人教A版高二数学上册选择性必修2《函数的极值与最大（小）值》同步练习题（含答案）

人教A版高二上学期数学（选择性必修2）《532函数的极值与最大

（小）值》同步练习题（含答案）

基础巩固

1.函数极值的概念：一般地，设函数在点X=〃的函数值/（必比它在点犬=。附近其他

点的函数值都小，/'（〃）=，且在点工=。附近的左侧右侧.

类似地，函数），=/（x）在点x=〃的函数值/（〃）比它在点x=h附近其他点的函数值都大，

fib）=O；而且在点x=:附近的左侧八%）＞0,右侧八力〈0,则4叫做函数y=/（x）

的，/（。）叫做函数＞=/*）的极小值；力叫做函数y=/（x）的极大值点，/S）叫

做函数y=/（x）的.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.

2.求函数y=/（x）的极值的方法:解方程r（x）=0,当/缶）=0时:

（1）如果在与附近的左侧，（幻＞0,右侧r*）＜o,那么八小）是极值；

（2）如果在与附近的左侧r（©vo，右侧尸（外＞0，那么/（/）是极值.

3.函数的最值：一般地，如果在区间上函数y=/a）的图象是一条

的曲线，那么它必有最大值和最小值.只要把函数y=/（K）的所有

连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值.

4.一般地，求函数），=/*）在区间［〃,加上的最大值与最小值的步骤如下：

（1）求函数y=/（x）在区间上的极值；

（2）将函数），=.f（x）的各极值与端点处的函数值/（〃），/（〃）

比较，其中最大的一个是,最小的一个是.

回归教材

①练习

1.函数/（幻的导函数），=:（幻的图象如图所示，试找出函数/（幻的极值点，并指巴哪些是极

大值点，哪些是极小值点.

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(1)f(x)=6x2-x-2；

(2)/(X)=X3-27X；

(3)/(x)=6+\2x-x3；

(4)f(x)=3x-x3.

3.参考求函数极值的练习，求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：

(1)f(x)=6x2-x-2xe|0,2j；

(2)f(x)=x3-27xxe[-4,4]；

(3)/(x)=6+12x-x3XE-g,3；

(4)f(x)=3x-x3为£[2,3].

4.证明不等式：x-1>lnxAG(O,-H»).

5.利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：sinx<xxw(O,兀).

6.如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为am?.为使所用材料最省,

圆的直径应为多少？

②习题

1.导函数y=r(x)的图象如图所示，在标记的点中，在哪一点处

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y

(1)导函数y=7'(x)有极大值？

(2)导函数y=7'(x)有极小值？

(3)函数/(x)有极大值？

(4)函数/(力有极小值？

2.求下列函数的极值：

2,

(1)/(x)=6x+x+2(2)f{<x)=x-\2x-

(3)/(x)=6-12x+x3(4)/(x)=48x-x3

3.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值:

(1)/(x)=6x2+X+2xe[-l,l]

(2)/(X)=X3-12XXG[-3,3]

(3)/(^)=6-12x+x3

(4)/(%)=48%-^?A:G[-3,5]

4.将一条长为/的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两

段铁丝的长度分别是多少？

5.将一个边长为。的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方

盒.

⑴试把方盒的容积V表示为工的函数；

(2”多大时，方盒的容积V最大？

6.用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度以及测量技术的原因，测得〃个数据％

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1〃

〃2%...4.证明：用〃个数据的平均值x=—Z《表示这个物体的长度，能使这〃

个数据的方差/0）=Lf（X—《）2最小.

n,=i

7.已知某商品生产成本C与产量，/的函数关系式为CM00+4,/,价格〃与产量q的函数关系

式为〃=25-。“.求产量g为何值时，利润L最大？

O

4

8.己知某商品进价为。元/件，根据以往经验，当售价是元/件时，可卖出c件.市

场调查表明，当售价下降10%时，销量可增加40%.现决定一次性降价，销售价为多少时，

可获得最大利润？

9.利用信息技术工具，根据给定的。，b,c,d的值，可以画出函数

=十的图象，当〃=-4b=\c=5。=一1时，/（X）的图象如

图所示，改变mb,c,d的值，观察图象的形状：

（1）你能归纳函数/（工）图象的大致形状吗？它的图象有H么特点？你能从图象上大致估”

它的单调区间吗？

（2）运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间.

