四川省眉山市东坡区2025-2026学年九年级（上）期末数学试卷（含答案）

2025・2026学年四川省眉山市东坡区苏辙中学九年级（上）期末数学

试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列关于x的方程中，一定属于一元二次方程的是（）

A.江2+3=0B.r+9=0C.1-3D.X2+2AM-6=0

2.从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、

丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（）

II23

A.-B.C.D.

3234

3.点Pi（-1,yi）,P：（6,”）均在二次函数尸加-2〃?x+l（m>0）的图象上，则巾，丁2,yy

一

的大小关系是（）

?

A.Vi>>,2>>3B.y3>yz>y]C.D.

4.若一次函数尸公+〃的图象经过第二、三、四象限，则二次函数尸加+"的图象只可能是（）

A"小。.斗

5.如图，/1II/2II/3,直线4C、。尸与这三条平行线分别交于点4、13、C和点D、A/\p________J

E、F,AB=3,BC=6,DE=4,则。尸的长是()

A.8

B.9

C.11

D.12

6.在mZXABC中，4c=90°,?，则tao4=()

J

1„3「3

AA.-B.C.D1

3I5

7.如图，A。是△48C的高.若8Q=2C£>=4,tanC=3,则边AB的长为

()

A.2S13

B.h13

C.；K5BD

D.2

8.据统计，某市国庆期间前三天外来游客按相同的增长率增长，第一天外来游客约3万人，三天后累计达

到10万人.若增长率为乂则下列方程正确的是（）

A.3（1+x）=10B.3（1+x）2=10

C.3+3(l+x)2=10D.3+3(l+.r)+3(l+x)2=1()

9.如图，QE是△A8C的中位线，乙4C8的平分线交。E于点F,连接

"'并延长交8c于G,若AC=12,DE=\0,则8G的长为（）

A.6

B.8

C.10

D.12

10.如果(a2+b2)2+4«2+4/r=5>则/+护的值为()

A.IB.2C.-5D.1或-5

11.如图，在正方形网格中，△A8C的顶点都在小正方形的顶点上，则

tan±BAC的值是（）

A.3

2

B.1

9

c・

3

9

D.；

12.如图，已知二次函数产谓+'+c的图象与x轴交于(-3,0),顶点是

(-1,/«),则以下结论：①。力。>0；②4a+2Hc>0；③若丁2c,则x《-2

或在0；④b+c=：加.其中正确的芍()个.

■

A.I

B.2

C.3

D.4

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

13.已知siM=：,则锐角乙4=____.

14.若a,0是方程,V2+2A-2024=0的两个实数根，则a2+3a+p的值为—.

15.菱形A8CO的边长为5,两条对角线交于。点，且AO,80的长分别是关于x的方程/+

x+/i?2+3=0的根，则in的值为

16.如图是数学实践课上一同学设计的测量旗杆高度的示意图，其中人8是旗

杆，BC是高【米的旗台，在距旗台前24米的地面。处平放•平面镜，该同学

站在平面镜后2米的尸处正好从平面镜里看到了旗杆的顶部A,若该同学的眼

睛E距离地面1.5米，且A8和£尸均垂直地面，则旗杆A8二—.

17.已知：如图等腰△ABC中，A6=AC=10,BD是AC边上的高，CZ>4,P,尸是8。上

一动点，则:。。♦CP的最小值为一.

18.如图，正方形ABC。中，BF=FG二CG,BE=2AE,CE,BE=2AE,CE交DF、

OG于M、N两点，有下列结论：

①"1EC；

5

②、上',,-slb.'山；

③OM：MF=2：1；

④

XC13

其中，正确的有—.

三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.（本小题9分）

（1）计算：•2i2iv2llv's:

,I

（2）解方程：x（,v-6）-7=0.

20.（本小题9分）

已知关于x的方程h（/-I）+2ax-c（^+1）=0,其中a,Ac分别为△/WC三边的长.

（1）若尸-I是方程的根，试判断△4灰7的形状：

（2）若方程有两个相等的实数根，试判断AABC的形状.

21.（本小题9分）

某校初中部举行诗词大会预选赛，学校对参赛同学获奖情况进行统计，绘制了如下两幅不完整的统计

图.请结合图中相关数据解答卜.列问题：

18

16

L4

12

10

8

6

4

2

0

（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有人；

（2）在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为；

（3）将条形统计图补充完整；

（4）若获得一等奖的同学中有:来自七年级，；来自九年级，其余的来自八年级，学校决定从获得一等

奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛，请通过列表或树状图方法求所选两名同学中，恰好是一

名七年级和一名九年级同学的概率.

22.（本小题9分）

春节前，杲厂家准备将•件L艺品投放巾场，具成本价为6。元/件，在试销过程中发现每天的销量），

（件）与售价x（元）满足如图所示的函数关系.

（1）写出），与X的函数关系式.

（2）春节期间，该商品将正式上市销售，同时厂家规定每天的销售量不低于150件，请你制定•种销售

策略：当售价定为多少时商家获得最大利润，并求出最大利润？

23.（本小题9分）

宜宾五粮液集团公司的鹏程广场有五粮液标志性建筑物一一五粮液瓶楼，2003年被世界基尼斯评定为“全

球规模最大的实物广告”.小张学习了解直角三角形后，想用所学知识测量五粮液瓶楼的高度.在垂直地面

的氐粮液瓶楼前阶梯下有一广场，小张在阶梯。。前26米A处（AG26米）测得瓶楼顶3的仰角为

45°,走上阶梯CO,在。处测得瓶楼顶4的仰角为60°,又知道阶梯CQ的坡度i=l：2,阶梯C。的坡

面长度为八「一人口,2-67米，请你帮小张算算.

