江苏省如皋市2025-2026学年高三年级上册第一次教学质量调研数学试题

江苏省如皋市2025-2026学年高三上学期第一次教学质量调研

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合八={x|ln（x—1产0},集合8=卜|丁-54+640},则AJ3=（）

A.（1,3]B.（-oo,3]C.（-＜o,6]D.{2}

2.设z=y：严»则z=（）

A.—1—iB.—1+iC.1+iD.1—i

3.“双曲线C：W-E=ll%＞0）的两渐近线夹角为F'是“a=3”的（）

A.充要条件B,充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

4.已知随机事件A3互相独立，满足P（A+8）=：,P（A|B）=1,则P（万|A1（）

5八11r9

A.—B.—C.——D.—

16162020

5.三棱锥A-BCO中，平面AAO_L平面ACO,△4笈。和△BCO均为等边三角形，见二面

角A—8C-。的余弦值是（）

6.函数/3=-尹2+匕一g在区间1,3上存在单调增区间，则k的取值范围是（）

A.2,*B.（2,+oo）C.[2,-KO）D.

7.已知圆。:（％+4）2+（），+3）2=1及4（0,。8（0,-〃）两点，心—+）,若圆C上任一点M,

都满足4M8＞方，则。的取值范围是（）

A.（0,4）B.[4,6]C.（4,+8）D.（6,+动

8.已知定义在[05上的函数/（可满足：Vxe[0』，都有/（1一同+〃力=2,且=

当04\＜々力时，有〃%）＜/（王），则焉]的值为（）

1

A.BD.

8-A64

二、多选题

9.已知函数〃x）=J"二下列说法正确的是（）

A./（兀）+八0）=/B./（x）为偶函数

C.当xeN时，〃x）＜/（x+l）D.若x/Z,则/（/（X））"

10.己知二项展开式（1—2x）Ms=a）+4X+生+。202sxM5,下列说法正确的是（）

A.4=T050B.q+&+6++%必=T

o2025

c.%+%+《+%++*=FD.2q+3a,+4a$+2025a202s=。

11.一个封闭的直三棱柱容器ABC-A冏G内装有高度为3的水（如图所示，底面处于水平

状态）.记水面为。，AC=8C=2,AC±BC,CC,=4,现以A8所在直线为旋转轴，将容器

逆时针旋转90。的过程中，下列说法正确的是（）

A.水面形状的变化依次为三角形，等腰梯形，矩形

B.水面可能是正三角形

c.当夕经过c时，。与面A8C的交线长为"

D.当逆时针旋转90。时，水面的面积为4忘

三、填空题

12.已知x＞0,）＞0,-+y=\t则x+2的最小值为

试卷第2页，共4页

13.已知。是坐标原点，抛物线C：y2=4x的焦点是尸，过尸的直线与C交于两点，

现将抛物线沿x轴翻折，则三棱锥V-。所体积的最大值为一.

14.小明同学有一个质地均匀的正四面体玩具，四个面分别标有数字1,2,3,4,现随机

抛掷，记录每次朝下的面上的数字，如果是数字4就停止，否则继续抛掷，至多抛3次.设

这儿次记录的最大数字为X,贝IJP（X=2）=—；E（X）=—.

四、解答题

15.为促进消费，扩大内需，江苏省体育局主办了2（）25年城市足球联赛，简称“苏超”,随

着赛事的进行，引发全省乃至全国人民的关注，城市旅游人数显著提升.下表是比赛五个月

来的某城市旅游人数）’（百万）与第x个月的数据:

X（月份）12345

y（人数）23578

（I）已知可用线性回归模型拟合）'与X的关系，请建立y关于X的线性回归方程;

⑵该市随机抽取了部分市民及游客，调查他们对赛事的关注情况，得到如下列联表:

性另IJ不关注赛事关注赛事

男性1?0380

女性80420

请依据小概率值々=0.010的独。:性检验，能否认为关注'苏超”赛事与性别有关.

