山西省吕梁市某校2025-2026学年高二年级上册第一次月考数学试题

山西省吕梁市汾阳中学校2025-2026学年高二上学期第一次月

考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

I.复数Z=上的虚部为（）

1

A.1B.-1C.iD.-i

2.如图，在平行四边形人48中，连结50,下列运算正确的是（）

B.BA+BC=BD

D.BD-BA=DA

3.已知【ana=l,则cos(a+：=()

A.0B.1D.。或一1

4.水平放置的VAAC的斜二测直观图如图所示，已知AC=4,B'C'=3,则VABC的面积

C.12D.24

5.在A46C中，u,b,c分别为三个内角A,B,C所对的边，i殳向量谕二（〃一。，=（b,c+a）,

若占J.：，则角A的大小为（）

6.如图，在正方体/WC7）-A4GR中，E为线段4G的中点，则异面直线OE与4c所成

角的大小为（）.

7.投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件少点数小于4：事件C：点数为偶数.

则下列关于事件描述正确的是（）

A.A与8是互斥事件B.A与5是对立事件

C.A与。是独立事件D.8与C是独立事件

8.已知圆台QQ的上、下底面面积分别为4冗,36兀，其外接球球心。满足30。；，则圆

台。02的外接球体积与圆台。02的体积之比为（）

A20后plOVio-106n10

•-------D•--------•----------JLz•

13131313

二、多选题

9.m人是两条异面直线，A,4在直线〃上，C,。在直线〃上，4、B、C,。四点互不相

同，则下列结论一定不成立的是（）

A.A、B、C、。四点共面B.AC//BD

C.AC与BD相交D.AC=BD

I35

10.已知事件A,8,C两两互斥，若尸（4）=丁尸（41^）=丁2（411。）=7,则（）

]II2

A.P（BcC）=-B.P网=_C.P（C）=-D.P（BUO=-

6233

11.为了得到函数/U）=2cos（3x+1）的图象，只需（）

A.将函数y=2cos3.r的图象向左平移]个单位长度

B.将函数Y=2COS3N的图象向左平移;个单位长度

C.将函数），=2sin3x的图象向左平移居个单位长度

D.将函数y=2sin3/的图象向右平移3个单位长度

1O

试卷第2页，共4页

三、填空题

34

12.甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲、乙命中目标的概率分别为,见目标

475

至少被击中1次的概率为.

13.在VA8C中，角4,B,。的对边分别为〃，b,c,且3=60,,a+c=6,b=*，

则VA8C的面积为.

14.已知G是VABC的重心，AB=2,AC=\,N8AC=60°,则而.苑=.

四、解答题

15.某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进吁羽毛球五项指标（正手发高远球、

定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑）考核，满分100分.参加考核的学生有40人，

考核得分的频率分布直方图如图所示.

（1）由频率分布直方图，求出图中/的值，并估计考核得分的第60百分位数：

（2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法（样本

量按比例分配），从得分在［70,90）内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人

得分分别来自［70,80）和［80,90）的概率:

⑶现已知直方图中考核得分在［70.80）内的平均数为75.方差为625.在［80.90）内的平均

数为85,方差为0.5,求得分在［70,90）内的平均数和方差.

16.（1）已知点A、氏。的坐标分别是（。,-1）、（-5,1）、（7、2）,且阮//血，BC±AB,求点

。的坐标；

（2）已知向量4=（-2,3）：点A（2「l）,若向量而与不平行，且|福卜2而，求向量面的

坐标.

17.已知函数/(力=彳」83=/(力-；.

。I14

⑴证明：函数g(x)是奇函数；

⑵解不等式g(』-2x)+g(2f7)<0.

18.在VA8C中，内角A,B,。对应的边分别是a、b、且bcosC+ccosB=勿cosA

⑴求角A的大小；

(2)若b=2,S：=36求a；

⑶若YABC为锐角三角形，求sinfi+sinC的取值范围.

19.如图，正方体A8CO-A4CQ的棱长为I,

⑴求证：平面A8C；

(2)求：8A与平面A。。所成的角大小;

(3)求钝二面角B-A.C-D的大小.

