江苏省镇江市2025-2026学年高三年级上册期初监测数学试题

江苏省镇江市2025-2026学年高三上学期期初监测数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合M={—1,0,|},N={0J2},则M=N=

A.{-1,0,1}B.{-1,0,1,2)C.{7,0,2}D.{0,1(

2.“a>b”是"/>/产，的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

3.下列函数为偶函数是()

A.f(x)=T-2~xB.=

八,2J

2

C.f(x)=x\n(x+>Jx2+\j

D.f(x)=-x3+x3

4.已知随机变量g~N(2,b”P(g<0)=0.2,则尸(2<f<4)=()

A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2

5.已知x>0,)>0,且2上+)，=2孙，则x+y的最小值为()

A.-B.—C.2>/2D.—F\/2

422

6.已知平面。的一个法向量”=(—2,—2,1),点A(—l,3,0)在平面。内，则点夕(一2,1,4)到平

面a的距离为()

A.—B.—C.5D.10

33

7.已知函数=+则/")的值域为()

A.[1,行]B.[V2,2]C.[#,24]D.[2&,3力]

8.已知对于DxyeR,恒有/(、+)，)="耳+/()，)，且当x>0时，/(x)<0.对于V/eR,

不等式/(e')+/(〃)<0恒成立，则实数。的取值范围为()

A.f-,0B.(-e,0]C.(y'y)

D.(-e,+e)

二、多选题

9.下列求导结果正确的有（）

A.（e2+X）,=e2+1

D.(/cosx)=2.rcosjt-x2sin.r

10.某农业研究部门在面枳相等的100块稻田上种植同一种新型水稻，得到各块稻田的亩产

量与田块数的关系（单位：kg）,并整理下表

亩

产[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1100)[1100,1150)[1150J200)

量

田

块61218302410

数

据表中数据，下列结论正确的是（）

A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kg

B.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例低于70%

C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间

D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间

II.边长为1的正方体48。。—AMG2中，向量=人。+zM6，y，zw[0』），则

（）

A.若冲ZH0,则存在点P,有

B.若x=z,则

C.若V+）,2+z2=|,则PG的最小值为G—1

D.若x+y+z=l,则三棱锥尸的体积为定值;

三、填空题

12.已知的取值如下表:

试卷第2页，共4页

X0134

y44.55.56

从散点图分析，丁与“线性相关，且回归方程为£=。.5/+4,则。=.

13.某数学兴趣小组的6名同学排成一排照相，其中甲、乙两名同学必须彼此相邻，丙不在

队伍两头的安排方式共有(用数字作答)种.

14.商场为了迎接促销，举办抽奖活动，奖池内有编号为1-4的大小相同、质地均匀的4

个乒乓球.乒乓球上的编号对应着获奖等级：一等奖、二等奖、三等奖、四等奖(鼓励奖).

规则是：每人可连续抽奖2次，每次抽完后将乒乓球放回奖池，记第i次抽到的奖品等级为

=某顾客第一次没有抽到一等奖，且第二次抽到一等奖的概率是；用

Z=\X2-X\表示“两次抽到的等级差”，则Z的数学期望为.

四、解答题

15.已知函数=-21一3班.

⑴求/(X)在X=1处的切线方程；

(2)当上£1,4,求/(x)的最值.

16.已知=

2

(I)当〃=10时，f(x)=a0+a}x+a2x+求中的最大值；

⑵若/(工)=〃。+伪(工+1)+/?2。+1)2+・・,+包3+1)",求£也.

,二0

17.已知函数，(力=f-2"+5(。>1).

(1)若/(*•)的定义域和值域均是[IM],求实数〃的值；

⑵若g(x)=|/3|+/(IM)，对任意的xw[-U]都有g(x)>0恒成立,求实数”的取值范围.

18.2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利8()周年阅兵式在天

安门广场隆重举行.某部队观看阅兵史播结束后，就举行了射击比赛.每个参赛队由两名战士

组成，比赛分为两个阶段.比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名战士射击3次，若3

次都未射中靶子，则该队被淘汰，比赛成绩为。分；若至少射中靶子一次，则该队进入第二

阶段.第二阶段由该队的另一名战士射击3次，每次射中靶子得5分，未射中靶子得()分.该

队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名战士组成，甲每次射中靶子的概

率为P,乙每次射中靶子的概率为4,各次射击中靶与否均相互独立.