.£（玉一初）广为n（ad-bc}2

参考公式：匕=J-----------,-菽，参=,»（八/）山八，其中

可2（a+〃）（c+d）（4+c）（b+d）

/=|

n=a+b+c+d.

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

16.已知函数f（》）=卜2-去-二）/.

⑴求/W的极值;

⑵若Vx£(0,*o),都有〃“4e-2,求攵的取值范围.

17.如图，在斜三棱柱ABC-48G中，AB=AC,侧面8由。6为矩形，A在底面ABC内

的射影为0.

(1)求证：40_1.8。且08=0。；

Q)若BC=OA=6OB,例=2g,AA与底面所成角的正切值为求直线4A到平面

纥3cq的距离.

18.某班准备在周六和周H两天分别进行一次环保志愿活动，分别由李老师和王老师负责通

知，已知该班共60名学生，每次活动需40人参加，假设李老师和王老师通过“家校通”平台

分别将通知独立、随机地发给60位学生家长中的40人，且保证所发通知都能收到.

⑴求该班甲同学家长收到李老师或王老师通知的概率；

(2)设该班乙同学家长收到通知的次数为X,求X的分布列及数学期望；

⑶设两次都收到通知的人数为变量y,则y的可能取值有哪些？并求出y取到其中哪一个值

的可能性最大？请说明理由.

19.已知椭圆G]+，=1(稣〃>0)的离心率为日，短轴长为2,椭圆G上有两点A8关

于原点对称，动点P与AB两点的连线分别交椭圆G于点C。，满足CA=2PC,DB=2PD-

(I)求椭圆G的方程；

(2)求动点P的轨迹方程：

⑶过〃点作椭圆G的两条切线(与坐标轴不垂直)，试探究两切线斜率乘枳是否为定值？

试卷第4页，共4页

《江苏省如皋市2025-2026学年高三上学期第一次教学质量调研数学试题》参考答案

题号12345678910

答案ABCACBDBBCACD

题号11

答案ABCI)

1.A

【分析】根据对数的性质化简集合A,结合一元二次不等式的解集及集合并集的概念即可求

解.

［详解】*.M={x|ln（x-l）<0}={x|0<x-l<l}={x|l<x<2},

B={^|x2-5x+6<0|=|A|（X-2）（X-3）<01={x|2<x<3},

:.=I<x<3}.

故选:A.

2.B

【分析】先根据复数的运算法则求复数z,再根据共加复数的概念求相

-=-，

【详解］-j5+ii«-i+i2-Tui（-H-i）（-l-i）=2"*

所以z=-1+i.

故选：B

3.C

【分析】根据双曲线的渐近线夹角为1•求出再根据必要不充分条件的概念进行判断.

【详解】双曲线。：，一手=1（〃>0）的两渐近线夹角为三，

所以=tan—=或且'=tan—=A/3,所以a=3或a=1.

a63a3

“a=3或a=1"是％=3"的必要不充分条件.

故选：C

4.A

【分析】根据独立性P（AB）=P（A）P（8）,则P（A|4）=P（4）=（,结合

?（A+8）=Q（A）+P（8）-P（A）尸（团得到P（8）=y,最后利用条件概率公式求解即可.

16

【详解】因为随机事件A8互相独立,所以P（AB）=P（A）尸（8）,

答案第1页，共15页

2

=P(A)=

则Wh箫5

P（A+B）=P（A）+P（5）-P（AB）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）

《I+P（,8、）-1/（,8、）q4,

解得尸（8）=*呼）=3P（AB）=P（A）P（5）=|XA=1,

喉IA卜曜=¥《.

'）P（A）116

5

故选:A.

5.C

【分析】结合题意与面面垂直的性质得到线面垂直，进而建立空间直角坐标系，求出相关点

的坐标和平面的法向量，利用二面角余弦值的向量求法求解即可.

