解析几何-2025年高考数学二模试题分类汇编（原卷版）

专题09解析几何

★题型概览

题型01直线与圆的位置关系

题型02椭圆及直线与椭圆位置关系

题型03双曲线及直线与双曲线位置关系

题型04抛物线及直线与椭圆抛物线法

题型05轨迹方程

题型06定义新曲线问题

题型07圆锥曲线与向量、数列等知识交汇

直线与圆的位置关系

1.（2025•江西萍乡•二模）过点P（3,1）作圆。:/+丁2+2（+4）,_4=0的切线，记其中一个切点为A,

则附=（）

A.16B.4C.21D.后

2.（2025•广东揭阳•二模）若直线/：x+yr〃=0（〃>0）被圆。:（.・1）2+（），+1）2=4截得的弦长为

\f2fn»则机=（）

A.亚B.及C.2D.20

5

3.（2025•山东荷泽•二模）已知直线（2，〃+1卜+（，〃+1）），-75-4=0与圆"_1『+（），_2『二25交于人、B

两点，则|A8|的最小值为（）

A.5B.10C.2x/5D.4逐

4.（2025江苏•二模）已知圆C：/+（>-2>=:,将直线4；&-），=0绕原点按顺时针方向旋

转30。后得到直线L则（）

A.直线（过圆心CB.直线6与圆C相交，但不过圆心

C,直线4与圆C相切D.直线4与圆C元公共点

5.（2025•山东泰安•二模）已知直线/与圆（x-2）2+（y-3）2=l和圆（x+l）2+（y+l）2=36均相切,则/

的方程为（）

A.x+2y-23=0B.x+2y+23=0

C.3x+4y-23=0D.3x+4y+23=0

6.（2025•内蒙古呼和浩特•二模）若点｛g用关于直线），=比对称的点在圆（一a"上,

则上的值为（）

A.1B.72C.73D.2

7.（2025・福建莆田•二模）设正方形ABCO的四条边分别经过点（2,0）,（0,2）,（-2,0）,（0,-2）,则该正

方形与圆O：V+），2=8的公共点至多有（）

A.0个B.4个C.8个D.16个

8.（多选）（2025・贡州毕节•二模）已知圆。：一+/二4,圆。：/+/+2>+々=0,则（）

A.当4=0时，圆0与圆。杵切

B.当。=-3时，圆。与圆C相交于M，N两点，且直线的方程为,，=-g

C.当Ovavl时，圆。与圆C相交

D.当。=-3时，圆。与圆。相交于两点，且|MN|二2后

9.（多选）（2025•陕西咸阳•二模）己知圆C的方程为x'+V—8x+12=0,点用（％,九）是圆。上任意

一点，。为坐标原点，则下列结论正确的是（）

A.圆。的半径为2

B.满足|。必=5.5的点M有1个

C.+2%的最大值为4+26

D.若点夕在x轴上，则满足。闸=2卜闸的点。有两个

10.（2025•湖北黄冈•二模）已知方向向量为（1,2）的直线/与圆/+）尸=5相切，则/的方程为.

11.（2025•江苏南京•二模）若圆心在“轴上的圆C与直线/：x-"l=O相切于点A（l,2）,则圆心C的

坐标为.

12.（2025・天津南开•二模）已知抛物线。：乂=2〃），（〃>0）的焦点为尸（0,1）,倾斜角为45、的直线/过

点、F.若/与C相交于AB两点，则以AB为直径的圆被x轴截得的弦长为一.

13.（2025•安徽合肥•二模）已知抛物线=gy,QE：f0<Y芈，点〃在「上.

⑴求|P£|的最小值；

⑵设点〃的横坐标为2,过/，作GE的两条切线，分别交「于A,C两点.

（i）求直线"C斜率的取俏范围；

（ii）证明直线8c过定点.

椭圆及直线与椭圆位置关系

1.（2025•云南曲靖•二模）如图，圆柱的轴QQ与一平面所成角为60。，该平面截圆柱侧面所得的图

形为椭圆，此椭圆的离心率为（）

2.（2025•安徽淮北•二模）若抛物线V=4x的焦点是椭圆°：三十21=1的一个焦点，则椭圆。长轴

的长为（

3.（2025•黑龙江•二模）已知椭圆C：1+与的左、右焦点分别为0尸2,过6的直线

与。交于两点，若|A£|=3|班且/6相二方，则。的离心率为（

4.（2025•山东滨州•二模）已知椭圆二=1和圆4:/一2工-丁=（）］,。分别为椭圆。和国人上

1612

的动点，若尸为椭圆C的左焦点，则|尸尸|的最小值为（

5.（2025•安徽淮北•二模）已知耳人是椭圆C的两个焦点，过6的直线交。于A3两点，若A8=AK，

F\F、=BF”则椭圆。的离心率为.