提升训练

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1.若函数丁=。'一2"比有小于零的极值点，则实数m的取值范围是()

A.w<—B.0<///<—C.m>—D.0<小<1

222

2

2.若函数/(x)=--lnx,且/(x)Na-x恒成立，则实数。的最大值为()

x

A.3B.4C.3-ln2D.3+ln2

3.已知函数/(x)为定义在(yc,O).(0,4<o)上的奇函数，当x>0时，/O)=Cv-2e)lnx.若函数

g(x)=/(x)一〃?存在四个不同的零点，则〃?的取值范围是()

A.(-e,e)B.[—e,e]C.(—1,1)D.[-1,1]

4.已知函数/(x)=e'-ln(x+3),则下列有关描述正确的是()

A.VxG(-3,+8)f(x)>-B.VX£(-3,+8)f(x)>--

C.3XG(-3,+CO)/(x)--1DJ(x)min£(0.1)

5.：多选)已知定义在R上的函数/(x),其导函数r(x)的大致图像如图所示，则下列叙述不

A./(tz)>/(e)>/(d)

B.函数在［〃,可上递增，在低d］上递减

C.函数/(力的极值点为c,e

D.函数/(x)的极大值为/(3

6.已知函数/(x)=ln(x-l),g(x)=-若/(%)=鼠天)，则王一马的取值范围是_________.

7.已知直线x=，分别与函数/(x)=e'+x和g(x)=3x-l的图象交于点A,B,则|4邳的最小值

为.

8.若实数，〃的取值使函数/(力在定义域上有两个极值点，则称函数/(x)具有“凹壮趋向性”.已

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知/(x)是函数f(x)的导数,且./(x)=%-21nx,当函数/")具有“凹凸趋向性”时，实数〃2

X

的取值范围为.

9.已知函数/(x)=弛土，gM=4且曲线y=/(x)在x=l处的切线方程为x-2y+〃=0.

x+me

(1)求实数m,n的值;

(2)证明：/(x)>2g(x)-l.

参考答案及解析

一、基础巩固

1.0fXx)>0极小侑点极大俏

2.大小

3.团，川连续不断极值

4.(〃/)最大值最小值

二、回归教材

①练习

1.答案：%是极大值点；W是极小值点

解析：因为马，/点的导数都为零，且这两点左右两侧的导数值异号

所以々，4是函数的极值点；

又因为工£(%,%)时f\x)>0,天)时/"(x)<0,所以々是极大值点;

因为X£(孙玉)时/(X)<0,X£(冷/)时/'(X)>0，所以/是极小值点.

2.答案：(1)极小值为一49上，无极大值

24

(2)极小值为/(3)=-54,极大值为/(-3)=54

(3)极小值为/(-2)=-10,极大值为f(2)=22

(4)极小值为/(-1)=-2,极大值为了⑴=2

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解析：(1)/*)=6/一工一2的定义域为1<fXx)=\2x-[.

令/*)=0,解得：x=—,列表得:

(i、1(11

-00,——,+oo

X(12)

1口n

八外-0+

49

fM/

24

所以函数/(x)=6f-工-2的极小值为-会无极大值.

(2)/(x)=x3-27xRf(x)=3x2-27.

令尸(x)=。，解得：x=±3,列表得：

X(-oo,-3)-3(-3,3)3(3,+8)

f(x)+0-0+

/(A)/54-54/

所以函数/(幻二/一271的极小值为/(3)=-54,极大值为/(-3)=54.

(3)/(x)=6+12x—l的定义域为R,f(x)=\2-3x2.

令((%)=0,解得：x=±2,列表得：

X(8,2)-2(2,2)2(2,Ioo)

fXx)-0+0-

f(x)-10/22X

所以函数/(工)=6+12工-丁的极小值为八一2)=-10,极大值为/(2)=22.

2

(4)/(x)=3x-V的定义域为Rf(x)=3-3x.

令尸(x)=0,解得：x=±l＞列表得:

X-1(-U)1(1收)

fXx)-0+0-

fM-2/2

所以函数f(x)=3x-d的极小值为/(-1)=-2,极大值为/(I)=2.