【详解】如图，作出符合题意的图形，取8。的中点0,连接AO,CO,

因为△A6D和△48均为等边三角形，所以BO_LA。，BDLCO,

因为平面平面8c。，且AOu面A4O,所以〃，_1_面8。。，

则以0为原点建立空间直角黑标系，设"RD和△8C。的边长为2,

可得40.0,6）,5（0,-1,0）,C（75,0,0）,

得到A8=(0,—1,—G),AC=(VJ,O,—6),

n-AC=>/3x-V3z=0

设面48c的法向量为〃nj,y,z）,可得■

n-AB=-y-y/5z=0

令X=l,解得y=—G,z=l,故，2=(1,—6,1卜

易得面BCD的法向量为/=（0,0,1）,

答案第2页，共15页

设二面角人-8。一。为a.由图可知夕为锐角，

则8,。=输=七=当’故C正确.

故选：C

6.B

【分析】求导，根据题意得-储+6-1>0在区间］，3有解，即2>卜+甘，利用基木

1_2」kx）min

不等式求最值即可.

【详解】函数“X）定义域为（0,+8），小）…+4」=7+八7,

XX

因为函数/（X）在区间：，3上存在单调增区间，

所以r（力=―/+：（-］〉0在区间1,3有解，

即-/+日-1>0在区间；，3有解，

所以左>“+，在区间上能成立，故攵>「+1］,

又），=x+，22,当且仅当x=l时取等，所以k>2.

x

故选：B.

7.D

【分析】将“4M8：冶”转化成M4MB<0,得到点M（x,y）的坐标与实数。的关系，即

a2>x2+y2.

根据V+），2的几何意义求得其取值范围，可得到”的取值范围.

【详解】设点M（x,.V）,则M4=（-x,a-y）,MB=（-x,-a-y）.

若满足4MB：冶，则MA.MAvO,即Y+y?一/（〜即/>/卡/,所以/1+寸.

令/=旧+/，则t表示点M到坐标原点。的距离.

如图，当线段0M过圆心C时，|。叫最大，最大值为|0。+1=6.

所以。的取值范围是（6,十2）.

故选：D.a2>36

答案第3页，共15页

8.B

【分析】在等式卜"(6中，令x=0求出〃。)的值，在等式/(1一"+/(力=2中，利

用赋值法求出/(1)、的值，然后利用等式=结合赋值法求出

《高)的值，再结合表〈募〈系以及题设条件可求出了(去加值.

【详解】定义在[05上的函数/(X)满足：Vxe[o,l],都有〃I)+/(x)=2,且

同巧㈤,

(n\1

所以/-=-/(0),故"0)=0,

XZ2

在等式/(1_同+/'(力=2中，令x=l可得/(1)+/(。)=2,所以/(1)=2,

rOLlynkl

所以J

112512，(2514

/f—1=-,/f—x=1

1625J2JU25j8{3\25)21.625J16,

在等式〃l-x)+/")=2中，令x可得2/1；=2,所以/匕尸,

所以GHWT/阖TG9W、/岛上"(W

/0-1/0-1

11250J2(250J161

当OW芭＜电41时，有/(芭)4/(占).

又因为3125'2025"1250,且'(3125)425o)161故《2025)16'

故选：B.

9.BC

【分析】结合分段函数的解析式可判断AD选项;利用函数奇偶性的定义可判断B选项;

利用作差法可判断C选项.

答案第4页，共15页

【详解】因为/(x)=K'„，

l,x任Z

对于A选项,/(n)+/(O)=l+O2=I,A错;

对于B选项，当XWZ时，TWZ,则,f(T)=(T)2=工2=/(x),

当X任Z时,一工任Z,则〃T)=l=/(<),

所以，对任意的xwR，/(-x)=/(x),故函数/("为偶函数，B对；

对于C选项，当xeN时，X+1GN,

所以/(X+1)—/(x)=(x+l>-f=2X+121>0,故/(/)</(戈+1),C对；

对于D选项，若X任Z,则〃x)=l,此时/(/(x))=/⑴=『=],D错.

