江苏省无锡市某中学2025-2026学年高三年级上册9月测试数学试题

江苏省无锡市第一中学2025-2026学年高三上学期9月测试数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知i为虚数单位，若z(l+i)=2+4i,则目=()

A.2MB.Vio

C.4>/2D.2x/2

2.已知向量d=(0/)石=(l,k).若向量，+〃在向量。上的投影向量为5。，则4=()

13

A.-1B.-C.1D.一

22

3.设则“馆(〃+〃)>0”是"联")>0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知a+/7=m，tanatan/y=7,则cos(a-0=()

A.在B.也

33

C.-D.-

44

5.若两个正实数X,y满足4X+)，=2Q，，且不等式x+：〈川-〃?有解，则实数，〃的取值范

4

围是()

A.-\<m<2B.m<-2,或〃？>1

C.-2<m<\D.m<-\f或6>2

6.若a=(sinl)""，b=(tanlc=logcosltanI,则“，b,c的大小关系是()

A.c<a<bB.a<c<bC.c<b<aD.a<b<c

二、多选题

7.已知等差数列｛《〃?｝的前n项和为Sm公差d声0,之工I.记b)=S2,bg=Szn+2—Szn,nWN",

a

卜列等式可能成立的是()

A.2a4=a2~\~a6B.2b4=bz+b6

C.=42徽D.b；=b2b8

三、单选题

8.在VA3C中，角AB,C的对边分别是。也c,且2acos6=c—a,则七学的最小值为()

b

A.2B.2>/2C.4D.472

四、多选题

9.已知函数/(x)=ACOS(3T+0)(A>O,69>O,O<0<71)的部分图象如图所示，令

g(x)=f(x)-cos2xf则()

加

-73

A.g(x)的一个对称中心是(2,0)

B.g(x)的对称轴方程为期eZ)

C.g(力在0b上的值域为

D.g(x)的单调递减区间为也-“兀+三(keZ)

10.已知定义域为R的偶函数f(x)满足〃％+2)=-〃-力,当x«l,2］时f(x)=2*-2,

则下列结论正确的有()

A./(-1)=0

B./(力的图象关于点(3,0)成中心对称

C./(2024)>/(2025)

口,岛

试卷第2页，共4页

11.已知函数/（X）=e2，-奴2（“为常数），则下列结论王确的有（）

A.当a=l时，/（力之0恒成立

B.若/（X）有3个零点，则。的取值范围为（T,+8）

C.当〃=:时./（X）有唯一零点小且一1＜为＜一;

4乙

D.当…2时,X=1是/（X）的极值点

五、填空题

12.已知函数/（力=。geR）为奇函数，则实数。的值为______.

乙—I

13.若sin（a—20）='则8s（2。+140）=.

14.设等差数列｛%｝的前〃项和为工,1=-2,工+1=0,1.2=3,则正整数k的值为

六、解答题

八，1八八，.、」八广…「，b1+c,2-cr2sin5-sinA

15.VA8C的内角4,B.C的对边分别为。，b,c,已知----——=----———.

absinA

⑴求。的大小；

/-49

⑵若VA8C面积为6石，外接圆面积为7兀，求VABC周长.

16.在平行四边形A4C。中，A8=2,AO=1,民尸分别为8C,8的中点，点P在线段DE

上运动

（1）当P为0E中点时，设A户=24月+/M方（4"wR）,求才+〃的值；

（2）若/B4O=60,求丽・荷的取值范围.

17.已知函数/（x）=log,”（x-/〃）+log,”（x-2w）（m＞0且MH1）.

（1）若对于任意的m4问,都有“于W1,求实数机的取值范围；

⑵在（1）的条件下，是否存在。，〃€（券，+8],使/（%）在区间[a网上的值域是

[logw/7,log^]?若存在，求实数，〃的取值范围：若不存在，说明理由.

b

18.已知数列｛q,｝,｛2｝,｛。｝中，%=瓦=q=1,cn=勺+i-%=产•c“(〃eN”).

外.2

(I)若数列｛〃,,｝为等比数列，且公比。0,且4+为=6仇，求^与｛3｝的通项公式；

(II)若数列｛”,｝为等差数列，且公差4>0,证明：C.+G1+1(neN*)

a

19.已知函数/。)=竿二双幻=区+21峻+,.

\nxx

⑴当b=T时,求8。)的单调区间;

⑵若/*)<1在。，+8)上恒成立，求实数〃的取值范围：

(3)帕德近似(padeapproximation)是数学中常用的一种将三角函数、指数函数、对数函数等

“超越函数”在一定范围内用“有理函数”近似表示的方法，比如在x=l附近，可以用

--------近似表示Inr.当x>0且x。1时，试比较\nx与--------的大小.