6.（2025•河北•二模）已知椭圆M：W+£=l（稣〃>0）的离心率为且，A,。分别为其上、下顶点,

a~b~2

且|AZ）|=2.

⑴求椭圆M的标准方程.

⑵点E为椭圆〃的右顶点，点3为椭圆M上在第三象限内的动点，8、C两点关于x轴对称，直线

。七与直线A4、直线AC分别交于点P,T,过。作x轴的平行线交4E的延长线于点Q,连接QP,

Q7试探究四边形APQ7是否为平行四边形，并写出探究过程.

7.（2025•天津南开•二模）己知椭圆。：「+/=1（4>8>0）的左、右焦点分别是。为C

3

上一点，且在中，tanZM/<F,=-.

4

⑴求椭圆C的方程：

⑵过点?（1,3）的直线/与椭圆C交于两点（点A在点8的上方），线段A8上存在点Q,使得

图=制，求IQGI+IQ用的最小值.

8.（2025•山西•二模）在坐标平面”0），中，A，4分别是椭圆C:二+二=1（">A>0）的左右顶点，

a~b~

且C的短轴长为2,离心率为好.过OA的中点3的直线/（不与x轴重合）与。交于。，夕两点.

3

⑴求C的方程；

（2）证明：\DL\E.

⑶直线A。和&E的斜率比值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.

9.（2025•江苏南京•二模）在平面直角坐标系工分中，点A（TO）,8（1,0）,。（-4,0）,动点P满足

|川+|阳=4,记点P的轨迹为C.

⑴求C的方程；

（2）过点。且斜率不为。的直线/与C相交于两点E尸（E在尸的左侧）.设直线AE,町的斜率分

别为酊k2.

①求证：g为定值；

A、

②设直线心，座相交于点“，求证：|必-|西为定值.

