吉林省2025-2026学年高二年级上册1月期末考试数学试题（解析版）

东北师大附中2025-2026学年上学期

高二年级期末考试数学科试卷

考试时长：120分钟试卷总分：120分

注意事项：

1.答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形

码.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.

3.回答非选择题时，请使用0・5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域

内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效.

4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有

一个选项是符合题目要求的.

N4--=1

1.实轴长为6的双曲线机,4的渐近线方程为（）

21239

A.y=±—xB.y=±—xC.y=±-xD.y=±—x

93272

【答案】C

【解析】

【分析】由题意，双曲线的实轴长为6,可得〃「=9,进而可求得其渐近线方程.

【详解】因为双曲线实轴长为6,即2|〃?|=6,所以机2=9，

2222

所以双曲线方程为工一三二1,令工一工=0,得k±白，

94942

22

即双曲线工一二二1的渐近线方程为），=

942

故选：C

2.从2名男同学和4名女同学中随机选出3人参加数学竞赛，则恰好选出1名男同学和2名女同学的概率

为（）

”B.AC.1D

545-i

【答案】A

U祸斤】

【分析】根据古典概型的概率公式可得解.

【详解】六名同学选3名同学，有C：=20种选法，

其中怡好选出一名男向学和两名女同学有=2x6=12种选法,

123

所以恰好选出1名男同学和2名女同学的概率为尸=一=一.

205

故选：A

3.已知圆弓：/+)尸=4与圆G：(x-2『+(y-2)2=4相交，则经过两圆交点的直线方程为()

A.x+y=0Rjc-y=0Cx-y-2=0D.x+y-2=0

【答案】D

【解析】

【分析】将两个圆的方程相减，即可得到答案.

【详解】由题意得圆方程可化为/+旷2-4龙一4/+4=(),

将圆G方程Y+V=4和圆C2方程V+V_4x—4y+4=0相减，

即可得经过两圆交点的直线方程为-2=0.

故选：D.

4.5名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报名

方法种数是()

A.81B.1(X)C.125D.243

【答案】D

【解析】

【分析】分析可知每个同学都有3种选择，结合分步乘法计数原理可得结果.

【详解】5名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，

则每个同学都有3种选择，由分步乘法计数原理可知，不同的报名方法种数为=243种.

故选：D.

5.已知乙鸟分别是椭圆C：｛十六—的左、右角点，点〃在。上，且小尸片名周长为8,

则。的取值范围为（）

A.（1,4）B.（2,4）C.（1,4]D.（2,4]

【答案】B

“豺斤】

【分析】先利用椭圆定义表示三角形周长，再结合椭圆的基本参数关系列等式，最后求出不等式的解即可.

【详解】由题知，，-刊工的周长为c附=俨司+|尸引+忧国，

因为点P在椭圆。上，所以内闾=2c,且归点|+|P用=2a,

所以2。+2。=8,化简得〃+c=4,即c=4-〃，

又因为椭圆定义要求

Rb2=a2-c2＞0也等价于。＞。，

代入。=4一。，得a＞4-。＞0,

先解4一〃＞0，得。＜4,

再解。＞4一々，得2a＞4,即。＞2,

综上，。的取值范围是（2,4）.

故选：B.

6.有甲、乙、丙、丁、戊5辆车需要停放在5个并排车位中，并且甲车不与乙车相邻停放，则停放方法共

有（）种

A.36B.48C.72D.144

【答案】C

【解析】

【分析】利用间接法，先将5辆车任意排放，再排除甲车与乙车相邻停放，结合排列数运算求解.

【详解】先将5辆车任意排放，停放方法共有A：=120种，

若甲车与乙车相邻停放，则停放方法共有A；A：=48种，

所以甲车不与乙车相邻停放，则停放方法共有120-48=72种.

故选：C.

7.62"被7除所得的余数为（）

A.IB.2C.3D.6

【答案】D

【解析】

【分析】把62"用二项式定理展开，进而求解即可.

