期末易错压轴题型（22易错+8压轴）原卷版-2025-2026学年七年级数学上学期（人教版）

期末易错压轴题型（22易错+8压轴）

题型预览

易错题型一、有理数的概念易错题型十六、平面图形形状的识别

易错题型二、科学计数法易错题型十七、点、线、面、体四者之间的关系

易错题型三、近似数易错题型十八、直线、射线、线段的概念

易错题型四、有理数的运算易错题型十九、线段的比较与运算

易错题型五、有理数的乘方易错题型二十、角的概念

易错题型六、代数式的概念易错题型二十一、角的比较与运算

易错题型七、单项式的概念易错题型二十二、与余角、补角有关的计算

易错题型八、多项式的概念压轴题型一、绝对值的几何意义

易错题型九、合并同类项压轴题型二、整式加减的压轴题型

易错题型十、添括号与去括号压轴题型三、解一元一次方程的压轴题型

易错题型十一、整式的加减运算压轴题型四、图形类规律探索

易错题型十二、一元一次方程的定义压轴题型五、数字类规律探索

易错题型十三、等式的性质数压轴题型六、一元一次方程的实际应用

易错题型十四、解一元一次方程数压轴题型七、与线段有关的动点问题

易错题型十五、几何体展开图的认识数压轴题型八、实际问题中角度计算问题

@易错题型

易错题型一、有理数的概念

1.（25・26七年级卜「山东济南•阶段练习）在15,-3,0,-y-,-2.5,3.14,-5中，侦有理数的个数曷

（）

A.1B.2C.3D.4

13

2.（2025七年级上•湖北武汉•模拟预测）在-g，0，-L8,-3,4.2中，分数的个数为,

整数的个数为，非负数的个数为.

4

3.（25-26七年级上•广东清远•期中）把下列有理数填在相应的集合内：3,0,0.45,-77,

-2.56,0.3.

负有理数集合：{...}

整数集合：{.•.}

分数集合：1...}

易错题型二、科学计数法

4.（25-26七年级上•湖北武汉•期中）2025年湖北武汉普通高校毕业生规模预计达12220000.其中

“12220000”用科学记数法表示为（）

A.1.222x10sB.12.22xl06C.1.222xl07D.0.1222x10s

5.（25・26七年级上宁夏银川•期中）若一个整数12500…0用科学记数法表示为1.25x10%则原数中“0”的

个数为一个.

6.（24-25七年级上•江苏南通•阶段练习），•神威•太湖之光”超级计算机运算速度达每秒9.3xl（严次，它工作

lh可进行多少次运算？（结果用科学记数法表示）

易错题型三、近似数

7.（24-25七年级上•湖南衡阳•期中）用四舍五入法按要求对0.15029分别取近似值，其中错误的是（）

A.0.2（精确到十分位）B.0.15（精确到百分位）

C.0.150（精确到千分位）D.0.1502（精确到0.0001）

8.（25-26七年级上•四川成都•期中）把数3.086精确到百分位等于.

9.（2025七年级•湖北武汉•模拟预测）已知电路振荡1838526354次的时间为0.2s.

（l）ls内电路振荡次.

（2）用四舍五入法将（1）中的结果精确到千万位，并用科学记数法表示.

易错题型四、有理数的运算

10.（24-25七年级上•浙江•期中）现定义两种运算“㊉”"”.对于任意两个整数，。㊉=

则（6㊉8）*（3㊉5）的结果是（）

A.60B.69C.70D.90

11.（24-25七年级上,河南郑州•期末）计算：20032003x2003-20032002x2002-20032002=.

12.（25-26七年级上•广西来宾•期中）聪明的小敏同学在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数

加®键,再输入数再就进行a®b=S+3）x3-6.例如:405=（4+3）x3-5=16.

（1）求（-7）09的值.

（2）求（5③4）包（-6）的值.