双曲线及直线与双曲线位置关系

，*>

1.（2025•云南昆明•二模）双曲线C：三上=1（〃>0力〉0）的一条渐近线过点（1,2）,则C的离心率

a2b2

为（）

A.73B.75C.76D.272

2.12025•天津南开•二模）已知双曲线。：5-营=1（。〉0力〉0）的两个焦点分别为是C渐近

线上一点，当|历|取最小值时，户用=3归用，则。的离心率为（）

A.gB.及C.—D.如

42

3.（2025・山东聊城・二模）双曲线。的方程为--产=以4>0）,直线x-2y+3=。与双曲线左右两

支分别交于A,8两点，与两条渐近线分别交于E,F两点,若E,尸是线段A8的三等分点，则义的

值为（）

A.4B.8C.12D.24

22

4.（2025•江苏南京•二模）在平面直角坐标系xQy中，双曲线C：♦-专■=1（。>0,力>0）的右焦点为

F,点M,N在C的右支上，且标=3成，点N关于原点。的对称点为P.若尸/UMN,贝!C的

离心率为（）

A亚B瓜

22

5.12。25・河北•二模）设双曲线=1（〃>0力>0）的右顶点为A,B,C分别在两条渐近线

上，且区4=3AC,|人。|=乎〃，则该双曲线的离心率为（）

A,也B6

52

6.（多选）（2025•山东青岛•二模）双曲线C：.--y2=［的左右焦点分别为£、八，左右顶点分别为

A、B，若P是右支上一点（与8点不重合），如图，过点P的直戏/与双曲线。的左支交于点Q,与

其两条渐近线分别交于S、7两点，则下列结论中正确的是（）

yt

A.存在P使得BP//O7B.P到两条渐近线的距离之积为定值方

C.当直线/运动时，始终有|3|=|7片D.△心也内切圆的圆心/的横坐标为方

（•山东荷泽•二模）已知为双曲线马---

7.2025M=1（。>0/>0）右支上一点，6、F?为左右焦点，

a-b-

直线交），轴于点N,。为坐标原点，若加用=|“周=|。必|,则双曲线的离心率为

8.（2。25・山西•二模）设小人分别是双曲线C:小E=IS>。］的左右焦点，以人为圆心的圆与C

的一条渐近线相切，记圆巴与。的一个公共点为A,若AG与圆K恰好相切，则。=

9.（2025•江苏•二模）在平面直角坐标系xOy中，双曲线。的中心在原点，焦点在工轴上，焦距长为

46.若C和抛物线炉=x交于A,3两点，且△。人5为正三角形，则C的离心率为

10.（2025・安徽淮北•二模）已知双曲线£捺-，=1m〃>0）经过点川-4,6）43为其左，右顶

点，且总与心的斜率之积为:

4

⑴求双曲线E的方程:

⑵点”为实轴上一点，直线交E于另一点。，记△4PM的面积为，oBA/Q的面积为S2,若

SrS2=6求Q点坐标.

11.（2025•湖北黄冈•二模）设双曲线C:"?=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为0鸟，直线/与

C的渐近线不平行，且与C恰有一个公共点八点。在/匕当PgJLx轴时，|P£|=5.|P用=3.

⑴求C的方程;

（2）若P不在x轴上，满足。鸟求Q的横坐标;

⑶若。用1/,证明Q的轨迹为圆，并求该圆的方程.

12.（2025•云南曲靖,二模）已知A（ZO）,点尸是四心+2尸+"=4上的任意一点,线段的的垂

直平分线与直线相交于点Q,设点Q的轨迹为曲线C.

⑴求曲线C的方程；

（2）与x轴不重合的直线/过点M（,M））（〃?HO）,曲线C上存在两点艮。关于直线/对称，且的中点N

的横坐标为〃.

①求%的值；

n

②若B,。均在），轴右侧，旦直线［过点£（0,4）,求N3EO的取值范围.

