)AC²=AD·AB。

分析：第(1)问利用“AA”（∠A公共，∠ADC=∠ACB=90°）。第(2)问由(1)的结论得到比例式AC/AB=AD/AC，交叉相乘即得结论。此结论即为著名的“射影定理”之一。

教学处理：引导学生多角度观察图形中的相似关系（△ACD∽△ABC∽△CBD），体会“母子型”相似模型的普遍性。初步渗透“相似三角形是证明比例式或等积式的有力工具”这一思想。

设计意图：例题1巩固基本运用，规范解题步骤。例题2提升思维层次，将判定与简单证明结合，并得出一个重要几何结论，让学生体会探究成果的应用价值，实现知识的内化与迁移。

第五环节：课堂小结，体系初建（约5分钟）

引导学生以思维导图或知识树的形式进行总结：

1.我们今天学到了什么？

1.2.两种相似三角形的判定方法：平行线定理（特殊）、两角相等定理（AA）（一般）。

2.3.一个重要的数学思想：转化思想（将一般三角形相似问题，通过构造平行线转化为特殊情形）。

3.4.一种重要的证明方法：利用已有定理（平行线判定定理），通过构造辅助线来证明新定理。

5.它们之间有何联系？AA定理是更一般的判定，平行线定理是它的一个特例（因为平行可以推出角相等）。

6.接下来我们会学什么？暗示仅凭“角”的条件可以判定相似，那么仅凭“边”的条件，或者“边角结合”的条件，是否也能判定呢？为下节课“两边成比例且夹角相等”和“三边成比例”的判定定理埋下伏笔。

第六环节：分层作业，巩固拓展（约2分钟）

必做题：

1.教材课后练习中与AA判定相关的所有基础题。

2.学案“基础巩固”部分：辨识图形、直接应用定理求边长。

选做题：

1.（应用探究）利用一面镜子、一根皮尺，设计一个测量校园旗杆高度的方案，并写出方案原理（涉及相似三角形判定与性质）。

2.（思维挑战）已知：在△ABC中，D是BC中点，∠ADB和∠ADC的角平分线分别交AB、AC于E、F。求证：EF∥BC。

3.（预习任务）思考：如果两个三角形有两组对应边的比相等，它们一定相似吗？如果再加上这两组边的夹角相等，情况又如何？尝试画图探索。

设计意图：分层作业尊重学生个体差异，让不同层次的学生都能获得成就感。必做题夯实基础，选做题联系实际、挑战思维、引导预习，实现课内向课外的有效延伸。

六、板书设计（预设）

主板书区：

课题：相似三角形的判定（一）

一、定义回顾（判定的根源）

对应角相等，对应边成比例。

二、判定定理

1.平行线定理（特殊）

文字：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

图形：（绘制A型基本图）

符号：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC

2.两角相等定理（AA，一般）

文字：两角分别相等的两个三角形相似。

图形：（绘制△ABC与△A‘B’C‘，标记等角）

符号：在△ABC和△A’B‘C’中，

∵∠A=∠A‘，∠B=∠B’

∴△ABC∽△A‘B’C‘

证明思路关键步骤：

(1)构造：在AB上取AD=A’B‘，作DE∥BC。

(2)证△ADE∽△ABC（平行线定理）。

(3)证△ADE≌△A’B‘C’（ASA）。

(4)得结论。

三、数学思想方法

类比猜想、转化（构造）、从特殊到一般。

副板书区：

用于例题演算、学生板演及课堂生成性问题的简要分析。

七、教学反思与特色说明（预设）

1.跨学科视野的融合：本设计开篇即从工程设计、物理光学、地理测绘中提取素材，使数学学习根植于广阔的实践背景，有利于培养学生用数学眼光观察世界的意识。

2.探究路径的设计：严格遵循“温故（定义）→探特（平行线定理）→猜广（AA猜想）→证广（转化证明）→用广（应用辨析）”的认知逻辑链，层层递进，符合学生的思维发展规律。将难点（AA定理证明）的突破，建立在对已有知识（平行线定理）的创造性应用上，实现了知识的意义建构。

3.信息技术深度融合：几何画板的动态演示，使“形”的连续变化与“数”的即时计算同步呈现，让“不变性”（角相等、比