江西省南昌市2025-2026学年高三年级上册开学考试数学试卷

江西省南昌市2025-2026学年高三上学期开学考试数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设复数Z满足Z=(l+i)i,则囱=()

A.，2B.2C.75D.1

2.已知〃=(九一2),b=[1,2),a1b>则义=()

A.—4B.4C.1D.—1

3.已知函数/3=sinx-cosx,则下列选项中是/(x)的一个单调递增区间的是()

7T71兀3冗3rt7137177r

A.B.--•C.---D.—

22jL44J144」l_44_

4.已知全集U=NX<1O,X£N},集合4,4是U的子集，若4rl〃={2},(QM)n〃={5,7,9},

(航4)n(a)={6,8},则集合力=()

A.{2,3,4}B.{1,2,4}C.{1,2,3}D.{1,2,3,4}

5.已知平面a，B,直线〃力,则下列结论正确的是()

A.若aua,hHa,则〃//aB.若a//,aua,/?u〃，plijaHb

C.若a//a,bla,则a_L6D.若a//a//a,则。//夕

6.已知首项为1的数列也J,其前〃项积是公差为3的等差数列，则q=()

710

A.4B.3C.-D.—

47

7.已知甲、乙、丙、丁四位老师参加青年教师教学大赛，问其比赛结果，他们回答如下：

甲：丙第一，乙第二；乙：丙第二，丁第三；丙：丁最后，甲第二.如果每个人的两个回答

中，都恰有一个是正确的，而且没有并列名次，那么这次比赛获得第一、二、三、四名依次

是()

A.丙、甲、丁、乙B.丙、甲、乙、丁C.甲、乙、丙、丁

D.甲、乙、丁、丙

8./(X)=2X3-3X2-12X,己知力<0,若“的充要条件是则实数6的最

小值为()

试卷第1页，共4页

A.-2B.C.-1D.

22

二、多选题

9.已知夕是圆C：(x-iy+()，-27=9上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于A/,

N两点，则下列说法正确的是()

A.|。尸|的最大值为3+石B.[0尸|的最小值为3-石

C.|MN|最大值为6D.|MV|最小值为2

10.某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，从某地区随机抽取了500名用户进行问卷

评分调查，将评分数据按[40,50),[50,60)............[90,100]分组整理得知如下方频率分

布直方图，记该样本的平均数为4，三个四分位数分别为a,b,c(〃<6<c),则下列判断

A.a-40<b-aB.c-b<\00-c

C.a,b,c成等差数列D.[i<b

II.已知函数/(x)=xe'+(2-x)e2、则以下说法正确的是()

A./(x)有对称中心B./(x)有对称轴

C./(x)的极小值为2eD.Vx>1,f(x)>f-

三、填空题

12.已知(2+X)6=%+生；+。2储+・一+。5/+牝1，则％=.

13.如图，双曲线C£一£=|的右焦点为R过点「作渐近线小y=2x的垂线/,垂足

矿Zr。

为A,且/与另一条渐近线、y轴分别交于8,C,若⑸=/，则双曲线的离心率为.

试卷第2页，共4页

14.如图，在场/16C中，/历IC=120°,D,七是线段AC上的两个点，也4DE为正三角形,

BD=4EC,则tan乙IBC=.

四、解答题

15.已知抛物线C：./=2期(p>0)的焦点为R过点/作直线/与抛物线。交于4B

两点O为坐标原点.当直线l±y轴时，\AB\=4.

(1)求抛物线。的标准方程；

(2)若直线48的斜率为1,求△力B0的面积.

16.中央政治局会议指出，要强化科技创新和产业链供应链韧性，加强基础研究，推动应用

研究，开展补链强链专项行动；加快解决“卡脖子”难题.某科研院所成立攻关研究小组，准

备攻克一个“卡脖子”难题，研究分两个阶段，第一阶段研究三个基础问题，第二阶段研究三

个应用问题.若该攻关研究小组第•阶段内能解决这三个问题中的至少两个，就可以进入第

二阶段，研究应用性问题，否则该攻关研究小组解散.假设每个基础问题，该小组在第一阶

段内解决的概率均为0.5,若该攻关研究小组进入了第二阶段，每个应用问题，该攻关研究

小组能解决的概率均为0.4(假设各个阶段的每个问题均相互独立).