（1）求阶梯的垂直高度；

（2）求瓶楼高度.

24.（本小题9分）

如图，△4BC和后都是等腰直角三角形，乙44c和NCOS是直角，8、C、E三点共线，连接AE和

BD,相交于点F,AE交C。于点。.求证：

(1)△4CQS/\4CE；

(2)0G=0八OF.

25.（本小题9分）

如图，点£在正方形A3CO边AZ）上，点F是线段A8上的动点（不与点A重合），。〃交AC于点G,

GH工AD于点、H,A8=l,DE=0.25.

(I)求tanzACE；

（2）设AF=x,GH=），,试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）；

（3）当乙时，判断EG与AC的位置关系并说明理由.

26.（本小题15分）

如图，抛物线）=，F+/zr+c与直线产：工+3交于A,8两点，交x轴于C、D两点,连接AC.BC,已知A

（0,3）,C（-3,0）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线对称轴/上找一点使的值最大，并求出这个最大值；

（3）点。为y轴右侧抛物线上一劭点，连接PA,过点P作尸Q"4交y轴于点Q,问：是否存在点P,

使得以A，P，。为顶点的三角形与△A/3C相似？若存在，请求出所有符合条件的点。的坐标：若不存

在，请说明理由.

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】C

5.【答案】D

6.【答案】A

7.【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】B

10.【答案】A

11.【答案】C

12.【答案】R

13.【答案】30。

14.【答案】2022

15.【答案】-3

16.【答案】17米

17.【答案】8

18.【答案】©@

19.【答案】解：(1)原式=9+、「2+1-2、/2

=10--2;

(2)由原方程得：.必-6片7二0,

P6x+9-9-7=0,

x-3=16,

八-3-±4,

•••Xi=7或M=・l.

20.【答案】解：(1)•.•尸-1是一元二次方程8(Pl)+2av+c(^+1)=0的根,

•••-2a+2c=0,

•••a=c,

•••△ABC为等腰三角形.

(2)•••〃((x2-1)+2ax+c(x2+l)=0,

(Z?+c)/+2⑪+Sb)=0,

•••方程有两个相等的实数根，

•,•△=4标+4(b+c)(b-c)=0,

.,•^2+Z>2=c2,

•••△ABC为直角三角形.

21.【答案】解：(1)40；

(2)90°.

(3)获二等奖的人数=40X20%=8,一等奖的人数为40-8-10-18=4(人)，

条形统计图为：

获奖情况条形统计图获奖情况扇形统计图

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0

一等奖二等奖三等奖鼓励奖获奖类别

(4)由题意知，获一等奖的学生中，七年级有I人，八年级有I人，九年级有2人，

画树状图为：(用4、屎C分别表示七年级、八年级和九年级的学生)

ABCC

/K/T\/4\/1\

BCcAcCABCABC

共有12种等可能的结果数，其中所选出的两人中恰好是一名七年级和一名九年级同学的结果数为4,

所以所选出的两人中恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率；二:.

22.【答案】解：(1)设函数解析式为：y=M,

代入(100,200),(120,160),

,(小，b-21Ml

佝：(rM+6-uwr

解得:{I言

••总数解析式为)=-2r+400；

(2)设销售利润为卬元：

卬=(x-60)(-2.V+400)=-20130)2+9800,

根据图意：-2X+4U0E5U,

解得：xW125,

抛物线开口向下，

vl30>125,

.•.当x=125时,利润最大,最大利润为9750元.

23.【答案】(1)6米(2)<-|,H16vi)米

24.【答案】证明：（1）•••△ABC和都是等腰直角三角形,

AC_-CE

BC=v2,CD

又•.乙4cB=/OCE=45°,

.,.ZACB+ZJACD=Z.DCE+Z.DCE,

即z8C£)二〃CE,

:.ABCDs/\ACE、

9),:△BCDSMCE,

小DC=LAEC,

又•♦ZCOE=CFOD,

:ACOEs^FOD,

or_OE

①，

OF=OD

XvzACB=zDCE=45°,

.-.zACZ>zCDE=90°,

：.AC\\ED,

OA_"

OF=OD②,

由①乘②得:PCOC_OEJ)A

OF()O~ODOE

.•.0。=04・OF,

25.【答案】解：(1)过点£作EML4C于点M,

.-.^AME=zEA/C=90°，

叩边形48co是边长为1的正方形，DE=0.25,

・"AD=45°,AE=AD-DE=\-O.25=O.75=\,

I

：.EM=AM=AEsinz.CAD=，：'：，h2,AC=y,2,

:.CM=AC-AM=6-

M8

E\l

.,.tanZj4CE=

5

(2)•••四边形48co是边长为1的正方形,

.ZCAQ=45°,

vGH.L4D,

.•.△A"G是等腰直角三角形，

：.AH=GH=y,

-GHLAD,ABLAD,

'.GH\\AB,

：.»DHGs丛DAF,

HGDH

*77—~DAf

.y1-y

••,

X1

.•.5=x-xy,

••.V.(OVxWl)；

i+1

(3)当〃QP=〃C£时，EG1AG

；；

理由：'.­VdnzADF=tanzACE=',

5

AFi3

..丽一丁丁

33

'-x=，y=,

5H

3

.-HA=GH=,

.\EH=AD-DE-AH=，t,

H

.••△EHG是等腰直角三角形，

.•/HGE=45°,

・•・△AHG是等腰直角三角形，

：.zAGH=A5Q,

,-.z.AGE=zAGH+z.HGE=9()0,

.-.EG1AC.

26.【答案】解：(1)将4(0,3),C(-3,0)代入函数解析式，得

9

5

解得2，

.•・抛物线的解析式是尸:：x+3；

(2)由抛物线的对称性可知，点