(1)若〃=0.5,4=0.6,甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.

(2)假设,

(i)在比赛成绩中，为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由哪位战士

参加第一阶段比赛？

(ii)在比赛成绩中，为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由哪位战士参加

第一阶段比赛？

19.已知四棱锥尸-A8C。的底面是边长为1的正方形，其中P4HpC,二面角8-尸。-4的

大小为60",平面尸Z汨，平面PAC.

⑴证明：PA1BD；

(2)若Q4=l,求直线PA与平面PCD所成角的大小；

(3)如图，若丛_LA3,平面PADc平面PBC=/,Q为/上一动点.平面ABQ与平面CD。夹角

的大小为6，求cos。的最小值.

试卷第4页，共4页

《江苏省镇江市2025-2026学年高三上学期期初监测数学试题》参考答案

题号12345678910

答案BDCCDACBBDBC

题号11

答案BC

1.B

【详解】试题分析：由题意如MJN={1,0,1,2},故选B.

【考点定位】本题考查集合的基本运算，属了容易题.

2.D

【分析】利用充分条件和必要条件的定义求解即可.

【详解】当。=1,〃=-2时，满足此时"〈/A

当。=-2,〃=1时，满足t?>〃，此时a<b,

所以是"/>〃，，的既不充分又不必要条件，

故选：D

3.C

【分析】根据指、对数函数奇偶性的定义判断各选项即可.

【详解】对于A,函数的定义域为R,〃T)=2T-2'=-f(x),所以/(%)为奇函数，故

A错误；

对于B,由2-1/0可得X/0,所以函数的定义域为(—,0)=(0,go),

/(-力=与巴=里=-/(工)，所以/%)为奇函数，故B错误;

2'-I1—2

对于C,函数的定义域为R,

(Jr+1+1)(\/工2+1-xj

/(-%)=-xln-xln=-xInI,-=^ln(x+\!x2+\)=/(x)

Vx2+1+x\JX~+\+X\'

所以/(X)为偶函数，故C正确;

3

对于D,函数的定义域为R,f(-x)=-(-X)+(f$=F+f=f(x)，所以/(力不是偶函

数，故D错误.

答案第1页，共17页

故选：c.

4.C

【分析】根据正态分布的对称性结合随机密件的关系运算即可得答案.

【详解】因为随机变量自服从正态分布N（2Q）所以P（4>2）=0.5,

又P（J<0）=0.2,所以尸©>4）=>/<以=0.2,

则尸(2V44)=P©2)-尸值＞4)=0.5-0.2=0.3.

故选：C.

5.D

【分析】由题意可得2+,=2,利用基本不等式求解即可.

yx

12

【详解】因为x〉o,y>。，且2x+y=2q，,所以一+—=2,

xy

a+1

x=--------

当且仅当黄,即2时，等号成立,

2+V2

V=------

所以X+），的最小值为g+拉.

故选：D.

6.A

\n-AP\

【分析】首先求出AP，再根据点/，到。的距离［二号11计算可得.

【详解】因为A（T,3,0）、P（—2J4）,

所以”=(-1,-2,4).

又平面a的一个法向量〃=(-2,-2,1),

2

而||(-1)X(-2)+(-2)+1X4|I0

所以点p到a的距离4='^=7^----,,

H丁+(-2)2+(一2)-3

故选：A

7.C

答案第2页，共17页

【分析】先利用导数来判析单调性，进而求出最值可得答案.

【详解】因为个：：：；，所以/(X)的定义域为［T，5］.

“加备一6‘

令八、六册一备即壶=於7,得m2,

当x«T,2)时,f(x)>0,则/(x)单调递增：

当x«2,5)时，f'(x)<0,则/(力单调递减;

所以工=2时/(月取得最大值，即〃2)=Jm+^/^/=2^/5,

又1)=n,〃5)="，即最小值为卡.