易错题型五、有理数的乘方

13.（25-26七年级上•广东广州•月考）乘法运算-可以表示为（）

A.g5B.卜打5C.D.-（3

14.（2025七年级上•重庆•模拟预测）进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值.生

活中常用的十进制是用0〜9这十个数字来表示数，满十进一.例如，十进制数3721表示为：

3721=3xl0A+7xl02+2x10'+1x10°（规定当今0,。°=1）；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0

和I两个数来表示数，满二进一.例如，二进制数10000转换为十进制数为：

Ix24+Ox23+0x22+0x2'+0x20-16.根据以上信息，将二进制数10111转换为十进制数为

15.（25・26七年级上•江苏•期中j（1）在数轴上把下列各数表示出来：，-1-2.51,-:2；|,（-1）100,

-22:

IIIIIIIII||>

-5-4-3-2-1012345

（2）将上面各数用号连接起来为

易错题型六、代数式的概念

16.（25-26七年级上•辽宁锦州•期中）一列火车长〃?米，以每秒〃米的速度通过一个长为〃米的桥洞，用

代数式表示它通过桥洞所需的时间为（）

p+mp-rn

A.-------秒B.27秒C.上秒D.-------秒

nnn

17.（25・26七年级上•湖北武汉・期末）有下列各式：-2a-5,-3,2。+1=4,3x3+2x2/,—b,其中,

代数式有一个.

18.（2025七年级上•湖北武汉•模拟预测）一项工程，甲队独做10天完工，乙队独做12天完工，丙队独做

15天完工.三队合作x天后，甲队调离，留下乙、丙两队再做5天.请分别用含x的代数式表示出三个队

各自完成的工作量，以及总共完成的工作量.

易错题型七、单项式的概念

19.（25-26七年级上•江西赣州•期中）单项式-殍的系数与次数分别是（）

44

A.一§和3B.-4和3C.一§和2D.一4和2

20.（24-25七年级上•湖北武汉•期中）有下列式子:①-9"②21；③手；④-/加；⑤1;⑥Y-2x+3;

552

®-;®-+l.其中属于单项式的有.（填序号）

ax

21.（25-26七年级上•甘肃武威•月考）观察下列单项式：

1,122123】24

—x'y.—xy,-xv,——xy»•••

24z816

（1）写出第8个单项式；

（2）请你猜想第〃个单项式是什么，它的系数、次数分别是多少？

易错题型八、多项式的概念

22.（24-25七年级上•湖北武汉・期末）下列各式：弊,2/-】，7a+b,-2,孚，竺吆中多项式有

22m

（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

23.（24-25七年级上•山西运城・期末）如图所示的是一位同学数学笔记可见的一部分.若要将这个式子补

充完整，你补充的内容是.

+盯~5是一个三次三项式.

24.（25-26七年级上,湖北武汉・期中）已知关于x的整式为（k|-3）d+（"3）x2一左.

（1）若此整式是二次多项式，求左的值.

（2）若此整式是二项式，求人的值.

易错题型九、合并同类项

25.(25-26七年级上•江西南昌•期中)下列计算正确的是()

A.5a-a=4aB.3ab-2ab=1

C.2m2+In2=2m2n2D•m2n-3nin2=-2nin2

26.(24-25七年级上•湖南长沙•期末)合并同类项：6X-10X2+12X2-15X=

27.(25-26七年级上•山东济南•期中)合并同类项

(1)5m+2n-m—3〃

(2)-6ab+ba+8ab

(3)6x2y-2xy2-5x2y+xy2；

(4)-2x2+3X3-5-2X3+4x+2x2-7

易错题型十、添括号与去括号

28.（25・26七年级上,湖北武汉•期中）下列各题去括号所得结戾正确的是（）

A.x2-（x-_v+2z）=x2-x+y+2zB.3X-[5A-（X-1）]=3x-5x-x+1

C.A-(-2x+3y-l)=x+2x-3y+lD.(x-l)-(x2-2)=x-l-x2-2

29.（2025七年级上•湖北武汉•模拟预测）去括号：2x-（3xy-3/+5）=

⑵七年级上河南新乡•期末）⑴小丽在计算%号八卜时，采用了如下做法:

30.-25

512611

解：一ci-----a2-----ci2

41717

-a2-①

411717X

12

-a'-

4

3

—a②

4

步骤①的依据是:

步骤②的依据是:

3444A

（2）请试着用小丽的方法计算:~x2y-x2y-^x2y+^-x2y.

易错题型十一、整式的加减运算

31.（25・26七年级上•广东汕头・期中）多项式-a2T与3a2_241的和为（）

A.2a~—2ciB.4a~-2a+2

C.4a2-2a-2D.2a2+2a

32.(25-26七年级上•湖南长沙•期中)定义一种新运算：4®力二〃-2力，例如：2管3=2-2x3=-4,则x额-J，)

化简后的结果是.