49

3.答案：(1)最小值为-最大值为20

24

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(2)最大值为54,最小值为-54

(3)最大值为22,最小值为生

27

(4)最大值为-2,最小值为-18

2

解析：(1)f(x)=6x-x-2tX£[0,2]对称轴为X

可得小的最小值为/住卜忌-32=啜

/(0)=-2/(2)=24-2-2=20

即f(x)的最大值为20；

(2)/(X)=X3-27Xx£[-4,4]的导数为f(x)=3/-27

令/")=0,可得x=±3

/(-3)=-27+81=54/(3)=27-81=-54

/(4)=64-108=-44/(^)=-64+108=44

即有了(幻的最大值为54,最小值为-54；

(3)/(x)=6+12x-x3JG-1,3的导数为7")=12-

由尸(x)=0,可得x=2(-2舍去)

/(2)=6+24-8=22/(3)=6+36-27=15f-%6—4+/二||

即有/(x)的最大值为22,最小值为捺；

(4)的导数为尸(不)=3-3/

由xe[2,3],可得八X)V0,则/(x)在[2,3]单调递减

即有了(X)的最大值为/(2)=-2,最小值为/(3)=-18.

4.答案：证明见解析

解析：由题设，要证x-lNlnx只需证x—l—lnxN0即可

令/*)=工—1—lnx(x>0),贝1」/(幻=1-而/，(1)=1一！=0

x1

.•.当0<工<1时ff(x)<0,7*)单调递减；当x>l时ff(x)>0,/(x)单调递增;

&f\x)>/(I)=1-1-In1=0,即X一1一InxNO在x£(0,+co)上恒成立.\x-\>Inx

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xe（0,4-co）得证.

5.答案：证明见解析

解析：•「5m元〈/等价于工一5亩工＞0

，可令/（x）=x-sinx,则/'（x）=1—cosx,在XE（O,兀）上/'（x）＞0

在xw（0,兀）上单调递增，即f（x）＞/（0）=0

.•.上一5由工〉0在工£（0,兀）上恒成立，则sinxcx,X£（。,兀）得证.

解析：设圆的半径为八则半圆的面积为里二

2

所以矩形的宽为2r，设矩形的长为〃，则矩形的面积为力力

2

广广卜]7TZ*—.nri,Cl7TA*

所以----1-2rh=a＞RPh-------

22r4

该图形的周长为区-上+2-+口=@+（2+勺〃

厂2厂I2）

令人厂）=@+（2+5]＞所以尸（广）二一二+（2+£]

rV2）广[2）

令广（一）=一£+（2+；）=0

解得：一、户（舍负）

丫4+兀

所以函数/⑺在卜,/亘]上单调递减，在（）王+]|上单调递增

IV4+7TJ（V4+兀J

所以当即，•=时，函数/（一）取得最小值.

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即圆的直径q三时'所需材料最省•

②习题

1.答案：(1)工2；(2)芭X4；(3)x3；(4)A5；

解析：(1)由图知，极大值点左右两侧的单调性是先增后减的点，即％为极大值点;

(2)由图知，极小值点左右两侧的单调性是先减后增的点，即为，&为极小值点;

r

(3)由图知XG(-OO,X3),f(^)>0函数/(x)单增；XG(X3,X5)/(x)<0函数

/㈤单减；xw(0+8)r(x)>0函数单增；

则函数/(力在用处取极大值；

(4)由(3)知，函数/(x)在/处取极小值；

47

2.答案：(1)极小值不，无极大值；(2)极大值16,极小值—16；(3)极大值22,极

24

小值一10；(4)极小值一128,极大值。8.

解析：(1)/\x)=12x+l贝iJ/(--1)=0；时f\x)<0/(力单调递

1147

减；x>—五时fM>0/(x)单调递增；・・./(幻有极小值/(—五)二五无极大

值.

(2)/'(x)=3f—12则1(幻=0有工=±2.・・％<-2时>0/⑺单调递

增；一2。<2时f\x)<0/(x)单调递减；x>2时f\x)>0/⑴单调递增;

，/(x)极大值/(—2)=16极小值/(2)=-16.