抛物线及直线与抛物线位置关系

1.（多选）（2025•安徽黄山•二模）已知抛物线C:y2=2px的焦点为尸，点A（8,8）在抛物线上，过点

〃作直线交抛物线于加（不凶），«王,力）两点，则（）

A.|MN|的最小值为4

B.以线段MN为直径的圆与直线x=-2相切

C.当西=2而时，则|MN|=9

D.OMON=-12

2.（多选）（2025•湖北黄冈•二模）设抛物线C：V=4x的焦点为/，准线为/,经过点尸的直线交。

于45两点，。为坐标原点，则下列说法正确的是（）

A.若|掰=3|叫，则直线AB的倾斜角为60。

B.以线段AB为直径的圆与/相切

C.存在直线AB,使得。

D.若直线AO交/于点。，则8O_L/

3.（多选）（2025•辽宁•二模）已知焦点为r的抛物线C：y2=2px（p>0）与圆f+）户=8交于A6两

点，且|A5|=4,点",N在抛物线C上，且过两点分别作脑物线的切线交于点Q,则下列结

论正确的有（）

A.抛物线C的方程为：y2=2x

B.若例,MF三点共线，则。点横坐标为一〃

C.若M,N,P三点共线，且倾斜角为:，则△QMN的面积是4尤

4

D.若点PQO）,且M,N,P三点共线，则1PMl2+4|尸N/的最小值是9

4.（多选）（2025•河南新乡•二模）已知/>为曲线C：Wyz—v—v+x）=。上一点，片（］,0）,5（°，；），

点P到直线乙：x+l=0,4：4y+l=0,/?：4x+l=0的距离分别为4,八,小，则（）

'产Z

A.存在无数个点P,使得|尸用二4

B.存在无数个点人使得|P周二4

C.存在无数个点P,使得|「照=4

D.仅存在一个点人使得「图二&且|"|=&

22

5.（多选）（2025•山东滨州•二模）已知耳，居是双曲线*=l（a>0,8>0）的左、右焦点、脑

物线£:9=2〃*〃>0）的焦点与双曲线C的右焦点重合.且加是双曲线C与抛物线后的一个公共

点.若△“耳工是等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）

A.V2+1B.&+2C.6+2D.>/3+1

6.（多选）（2025•河北•二模）已知抛物线E：犬=20，（〃>0）的焦点为代准线交），轴于点P,抛物

线E上一点7（%,4）到点尸的距离为6,点A,8是抛物线。上的两点，点M是AB的中点，见下列

说法正确的是（）

A.〃二4

B.若中点M的横碓标为4,则直线AB的斜率为2

C.若O4_LO8,则AB恒过点（0,8）

D.若直线A8过点F,则砥?+%=0

7.（2025•湖北武汉•二模）已知。为坐标原点，过抛物线丁=2〃/（〃>0）焦点的直线与该抛物线交于

A,B两点,若|八耳=12,若△044面积为4«，则〃=（）

A.4B.3C.2x/6D.3x/2

8.（多选）（2025•黑龙江齐齐哈尔•二模）已知O为坐标原点，经过点M（0,〃?）的直线《与抛物线

f=2y交于A（x，y）、8（孙％）两点，直线小丁=履+2是线段48的垂直平分线，且人与《的交

点为7（%,%），则下列说法正确的是（）

A.若机=；,则y%=lB.若机=g,k=&，则久"0=半

C.1yo=lD.m>-\

9.（2025•广东肇庆•二模）直线y=2x+〃?与椭圆工+）3=1交于48两点（A,8不是椭圆的顶点），

设C（-2,0）,0（2,0）,当直线AC的斜率是直线8。斜率的2倍时，机=.

10.（2025・吉林长春•二模）已知尸为抛物线丁=4x上一点，过点尸作倾斜角互补的两条直线，分别

与抛物线交于两点，若直线的斜率为则点P的坐标为.

11.（2025•河北邯郸•二模）已知焦点为F的抛物线丁=2*（〃>0）与圆C:+V=9相切于

4、B两点，则AAZ/的面积为.

12.（2025•山东薄泽•二模）抛物线C：）3=2p*p>0）的焦点为小且过点A（l,2）.

⑴求。的方程；

⑵过点B（-1,0）的一条直线与C交于尸、。两点（尸在线段8Q之间），且与线段A厂交于点M.

①证明：点“到P产和Q尸的距离相等；

②若△尸尸M的面积等于VAQM的面积，求点P的坐标.

13.（2025•山东青岛•二模）抛物线C:/=4），，/为C的焦点，过抛物线外一点N作抛物线C的两

条切线，A,B是切点.

⑴若点N的纵坐标为-2,求证：直线48恒过定点；

⑵若|AZ7|=2,求AABC面积的最大值；

⑶i正明：|EAHF4|=|MV『.

轨迹方程问题

1.（2025•广东肇庆•二模）已知直线/:.y=6r是双曲线C：4—4=1（。>0,〃>0）的一条渐近线，0

是坐标原点，G是。的焦点，过点K作短垂直于直线,交，于点八小加的面积是冬则C的

方程为（）

2.12025•安徽池州•一模）已知直线，：n（的。+封11夕+1=0（夕€阳,圆。：。-3）2+（），-4）2=4,过/上

一点户作C的两条切线，切点分切为M，N,使四边形PMCN的面积为8点的点尸有且仅有一个，

则此时直线MN的方程为（）

A.3x+4y-20=0B.9x+12y-65=0

C.1比+17），-81=0D.19A+23V-129=0

3.（多选）（2025•辽宁沈阳•二模）在平面内，存在定圆M和定点A,点/）是圆M上的动点，若线

段E4的中垂线交直线闩”于点Q,关于点Q轨迹叙述正确的是（）

A.当点A与圆心M重合时，点。的轨迹为圆

B.当点A在圆“上时，点。的轨迹为抛物线

C.当点A在圆例内且不与圆心M重合时，点Q的轨迹为椭圆

D.当点A在圆仞外时，点。的凯迹为双曲线

4.（2025•辽宁鞍山•二模）如图，圆O:Y+）,2=4与x轴交于A、8两点，乙、是分别过A、8的

圆。的切线，过圆。上任意一点。作圆。的切线，分别交乙、4于点。、。两点，记直线A。与8C

交于点M,则点M的轨迹方程为（）

B.5+丁=1（忏。）

D.1+*1（"。）

C.x2+y2=2（＞^0）

5.（2025・河北二模）平面直角坐标系或万中，圆4的方程为/+（），-1）2=16,点8的坐标为（0,-1）,

点P是圆上任意一点，线段3P的垂直平分线交半径4。于点Q,当点夕在圆上运动时，点Q的轨迹

为曲线£

⑴求点Q的轨迹E的方程；

⑵过点A作一条直线/与点Q的轨迹E相交于M,N两点，满足苏=〃初，点、H满足丽=〃丽,

问：点〃是否在一条定直线上，若是，求出这条直线方程，若不是，请说明理由.