【详解】由

<?81972*98

62"=(63-if=C^,63"+0^63-(-1)+C^963-(-I)++C^63-(-l)+C^•(-1)"

=C163"-C16398+C器6397-…+嗡63-7+6,

展开式中除了最后的6均能被7整除，

则62'9被7除所得的余数为6.

故选：D

8.已知。为坐标原点，抛物线C：V=4x的焦点为忆M,N为。上异于原点的两点，若OM1MN,

则I尸的最小值为()

A.8夜+1()B.8c.2V2+-D.4

2

【答案】A

【解析】

r2\

【分析】设,N，然后根据垂直利用向量的数量积为0列出等式，得到

I4(4)

n=---m,然后列出WM|+|FN|的表达式并化简，根据基本不等式的性质即可求得最小值.

2

【详解】根据抛物线的对称性，设M号,〃z,N三n■,〃，

I4(4

2

z?2-m

则OM-,m,MN—-,n-m

I4)4

2221

22

因为OM上MN,所以OMMN=疗L+m(n-m}=—mn—m4+mn-m2=0.

44'’1616

化简得正/n(〃一6)[m(〃+=)+16]=0,

当〃?=〃时，M,N重合，不符合题意，所以加(〃+m)+16=0或〃?=0,

16

当加(〃+〃?)+16=0时，即〃=-16,得到几=---tn.

〃i

又抛物线CV=4x的焦点为尸，所以尸(1,0),

，6

w2+f/«+T

，n

所以IG/IE•川〃/[〃21〉+〃2c+〔'〃+〃Jc〃"+128+20加nr64•

FM+m=——+1+—+1=-----+2=----------—+2=------------=——+—+10

111144442m22m2

根据基本不等式的性质可得且+维+1022,叵•丹+=L+，

2m2V2nr

2

当且仅当今~=3■，即加2=86时等号成立，此时|「的十|欣|取最小值为8拒+10.

当加=0时，M点与。点重合，此时不满足题意，

综上，WM+FM取最小值为8五+10.

故选:A.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知2x-一的展开式的各二项式系数之和为128,则()

I)

A.«=7

B展开式中无常数项

C.展开式中第4项和第5项的二，页式系数最大

D.展开式的各项系数之和是-1

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用二项式系数和公式可先得〃判定A,利用通项公式可判定B,利用二项式系数的性质可判定

C,利用赋值法可判定D.

【详解】由题意可知2"=128,则〃=7,故A正确；

设(2x-二)展开式的通项为J=C；•(21厂•(-x-2)「二C；«27-r-(-1/-x7-3r(reZ,0<r<7),

显然7—3r=0无整数解，故B正确.

因为〃=7,所以由二项式系数的性质可知中间两项系数最大，

即第4、5项二项式系数最大,分别为C；,C：,故C正确：

令工=1,则（2x1—器）=1，故D错误；

故选:ABC.

10.甲、乙两盒中各放有除颜色外其余均相同的若干个球，其中甲盒中有4个红球和2个白球.乙盒中有2

个红球和3个白球，现从甲盒中随机取出I球放入乙盒，再从乙盒中随机取出I球.记“从甲盒中取出的球

是红球”为事件A,“从甲盒中取出的球是白球”为事件8,“从乙盒中取出的球是红球”为事件C,则

（）

A.A与B互斥B.A与。独立C.P（C|A）=1D.P（C）=-

【答案】ACD

【解析】

【分析】4与8是互斥事件，A正确，夕（A）•尸（C）wP（AC）,B错误，利用公式计算CD正确，得到答

案.

【详解】对选项A：A与3是互斥事件，正确；

4?911,43994

对选项B：P（A）=-=-P（AC）=-x-=-P（C）=-x-+-x-=-,

V763tV7323f',66669

P（A）P（C）wP（4C）,错误；

对选项c：正确;

对选项D：小）三阜」二正确.