(1)求该攻关研究小组能进入第二阶段研究的概率；

(2)在该攻关研究小组进入了第二阶段研究的前提下，记该攻关研究小组解决应用问题口勺个

数为乂求随机变量X的分布列和期望；

(3)第一阶段，该攻关研究小组能获得I(单位：亿元)启动经费，第二阶段，每解决一个应

用问题，该攻关研究小组能获得5(单位：亿元)费用.记该攻关研究小组在这两阶段获得

的总费用和为丫(单位：亿元).求随机变量y的期望值.

试卷第3页，共4页

17.已知/(x)=x--alax(6r>0).

x

(1)讨论/(万)的单调区间；

(2)若。>2,求证：/(x)有且仅有三个不同的零点.

18.如图，球。的半径为4,尸。是球0的一条直径，C是线段P0上的动点，过点。旦与

PQ垂直的平面与球o的球面交于。c,44…4是。c的一个内接正六边形.

(i)求六棱锥P-44…4的体积；

(ii)求二面角4-尸4-4的余弦值；

(2)设44的中点为求证：tanNAfP0tan/A/QP为定值.

试卷第4页，共4页

《江西省南昌市2025-2026学年高三上学期开学考试数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案ABBDCCABABCBD

题号11

答案BCD

1.A

【分析】根据复数乘法化荷,再根据复数模的定义求解.

【详解】因为Z=(l+i)i=i+i2=—1+i,所以|Z|=J(—1)2+12=叵,

故选：A.

2.B

【分析】根据向量垂直的坐标表示和向量的数量积进行求解即可.

【详解】因为痛=(Z-2)$=(1,2),G_L6,

所以3石=/1-4=0.

所以4=4.

故选：B.

3.B

【分析】先求出/(X)，再令++求出/(x)的单调递增区间，再

赋值即可判断.

【详解】/(x)=sinx-cosx=\/2sinx——,

<4/

令一四+2辰<x--<—+eZ,则-4+2依4x<—+IkitkwZ,

24244

则/(x)的单调递增区间为-：+2而年+2版,kwZ,

当左=0时，/(x)的一个单调递增区间是一冬春，故B选项正确：

当k=-1时，/")的一个单调递增区间是一华，-,，

当上=1时，/(%)的一个单调递增区间是件，手，故A,C,D选项错误.

故选：B

4.D

【分析】由条件结合关系物4=(Mnu=[(扬4)n刃u[(Mn(㈤[求出»力,由此可

答案第1页，共12页

求人

【详解】因为秒1=（栩）Qu=（/）n（Mj”）=（M）n4］u［（u4）n（iB）］,

又显4）A5={5,7,9},（朝4）n（08）={6,8},所以电4={5,6,7,8,9},

又。={工卜〈1（）,》©1<}={1,2,3,4,5,6,7,8,%,

所以力={1,2,3,4},

故选：D.

5.C

【分析】根据线面平行的判定定理、面面平行的性质、平行性的性质、面面平行的性质逐一

判断即可.

【详解】A：当6ua时，也可以满足qua,b"a,因此本选项结论不正确；

B：当。/〃3,。（=。,》（=夕时，直线。/可以是异面直线，因此本选项结论不止确：

C：设过直线。的平面7与平面。相交于直线c,

根据直线与平面平行的性质定理可知a〃c,因为力_La,且cua,

所以6_Lc,而”〃c,所以a_L人因此本选项结论正确；

D：当a//6，a〃a时，au夕可以成立，所以本选项结论不正确，

故选：C

6.C

【分析】根据数列{q}的前〃项枳为等差数列，得等差数列的通项，进而得所求项.

【详解】因为数列{可}的首项为1，且其前〃项积是公差为3的等差数列.

所以q=l,令…凡，得"=勺=1.

所以数列{0}是公差为3.首项为I的等差数列.

故bn=4+（〃一l）x3=3〃-2,即0=3〃-2.

『，q•%%43x3-27

===

所以/=------~TaOo7-

ax•a23x2-24

故选：C.