试卷第4页，共4页

《山西省吕梁市汾阳中学校2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题》参考答案

题号12345678910

答案ABACBBCBABCBD

题号11

答案ACI)

1.A

【分析】利用复数除法运算求出z即可.

【详解】复数z=F=l+i,所以所求虚部为1.

1

故选：A

2.B

【分析1利用向量加法和减法法则即可.

【详解】由向量加法的三角形法则得，前+有方=而，故A错误；

由向最加法的平行四边形法则得，丽+阮=丽,故B正确；

由向量的减法法则得，AB-AD=DB，BD-BA=AD^故CD错误.

故选：B

3.A

/\

【分析】由已知条件计算出。的值，代值计算可得出cos9的值.

【详解】因为tana=l,则a+GZ)•

所以，cos0+；=cosAn+])=±cos]=0(kwZ).

故选:A.

4.C

【分析】根据直观图与斜二测画法的定义求解.

【详解】由题可知，VA成:为直角三角形，且人CJ.BC,如图:

答案第1页，共11页

由斜二测画法知AC=AC=4,8C=2"=6,所以，布=；ACBC=gx4x6=12.

故选：C.

5.B

【解析】利用垂直的数量积为0与余弦定理求解即可.

［详解］因为后J.九所以tn-n=b（b-c）+（c-a）（c+a）=0,

即从一反+。2—力=。所以COSA="+CJ'=匹=!因为北⑼•，故A

2bc2bc23

故选：B.

【点睛】本题主要考查了向量垂直与数量积的运用以及余弦定理求角度的问题，属于基础题

型.

6.B

【分析】因为AD//BC，所以（或其补角）即为异面直线DK与用。所成的角，由

△4OG为正三角形，E为线段AG的中点即可求得.

【详解】如图，在正方体A4C。-A4CQ中，ADHB\C,

所以4.OE（或其补角）即为异面直线OE与8c所成的角,

易知△AOG为正三角形，又E为线段AG的中点,

所以/AOE=30。,

【分析】根据互斥事件，对立事件，独立事件概率公式和定义，即可判断选项.

【详解】A和9有公共事件：点数为3,所以不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误;

7I

事件AC表示点数为4或6,2⑷、，?（0二3，P（AC）="所以P（AC）=P（A）P（C）,

答案第2页，共11页

所以A与C是独立事件，放C正确；

事件8c表示点数为2,则P（8）=\P（C）=1P（8C）=！，所以P（8C）WP（B）P（C）,

所以4与。不是独立事件，故D错误

故选：C

8.B

【分析】根据相切结合勾股定理可得2=4+9力2=36+/产，即可求解a=2,R=2加，由圆

台和球的体积公式即可求解.

【详解】设圆台的高为4人外接球半径为??,作出轴截面如图：

的上、下底面面积分别为4兀,36元，则圆正,。2的半径分别为2,6,

贝1」心=4+9。2=36+〃2,解得/2=2,氏=2加,

4，1

3兀（2何）3

IOVIO

故所求体积之比为7；~----,、

一（4花+36兀+，4兀.36兀）•813

【分析】根据异面直线的特点结合平面性质公理判断各选项即可.

【详解】当AC7/3O或AC与8。相交时，A、B、C、。网点共面，

此时。，工共面，不符合题意，故ABC错误，

对于D,如图，在正方体中，若异面直线。，〃为图中两条直线时,

且A。为所在棱的中点，8c为正方体的顶点，此时AC=8O.

答案第3页，共11页

10.BD

【分析】根据互斥事件的定义及概率公式逐项判断可.得答案.

【详解】A选项，因为事件反C互斥，所以snc=0，故尸（8cC）=0,A错误;

i35

BC选项，因为事件A及C两两互斥，。储卜丁尸伊哇卜代^^中3

所以P（8）=P（ADB）—P[4）=；—；=；,0（C）=P（AuC）—P（4）=V—；=：,B正确，C

错误;

11?

D选项，P(B^C)=P(B)+P(C)=-+-=-,D正确.

263

故选：BD.

11.ACD

【分析】根据三角函数的图象变换和诱导公式，进行逐一判断选项.