',66669

故选：ACD

11.已知双曲线C土一二二1的左、右焦点分别为片、F,,过工的直线交双曲线C的右支于P,。两

927

点，记▲耳PF?，•书内切圆的圆心分别为。1，。2,过点P分别作双曲线C的两条渐近线的垂线，垂

足分别为M,M则下列说法正确的是（）

A.归用+旧4|的最小值为21B.6a•弓尺=108

C.|加用的最小值为孚

D.圆。1和圆。2的面积之和的最小值为18兀

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A,根据双曲线的定义可得|P制+|Q£|=|PQ|+12,进而结合|PQ|为通径时最小即可求解

判断；对于B,设./PK的内切圆分别切边居,斗鸟于点E,/,G,由圆的几何性质及切线长定理

可得G（3,0）,即可得到。1的横坐标为3,设。1（3,根），进而求解判断即可；对于C,易得双曲线。的渐

7T77

近线方程为），=±JIE,进而得到NMPN=§,归闾忖2=1，再结合余弦定理及基本不等式求解判

断即可；对•于D,利用三角形相似可得|qG||O2G|=9,进而结合基本不等式求解判断即可.

22

【详解】对于A,由双曲线C：--21=1，则4=3力=38,c=6,即耳（-6,0）,鸟（6,0）,

927

根据双曲线的定义,可知|尸制+|2周=|?闻+/+|0闾+%=|叫+12,

当PQLY轴时，归0为通径最小，

此时尸（6,9）,。（6,-9）,即归。=18,

所以（附|+3%=|P%1M2=18+12=30,故A错误;

对于B,设⑥耳尸用的内切圆分别切边居于点E,/,G,

由圆的几何性质可得O,Glx轴，

由切线长定理可得|P目=留|,忻目二忻。,优/|=优3,

而归周_俨国+国用=2z+2c=18,

则阳£|+|P目-（网+⑸|）+忸3+向G|=18,

即阳目+|£G|=2|耳G|=18,见忻G|=9,即G（3,0）,

则。।的横坐标为3,设。［3,m），

则片«=（9,m）,斗6=（12,0）,所以£Q；.耳鸟=108,故B正确；

对于C,双曲线。的渐近线方程为），=±2工=±氏，且两渐近线的倾斜角分别为三,

a33

由题意，PMtOM、PNtON,则O,P,M,N四点共圆，

71兀

而NMON=—，则NMPN=-,

33

22

设P（x。，%），则五一比=1,即3焉一3=27,

927

则河」*一疝|叩=咚疝

所以归M|MM=叵二叵包=国二期=2，

则|MN|=PM『+1PN「_21PM11PN|cos三=J/wf+|PN『一1尸必|呐|

疗N|,当且仅当仍陷=忙时二平时取等号，

所以|MN|的最小值为手，故C正确；

对干D,在△。。2人中，N。鸟。2=90。,。02JLx轴，易得AOQ鸟—Fg,

则符圜叫叫=1。503=32=9,

设圆。1和圆O?的半径为小公则7；G=9,

所以圆。1和圆。2的面积之和为叫2+兀片=兀（片+片"27n内=18n,

当且仅当乙=&=3时等号成立，

则圆。|和圆O2的面积之和的最小值为18兀，故D正确.

故选：BCD

三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分.

12.fx--1的二项展开式中含/的项的系数为______（用数字作答）.

I2xJ

【答案】7

【解析】

【分析】根据二项式展开式7；』=C=8-r（—；）=（一gjC；f-2,求系数即可.

【详解】［］一；、的展开式的通项公式为（+I=（：；犬-（一:）=（一g）G/-2、〃=0』,…,8,

令8—2r=4,解得〃=2,所以1项的系数为（―g）c；=7.

故答案为：7

13.6个人排成一排，若甲必须站在排头或排尾，而乙不站在两端，那么不同站法总数为（用数字作

答）.