所以〃x)的值域为［石，2百］.

故选：C

8.B

【分析】利用已知条件v$yeR,恒有"H.v)=/(x)+/(.y),运用特殊值法推出函数奇

偶性，利用当x>0时，/(x)<0,结合〃x+)，)=/(M+〃y)推出函数单调性，结合上述

性质对不等式进行化简后构造函数并求导，结合导数分情况讨论得出实数〃的取值范闱.

【详解】已知对于Br,yeR,恒有/(x+y)=/(x)+/(y),

令X=y=0,则/(o)=/(0)+/(0)=>/(0)=0,

令)，=一%W>J/(O)=f(x)+f(-x)=>f(-x)=-/(x),所以f(x)为奇函数.

任取则％—X>0,已知当x>0时，/(x)<0,则f(w-\)vO,

又/(々)=/(与)+/(占-%)，则〃/)--(%)=/(再f)<0,

/&)</&)，故/")为R上的减函数，0/(0)=0,

由/(3)+/(々)<0可得/(e')+/(a)=/(e'+(〃)</(0),

因〃x)为R上的减函数，故e'+w>0对于MwR恒成立，

令g(，)=e'+必，则g(r)>0对于VreR恒成立.

答案第3页，共17页

求导得g'(/)=e'+a,

当〃〉0时，g'(/)=e'+a>0,g(/)在R上单调递增，当/—时，g(/)f口，不合题意：

当〃<0时，令g'(1)=c'+。=0,解得f=ln(-a).

当f<ln(—a)时，g'⑺<0,g(。在(Yo』n(—⑼上单调递减；

当"In(-a)时,/(，)〉()，g(r)在(ln(-a),+oo)上单调递增.

g⑺在，=ln(-«)处取最小值，g(in(-t/))=加甸+a\n(-a)=-a+aIn(-a)

要使g(f)>。恒成立，需使g(ln(-a))=-a+a1n(-a)>0,即

解得-e<a<0；

当a=O时，g(/)=e'，因为e’>0对于MwR恒成立，符合题意.

综上，t/e(-e,O],

故选：B.

9.BD

【分析】根据导数的四则运算一一计算即可.

【详解】对A,(屋+"'=1，故A错误；

，1

对B,(1叫二9"一内二]_*故B正确；

\x)x2x2

对C,f21——=1112-2l+-y>故C错误；

kX)X

对D,(x2cosx)=2xcosx-x2siar»故D正确.

故选：BD.

10.BC

【分析】对于A,计算出前三段频数即可判断；对于B,计算出低于1100kg的频数，再计

算比例即可判断；对于C,根据极差计算方法即可判断；对于D,根据平均值计算公式即可

判断.

【详解】对于A,根据频数分布表可知,6+12+18=36<100x0.5=50,所以亩产量的中位

数不小于1050kg,故A错误：

答案第4页，共17页

对于B，亩产量不低于1100kg的频数为24+10=34,所以低于1100kg的稻田占比为

当渣=66%,故B正确；

对于C,稻田亩产量的最大在区间［1150,1200)内，最小在区间［900,950)内，故极差在

［200,300)范围内，故C正确；

对于D,由频数分布表可得，平均值为

—x(6x925+12x975+18x1025+30x1075+24x1125+10x1175)=1067,故D错误。

1(X)

故选：BC.

11.BC

【分析】根据空间中点线面的位置关系，和空间向量基本定理，空间中四点共面的判定方法，

以及空间向量的共线、模长的表示方法，和三棱锥体积的求法，逐一判断各选项的正误，求

出结果；

【详解】

如图所示:

已知3A=朋+4。+£>〃=一人3+4£)+朋，

当AP//BD,时，即(rA8+yAD+zAA,)〃(一A4+AQ+A4J,

解得—x=y=z,由x,y,ze[()1],所以个z工。不满足条件，不存在点P使得,所以

A错误；

当X=z时，AP=xAB+yAD+xAA,,CD}=CD+DDV=-AB+AA.,

APCQ]++==0,所以APJ.CA，所以B

正确；

由题意知

答案第5页，共17页

PCi=PA+AC,=-^xAB-^yAb+zAAy)+^AB+Ab+AAy)=(\-x)AB+(\-y)AB+(1-z)AAl

所以,G|=J(17"+(l_»+(l_z)2,

由不等式可知(1)2+(]一»+(一)2之(17+1一尸~『，

因为x,y,z«O,l],所以x+y+zW3,所以PGp3(*.+~)：

由均值不等式可知x+y+zK，(3+y?+z?)=石,

所以|pcg^^=e—1,所以C正确；

当x+y+z=l时，点2与8、。,A三点共面，即Qw面8”,

由正方体的性质可知8£>//8Q,CA〃BA，8OC8A=8.8.cCR=。，

所以面BD4,〃面8c。，可得三棱锥尸-司CD】的体积为定值；

即VP-4s=VB/S=%-884?,正方体棱长为1,则匕-46=7X彳xlxlxl=：,所以D借误；

一”326

故选：BC.

12.4

【分析】由表中数据计算出了，根据线性回归方程夕=0-5%+力过样本中心点(工方即可

求解.

【详解】由表中数据，计算得：元=；x(0+l+3+4)=2.y=lx(4+4.5+5.5+6)=5,

又线性回归方程R0.5x+G过样本中心点(冗了)，所以5=0.5x2+3解得。=4.

故答案为：4

13.144

【分析】利用捆绑法、分步乘法计数原理和间接法求解.

【详解】6名同学排成一排照相,其中甲、乙相邻的安排方式有A；A；=240(种)，

6名同学排成一排照相，其中甲、乙相邻，丙在队伍两头的安排方式有C；A：A；=96(种),

所以6名同学排成一排照相，其中甲、乙两名同学彼此相邻，丙不在队伍两头的安排方式共

答案第6页，共17页

有240-96=144（种）.

故答案为：144.

35

14.—：一/1.25.

164

【分析】第一次没抽到一等奖和第二次抽到一等奖，为相互独立事件，根据古典概型和相互

独立事件的概率乘法即可求解；

对于随机变量Z的数学期望，先确定随机变量Z的取值，再根据古典概型分别计算每个取值

的对应概率，最后根据数学期望公式计算即可.

【详解】因为每次抽完后将乒乓球放回奖池，所以每次抽奖相互独立.

则根据题意，第•次没有抽到一等奖的概率为。，第二次抽到一等奖的概率为;.

44

由于两次抽奖是相互独立事件，根据独立事件概率乘法公式，

可得某顾客第一次没有抽到一等奖，第二次抽到一等奖的概率是3=/；1=白3.

4416

根据题意，随机变量Z=|X2-XJ,X]、x?分别表示第一次和第二次抽奖的获奖等级，

则X1、X2G{1<2,3,4},所以Z的取值可能为0、I、2、3,两次抽奖等级共有4x4=16种情

况,

则Z=0表示两次抽奖等级相同，共有4种情况，

4I

即X|=Xa=l,X=X=2,X|=X?=3,X=X=4,所以P（Z=0）=—=—,

t212164

Z=1表示两次抽奖等级相差1,共有6种情况，

即X=LX2=2,X(=2.X2=3,X1=3,X2=4,X,=2,X2=1,

X=3,X2=2,XI=4,X2=3,所以尸(Z=l)=$=g,

168

Z=2表示两次抽奖等级相差为2,共有4种情况,

即X1=LX2=3,X,=2,X2=4,X,=3,X,=1,X,=4,X2=2.

/41

所以P（Z=2）=正=屋

Z=3表示两次抽奖等级相差为3,共有2种情况，即X=LX2=4,X,=4,X2=\

7I

所以尸(Z=3)=1r§

所以，Z的数学期望£（Z）=0X：+IX]+2X：+3X"=；.

答案第7页，共17页

35

故答案为：—；—

164

15.(l)8x+2y-5=0

73

⑵最大值为-三+31n2；最小值为-彳-3冏

o2

【分析】(1)求出/(l)J'(l)的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程：

(2)利用导数判断出函数在1,4上的单调性，再利用单调性结合给定区间求出的最

值.