【详解】对于选项A,）"2cos3x的图象向左平移1个单位长度,

可得)，=2cos31x+^=2cos+g的图象，故A正确;

对于选项B,N=2cos3x的图象向左平移g个单位长度,

可得y=2cos3(x+4j=2cos(3x+7t)=-2cos3x的图象，故B错误;

对于选项C,y=2sin3x的图象向左平移居个单位长度,

IO

5兀7T

可得y=2sin3A+-^=2sin3x+—=2cos3x+］的图象,故C正确;

183

对于选项D,,y=2sin3x的图象向右平移移个单位长度,

IO

7兀、7式

可得），=2sin3x--=2sin3x—-=2sin|--3x=2cos3x+g的图象，故D正确.

66

故选：ACD.

答案第4页，共11页

19

12.—/0.95

20

【分析】方法一：设出事件,根据尸（A+5）=尸（A）+P（B）-P（AB）进行求解;

方法二：先求出目标没有被击中的概率，利用对立事件的概率公式求解即可.

【详解】方法一：设“甲命中目标”为事件A,“乙命中目标”为事件B,

则P(A)=：，"(0=5,

所以目标至少被击中1次的概率

P（A+B）=P（A）+P⑻一尸（人力渭一/消

方法二：设“甲命中目标”为事件A,“乙命中目标”为事件8,

则p（A）q,%）=/P（R=；，P⑻j

所以目标没有被击中的概率为P（A）P（同=:X：=』,

J*1

119

FI标至少被击中1次的概率为।-去=子

故答案为：宗19

4U

13.

【分析】由余弦定理得出a;8,再根据三角形面积公式即可求解•.

【详舟吊】由a+c=6得，（a+（?y=36="+（?=36-2〃c,

i.rm4nr>（i~+c~-b~36—2nc—121

由r余弦定理得,cosB=---------=-----------=—=>=8o»

2aclac2

所以VA8C的面积为，acsin8=Lx8x史=2>/J,

222

故答案为：2上.

8

14.一

9

【分析】根据三角形重心的性质得到而和旃的表达式，然后通过向量的数量积运算，将

UUI11UU1U

AGxBG展开并进行化简，最终求出结果.

【详解】〈G是VAKC的直心，.-.4G=1（/^+4C）,

=1（46+而）=，[（46—人到一人*]=，（4C-2人,

333

又A8=2,AC=I,NB4C=60°,

答案第5页，共11页

.•.福58中通+砌西—2期=那研一2网2一瓶.珂

1Q

=—(I-2x4-2xlxcos60c)=--.

Q

故答案为：

15.(1)/=0.030,85

(2)1

⑶得分在［70,90)内的平均数为81,方差为268

【分析】(1)首先根据频率和为1求出1=0.03,再根据百分数公式即可得到答案;

(2)求出各自区间人数，列出样本空间和满足题意的情况，根据古典概型公式即可;

(3)根据方差定义，证明出分层抽样的方差公式，代人计算即可.

【详解】(1)由题意得：10x(0.01+0.015+0.020+U+0.025)=l,解得r=0.03,

设第60白夕)位数为x,则0.01x10+0.015x10+0.02x10+0.03x(x-80)=0.6,

解得x=85,第60百分位数为85.

O

⑵由题意知，抽出的5位同学中，得分在［70,80)的有5x卷=2人，设为A、B,在［80,90)

12

的有5x疝=3人，设为叫b、c.

则样本空间为C={(A,B),(A,a),(A圾(A,c),(B,a),(c),(a,力),(a,(?),(〃,c)］,〃(Q)=10.

设事件M=“两人分别来自170,80)和［80,90),贝

M={(Aa),(Ab),(Ac),(8M),(8,b),(8,c)},〃(M)=6,

因此。(〃)=也"=色=3,

11bn(Q)105

所以两人得分分别来自［70,80)和［80,90)的概率为3:

(3)由题意知，落在区间DO,80)内的数据有40x10x0.02=8个,

落在区间［80,90)内的数据有40x10x0.03=12个.