【答案】192

【解析】

【分析】特殊元素法，先排甲，再排乙，最后排其余4人，根据排列数结合分步乘法计数原理运算求解.

【详解】甲必须站在排头或排尾有$=2种,

乙不站在两端，乙在中间4个位置选一个，有A；=4种站法,

其余4人没有限制，有A：=24种站法，

所以不同站法总数为2x4x24=192.

故答案为：192.

14.已知户为椭圆［+点=1（。＞。＞0）上的一点，片、鸟分别为左、右焦点，A为右顶点，O为坐标

原点，点A到OP的距离为4（400）,点P到x轴的距离为d2.若d2=半&，且

|产耳卜|"|=|?。『，则此椭圆的离心率为•

【答案】—

3

【解析】

【分析】设P（x,y）,£（一•（））,鸟（c,o）,由已知得出|0砰=产+）,2=射2,再由椭圆定义得出

|历『+|列展+2俨”疗用=4/,由|列讣忸园=|PO「，得出|列讣仍曰=结合两点之间距离公

式，代入化简整理即可求得离心率.

【详解】设P（x,y），耳（-C,O），4（c,0），

过点尸作轴于点N,过A作AM_LOP于点M,如图所示，

则APNO-AAM。，所以鬻=黑，即9=四，

\AM\\AO\&a

又因为&=手4,所以|po|二手入即|0"2=/+丁=葩2,

由椭圆定义得，|尸耳+归玛|=2也则归£『+|尸用2+2|尸用归用=44,

822

用

明

贝.

又因为尸6■P6=|P0|2=-9WHIP

所以（丫+，）2+y2+（工一「）2+）,2+§〃2=4〃2,将？+J=§〃2代入,

化简得9。2=2〃，

所以吒等

四、解答题：本题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知圆。的方程为犬+y2-2x+2y-〃7=0.

（1）求实数机的取值范围；

（2）若圆C与直线/"+），+2=0交于M,N两点，且|MN|=2迷，求机的值.

【答案】（1）fn>-2

（2）m-6

【分析】（1）将圆的一般方程转化为标准方程即可求解；（2）根据圆心到直线的距离与半径和弦K之间的

关系即可求解.

【小问1详解】

依题意，圆C的方程可化为（x—1）“+（），+1丫=2+，〃，所以2+〃00,解得桃〉一2,所以实数机的取值

范围是tn>-2；

【小问2详解】

卜1+2|

由（1）知，圆心。（1,一1）,半径为r=>J2+m=叵；

,所以圆心。到直线/的距离为d二丁

所以户-d?=2,2+〃7-2=2A/^=2#,解得〃?=6.

16.现有两张演艺节目单，第一张节目单中有6首歌曲和4个小品，第二张节目单中有5首歌曲和5个小

品.

（1）若从第1张节目单中依次不放回地随机抽取2个节目，求在第1次抽到歌曲的条件下，第2次抽到歌

曲的概率;

（2）掷一枚质地均匀的骰子，若点数为1或2,则从第1张节目单中随机抽取1个节目；若点数为3,4,

5,6,则从第2张节目单中随机抽取I个节目，求取到歌曲的概率.

【答案】⑴|

（2）A

15

【解析】

【分析】3）根据条件概率公式计算即可；

（2）假设相应的事件并求出其概率，然后根据全概率公式即可求解.

【小问1详解】

设事件Mj=”第i次抽到歌曲"（i=l,2）,则P（MJ=K=2,=—x-=l,

v1-71093

1

3-5

P(M%)-=

所以P(M21MJ=39-

p(M)5-

故在第1次抽到歌曲的条件下，第2次抽到歌曲的概率为焉；

【小问2详解】

设事件M=”取到歌曲”，事件A二“掷出的点数为I或2"，则事件B="掷出的点数为3,4,5,6”，显然

4与3为对立事件；

所以尸（4=1=；，尸⑻=务|，P（M|4）=A=|,P（M|B）=K

I3OIQ

由全概率公式得P（A/）=P（A）P（MIA）+P[B）P[MIB）=-x-+-x-=—.