【详解】(1)依题意，/(力="一2—工a>o),则即产r(i)=-4,

又==即切点坐标为

故所求切线方程为：y-[-1j=-4(x-l),即8x+2y-5=。.

(2)由/，⑺=£z^=(、—3)(Hi)，a>o)

XX

令r(x)=O,得X=3.

当工£；,3)时，小)<0,则/(力在别上单调递减；

当x«3,4]时,/'(力>0,则/卜)在(3,4]上单调递增，

故〃3)=-：-31n3是/(/)的极小值，也是最小值.

(1f1Y1177

Xf—=—x--2x——31n—=——+3ln2>——+lne>0»

\2)2\2)2288

Hu/(4)=1x42-2x4-3ln4=-61n2<0,即/(4).

ri~i7a

故在z区间不,4上的最大值为-(+31n2,最小值为一931n3.

■2」o2

16.(1)13440；

Q)，?(—2尸.

【分析】⑴根据二项展开式得却尸C；°(-2严则为=/(-2严;=0,1,2,…,10,分析

「为偶数时，取得最大值，再列出不等式组，解出即可；

(2)法一：两边同时求导后再代入x=0即可；法二：首先得〃,=[(-3严,「=()』,2,.,・,明,

再根据恒等式血=〃C焉(-3)…计算即可.

答案第8页，共17页

10210

【详解】(1)当〃=10时，/(x)=(x-2)=a0+atx+a2x++«10x,

lo

乙1=G0(—2)m”‘，贝IJ4r=C；o(-2)-\r=O,l,2,...,IO,

显然，.为奇数时，。,＜。；/为偶数时，q＞0;

则当〃，取到最大值时，「为偶数,

设《为最大项，其中次=024,6,8,10.当时,

常］(-2严>________12-_______(_2产1)

-(A:-2)!(10-(A-2))!r)>0

%之%>0

得＜即＜

ak>ak+2>0>________10!_______/_2\«H*+2)

瑞1H~()t+2)!(10-(A+2))!^~)>0

解得黑;；工。又因为""A6,8』。,经验证得

又因为4=2,0=1024<4=13440,所以最大项为%=13440.

n

(2)法一：因为/*)=(I一2)”=4)+4(X+1)+&(X+1)2++bn(x+l)t

n12

f(x)=n(x-2)-=bi+2bi(x+i)+••+血(％+1尸,

令x=0,得：〃(一2严=4+2为++也,所以：&九=〃(-2尸.

r-0

法二：

(x—2)”=K—3)+(x+l)]"=C：(-3)"+Cr(—3)”T(x+『+C；(-3)ia+i)2+...+c：(—3)°(x+l)”

则。=C；(—3)”<=0,1,2,,〃，因为&=「八人(〃”/“\「仁,所以

r!(n-r)!(r-l)!((/i-l)-(r-l))l

由=心(-3产，

所以却。=£也=£C；(-y=〃支C3(-3广,

r-Or-Ir-Ir-I

=n©t(-3)z+CL(-3)i+…+0；(-3)°)="(1+(-3))”“=〃(-2)”~

17.(1)67=2

⑵(L3)

【分析】(1)根据二次函数的性质，和参数的范围，判断函数在定义域上的单调性，进而求

出函数的值域，求出参数的值；

答案第9页，共17页

(2)根据参数的范围，判断函数在定义域上的单调性，求出函数在区间上的最小值，根据

最小值的正负，讨论目标函数值的正负情况，进而求出结果.

【详解】(1)由〃"=9-2^+5可知，函数对称轴为K=a,因为。>1,所以函数/(X)在

[1,可上单调递减，

,.「I/(I)=a[\-2a+5=a

的定义域和值域均是[L〃]，可得愕^]ai-2a2+5=\，解得"2.