故选：BC.

10.ACD

25

【分析】令〃x)=(l-2x『=%+qx+%/+…+%025Km利用二项展开式通项可判断A

选项；利用赋值法可判断BC选项；求导尸卜)，结合赋值法可判断D选项.

2X2025

【详解】令/(X)=(1-2£产=%+〃/+a2x+■••+«2O25，

对于A选项，(1—2X)20”的展开式通项为q”=C，2S"QJ•(—2x)*=C垢•(—2p,

其中0K2K2025,ZwN,所以q==-2x2025=—4050,A对；

对于B选项，/=/(0)=l,

月〒以q+%+a3+…+42025=%++%+用H--Ha””~^(i~^(1)—1=(—0—1=-2,B错；

.羊八'牛市J/⑴=%+4+%+%+…+旬25=(1—2f=-1

'"']/(-1)=4一4+叼一呵+…一娱=(1+2广二？2023'

所以为+%+4+《+.+的侬=/0)；/(7)二言」，C对；

202422024

对于D选项，/(x)=^050(1-2.x)=«,+2a2x+3ayx++20256/^x,

故

2a2+3tt$+4%+2025a2心=4+2a?+3%+4a4+2025ax心一q=/'(1)+4050=-4050+4050=0

答案第5页，共15页

，D对.

故选：ACD.

II.ABCD

【分析】找到临界情况，利用等体积、体积转化，分析此时的情况，逐个选项判断即可.

33

【详解】A选项，水的体积〃=；匕8cG=1S械-CG=6,

16

v=^ABC-ABC~^C-ABC

lilill~3

所以当水面经过A4时，水面与棱eq相交，如图3,

当水面经过点c时，水面与面A4G相交，如图%

则在此之前水面形状均为三角形，

继续旋转直至90。之前，水面形状为等腰梯形，如图5,

转至90。时，水面形状为矩形，如图6,故A选项止确；

B选项，初始位置，如图1,DE=2O,DF=EF=2,

13

当水面经过A4时，如图3,此时匕Y4G=^匕叱.械G=：%.桎G，

所以G尸=（CG=3,DF=EF=BF=JBC；+CF=屈,

所以在转动过程中，存在DE=DF=EF,使得水面是正三角形，故B选项正确;

3

c选项，如图4,匕“四=^%_柳6,且由于△OEG与△A4G相似，

则;监=［尝］==,DE=®AB、=瓜,故c选项正确；

SAB£42

V

D选项，当逆时针旋转90°时，如图6,VI）ECI-GFC=^ABC-W^

且由于△QEG与△A8C相似，则*■=然=!，则。E=

则水面的面积为S而FG=DEDG=4yi,故D选项正确.

答案第6页，共15页

图3

图6

12.8

【分析】利用基本不等式“1”的妙用进行求解.

2

【详解】x>O,yX),且-+)，=1,

x

42

当且仅当心=一，即外=2时，等号成立，又一+)，=1,

町x

12

故x=4,)，=彳时，等号成立，所以x+—的最小值为8.

2y

故答案为：8

y2=4x

【分析】易知直线MN的斜率必不为0,故设直线MN：x=，%Y+l.联立方程组,।

x=my+1

消去x并整理得＞12-4〃9-4=0.设M(%,)，37伍，X)，则,,为二T.设抛物线沿x轴翻

折后点M到平面OFN的距离为h,则根据h41yl及三棱锥体积公式即可求解.

【详解】抛物线Uy2=4x的焦点为*1,()).

易知直线的斜率必不为U,故设直线MN：x=〃少+1.