33.(25-26七年级上•江西南昌期中)化简：

(1)2nrn-3mn+8-3m2n+5mn-3

(2)(3X+1)-2(2X2-5X+1)-3X2

易错题型十二、一元一次方程的定义

34.（24-25七年级上•湖南长沙•期中）下列方程中是一元一次方程的是（）

A.x2-4x=3B.3x=6C.x+2y=7D.x-2=—

x

35.（24-25七年级上•江苏南通・阶段练习）若％=—2是关于x的方程21+3小—2=0的解，则用的值为

36.（24-25七年级上,福建泉州•期中）关于x的方程（加+2）x叶-3=9是一元一次方程，求〃?的值.

易错题型十三、等式的性质

37.（25-26七年级上•安徽黄山•期中）下列等式变形，结果正确的是（）

A.由5x-3=7,得5x=4B.由一^x=2,得》=一6

C.由-8x=4,Wx=-D.由4-x=3,得x=-l

2

38.（2025七年级上•江西•模拟预测）阅读下框中解方程的过程，四个步骤中，不是依据等式的性质变形的

是.（请填写序号）

-------->3X--3------------>x=~\

合并同类项।------系数化为1匚-

39.（24-25七年级上•安徽六安•期中）一般情况下"是不成立的，但有些数〃?，〃可以使得它

242+4

成立，例如m=〃=0.

（1）当机=1,〃=-4时，?+：=会?成立吗？请通过计算说明理由.

⑵除了上面的小，〃取值外，请列举一组能使得三+彳=景成立的〃?，〃值.〃7=_,〃=_.

易错题型十四、解一元一次方程

40.（25・26七年级上,广东广州•期中）x=-2是方程皿-6=15+=的解,则〃?的值为（）

A.-4B.-3C.7D.-7

41.（25-26七年级上•安徽合肥・期中）关于x的一元一次方程2（x-l）二如+3有正整数解，则

（1）此方程的解为x=（用含。的代数式表示）；

（2）整数a的值为.

42.（23-26七年级上•安徽六安•期中）我们规定一种运算：当心＞/）时，a*b=2a+b；当。=力时,

a*6=3a；当a＜力时，力=a-3机例如，3*（-l）=2x3+（-l）=5；（-2）*1=（-2）-3xl=-5.

⑴计算：①（-3）*5；②（一2）*（-2）；

（2）如果（加+5）*机=4,求的值；

⑶请问：当x为何值时，（-2）*工=-8.

易错题型十五、几何体展开图的认识

43.（24-25七年级上•广东广州•期末）下面图形中，（）是圆柱的展开图.

44.（24-25七年级上•江西南昌•期末）如图是某几何体的展开图，该几何体是

45.（24-25七年级上•辽宁沈阳•阶段练习）一种产品的包装盒如图所示，为了生产这种包装盒，需要先画

出其表面展开图的纸样（单位：cm）

（2）利用你所选的一种纸样，求出包装盒的表面积（侧面积和两个底面积的和）和体积.

易错题型十六、平面图形形状的识别

46.（24-25七年级上•四川眉山・期中）用〃、N、P、。各代表四种简单几何图形（线段、等边三角形、

正方形、圆）中的一种.图1至图4是由"、N、P、。中两种图形组合而成的（组合用表示），表

示P&。的有①⑷4个组合图形可以供选择,其中正确的是（）

O©A

M&PN&PN&Q

A.①B.②C.③D.⑷

47.（24-25七年级上•湖北武汉•单元测试）如图中长方形有个.

48.（24-25七年级上•广东广州•期末）计算阴影部分的面积.

12m

易错题型十七、点、线、面、体四者之间的关系

49.（24-25七年级上•山东青岛•期末）朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地

斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了把雨看成」说明一（）

A.点；直线；点动成线B.点；线；点动成线C.线；面；线动成面D.线；面；面动成体

50.（24-25七年级上•辽宁锦州•期中）,,枪打一条线，棍打一大片”从字面上理解这句话所描述的现象，用

数学知识可解释为：.