(3)/V)=3X2-12则:(幻=0有工=±2.・.xv-2时fM>0单调递

增；—2<x<2时f\x)<0/(为单调递减；x>2时fM>0/。)单调递增;

・•・/。)极大值/(-2)=22极小值/(2)=—10.

(4)/")=48—3光2则尸(幻=0有x=・••九<一4时fM<0/(元)单调递

减；-4<%<4时/'(x)〉0/(x)单调递增；x〉4时f(x)<0单调递减;

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・•・F(x)极小值/(-4)=-128极大值/(4)=128.

47

3.答案：(1)最大值为9,最小值为—；(2)最大值为16,最小值为-16；；3)最大值

24

269

为二一，最小值为-5；(4)最大值为128,最小值为-117.

27

解析：(1)/'(x)=12x+l,则/'(—‘)=0,时/，(幻＜0,/(兀)单调递减;

1212

—，＜工41时/(幻＞0,八幻单调递增；・・・/(x)在八«-1』上的极小值为

/(±)=6x(±)2+(1)+2=1Z,而/(—1)=7,/⑴=9・・・/。)在“4-1』上最大

47

值为9,最小值为77.

24

(2)/(X)=3X2-12,则/.'。)=0时有X=±2.・・-3Wxv—2时/'(幻＞0,/(%)单调递增;

—2＜工＜2时/'(x)＜0,/(幻单调递减；2＜xK3时;(幻＞0,/a)单调递增；，/(x)

在3,3］上的极大值为/(-2)=16,极小值为了⑵=-16,而/(-3)=9,/⑶=-9

综上，/(%)在工£卜3,3］上最大值为16,最小值为一16.

(3)/V)^3X2-12,则/'(x)=O口寸有尢=±2,.•.一时fM＜0,/(“)单调递

减；"(X)在川―川上最大值为/(-；)二署，最小值为/⑴=-5.

(4)/z(x)=48-3x2,则f(x)=0时有,=±4,.・・—3Wxv4时f(x)＞0,/(无)单调递增;

4＜x＜5时fW＜0,/*)单调递减；・・・/1)在工«—3,5］上的极大值为/(4)=128,

而/(-3)=-口7〃5)=115,・・・/。)在尢目—3,5］上最大值为128,最小值为—117.

4.答案：两段铁丝的长度均为《.

2

解析：设一个正方形的边长为％,则另一个正方形的边长为，-冗(0＜工＜,)，・・・两个正方形

44

的面积和5=/+(，—©2=2/四+二，则s，=4x—,，・••戈=’时6=0,故当

421628

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0<x<—时S<0»S单调递减；当—<x<一时S'>0,S单调递增；・,•当x=—时，S的

8848

极小值也是最小值为匚，此时另一个正方形的边长也为2.综上，当两段铁丝的长度都为《

3282

时，它们的面积和最小.

5.答案：（l）V=（a-2x）2%（0<x<一）；（2）一

26

解析：（1）由题意可知：无盖方盒的棱长分别为：%（。-2x）（〃-2幻，所以方盒的容积

V=（«-2X）12X*8（0<X<-）；

2

(2)V*(x)=-4(«-2x)x+(67-2x)2=(a-2x)(a-6x)=0(0<x<—),解得：x=—,当

26

三八>二时函数递减，当二八>。时函数递增，所以当x=4寸，盒的容积V最大.

2666

[〃]〃1n

6.解析：/'。）=一工2（尤一q）=2（x--2《），则当/二一2«时/。）=°，

〃i=l〃i=l〃/=1

[〃1n

lW（0,—fW<0,函数单减；X£（—Z《，+8）,f（x）>0函数单增；方差

〃/=1

1fi1n

于(x)=一Z(x-q)2在x=—Z。,时，取得最小值.

〃i=l"Z=1

7.答案：当行84时，利润最大

解析：先求出利润L关于乡的函数关系式.

2

L=w-C=(25--^-100-4^=--^+21^-l(X)^e(0,200),显然当q=84时，利润

88

最大

8.答案：丑誉

8

解析：设销售价为达可获得的利润为户则

y=(1+x40%)c-(x-a)=(5b-4x)(x-a)=+^b)x-5ab]5求导得

cc4a+5b

y=h[-8x+(4tz+5/?)],令旷=上[—8工+(4。+5勿]=0,解得x=------,由)>0知

bb8

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―为当.3喊当时y，>°‘函数单增；当』T，射)时…，函数

单减；因此x=网押是函数的极大值点，也是最大值点；故当销售价为如受元/件时,

OO

可获得最大利润.