JC+4X+1X'+4x+l

试卷第4页，共4页

《江苏省无锡市第一中学2025-2026学年高三上学期9月测试数学试题》参考答案

题号12345678910

答案BBBBDAABCBABDABD

题号11

答案BCD

1.B

【分析】根据复数运算法则求出z,再根据豆数模的公式求解即可.

2+4i(2+4i)(l-i)2-2i+4i-4i2

【详解】由z(l+i)=2+4i,则“h」：——3—=3+i,

1+1(1+1)(1-I)I-r

所以国=行不=质.

故选：B.

2.B

【分析】根据向量的数量积的坐标表示和向量模的公式以及投影向量的公式进行求解即可.

【详解】因为向量值=(0,1)出=(1次)，所以"5=(1,攵+1).

所以向量％+方在向量〃上的投影向量为：

3

黄(a+b\a。=(g”=5万.

所以A+I=|,解得&=今

故选：B.

3.B

【分析】将对数不等式进行等价变换，结合。>0,〃>(),可判断。+〃，必的取值范围，

从而判断lg(a+b)与1g(而)的关系.

【详解】因为恒(4+人)>00恒(。+〃)>也1。。+/2>1,又4>0.〃>。，

所以4+〃之2而>1,当且仅当。=8时取等号，即面>:,

4

乂lg(«/?)>()<=>lg(6/Z?)>1g1<=>6/Z?>1,

所以Ra；不能推出而>1,所以lg(a+»>0是电卜心)>。的不充分条件;

又">1n">；,所以1g(a+与>0是1g(而)>0的必要条件，

所以lg(a+6)>0是1g(而)>0的必要不充分条件.

答案第1页，共14页

故选：B.

4.B

【分析】根据同角三角函数关系和和角的余弦公式得到方程组，联立求出cosacos/?=瞪

sinasin/?=\，，再由差角的余弦公式得到答案.

［详解】因为tanatan/?=asin7,则sinasin/?=7cosacos4(1),

cosacos/)

由a+/?=¥，可得cos(a+/7)=-孝^所以85185/7-$巾〃$巾"=一］^

(2),

将(1)代入上式，cosacos夕-7cosacos夕=一^^,UPcosacosp=»

代入(2),可得5皿15皿£=783085/7=、^，

故cos(a-/7)=cosacos/y+sinasinp=+~~='

故选：B

5.D

【分析】应用基本不等式求出(X+?)min，不等式4+?</-，〃有解，只需"+

即可.

【详解】因为正实数X,y满足4x+y=2个，，

41

所以一+—=2,

4ry41X=—

当且仅当一=:且一+―=2,即2时等号成立.

y©)「卜=3

因为不等式x+g<〃J-〃?有解，

4

所以只需(X+'n<〃即加一心2即可，

所以/〃<一1或机>2.

故选：D

6.A

【分析】根据二角函数单调性可得0<8sl<sinl<lvtanl,结合指数函数、对数函数单调

答案第2页，共14页

性分析判断.

【详解】因为le»则cosl“；,—tanlw(l,百)，

即0vcos1<sin1<1<Um1,

lanl

则0<(sinl)<1,(tan1：产>1,log,0s?tan1<0,

即10glJMtan1<0<(sin1<1<(tan1片,所以cvav1.

故选：A.

7.ABC

【分析】由已知可得｛历7｝为等差数列，然后由等差中项的定义可判断AB,时于CD,力等

差数列的通项公式化简计算结合已知条件判断即可，

【详解】由题意，知4=S2=a/+〃2,

bn+i=S2n+2-S2n=am+i+ain+2,

可得bn=a2ii-/+a2n[n>1,〃£N").

由｛“〃｝为等差数列，可知【〃〃｝为等差数列.

选项A中，由a为42,的等差中项，得2a4=42+。6，成立.

选项B中，由儿为历，儿的等差中项，得2儿=历+儿，成立.

选项C中，中，42=a/+d,”4=a/+3d,as=a/+7d.

由a；=ci2as,可得(a/+3t/)2=(a/+")(a/+7〃)，

化简得aid=d2,

又由存0,可得a/=d,符合9WL,成立.

a

选项D中，岳=。3+。4=2。/+54,历=。7+〃8=2〃/+13d,

bs=ai5-\-ai6=2ai+29d.