6.（2025・四川成都•二模）已知椭圆C上的动点M",），）总满足关系式

z+皿f+y=2a®>1）,且椭圆C与抛物线r：y=2px（p>0）有共同的焦点”/是

椭圆C与抛物线「的一个公共点，阳=1.

⑴求抛物线「的方程和椭圆C的标准方程；

⑵过点厂的直线/交抛物线「于M，N两点，交椭圆C于48两点，若阿4|NF|二2|AH•忸/•[,求直

线/的方程.

定义新曲线问题

1.（多选）（2025•安徽池州•二模）定义：既有对称中心乂有对称轴的曲线称为“和美曲线〃，“和美曲

线”与其对称轴的交点叫做“和美曲线”的顶点.已知曲线。：2/+3『2+/）,2=6,下列说法正确的是（）

A.曲线。是“和美曲线"

B.点（血,。）是曲线。的一个顶点

C.曲线C所围成的封闭图形的面枳s>4"

D.当点（%,%）在曲线C上时，犬“不看

2.（多选）（2025♦辽宁•二模）如图，曲线C是一条双纽线，曲线C上的点满足：到点£（-3,0）与月（3,0）

的距离之积为9,已知点P（小,%）是双纽线C上一点，则下列结论正确的是（）.

A.点（3虚,0）在曲线C上

B.双纽线C的方程为卜2+），[2=9（Y-y2）

c.-i<y0^i

D.点。在椭圆宜■+支=1上，若GQ_L^。，贝IJOtC

279

3.（2025•江西九江•二模）窗花是中国传统剪纸艺术的重要分支，主要用于节日或喜庆场合的窗户

装饰，尤以春节最为常见，它以红纸为材料，通过剪、刻等技法创作出精美图案，图案讲究构图对

称、虚实相生.2025年春节，小明同学利用AI软件为家里制作了一幅窗花图案（如图），其外轮廓为

方程C:/+y2=l+M所表示的曲线.设图案的中心为O.P为曲线C上的最高点，则|。胃二（）

A.&B.手C7D-V

4.（多选）（2025・山东聊城•二模）笛卡尔叶形线是一种非常优美且具有丰富几何性质的代数曲线,

它的形状如图所示，其标准方程为：./+产=3口9（〃>0）,其中〃是参数.已知某笛卡尔叶形线过

点昼（），点?（为刈（毛>。，%>。）是该曲线上的一点，则（

)

A.当天=也时，儿取到最大值B.%的取值范围是（0,孤］

c.直线x+y=3是曲线的一条切线D.若x+y=r是曲线的渐近线，则/二一1

5.（多选）（2025•广东揭阳•二模）已知曲线C：洞+而［=1,一条不过原点的动直线/与x,y釉分

别交于A,4两点，则下列结论正确的是（）

A.曲线。有4条对称轴

B.曲线C形成封闭图形的面积大于4-兀

C.当|A8|=孝时，线段A8中点的轨迹与曲线C相切

D.当制=1时，直线,与曲线。相切

6.（多选）（2025•陕西西安•二模）已知曲线。：1国+引），|=片，则下列结论正确的是（）

A.若。=0,则曲线C表示一条直线

B.曲线。上的点到原点的距离的最小值为同

c.若。＞0,则曲线c与直线x+y=o只有1个公共点

D.若曲线C与直线y=拒只有2个公共点，则攵二-当

圆锥曲线与向量等知识交汇问题

3

1.（2025•山东潍坊•二模）在VA3c中，AC=-AB,D为边BC上一点,满足3。=2£Q，以A。为

焦点作一个椭圆G,若G经过氏C两点，则G的离心率为（）

1

BD.

,3-I2

2.（2025•黑龙江哈尔滨•二模）己知K，工是双曲线上:一方=1（4＞0力＞0）的左、右焦点，点

M为双曲线E右支上一点，点N在x轴上，满足NGMN=NKMN=3（）。，若

MF{+3MK=AMN^eR）t则双曲线E的离心率为（）

A.—B.-C.—D.；

2222

3.（2025・广东清远•二模）已知抛物线。的方程为V=4x,直线/与C交于A,B两点，A,B两点