51.（24-25七年级上•山东济南•期末）如图中圆柱的底面周长是25.12cm,高是15dm,现用包装绳包扎,

至少需要多长的包装绳？（接头处需15cm）

易错题型十八、直线、射线、线段的概念

52.（24-25七年级上•山东济南•期末）如图，下列说法正确的是（）

111

OAB

A.射线。4和射线08是同一条射线B.直线48和直线相不是同一条直线

C.线段04和线段力。不是同一条线段D.点。在线段43的延长线上

53.（24-25七年级上•贵州六盘水•期末）如图所示，在同一平面内两条直线相交，有一个交点，三条直线

相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点……，那么12条线直线相交最多有个交点.

x大4q……

54.（2025七年级上•湖北武汉•模拟预测）如图，点从C在线段力加上.

I」」」

ABCD

（1）图中以力为一个端点的线段有几条？以B为一个端点的线段有多少条?

（2）图中一共有多少条线段？请分别表示出来.

易错题型十九、线段的比较与运算

55.（24-25七年级上•云南保山・期末）如图，。是线段月8的中点，若=10cm,则力。的长为（）

III

ACB

A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm

56.（25-26七年级上•四川成都•期中）如图，点C在线段上，图中共有三条线段力从力。和8C,若其

中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”.

I1」

ACb

（1）线段的中点这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）：

（2）若力8=⑵W，点C是线段//的巧点，则4C最长为cm.

57.（2025•陕西•模拟预测）如图，在△力8c中，乙4>90。，47=3,8c=7请你用尺规作图的方法在43

边二求作一点P,使得4P=1（保留作图痕迹，不写作法）

易错题型二十、角的概念

58.（24-25七年级上•山西太原・期末）以学校为观测点，广场在北偏西60。方向上的是（）

北北北

59.

60.（24-25七年级上•河南信阳・期末）如图，以海岛力为圆心，半径为3海里的水域分布着暗礁，这里是

船航行的危险海域，所以海岛力上建有一座信号塔，向经过的船发射避险信号.

:||||||||||||

【二」』』，』」」」」一◎1海里

1海里

（1）在海岛A的正北方向5海里处的P船和在海岛A的正西方向5海里处的。船同时收到了避险信号，请在

图中标出尸船和。船的位置.

（2）收到避险信号后，两船均改变航向，。船朝东偏南45。方向航行，。船朝东偏北30。方向航行.改变航向

后，两船是否有触礁危险？（画图说明）

易错题型二十一、角的比较与运算

61.（24-25七年级上•宁夏银川月考）如图，ABOC=a,N4OB=NCOD=900,则/力。。等于（）

B.180°-(zC.a-450D.2a—90°

62.（25-26七年级.卜.•湖北武汉•期中）如图，4。是△ABC的角平分线，N4BD=30。，则/月8c的度数

为一

A

D

BC

63.（24-25七年级上•陕西咸阳•阶段练习）某数学兴趣小组利用宜尺和三角板研究角的平分线，如图所示.

（2）如图②，点。在直线48上，当/。0。=40。（0C在。。的左侧）时，平分/4OC,ON平分

4BOD,求NMON的度数.

易错题型二十二、与余角、补角有关的计算

64.（24-25七年级上•山西太原•期中）如图1,小夏用积木搭了一个跷跷板，将其抽象为如图2的图形.若

乙%C=90。，则N1与/2一定满足的关系为（）

C.互为对顶角D.相等

65.（24-25七年级上•河南许昌・期末）将三角尺与直尺按如图所示摆放，若/。=20。45',则"的度数

66.（24-25七年级上•湖北武汉期末）如图，-4OC与/4OC互为补角，NBOC与NBOD互为余角,且

ZBOC=4ZBOD.

C

E

AOB

Z)

⑴求/8OC的度数;

(2)若OE平分/49C,求的度数.

压轴题型一、绝对值的几何意义

1.(25-26七年级上•安徽宿州•期中)［阅读材料］|〃?-〃|的几何意义是数轴上表示〃?的点与表示〃的点之间

的距离.例如：|2-1|可以看成数地上表示数2的点与表示数1的点之间的距离，所以|2-1|=1.

(1)卜+2］的几何意义是表示数x的点与表示数的点之间的距离；

⑵⑴若卜+2|=3,求x的值；

(ii)求卜+2|+k-1|的最小值.

2.(25-26七年级上•河南郑州•期中)如图，已知数轴上有4B两个点，分别表示有理数-6,4.