由bj=b2b8,知(2a/+13d)2=(2a/+5A2a/+2%7),

化简得2aid=3d

又由存0,可得今="

d2

这与已知条件矛盾.

a

故选：ABC

答案第3页，共14页

8.B

【分析】利用余弦定理化带为边，再通过换元转化为分式函数g")=厂+”+4,变形后利用

t

基本不等式求最值求解可得.

【详解】由余弦定理得cos8=巴汇—,代入2«cos8=c-a得，

2ac

ca2+c2-b2a2+c2-b2

2a--------------=--------------=c-a,

2acc

贝I)a2+c2-b2=c2-ac>8Pb2=a2+ac，

fc+V_c2+6«c+9«2_c2+6tzc+9a2_(fl)+，a”

22

I.Z?Jba+ac，+£

a

令l+£=r,/>1,

a

,、(r-1)2+6(r-l)+9r+4r+44.,l_4

贝ri1iljlg(r)--——-————--------------r+y+4^2Jry+A4-8o,

当且仅当，=£时，/=2,即4=。时等号成立，

t

此时，〃=c,cosB=0,即B=VA6c为等腰直角三角形时，

且*取到最小值2VL

b

故选：B.

9.ABD

【分析】观察图象确定〃”的最小值，周期求人。，结合对称性可得函数/(“过点

(咤，闾由此可求。，通过三角恒等变换求g(%),验证住，。)是否为g(x)的对称中心判

断A,求g(x)的对称轴判断B,由条件求2x+方的范围，结合余弦函数性质判断C,结合

余弦函数性质求函数g(x)的单调递减区间判断D.

【详解】由题图可得函数/(x)=Acos®x+e)的最小值为一G，1一卜目弓二>

十27rl

又A>0,0>0,T~同，所以4=V3,3=2,

答案第4页，共14页

所以,f(x)=Geos\2x+

所以g(x)=/(x)-cos2x=>/3cosf2x+-^1-cos2x=cos2x-—sin2x-cos2x,

2

所以g(x)=gcos2x一日sin2x=cos(2x+[

对于A,当x=2，8围=叫＞?=0,所以哈()J是g("的一个对称中心，故A

正确；

对于B,令2x+1=E,keZ,可得犬="一?，keZ,故g(X)的对称轴方程为犬="一?，

32626

kwZ,故B正确；

对于C,xG0,y时，+，所以8s(2x+g)w-L；,故g(x)在0,y上的

值域为-1，，故c错误；

对于D,令2人兀〈2工+£《江+24九伏©Z),解得一色+EVxK色+女兀(ZcZ),

363

所以g(x)的单调递减区间为仄-“兀+方(hZ),故D正确.

故选：ABD.

10.ABD

【分析】对A,利用赋值法再结合偶函数即可求解；对B,先推出了("的周期，再结合中

心对称的结论即可求解；对C,利用周期性即可求解；对D,利用函数的奇偶性，单调性,

再结合函数的对称性即可求解.

【详解】对A,满足/(工+2)=-/(一”,

令x=-l,

则/。)二一/(1)，即/(1)=()，

又・・・〃力为偶函数，.•.〃T)=〃l)=0,故A对;

对B,•.•/(X+2)=-/(7)=-〃X),

/(x+4)=-f(x+2)=/(x),

故的周期7=4,

答案第5页，共14页

再根据/(x+2)=-/(-x),即/(x+6)=-/(-x),

・•.f(x)的图象关于点(3,0)成中心对称,故B对;

对C,由B知:/(》)的周期T=4,

故/(2024)=/(506x4)=〃0),

v/(x+2)=-/(-x),

令x=O,

则〃2)=-〃0),

又・・•当xw(l,2］时=

,-./(2)=22-2=2,

即/(。)=-/(2)=-2,

即〃2024)=/(0)=-2,

/(2025)=/(506x4+l)=/(l)=0,

故〃2024)v/(2025),故C错误；

对D,/(X)满足了"+2)=-/(—力，

・.J(x)关于(1,0)中心对称，

又•.•当xe(l,2］时f(x)=2'-2,

・・J(x)在［0,2］上单调递增;

<1A1「

当x=0时，/(())=-2</；=22-2=>/2-2,

当户0时,・・・/(x)为偶函数，

答案第6页，共14页

当且仅当凶=同时,即x=l时等号成立,

故D对.

x2+1;

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：解答此类有关函数性质的题目，关键点在于要结合函数性质，利用赋

值法以及代换法，推出函数相应的性质.