(2)由/'。)=犬-2依+5可知，函数对称轴为x=a,在[T』]上单调递减，

/(—1)=1+2〃+5=6+2。，由可知/(-1)>0恒成立，

当/⑴=1-2〃+5=6-2。>。时，即/'(%)在卜1』上恒大于零，

则此时g("=|/(x)|+/(k|)=/(x)+/(w),

因为当xe[-1』]时，|x|e[O,l]cH，l],故/(幻>0且J(|x|)>0,

对任意的％w[-1,1]都有g(x)>0恒成立；

当a=3时，/⑴=。，则g⑴二|『。)|+/(|1|)=0,不符合题意;

当。>3时，因为/(。)=5>0且/(l)=6-2〃v。，

所以存在使得/(。=0,

则当时，/UXO,\f(x)\=-f(x),

此时g(x)=|/(x)|+/(kl)=—/(x)+/(x)=0,不符合题意：

综上所述，。的取值范围为(1,3).

18.(1)0.819

(2)(i)由甲参加第一阶段比赛；(ii)由甲参加第一阶段比赛；

【分析】(1)根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；

⑵(i)首先各自计算出4=[「(1-P)’。，^=[1-(1-^].//,再作差因式分解即可

判断；(ii)首先得到X和y的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次

作差比较大小即可.

【详解】(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶

段也至少投中1次，

答案第10页，共17页

比赛成绩不少于5分的概率P二[1一(1-0.5)3卜[1一(1—0.6)[=0.819.

(2)(i)若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为

%=[1-(1-〃)[心

若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为2,

0<〃<“，

A厂〃乙=q3_(q_pq)3-p3+(p-pg)3

=(<7—〃)(/+的+〃2)+(?—9)](〃-〃4+(4—〃9『+(〃-”)(夕—〃夕)]

=(〃-4)(3pE_3〃2夕-3pq2)

=3%(〃-9)(m/-〃-夕)=3%(〃-加1-〃)(1-9)-1]>。，

也，应该由甲参加第一阶段比赛.

(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩X的所有可能取值为0,5,10,15,

p(x=o)=("p)’+[l-(l-〃)[,(j/)',

p(X=5)=[l-(1-p)1C"(l-疗，

p(X=10)=[l-(l-")[C；/.(i_q),

p(X=15)=[l-(l-p)3]./,

.-.E(X)=15I_(l_〃)[q=15(p3-3p2+3p).q

记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩y的所有可能取值为0,5,10,15,

同理E(y)=15(/-3整+34)・p

E(X)-E(y)=15[pq(p+g)(〃-g)-3/M〃-“)]

=15(p-q)pq(p+q-$,

因为0<p<g,则/?+t/-3<l+l-3<0,

贝I」(〃一夕)〃夕(〃+4-3)>。，

・••应该由甲参加第一阶段比赛.

19.(1)证明见解析:

答案第11页，共17页

（求或%

o5

（3）|.

'-

【分析】（1）作出合理辅助线，再根据面面垂直的性质定理得平面加8,再根据线

面垂直的判定定理和性质定理即可证明；

（2）方法一：作出二面角8-〃C-A的平面角，再利用余弦定理求出PC=6或。。=走，

3

再分别讨论即可；方法二：建立合适的空间直角坐标系，求出相关法向量则可得到点尸，再

分别讨论即可；

（3）方法一：建立合适的空间直角坐标系求出左=1，再利用空间向量法写出面面角余弦

的表达式，最后利用换元法和基本不等式即可求出最值：

方法二：首先同法一求出幺=1,再通过补形法，再找到二面角的平面角，最后利用余弦定

理和不等式性质即可.求出最值.

【详解】（1）连接AC1/）交于点0,连接PO,在平面夕40内过A作A/7J.P0,垂足为H,

因为PAwPC,所以垂足〃不与点。重合，如图：

又因为平面以羽_1_平面PAC,平面PD8一平面尸4C=PO,A”u平面P人。，则A//JL平面

PDB,

又因为8£>u平面POB,所以八

在正方形中，AC-LBD.ACr>AH=A,AHcz平面PAC,ACu平面PAC,

则801平面PAC,又因为尸Au平面PAC,所以摩J_8力.