9.解析：(1)时，/(X)有如下图所示的几种情况，其图象大致为“S”型，当图象存在

驼峰，即存在极值点，则必有一个极大值，一个极小值；当不存在驼峰时，函数在定义域内

(701一对)上单调递减,J-标，1+标)上单调递增,(1+屈，+00)上单调递减.

12121212

(2)1、当。工0时/(X)=3”2+2"+C,当。>0时，b2-3ac<0则/'。)20,即/(x)

单调递增；当。>0时h2-3ac>0若-。)=。则上迎

a

-3。(、・・.尢<玉时f(x)>0/。)单调递增；xvxc9时

a

fM<0/(x)单调递减；时/。)>。/(幻单调递增；当。<0时

b2-3ac<0WJ/(x)<0即/(x)单调递减；当"0时b2-3ac>0若

rw=o则——6-迎与」+"2―3竺.・.x<x时ruxo

a~a

/(x)单调递减；x,<X<X2U4f\x)>0/(x)单调递增；］>看时fM<0

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/(X)单调递减；

2、当〃=0时f(x)=bx2-\-cx-\-d对称轴为工=一立

当b>()时/(X)在(-8,-三)上单调递减在(-三,+8)上单调递增；

2b2b

当bV0时fM在上单调递增在(-三,+8)上单调递减；

2b2b

3、当〃=0/?=0时f(x)=cx+d：当c〉0时/(x)单调递增；当c<0时

/(X)单调递减；

4、当。=0h=0。=0时f(x)=d：无单调性.

三、提升训练

1.答案：B

解析：由旷=。'-2以，得y'=e'-2〃?.由题意知e'-2/〃=0有小于零的实数根，即e'=2利，则

因为x<0,所以()v，e'<，，所以

2222

2.答案：C

解析：由题得。+2-Inx.令g(x)=x+2-lnx,则

\"/minX

g'(x)=l--=-~="2)，+1)(x>0)令g，*)>0,得x>2,令g'(x)v0,得

XXX厂

0<x<2,所以g(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+oo)上单调递增，所以火工心口二80二？-1!^,

所以a£3-ln2,所以实数。的最大值为3-ln2.

3.答案：A

解析：当x>0时/z(x)=lnx+l--/ff(x)=-+^>0,故((x)在(0,+oo)上单调递增.因

XXx~

为广(e)=0,所以/*)在(0,e)上单调递减，在(e,+8)上单调递增.因为为定义在

(-8,0儿(。,+<功上的奇函数，所以的大致图象如图所示.

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由g(x)=/(x)一机存在四个不同的零点知，直线)，=根与y=/(x)的图象有四个不同的交点，故

/nw(-e,e).故选A.

4答案:B

解析:因为/(x)=eTn*+3),x>-3所以广。)=八一——,x>-3显然/(x)在(-3,+8)

x+3

1I7

上单调递增.又，(-1)=——<0,/(0)=->0所以广⑶在(-3,+00)上有唯一的零点，设为飞,

e23

且飞£(—1,0),则x=x0为/(x)的极小值点，也是最小值点.且即Xo=-1n(q+3).

%+3

1

故/(x)N/(%)=e"-ln(/+3)=—i-j+与.设函数y=—+xy=--L—+\f当

尤o+3x+3(x+3)~

xe(-l,0州寸>0,所以---FX0>—!-----1=--,即/(x)>-L故选B.

x04-3-1+322

5.答案：ABD

解圻：由题图知可，当火W(rO,C)时/,(A)>0

当;vw(c,e)时r(x)vO,当tw(e,+oo)时/,(x)>0

所以/(x)在(-8©上递增

在l&e)上递减，在(e,y)上递增

对A,/(j)>/(e)故A错误;

对B,函数f(x))在,,可上递增,在［〃,c］上递增，在［c,d］上递减,故B错误;

对C,函数的极值点为c,c,故C正确；

对D,函数“X)的极大值为/(c),故D错误.

故选：ABD.

6.答案：n,4w)

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ln(x-1)=/,

1玉=