幺B

O-44-

-6

(1)数轴上点4到点8的距离为二数轴上到点4〃的距离相等的点表示的有理数为二

(2)若动点尸从点/出发，以每秒1个单位长度的速度向右移动，设移动时间为，(f>0)秒，月含，的式子

分别表示P点到点力和点B的距离：

(3)若卜-3|+卜+5|=8,则”的取值范围是

3.(25-26七年级上•天津•阶段练习)小慧学习了本节内容后，发现有些算式不计算也可以把算式中的绝对

值符号去掉.如：|4+7|=4+7,6-9|=9-6,|7-5|=7-5,|-6-7|=6+7.

（1）参照上述情况，去掉下列各式的绝对值符号（不需要算出结果）：

①"11|=

（2）——+0.8

/-X79

°1616

④卜3-2.9|=

（2）若则卜一"=；若力，则|"耳=

115015011

⑶计算:

5-559+55933

（4）若表示数。的点为数轴上任意一点，则|。+2|+|10-4是否有最小值，如果有，请直接写出最小值；如果

没有，请说明理由.

4.（25-26七年级上•江西•阶段练习）如图，数轴上点8所对应的数分别是-2,2.对于关于1的式子

我们规定：当有理数x在数轴上所对应的点为4,8之间（包括点力，B）的任意一点时，式子M的

最大值小于等于2,最小值大于等于-2,则称式子用是线段48的“完美”式子.例如，对于关于x的式子

W，当》=±2时，式子忖取得最大值2；当x=0时，式子区取得最小值0,所以式子忖是线段招的“完美”

式子.

AxB

—1_1_•_1—L->-1_•~~1—

-4-3-2-101234

（1）关于x的式子"=|x-1|,当有理数x在数轴上所对应的点为力，8之间（包括点力，4）的任意一点时,

取得的最大佰是,最小佰是,所以式子”=|x-1|（填“是”或“不是”）线段的“完美”式

子.

⑵关于x的式子例=卜+1|+4是线段/打的“完美”式子，则有理数。的最大值是,最小值是.

（3）以下关于x的式子：①②]+1：③卜+1卜|.”1|-1.其中是线段"的“完美”式子的是

（填序号），并说明理由（只需对你认为是的式子给出验证过程，不是的无需说明）.

5.(24-25七年级上•河南郑州•期中)已知点48在数轴上分别表示mb.

任务要求

(1)对照数轴填写下表:

a8—8—8—83-1.5

b404-4-6-1.5

A,8两点间的距离48124

-8-7-6-5-4-3-2-10123456789101112

问题探究

(2)若43两点间的距离记为/试问d和小〃有何数量关系.

问题拓展

(3)当x等于多少时，卜+4|+6的值最小，最小值是多少？

(4)若点。表示的数为x,当点C在什么位置时，|x-I|+|x-5|的值最小，最小值是多少?

压轴题型二、整式加减的压轴题型

6.(25-26七年级上•湖南长沙•月考)一个两位数的十位上的数为〃，个位上的数为力，这个两位数记作

%；一个三位数的百位上的数为x,十位上的数为V,个位上的数为z,这个三位数记作至.

(1)小明发现：如果(x+N+z)能被3整除，那么踵就能被3整除.请补全小明的证明思路.

证明：：师=(J)_=(2)_+(x+y+z),

又••代数式②，(x+y+z)都能被3整除，

・•.E能被3整除.

⑵［丽+福)能被II整除吗？请说明理由；

7.(2025七年级上•湖南长沙•模拟预测)日常生活中每星期都有7天,所以我们定义:若a+b=7,则称。

与8为“完美星期数”，例如；因为6+1=7,我们就说6和1是“完美星期数”，请根据以上材料，回答下列

问题:

(1)-2与是“完美星期数“，5-》与是“完美星期数”；(用含x的代数式表示)

⑵若P=41+2c-3)应=-2(4c+2c2-2),请你通过计算判断P与9是否为“完美星期数”;

⑶已知4=c/+2(6x-x2)-3,b=10-3(x2+阳，且。与6为“完美星期数”，求c与4的值.

8.(25・26七年级上•湖南长沙•月考)整体思想是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组

数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径.例如-+i=i,

求/+X+2024的值，我们将/+X作为一个整体代入，则原式=1+2024=2025.

」＜5。-2b川

4.1-------A：---帕-2b7

V3万

(1)如果代数式2/一)，的值为1,那么代数式4/-2丁+5的值为

(2)如图，若a-b=5,求长方形£与力的面积差.

9.(25-26七年级上•浙江杭州•期中)某市居民用电电费目前实行梯度价格表.