II.BCD

【分析】根据/(-l)=e-2—l<(),可判定A错误；根据题意，转化为g(x)=学与y的

图象有3个交点，利用导数求得函数g(x)的单调性与极值，可判定B正确；当。=g时，得

到

r(x”。，函数/(x)单调递增，结合/(—1)•/(■—)<o,可判定c正确；当a=e?时，得到

r(^)=2(e2v-e2x),的函数/")的单调性，结合极值点的定义，可判定D正确.

【详解】对于A中，当〃=1时，可得/(》)=/-/,则/(_i)=e-2-l<0,所以A错误;

对于B中，若函数〃x)=e2，-加有3个零点，即小二加有三个解,

其中x=0时，显然不是方程的根,

当人工0时，转化为&(x)=3与丁=。的图象有3个交点,

又由g'(x)=

令g〈x)〉0,解得x<0或x>l；令g'(%)<0,解得0<.EVl,

所以函数g(x)在(-8,0),(|,e)上单调递增，在(0,1)上单调递减；

所以当x=l时，函数g(6取得极小值，极小值为g(x)=e2,

又由xfO时，g(x)f+处所以即实数。的取值范围为卜2,+8),所以B正确；

对于C中，当a=g时，.f'(M=2』，—x=2(e2x-gx),

设〃(x)=e2'_gx,可得"(x)=2e2，_；,

当x<lng时，/f(x)<0,在(ro,In；)单调递减；当x>lng时，/f(x)>0,在

答案第7页，共14页

ln；,+oo］单调递增,

所以当户呜时,/\(12lnl

M'L叫叼=e--llnl=l+l|n2>0所以力(x)NO,

2242

所以r(x)NO,所以函数)(4)在R上单调递增,

又因为/(-1)=e-2-4<0,f(一4)=e"-：>0,即/•(_1)./・(_4)<0,

22K2

所以〃X)有唯一零点X。且-1<莅<-3,所以C正确；

对于D中,当ye?时，/(司二©2'-金/，可得/⑺二比一一?©2%=//^?X),

当0＜工＜1时，/(力＜0,〃力在(0,1)单调递减;当”＞1时,r(x)＞0,〃力在(L+oo)单

调递增，

所以x=l是“X)的极小值点，所以D正确.

故选：BCD.

【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解：

2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

3、利用可分离变显，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分

离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就

要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.

12.--/-0.5

2

【分析】根据f(r)=-/(H得到方程,求出答案.

【详解】由题意得/(一幻=一/(“，即。一\=_。+六，

cI1III21

..2。=-----1---------=--------+-------=---------1--------=—1

故2、-12x-\2V-11.2V-1l-2v，

--------I

2X

解得。=-；.

故答案为：

答案第8页，共14页

【分析】首先正切化为正弦和余弦，再利用辅助角和二倍角公式化简得到sin（c-20）=-

再利用角的变换表示（2。+140）=2（。-20）+180。，最后利用三角函数二倍角公式，即可求

解.

•/sin20sin20cos20sin20cos20

sina-20=------------尸=--------尸-----=「-----------尸------7

【详解】根据题意，'*7*tan20->/3sin20-辰os20Jl.”6仙|

2—sm20------cos20

\22/

sin20cos20sin20cos20Qsin40）

2sin（-40）-2sin40-2sin404

cos（2a+140）=cos12（a-20）+180=-cos2（a-20）］

=-［l-2sin2（a-20）］=-1—2x（—：）=-^.

7

故答案为：-1

o

14.4

【分析】借助数列应与S”的关系，结合等差数列通项公式与求和公式计算即可得.

【详解】=4+2=3-0=3,SM-Sk=aM=0-(-2)=2,

则公差，/=4+2-4+1=3-2=1,则《=4+|々=2-1=1,

有q=ak-(k-\)d=1-Ar+1=2-k,

.(67.+a1.\"k”](2—A+l)•我

又5"kJ__£2__2,则^-------^-=-2,

2=2

化简得六一3"4=("4"+l)=(),解得&=4或Z=—l(负值舍去)，

故正整数上的值为4.

故笞案为：4.

15.(Dy

⑵18

2s

【分析】(1)由正弦定理，"一+[T=mB一:11』可化为疝=0+,再由余弦定

absinA

理得cosC=1，即可得到C；

答案第9页，共14页

（2）由外接圆面积，得/?=芷，再由正弦定理可得c=7，由VA8C面积公式，可得必=24,

3

再由余弦定理，可得。+匕=11,即可求得VA4C周长.