答案第7页，共15页

V2=41

联立方程组,消去X并整理得)尸-4加)，-4=0.

x=tny+1

4

设N(孙％)，则y+M=4〃?，yrJ2=-

设抛物线沿工轴翻折后点M到平面o/w的距离为"，见〃w|y|,

2

故答案为:

3

755

14.

64

【分析】求出X的可能取值和对应的概率，从而计算出期望值，得到答案.

【详解】X的可能取值为1,2,3,4,

X=\,即抛掷3次，朝下的面上的数字均为1,

抛掷3次，朝下的面上的数字共有4、=64种情况,

故…哈,

X=2,即抛掷3次，朝下的面上的数字中,最大数字为2,

分有1个2,2个2和3个2三种情况,

C；+C；+C；_7

故尸(X=2)=

6464

X=3,即抛掷3次，朝下的面上的数字中,最大数字为3,

分有I个3,2个3和3个3三种情况,

22C；+2C；+C；19

故p(X=3)=------------------------•

6464

X=4,抛掷1次，朝下的面上的数字为4,此时概率为“

313

或抛掷2次,第二次朝下的面上的数字为*此时概率为二正,

抛掷3次，第三次朝下的面上的数字为4,此时概率为S'；*

,,„/八13937

故。(Xv=4)=-+—+—=—；

74166464

心“，1c7c19〃3755

故EX=lx—+2x—+3x—+4x—=—

6464646416

故答案为：—,—.

6416

答案第8页，共15页

15.(l)y=1.6x+0.2

(2)能,理由见解析

【分析】（1）求出；、S的值，结合最小二乘法公式求巴人、〃，即可得出线性回归方程；

（2）零假设“°：关注“苏超”赛事与性别无关，计算出/的观测值，结合临界值表可得出结

论.

【详解】（1）由表格中的数据可得X=-----------------=3,y=------------------=5,

所以

5

阵YV'一为二（1-3）（2-5）+（2-3）（3-5）+（3-3）（5-5）+（4-3）（7-5）+（5-3）（8-5）=]6

£（一）2（I）:+（2一3丫+（3-3）2+（”3）2+（5-3『'

r=l

a=y-bx=5-3x16=0.2,

故）'关于X的线性回归方程为尸1.6X+0.2.

（2）零假设“。：关注“苏超”赛事与性别无关,

1000x(120x420-80x380f

由表格中的数据可得/==10>x=6.635»

200x800x500x50000K)

依据小概率值a=0.010的独立性检验，能认为关注“苏超”赛事与性别有关.

16.⑴极小值为/（2）=-Fe,极大值为/（-2攵）=5二eT

【分析】（1）对实数々的取值进行分类讨论，利用导数分析函数/（"的单调性，可得出该

函数的极小值和极大值；

（2）对实数"勺取值进行分类讨论，分析函数“X）在（0,*）上的单调性，在A<0时，可

得出可求LU的取值范围;在40时,根据〃2八I）*」得出矛盾.综合可

得出实数攵的取值范围.

【详解】（1）由题意可知女工0,且〃力=卜2

答案第9页，共15页

2222

「「I、I\/r7x-kx-kJx+kx-2kJ(%—£)(x+2”)J

所以/(x)=(2x-*)e«+---------eA=-----------e*-----------泊,

当火<0时，—2k>0,列表如下:

X（-8次）k(k,-2k)-2k[-2k,+00)

/'（X）—0+0一

减极小值增极大值减

此时，函数/（力的极小值为/（k）=-炉e,极大值为/（-2火）=5右/；

当无>0时，-2A<0,列表如下：

X(一8,-24)-2k(~2k,k)k（怎+8）

小）+0—0+

/(x)增极大值减极小值增

此时，函数/（X）的极小值为〃攵）=-&%,极大值为/（-2。=5〃匕2.

综上所述，函数“X）的极小值为/化）=-攵3极大值为/（-2左）=5公葭.