每月用电量单价

不超出180千瓦时的

0.5元/千瓦时

部分

超出180千瓦时不超

0.6元/千瓦时

出400千瓦时的部分

超出400千瓦时的部

().8元/千瓦时

分

⑴若月用电160千瓦时，应交电费元，若月用电420千瓦时，应交电费元；

(2)若居民丁丁家12月用电量为x千瓦时(180cW400),请计算池们家12月应缴电费元(用含工

的代数式表示)：

(3)若居民兰兰家11、12月份共用电400千瓦时(其中11月份用电量少于12月份)，设11月用电。千瓦时,

求兰兰家11、12月共交电费多少元？(用含。的代数式表示，并化简)

10.（25-26七年级上•山东济南・期中）如图，有足够多的完全相同的小长方形（图I）和一个大长方形纸

片.小长方形两邻边的长分别记为mb,把小长方形纸片不重叠的摆放在大长方形上，阴影是小长方形没

有覆盖的部分，分别记为S”

（1）如图2,当48=15,47=10时，直接写出S和S2的周长和是

（2）如图3,若大长方形分割为6个小正方形，且中间的最小正方形的边长是1,求大长方形的面积.

压轴题型三、解一元一次方程的压轴题型

11.（24-25七年级上•江西南昌・期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们称这两个方程

为“互逆方程

例如：方程2x=4和3x+6=0为“互逆方程”.

⑴下列方程中与方程2x-4=x+l为“互逆方程”的是（填写序号）；

（T）-2x=10,②一2（x+l）=2,③一^—+3=1.

（2）若关于x的方程2x+3/„-2=0和3x-5〃?+4=0为“互逆方程”，求m的值.

12.（25-26七年级上•江西•期中）规定关于x的一元一次方程以=人的解为2“-》，则称该方程是定解方程,

QS4R

例如：2x=］的解为2x2-2=w，则该方程2x=*就是定解方程：

（1）若关于X的一元一次方程3x=m是定解方程，则的值为:

⑵若关于x的一元一次方程宏二浦+“〃/0）是定解方程，它的解为x=a,求的值：

（3）若关于人的一元一次方程3x=mn+m和-3x=mn+n都是定解方程，求代数式

1

mn+n)十加一〃的值.

4

13.（25-26七年级上•广东广州•期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1,我们就称这两个方程

互为“阳光方程例如：2x=2的解为x=Lx+l=l的解为x=0,所以这两个方程互为“阳光方程”.

（1）若关于x的•元次方程入+2,忏0与34-2--》是“阳光方程”，则〃7=.

（2）已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5.若其中一个方程的解为

x=k,求4的值.

r

⑶已知关于X的一元一次方程赤+。=2023》的解是“2024,请写出解是y=2023的关于，的一元一次

2043

方程：1+2023（）=（只需要补充含有y的代数式）.

14.（25-26七年级上♦山东济宁・月考）阅读下列材料，完成后面的任务：

我们规定：若关于x的一元一次方程亦的解为x=b+a,则该方程为“和解方程”.例如方程2x=-4的解

为工=-2,而-2=-4+2,则方程2x=-4为“和解方程”.

任务：

（1）下列关于x的一元一次方程是'和解方程”的有_.（填序号）

9

①2x=-5；@5x=-2；③3x=-耳.

（2）若关于x的一元一次方程3x=6a-9是“和解方程”，求q的值.

15.（24-25七年级上•湖南长沙・期末）【阅读理解】使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程

的解.如x=6是方程3x=18的解.已知方程3（"1）=18,若把（。-1）看作一个整体，则91）=6；已知方

程（36+2）=18,若把（3力+2）看作一个整体，则（36+2）=6.

【尝试运用】

（1）已知方程3（4〃?+5）=18,则4〃?+5的值为」

（2）已知方程出二2=18,则二•的值为二

20242024

【拓展创新】

(3)已知关于x的一元一次方程募x+3=2x+Z)的解为x=2,求一元一次方程

(歹+3)+6072=4048()，+3)+20243的解.

压轴题型四、图形类规律探索

16.(25-26七年级上•云南曲靖・期中)观察下列图形，它们是按一定的规律排列的，依照此规律，解答下

歹ij问题：

★第I个图形★★★第2个图形★★★★★★第3个图形★★★★★★★★■★•★第4个图形

(1)填写下表：

图形编号12345・・・n

★的个数13610•••

(2)求出第100个图形中★的个数；

(3)求出前100个图形中★的总个数.