7.A

【分析】根据三人的回答中各有一个正确，分别对甲的回答中正确说法进行分类讨论，得出

答案第2页，共12页

相应矛盾即可判断出正确结论.

【详解】若甲说的“丙第一”正确，则乙的回答中只能“丁第三”正确，丙的回答中呷第二”正

确，

此时获得第一、二、三、四名依次是丙、甲、丁、乙；

若甲说的“乙第二”正确，又没有并列名次，则乙的回答中只能“丁第三”正确，内的回答中“甲

第二”正确，

此时第二名出现甲、乙并列，与题设矛盾，

因此第一、二、三、四名依次是丙、甲、丁、乙.

故选：A

8.B

【分析】利用导数分析函数/(x)的单调性，得到其极值，再对〃分类讨论即可.

【详解】由题意，/'("=6彳2-6》-12=6(》+1)(彳-2).

由/'(力>0=>%<-1或x>2；由/'(x)<0=>

所以/(x)在(-*-1)和仅xo)上单调递增，在(T2)上单调递减.

由函数/(X)的极大值〃-1)=7,极小值"2)=—20.

当21_3/_12%=-20,解得尸2或》=-

当时，f(x)>f(b),而/㈤<-20,/(x)没有最小值，/(%)”不成立,

当-|。<0时，/(•"」/⑵=-20,则/(x"-20,

所以6的最小值为-g.

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9.ABC

【分析】根据题意可得：所以|。丹归=1℃1+乙10PL=〃T°q，计算可得A,B选亦

设圆心C到直线MN的距离为d,结合图形可知：当MN为直径时，41m=0,当OCJLM/V时,

结合弦长公式即可求出|MN|的最小值和最大值.

【详解】由于。是圆C：(X-1『+(J，-2)2=9上的一个动点，过原点O的动直级与圆。交

于A/,N两点,所以点。在圆C内，

所以10PL=1。。+〃="^+3=3+^，故A正确；所以|0尸|*=一1℃1=3—石，故B

正确；

设圆心C到直线MN的距离为d，则|MN|=24-/=2、/9-卜，当MN为直径时，41m=。，

所以MV/=2乒6=6,故C正确；

由于OC_LMN时4皿=10cl=石，所以|W|inin=2x/9^5=4,故D不正确；

故选：ABC

10.BD

【分析】根据平均数的定义、三个四分位数的定义，结合频率直方图进行求解即可.

【详解】〃=(45X0.005+55X0.015+65X0.025+75X0.03，+85X0.015+95X0.005)X10=70.5,

设第一四分位数为x,则芍0.005xl0+0.015xl0+(x-60)x0.025=0.25nx=62：

设第二四分位数为N,则有O.OO5xlO+O.O15xlO+O.O25xlO+(y-70)x0.035=0.5=卜=不；

设第三四分位:数为z,贝IJ有0.005xl0+0.015xl0+0.025xl0+(z-70)x0.035=0.75nz=^,

因为avbvc,

所以a=62,Z>=^^,c550

7

答案第4页，共12页

A：因为。一40—(6—。)=2、62-40-力-=亍>0,所以本选项不正确：

B：因为。一〃—(100—c)=2x早一100-翠=一与<0,所以本选项正确；

C：因为"一(。+上竿*2—62—半=+0,

所以4,b,C不成等差数列，因此本选项不正确：

D：显然〃<6,因此本选项正确，

故选：BD

11.BCD

【分析】对于AB,通过判断/(/+工)+/(/-x)是否为常数，以及/(f+x)是否可以恒等于

/("力可判断对称性；对于C,由题可得/'(x)=(x+l)e-(3T)e2r,然后由不等式性质

可得/'(x)=(x+l)e=(37)e2-，N0,然后由对称性可得极小值；对于D,由对称性可得

/(x)=/(2-x),然后注意到Wx>l,2-」=2x7-［二(1)一(0,结

xXXX

合/(X)在(-8,1)上单调递减可判断选项正误.

【详解】对于AB,由题f(E+x)=«+x)e'+、+(2_xT)e2-i,

f(t-x)=(t-x)c'-x+(2+x-t)c2+x~,.