（2）方法一：在平面A4C内，过。作QWJ.PC,垂足为M,连接8W,

由（1）得，。4，平面22,因为PCu平面/MC,所以0BJLPC,

又因为0M_LPC,且0800知=。08,0知匚平面0以1,所以PCJ_平面OBM,

因为例3u平面O8M,所以尸C_LM8.

所以易知NOMB是二面角B-PC-A的平面角，ZOMB=60",

答案第12页，共17页

在边长为1的正方形A8CD中，0B=—,

2

所以OM=OBlan30°=立旦旦,

236

国

在Rt-OA/C中，sinZOCM=-^-=-^=—,

OCy/23

2

在，叫C中，AC=&,cosNOGW=Jl—siiNOCM=aPA=1,

3

I?=+PC?-26PCcosNACP,解得PC=6或PC=3,

3

(i)当PC=M,又因为AC=Vi，在「.24。中，满足A尸+472=2。2,则AP_LAC.

又因为4PJ.BO.BOcAC=。AC,OBu平面ABCD，所以AP1平面ABCD.

因为A8u平面ABC。，则AP_LAB，所以尸8=JPA?+4笈=叵，

又因为A3//平面PCD,所以4到平面PCQ的距离与A到平面PC。的距离相等,

过4作垂足为7.又因为易证CDJ"平面BAD,所以平面P8_L平面PAQ,

平面PC。平面B4Z)=PD，A7u平面尸AO,所以A7_L平面PCD.

在R3PAO中，AT=—,所以“到平面PCD的距离为正

22

设/归与平面所成角为。则小/_

PCD，sinct=-27=-=一1，

V22

+(扬2.x与点.cos/PCA得:cosNPCA=显,

如图，在△PCO中,叫外闺、转.cos/PCA=3

答案第13页，共17页

设B到平面PCQ的距离为"，所以gSK/=2x/S℃8。｝

得：恪X坐〕"=21jx;x恪x坐x坐1,解得力=①,所以8到平面尸。的距离

31233132632)2

V2

设槽与平面08所成角为a，sina=~^=§,又因为aw,谭〕，所以a=?.

T

综上，P8与平面PC。所成角为B或1.

63

方法二：以A8为x轴，以AD为>'轴，过点4的平面ABC。的垂线为z轴，建立空间直角

坐标系，如图.

则4(O,O,O),B(1,0,0)((1,1,0),0(0,1,0),

设P(孙〃J),则4尸=(凡〃"),8力=(一1,1,0).因为%=1,

所以加2+〃2+/2=1①.

因为R41B。，所以A2•B。=一〃?+〃=0②.

因为平面尸AC,所以平面PAC法向量08=(1,-1,0),

——.—.•BC=0

设平面APC法向量“=(x,y,z),AC=(01,0),AP=S7-L〃J),j^尸。

>'=0

则不妨取x=/,则z=l-〃z.所以?=(，,01一/〃).

(〃Ll)x+〃y+fz=0

,、|。8切|||Z|1

因为二面角8—PC—A为60。，所以cos(。艮-4=-=-；=-----^=彳③。

\/|O叫司ViTTJj+a一⑼22

由①@③解得〃?=0,〃=0/=1,或阳=。=。=9即①0,0,1)或尸仔H

答案第14页，共17页

(i)当P(O,O,D时,PB=(1,0,-I),PC=(1,1,-1),DP=(0-1,1)

小PC=0x+y-z=0,x=0.

设平面DPC法向量〃2=（几Fz）,«：则八即'

-y+z=0,)，=Z.

r]2-DP=0

不妨取则z=l.所以％=（。，1,1）.

cos{PB.%)=PB•/-11

\PB网-vr+wr+i-2,

设心与平面PCD所成角为。，

sina=cosqPB,%'=g.乂因为,所以a=F-

6

221J.1_1

(ii)曲喑-聂

当pI3M33时，,生-|3厂工

/PC

设平面。PC法向量小二（二Xz）,•=。

gDP=o'

111c

—x+—y—z=0

333x=0

则即

211八)'=z

—X----V+-Z=(J

33,3

不妨取1y=i,则z=i.所以2=（°，L1）・

21

-+-

COS(P8，V3)|=33

~2，

1布

n

设P8与平面PCD所成角为a