221

z、b+c-a2sinB-sinA2b-a

【详解】（I）：----;一=———;—=----,

absinAa

：.ab=Z?~+Q~—c~»

b2ia2

VCG(O,兀),

（2）设VAAC外接圆的半径为R,

由加二兀叱二号兀，得A=2^,

所以必二24,

y,c2=b2+a2-ab=(a+b)2-3ab,

所以49=(。+份2—72,

故a+〃=l1,

所以“8C周氏。+Z?+c=18.

16.(1)1

一I一3__13

【分析】（I）根据平面向量基本定理得到八八A+力.求出2=],〃=；,得到答案:

（2）表达出所^^+耳福，设府=f诙，0</<1,表达出4户=/A月+1-3/AD,

\乙）

并求出力•%=1，从而求出不》/=当+]，结合04Y1,求出取值范围.

42

【详解】（1）当“为OE中点时，AP=^AD+^AEt

又E分别为8c的中点，所以悲=血+而=血+1比=A"+!AQ'

答案第10页，共14页

…13.135

故％=5，〃=W，A+//=-+-=-；

(2)产为CD的中点，故A7=A/5+O户=AZ5+?A8,

2

点尸在线段OE上运动，设。户=/£>后，0</<1,

故而一而=/（而一标），Ep/lP=ME+（l-r)>4D=/xB+^AD^+(l-Z)AD

=/（而+（而）+（17）而二证+

,所以A3AZ5=1同皿cos60o=2xlxg=l

因为A〃=2,AD=1,N6AD=60

则4户•标=tAB^\~t^D-^AD+^AB^

ABAD

---------933is

因为OWfW］,所以八产八尸二^^十/仁

17.(1)^</H<1

（2）不存在，理由见解析

【分析】（1）根据对数函数性质求得fM在@〃,4词上的最大值/（x）max,由/a）皿«1计算

即可得;

（2）由对数函数单调性问题转化为一元二次方程在（竽,+8）上有两个不等实根，由一元二

次方程根的分布知识求解却可得.

【详解】（1）对于任意的X«3〃?,4间，都有f（x）<1,等价于/（A-）mttX<I,

22

f（X）=logOT［（x-m）（x-2m）］=logm（x-3mx+2m）（J€［3/n,4m］）,

设/=/-3〃0+2"，

答案第11页，共14页

则，在［3m,4M上是增函数,下面按照），=log,/的单调性分类讨论：

当时，/a）在⑶儿4，川上递减，则/（力心=/（3加）=1。8,“（2>）<1,解得;,

当〃?>1时，/（X）在［3也4〃?］上递增，贝lj/（x）au/eMnlogwW/bl,解得OvmW：与

矛盾,故舍去;

综上，

（2）・・・g4〃?<l,在（当,+8）上递减，

./（a）=log/［（a-m）（a-2m）=a

••［/（£）=1呜，［（£一加）（6一2m）=6'

即关于X方程（x-M（x-2M=x在仔,+"）上有两个不等的实根，

设/?（x）=（x"?）（x2〃?）x=x2（3〃？Il）xI2”产，

屋机<1［-<w<l

2,2

A=（3〃?+1）2-8〃/>0nr+6in+1>0

3/勿+15m，即，1=>me0.

----->—m<—

222

.(5m)10

川——>0m>—

3

综上，不存在这样的。，4满足条件.

14"-1+2

18.（I）t7=-,«=——^.；（II）证明见解析.

23

【分析】（I）根据4+打=64,求得9,进而求得数列｛%｝的通项公式，利用累加法求得数

列｛〃”｝的通项公式.

（II）利用累乘法求得数列｛%｝的表达式，结合裂项求和法证得不等式成士.

【详解】（I）依题意4=1也=。也=/，而a+4=6仄，即1+^=6^,由于4>0,所以解

得q=；，所以2二£•

乙乙

1

I^yn-\

所以4+2=而，故％+1=2r・g=4<,,所以数列｛%｝是首项为1,公比为4的等比数列，

2"+1

所以。"二4"，

答案第12页，共14页

所以%「4=与=41C?N2,〃eN〃).

所以4=4+1+4+—+4"2=21__^,又〃=1,q=1符合,

3

u-+2

故a”:---------•

3

(II)依题意设d=1+(〃-1)4二出+1-〃，由于*曰二白，

C"4+2

(、/■)

所以工=看(〃之2,〃eN'),

Cn-\"n+l

如"_JC“TqG「Jibn2*b2h]

"%c“2c?c,b〃.\bnb,ib,&

_d_+_\x__d_=_d__+_\x____d___—I.

—（T卜之dh}b2~dlx(d+l)_*

L)-(r7>1)

故G=1+=dJla%17

1111IJ___1_

所以q+c?+…+%=1+