（2）当ZvO时,由（1）可知函数f（x）在（0,-2&）上单调递增,在（-2太+8）上单调递减,

若VXG（0,+^），都有/（x）We9,只需f（-2k）=5k2e2<e2，即对《i,解得一>«心》,

此时-@“<0;

5

当A>0时，由⑴可知函数f（x）在（0次）上单调递减，在（%,+8）上单调递增,

因为了（2&+1）=［（2攵+1/一左（2攵+1）—A1ek=（/+3攵+1上丁>e2>e_2，

与题设条件矛盾.

综上所述，实数k的取值范围是一冬0.

./

17.⑴见解析

答案第10页，共15页

【分析】（1）由题知•平面ABC,得到AOL8C,结合BA18C即可证得8c，平面

AA0,得到AO_LBC,,4。上BC,结合AB=AC即可得到OB=OC；

（2）由平面ABC,则幺A。就是9与底面所成角，则COS/A4O=当=*，得

A43

到AO=2五，再利用邓体积法求点到面的距离即可.

【详解】（1）连接AO并延长交8c于点。，连接A3,ACA。，

因为人।在底面ABC内的射影为O,

所以A0_L平面A8C,则AO_L4C,

又因为侧面43CG为矩形，

所以8B|_LBC,而8BJA44，所以AA~L8C,

由于AOAA=A，AO,AAu平面4AO，

所以BCJ_平面AA。，

又因为AOu平面4A。，所以AO_LAC,即AOSBC,

因为A8=AC,AD1BC,所以。为8。中点，

则A。为4C的垂直平分线，

所以OB=OC,

因此，4O_LBC且08=。。得证：

（2）由（1）知平面A8C,已知BC=Q4=&OB,A4,=273,

则ZAAO就是AA与底面所成角，其正切值为*,余弦值为亚，

23

/…八A°A°几日l

cosZ/4,^O=—=—7==—,解得AO=2近，

M2/33

答案第11页，共15页

则AO=2,8C=2a,O8=2,

/.OD=dOB'-BD，=4i,AD=3及,

=1x1x272x372x2=4,

设点A到平面B、BCC’的距离为〃，

4

匕me=gSHftiCh=gxgx2必2®=匕、_八“=，

解得h=娓,

又易得AA〃平面43CG，

所以到平面43CG的距离为遥.

1Q

18.⑴1丁§

、4

⑵分布列见解析，E(X)=§

(3)y取至IJ27的可能性最大

【分析】(1)先求出甲同学家长未收到通知的概率，再利用对立事件概率公式求解；

(2)确定X的可能取值，分别计算各取值的概率，进而得到分布列和数学期望；

(3)先确定y的可能取值，再根据超几何概率公式，结合作商法确定单调性，即可分析y取

到最大值的情况.

【详解】(1)李老师通知40人，甲同学家长未收到李老师通知的概率为?=：,

603

2()I

王老师通知40人，甲同学家长未收到王老师通知的概率也为?=彳，

6。3

因为李老师和王老师发通知是独立事件，

1

所以甲同学家长未收到李老师和王老师通知的概率为gxg

9-

所以甲同学家长收到李老师或王老师通知的概率为1-^=-;

(2)X表示乙同学家长收到通知的次数，X的可能取值为0,1,2,

P(X=0)=2=",

I24

P(X=l)=2x-x-=-,

'7339

P(X=2)=|x|g

答案第12页，共15页

所以分布列为:

X012

44

P

909

1444

期望七（X）=0x-+lx_+2x-=—;

「9993

(3)y表示两次都收到通知的人数，y的可能取值为20,21,22,…，40,

设丫二女，则?(丫=火)

p（y=z+i）（4。-欠）（40-攵）

所以

P（Y=k）（%+1）（女一19）

令?(丫-一^人十解1)得入在1619口”，

pl「40-女

*』)二笔匚

所以2426时,单调递增,

^60

rA040-£

心27时，。(丫=攵)=建/单调递减，

［。=27)_(40-26『J96小

P(y=26)(26