注意到/«+X)+/(fT)为与，，X有关的变量,

而当z=l时，/(l+x)=(l+x)e"“+(l_x)ei=/(1_》)=(17卜1+(1+》)』7,

则/(x)无对称中心，有对称轴x=l,故A错误，B正确；

对于C/'(x)=(x+l)e'-(3-x)e27,由AB分析,只分析其在1,+8)上的单调性,

当xw［l,+8)时，X+l>3-X,又C'NC2T>0,

则/'(x)=(x+l)c'—(3-x)e2-XNO,当且仅当x=l取等号，

则/(X)在［1，+8)上单调递增，由对称性可得/(X)在(f,l)上单调递减，

则/(x"〃l)=2e,故c正确；

答案第5页，共12页

对于D,Vx>Lx>l>->0,由B分析可知，/（x）=f（2-x）,

X

X>1时，2-x<\,2-x--=2x~X<0，

XXX

结合/（X）在（一8,1）上单调递减，则XZx>L/（x）=/（2-x）>/（1）,故D正确.

故选：BCD

12.12

【分析】由二项式展开式通项求解.

【详解】二项式（2+x『的展开式通项为G=C：26-k,£=0J2,…6,

当％=5时，7；=C^26-5X5=6X2/=12.?,

所以为=12,

故答案为：12.

13.述

33

【分析】求出过右焦点垂直于渐近线的直线方程为J=-3（工-。），与垂直的渐近线联立得到

点4的坐标，再根据而=沅得到点8的坐标，利用点8在另一条渐近线上得到,2=4/工进

而求出离心率.

【详解】已知直线4：y='x,因为直线/与直线4垂直，所以直线/的斜率为

ab

又直线/过点/（。,0）,可得直线/的方程为尸-

b

b

y=-x

联立直线/与直线1的方程"，

尸一£（…）

解得X=1,则y=2x±=a,所以点力的坐标为-A.

cacc{cc）

在直线/的方程N=-gx-c）中，令x=O,可得歹=与,

bb

所以点c的坐标为（0,点）.

因为瓦i=K，所以4为8。的中点，

答案第6页，共12页

x+0a2

2a2

2cx=---

c

设点6的坐标为(xj),可得ac，解得

y+-b_ablabac

y=------r

-----=---ch

2c

因为点B在另一条渐近线y=-"上,

所以将从生，型一华]代入k-3可得：迎—竺一

[ccb)acbac

4〃c

化简可得竺=：,即C2=4/A

cb

又因为。2=。2+〃2,所以/=《，则。2=/+%=它

333

叫名匡乎

故答案为：巫.

3

14.上

55

【分析】根据题意设EC=x,O七=y,x>0/>。，可证△WB。〜AC/E,得到上二空，继而

CEAE

得到y=2x,由余弦定理可求4C=/x,再利用正弦定理可得sin48。=辿，然后求

14

tan/48cH|J可.

(详解】设EC=x、DE=y,x>0j>0,则BD=4EC=4r,

又出/IDE为正三角形,所以AD=AE=y,NADE=NAEC=60°,

则//O8=NC"=120°,又NB/C=120。，

所以N4+NC=60。,N3+/BAD=60。，则乙4BD=NCAE,

故"BDfCAE,PPJ——=——,即｝=—,所以4，=/,即y=2x,

CEAExy

所以，。二4工十,十x—7x,

AC2=CE2+AE2-2CEAEcosZAEC=x2+y2+xy=lx2,AC=41

在ei8C中，一——=———,即「x=瓜，

sinZ5/ICsinZABCsin120°sinZABC

解得sin/力灰?=叵，又N84C=120。，则/力8c为锐角，

14

所以lan8=—.

5

答案第7页，共12页

故答案为：f.

15.(l)x2=4y

(2)272

【分析】(1)依题意分析当直线/_Ly轴时，用〃表示A、B两点坐标，根据|力回=4,可求得〃

的值，进而得到抛物线C的标准方程.

(2)联立直线与抛物线方程，可得到48两点坐标关系，进而求得△彳8。的面积.

【详解】(1)由题可知："(0，今].

\Iy

当直线LLy轴时，可得《一夕春)，*p，9.所以|明=2〃.