17.(25-26七年级上•安徽安庆•阶段练习)观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律:

」因包三日三口……

(1)在④后面的横线上写出相应的答案：

①1=/；②]+3=2。③1+3+5=3-④1+3+5+7=；⑤1+3+5+7+9=5?；…

(2)参照上面的等式，请写出第7个等式：

(3)根据上述的规律,计算：41+43+45+…+99.

18.(2025・安徽・模拟预测)【观察思考】围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史.围棋使用圆形黑

白西色棋了•在方形格状的棋盘上对弈.现用黑白棋子围成下列图案：

ooooooo

第I个图案第2个图案第3个图案第4个图案

（1）【规律发现】请用含〃的式子填空：

第八个图案中黑色棋子的个数为,白色棋子的个数为.

（2）【规律应用】结合图案中两色棋了的排列方式及上述规律，当第〃个图案中黑色根了比白色棋了多21个

时，求正整数〃的值.

19.（25・26七年级上•江苏南通•月考）如图，在边长都为。的正方形中分别排列着一些大小相等的圆.

第1个正方形第3个正方形

（I）根据图中的规律，第5个正方形中圆的个数是,第〃个正方形中圆的个数是一

（2）如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影.

①将第1个正方形、第2个正方形和第3个正方形中阴影部分的面积分别记作鸟，S”那么$=

，邑=,.（请用含，的代数式表示，结果保留兀）

②当。=1（）时，请求出第2025个正方形中阴影部分的面积.（结果保留兀）

20.（24-25七年级上•安徽宣城•期末）（1）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律,

20

分数充K若排在第。行人列，贝斯+8的值为.

[

T

\_i

2-7

23

32?

^234

4321

（2）在求1+2+3+……+100的值时，发现：1+100=101,2+99=101……，从而得到

1+2+3+-100=101x50=5050.按此方法可解决下面的问题.图（1）有1个三角形，记作6=1；分别连

接这个三角形三边中点得到图（2）,有5个三角形，记作色=5；再分别连接图（2）中间的小三角形三边

中点得到图（3）,有9个三角形，记作为=9；按此方法继续下去，贝1」％+电+/+……+%=

_____________.（结果用含〃的代数式表示）

压轴题型五、数字类规律探索

21.（25-26七年级上,湖北武汉•月考）观察下列各式：-lx：=-l+:，-ixl=-l+l

222323

1111

——x—=——+一.

3434

⑴猜松-击脸=-------:

（2）你发现的规律是：-'入一】=________（〃为正整数）；

nn+i

（3）用规律计算：［2）［23）［34）（20232024J（20242025；

22.（25-26七年级上•福建三明•月考）阅读下列计算过程，发现规律，然后利用规律计算:

1+2=01^=3

2

,1,(1+3)X3人

2

(l+4)x4

l+2+3+4=-——-=10

2

1+2+3+4+5=°+5”=15

2

(1)利用上述规律计算：1+2+3++)01=

（2）计算:

(1234、

{5555)

23.(25-26七年级上•福建福州•期中)观察下列等式:

1,1

第I个等式:-----=1—；

1x22

1II

第个等式:

2273-2-3

111

第个等式:

33^4-3-4

以上三个等式两边分别相加得：*+右

请解答下列问题:

1

(1)根据上面的规律写出％=而用=(”为正整数);

(2)直接写出计算结果：q+%+%+…+4o=

11

(3)探究并计算:-------F--------4------------1------------

2x44x66x88x1010x12

24.(25・26七年级上•四川成都•期中)仿照例题计算:

2

1-+

22~33

(1)按规律填空:

11111

①——+-----+-------+-----+…+

^1x22x33x44x599x100

②如果〃为正整数，那么贵+*+£+六+-+高丽

(2)探究并计算:------------1---------------1---------------1-------------F•••H----------------------------

-1x3-3x5-5x7-7x9-2023x2025

(3)计算(由此拓展写出具体过程)：

「J___1___1___1___1____1_

一召-•一诟一诟

25.(25-26七年级上•四川成都•期中)归纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略.