353215

Q

所以取到歌曲的概率为不

1J

17.已知直线x+y—l=O与抛物线Cy2=2/M〃>0）交于A,B两点，且|AB|=8.

（1）求抛物线的方程；

（2）若M,N为C上不同的两点，旦0M・0N=-4,判断直线MN是否过定点，如果是，求出定点坐

标，如果不是，请说明理由.

【答案】（1）y2=4x

（2）直线MN过定点，定点坐标为（2,0）.

【解析】

【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理，结合已知条件求出〃值，进而求得抛物线方程.

（2）分情况讨论，当直线的斜率不存在和存在时，联立直线MN与抛物线方程，结合韦达定理求出

4）的关系式，进而求得结果.

【小问1详解】

将直线x+y-l=0变形得y=-x+l,与抛物线C:=2外联立化简得

X2-2（/?+1）X+1=0,因为直线x+y-l=0与抛物线C：=2*（〃>0）交于A,B两点,

设A（不，），1）,8（工2，）’2），则根据韦达定理有药+毛=2（〃+1）,不赴二L

因为|明=8,所以

222

|的二y/(xl-x2)+(yt-y2)=A/(X,-X2)+(1-X1-1+X2)*=&卬(为+%•一*=•

将刊+々=2(〃+1),中2=1代人化简得|明二百攻％+力2用=丁"2+p=.

继续化简得〃2+2〃-8=0,解得〃=-4（舍去）或〃=2,

所以抛物线方程为y2=4x.

【小问2详解】

直线MN过定点，理由如下:

当直线MN的斜率不存在时，则设直线MN的方程为工二%,

那么M（/,2a）,N（/,一2衣），因为OM.ON=—4，

所以片—4x0二—4,解得为=2,此时直线的方程为x=2；

当直线MN的斜率存在时，则设直线MN的方程为y=­b,

联立该直线与抛物线方程得（依+力『二4不，化简得二丁+色妙一4）%+从=0.

设M（玉,仇+b）,N（岑—+〃），则根据韦达定理得当+x4如，不匕=勺.

Jk,K

因为OMON=-4，所以。环。7=出工4+（区3+〃）（心^+与4&2+1）刍.+妨（当+为4）+尸=T.

代人韦达定理得（k+1"+""4一2幼）+从二T，化简得4公+4的+〃=0,可得2〃+8=0,即

k2k2

h=-2k.

此时直线MN的方程为y="-2上二左（工一2）,过定点（2,0）.

综上，直线MN过定点，定点坐标（2,0）.

18.在四棱锥P—八88中，Q4_L底面ABC。，ADHBC,PA=AI3=BC=\,4。=2,”是以）中

点.

（1）求证：CM//平面以8：

（2）若AB_LAD,

①求平面P8C与平面PC。夹角的余弦值;

②在线段上是否存在点Q,使得点。到平面M4Q的距离为与？若存在，求出彩的值；若不存在，

请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；

（2）①1；②存在，理=工

2BD4

【解析】

【分析】（1）取P4中点N,连接BN,MN根据线线平行证明线面平行；

（2）①建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得平面的法向量，利用向量法可得面面角余弦值，再由同角

三角函数的基本关系求正弦值；②设8Q=/l8O（0W/lWl）,利用向量法表示点到平面的距离，列方程，

解方程即可.