因为|力却=4,所以2p=4,解得〃=2,故抛物线C的标准方程为f=4y.

(2)由(1)知：尸(0,1),所以直线，：y=x+L

联立直线/与抛物线c方程;…,得x—is

设点力($,乂)，4(/，必),则再+9=4,X[/=-4,

所以其-々|=7(X|+X2)2~^X\X2=4上•

16.(1)0.5

(2)分布列见解析，L2

(3)4

答案第8页，共12页

【分析】（1）根据该攻关小组在第一阶段解决2或3个问题求概率.

（2）明确X的分布类型为二项分布，可求其分布列和明望.

（3）根据变量之间的关系求随机变量丫的期望.

【详解】（1）该攻关研究小组能进入第二阶段研究的概率为：

p=O.53+C；xO.52x（l-O,5）=O.5

（2）因为8（3,04）,

所以P（X=左）=C：♦0"X（1一0.4广,（a=0,1,2,3）,

所以随机变量X的分布列为

X0123

P0.2160.4320.2880.064

其数学期望E（X）=3XO.4=L2.

（3）记进入第二阶段前提下，获得费用数为随机变量Z（单位：亿元），则Z=5X,

所以E（Z）=5E（X）=6（单位：亿元）.

所以£（y）=l+（C；xO.53+O.53）xE（Z）+（l-C；xO.5JO.53）xO=4.

17.（1）答案见解析

（2）证明见解析

【分析】（I）利用导数法求函数的单调性：

（2）解法一：通过构造函数，利用函数的单调性和零点的存在性定理得到零点的个数；

解法二：利用函数的增减性得到函数的极值点，通过极大值，极小值与0的大小得到零点个

数.

x

【讲解】（1）/\x）=ii4j=一，i，

XXX

令八%）=。，则工2-〃.丫+1=0，A=67：—4，

当/一4K0即0<aW2时，/一3120,r（x）N0,此时/"）在（0,*o）单调递增，无单调

递减区间：

当d-4>0即〃>2时，方程/一6+1=o有两根f4,

12

a+Jaj,则0<x"或xx时，八幻>0,单调递增；

2

答案第9页，共12页

X1<X<X2时，八x）<0,/（X）单调递减.

综上所述，当0<。=2时，/（X）在（0,讨）单调递增，无单调递减区间；

当。>2时，/（戈）在（0,%），（/，+<»）单调递增，在（玉，/）单调递减.

（2）因为片一%+1=0（/=1,2）,所以4=茗+，（z=l,2）,

Xi

所以/'（%）=工一---f?lnx）=rj---毛」Inr,

1

同理/（工2）=占一~--x2+—lnx2,因为士工2=1，

x2

所以0<芭<1<当，设函数g(x)=^---^+-jlnx,

则g'(x)=(*-l)lnx，当色1时，p--l<0,

lar>0,此时g'(x)40；当0cx<1时，

厂

Inx<0,此时g'(x)<0.所以Vx>0,g'(x)g0,

即g（x）在（0,+8）单调递减，所以/（$）=g（xj>g⑴=0,

/(x2)=g(x2)<g(l)=o,且X-0时，/(X)—F,X—+8时，f(X)->+00,

所以/（X）在（0,X]）,（再，X2）,朔2，+<»）各有一个零点,

即/（X）有且仅有三个不司的零点.

（2）解法二：因为X：-叼+1=0（/=1,2）,所以a=Z+，（/=1,2）,

Xi

所以/'（xJ=X|_-!-_alnx=X]—!■一不」Inx,

1

同理/（乙）=£

x2+—lnx2,因为工丙二1，

X2）

,1

所以0</<1<与，所以—=--x,-aIn—=-/1),

kxi7

由（1）可知，当4>2时，“X）在Ho,*）,（%,物）单调递增，在（卬/）单调递减.

•.・x=为为极大值点，％为极小值点，==0<x,<l<x2

=0,.*./（%,）</（I）=0,且*->0斤寸，f（^）->-oo；xi+cclf寸，

答案第10页，共12页

所以/(x)在(0,X]),(X[,X,),(x2,+00)各有一个零点