“博雅”数学兴趣小组在探究连续正整数相加时得到如下结论：1+2+3+…+〃=也二U,为此，他们继续探

2

究连续正整数的立方之和的问题，得到如下等式：

第1个等式：r=~

第2个等式：广+23=(1+2)+2(1+2)：

第3个等式：/+23+33=(1+2+3)+2(1+2+3)+3(1+2+3)；

第4个等式：134-23+33+43=(1+2+3+4)+2(1+2+3+4)+3(1-2+3+4)+

•••»*

根据以上规律，解决以下几个问题

⑴补全第4个等式：/+23+33+43=(1+2+3+4)+2(1+2+3+4)+30+2+3+4)+:

(2)用含〃的等式表示第〃个等式，并将等式右边进行化简；

(3)根据以上探究，计算下列式子：

①+…+2(f；

@1-2)3+(-4)3+(-6)3+...+(-38)3+(-40)\

压轴题型六、一元一次方程的实际应用

26.(25・26七年级上•陕西西安•月考)“榆宝宝”和“林贝贝”体现冰雪热情与陕北风情，作为陕西省第•届

冬季运动会的形象大使，它们是冰雪世界中最具地方特色的文化使者与冬运精神的象征.某工厂应官方要

求生产“榆宝宝”、“林贝贝”的挂件和玩偶这两种产品，每个玩偶的成本价比每个挂件的成本价贵25元.若

要生产800个挂件和200个玩偶，共需要20000元成本.

(1)求每个挂件和每个玩偶的成本价分别是多少元？

(2)若每个玩偶的出售标价是75元.为了促销，现对每个玩偶在标价基础上进行打折出售.若按标价打。折

售出18个玩偶所获得的利润，与按64元/个的售价出售15个玩偶所获得的利润相同.求。的直.

27.（25-26七年级上•湖南长沙•月考）已知某超市酸奶的定价为20元/箱，玻璃杯的定价为5元/个，该超

市推出了两种优惠促销方案，如下表所示.现某顾客需要购买40箱酸奶和x个（工〉40）玻璃杯.

方案一酸奶和玻璃杯一律按九折优惠

方案二购买一箱酸奶，赠送一个玻璃杯

（1）若该顾客按方案一购买，共需花费元；若该顾客按方案二购买，共需花费元；（用含x的

代数式表小）

（2）当x=100时，请通过计算说明此时按哪种方案购买更省钱；

（3）当购买多少个玻璃杯时，上述这两种方案的花费一样多？并且请你根据购买玻璃杯数量的情况，为该顾

客设计更加优惠的购买方案.

28.（24-25七年级上•湖南长沙•期中）如图①，将一张长为60cm,宽为40cm的长方形纸片，在四个角上

分别剪去边长为xcm的小正方形，将剩下部分折成如图②所示的一个无盖长方体盒子.

图②

⑴若x=5cm,则长方体盒子的底面积为cm：

（2）若长方体盒子的底面的长是宽的2倍，求该盒子的体积.

29.（24-25七年级上•河北保定•期末）某工程队修一条公路，原计划每天修100米，60天完成任务，由于

在实际施工中改进了技术提高了工作效率，结果比原计划每天多修25米，这样可以提前多少天完成任务？

小亮解决这个问题时是这样考虑的：设提前x天完成任务，并结合题意画出下面的图形帮助分析题目中的数

量关系，并列出方程解决了问题.图中一共有五个矩形，分别记作：矩形力3。。，矩形/14HG,矩形

CDGH,矩形，矩形4TFG.

DC

A100B25E

(1)线段48的意义为；

线段4G的意义为.

矩形ABCD面积的意义为.

(2)以上五个矩形有没有面积相等的，如果有请全部找出来.

(3)结合以上的分析，请帮小品列出相应的方程解决这个问题.

30.(25-26七年级上•陕西西安•期中)背景知识数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立

起对应关系，这样能修用••数形结合”的方法解决一些实际问题.若数轴上点月，8表示的数分别为。，b,

则4，8两点之间的距离为48=|。-〃|.

问题情境如图，数轴上有两个点力，B,分别表示的数是-2,4.若点服从点月出发，以每秒1个单位长

度的速度向左运动，同时，点N从点8出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动.设运动时间为/秒.

问题解决

(1)/1，B两点之间的距离是;

(2)当/为何值时，点“与点N重合？

(3)当/为何值时，N之间的距离为2个单位长度？

压轴题型七、与线段有关的动点问题

31.(2025七年级上•江西南昌•模拟预测)如图，P是线段48上一点，/8=12cm,C、。两点分别从尸、

4出发以lcm/s、2cm/s的速度沿直线44向左运动(C在线段上，。在线