【小问1详解】

取以中点N,

•・・M为PD中点,

:.MN//AD、且=

2

又8C=1,BC//AD,

BC//MN,且BC=MN,

，四边形为平行四边形，即CM//BV,

BNu平面PAB,CM<Z平面PAB，

「.CM//平面AW；

【小问2详解】

①・・,Q4JL平面A3C。，且A8_LAD,

则以点人为坐标原点，AB，AD,AP方向为*"轴，)，轴，z轴建立空间直角坐标系,

得4(0,0,0),81,0,0),C(1J,O),力(0,2,0),P(0,0,l),

^C=(0,1,0),P5=(l,0,-1),P£＞=(02-1),CD=(-l,l,0),

设平面P3C的法向量为“=(x，y,zj,

则产•…=0

令内=1,则4=(1,0,1)，

PBn}=x}-z]=0

设平面PC。的法向量为％=(x,丁,z),

产。・几，=2y-z=0

则＜..，令x=l,则《2=(1,1,2),

CD•%=-x+y=0

勺•小3__________

...cos吗，〃，=j-j--

-Hh々十O2+RK1十/十2?一

二平面PBC与平面PCD所成角的余弦值为B：

2

②存在点Q满足题意，BD=(-l,2,0),A0=(0,2,0),

假设存在点。满足题意，设BQ=/lBD=(-4240),0W/IW1,

.-.0(1-2,22,0),4Q=(1—4,24,0),AM=(0,l,1

设平面MAQ的法向量为%=c),

AM•a=/?+—c=()

则＜2,令。=2%,则％=(244-1,2—2/1),

AQ〃3=(l-4)Q+2劝=()

AD-n22（2-1）6

所以点。到平面M4Q的距离d=-------=:,

4J（2"+5（"lf7

化简可得8方+24-1=0,解得％=；或义=一3（舍去），即器=；.

19.已知椭圆C:［+马=1（。>匕>0）过点P1,-,焦距为2.

a-b-'I2）

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知点Q（〃?,0）,若椭圆C上的点到。的距离的最小值是1，求正实数”的值；

（3）。为坐标原点，A、8是C上异于/，的两点（A、0、8三点不共线），若直线小与阳的斜率之

和为3,求△OA8的面积的最大值.

【答案】（1）工+±=1

43

（2）〃/=1或〃2=3

⑶G

【解析】

【分析】（1）求出椭圆焦点的坐标，利用椭圆的定义求出。的值，可得出〃的值，即可得出椭圆。的标准方

程；

Q2

⑵在椭圆C上任取一点E（x,y）,可得出丁=3—-2<x<2,可得出同？=?—2心十〃/+3,

2

令式外=3-2〃”+病+3,其中〃“0,-2<x<2,则函数g（x）在［-2,2］上的最小值为1,对实数机

的取值进行分类讨论，结合二次函数的最值可得出关于实数机的等式，即可解出加的值；

（3）设点4（%，）［）、8（%,%），对直线A8的斜率是否存在进行分类讨论，当直线A8的斜率存在时，

设直线A6的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由左松十即8=3可求出，的值或者/与攵的关系，可得

出直线A8所过定点的坐标，然后利用三角形的面积公式以及基本不等式可求出VAOB面积的最大值，当

直线A8的斜率不存在时，根据即八十女僧=3求出，的值，结合A、。、8三点不共线推出此时不成立，综

合可得出答案.

【小问1详解】

由题意可知.2c=2.则c=1.所以椭圆，左、右焦点分别为£（—1,0）、E（LO）.

由椭圆定义可得2a=|尸用+|产用='(1+1)2+|-0j+j(lT)?+饺一0=4，故〃=2,

所以人=&—c2=74-1=\/3，

22

所以椭圆C的标准方程为上+工=1.

43

【小问2详解】

223

在椭圆。上任取一点E(x,y),其中?+《=1,-2<x<2,所以y=3—

22

|QE『=(x-/«)*■+y2=x2-2f?vc+m2+3-—X2=^--2nix+nr+3»

2

令g(x)=(2m+//+3,其中机>0,-2<x<2»

由题意可知函数g(i)在卜2,2］上的最小值为1,

r2

二次函数g(x)=工■一2〃?x+〃/+3图象开口向上，对称轴为直线X=4〃7,

当0<4m<2时，即当0