记在区间［70,80)的数据分别为中.，…，孔,平均分为工，方差为5人

在区间［80,90)的数据分别为为用平均分为工方差为S：；

这20个数据的平均数为三，方差为

由题意，天=75j=85,s；=6.25,S=0.5,且无=：之七,，=白£刀，则

81=1"j=\

答案第6页，共11页

_8x+12y8x75+12x85

z=------------=---------------------=©O11.

2020

根据方差的定义，

524]岑（$一可2+扣「可24岑（内―/+加「科—）2

=59（若-工）2+1?H-乃2+2（灭-彳）*若-乃+£（匕-寸+£（,-刃2+2（工-彳优（匕-可

,U，=]j=iz=iy=ij=ij=i

由za-可=wx-8工=o,£(x-%-12尸o,

/=!i=lj=l>=!

可得/=』2(%-元丫+Z(元-刃、j(y广寸+/(》-为2

卬匕.1,"1；-ly-I

=5囹+8d)2+⑵：+12(1)2]

=|[^+(^-2)2]+|[5；+(y-z)2]

=|[6.25+(75-81)2]+|[0.5+(85-81)2]=26.8

故得分在[70,90)内的平均数为81,方差为26.8.

【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是充分利用方差定义，推导出分层抽样的方差计算

公式即可.

16.(1)(-16)；(2)(—2,5)或(6,-7).

【分析】(1)设。(反田，由祝//丽和质?_L4耳，分别利用共线向量定理和数量积运算求

解；

(2)设。分=(/2〃)，由向审血与〃平行和|而|=2万，分别利用共线向量定理和向量的

模公式求解.

【详解】(1)解：设c(%A，

则比=(x_7,)」2),血=(-5,2)，肥=(*+21),

因为OC〃A月，

所以2(彳―7)+5()，-2)=0,

答案第7页，共11页

因为BC±Aii,

所以-5(x+5)+2(y-l)=0,

解得x=-3,)，=6,

所以点C的坐标为(-3,6)；

(2)设=(皿〃),

则AB=(m—2,n+\),

因为向量而与。平行,

所以3(2)+2(〃+1)=0,

又|同=2瓦,

所以(，"一2)2十(〃+1)2—52,

m=-2m=6

解得U或，

n=5〃=-7'

所以说的坐标为(-2,5)或(6,-7).

17.(1)证明见解析

(2)vr|x>-

I3.

【分析】(l)根据题意，得到g")=2(3'+l)'结合函数奇偶性的定义和判定方法，即可

得证；

(2)根据题意，得到函数)，=g(x)是奇函数且是减函数，把不等式转化为x、2x>l-2/，

结合一元二次不等式的解法，即可求解.

【详解】(1)证明：由函数/(力=9万，鼠力=〃”一；，

可得g(x)=/Q)—；=土一\=2；；：1),且g(x)的定义域为R，

1-3-0-3-r)-3vy-\

因为gl卜而旷乖书=而可"一")’

所以函数g(x)是定义域R上的奇函数.

答案第8页，共11页

（2）解：根据指数函数的性质，可得行为减函数，则且（外二/'（司-5也为减函

数，

所以函数y=g（"是奇函数且是减函数，

由不等式g（x2—2x）+g（2x2_l）vO,可得g（x2_2x）v_g（2f_1）=9（1-2丁），

所以x2-2x>1-2/,即31—21—1=（x-l）（3x+l）>0,解得rv-g或

解得不等式的解集为卜IK>1或-J}.

18.（l）A=p

⑵a=2>/7；

⑶（T，V5].

【分析】（1）利用余弦定理角化边求解.

（2）利用三角形面积公式及余弦定理求解.

（3）由（1）令B=1-0.C=1+0,再利用锐角三角形条件及和差角的正弦求出范围.

【详解】（1）在VABC中，由余弦定理得

_«/万,a2+b2-c2a'+c2-b~

lacosA=PCOSC+ccosBD=b---------+c----------=a,

lablac

而a〉0,解得cosA=g,而OVAVTT,所以A=1.

（2）由g八8c及4，得;。csing=3\/5,解得机=12,而b=2,则c=6,

由余弦定理得/=22+62-2x2x6x3=28,所以〃=2".

（3