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文档简介
空间向量与立体几何（思维导+知识清单+四大易错点）
城思维导图
空间向量的概念：在空间，具有大小和方向的最叫做空间向量
空间向量的线性运算：力口法运算、减法运算、数乘运算；共线
向量、共面向量
数量积：已知两个非零向量％b,则|@步cos{a,。〉叫做明
。的数量积，记作
向量夹角：利用空间向量的夹角公式计算
向量的模：利用数量积求模、模长公式
运算津：①(ZH)b=b),；.£R;②。6=(交二路)；③alb
+c)=a-Z>+ay分配律)
定义：如果三个向量明b.c不共面，那么对任意一个空间向
空
间
向
量
与
立
体
几
何
空间中点、直线和平面的概念表示：直线的方向向星、平面的
法向量的概念及辨析
用空间向量研究空间中直线、平面的平行：战线平行、线面平行、面面平行
直战、平面的位
置关系空间中直线、平面的垂直：线线垂直、线面垂直、面面垂直
空间向鼠
的应用空间角：异面直线所成的角、线面角、面面角的向量求法
用空间向量研究
距离、夹角问题空间距离：点线距、点面距、面面距的向量求法
第1页共35页
(D定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向星
空间向量的(2)长度或模：向量的大小
"有关概念
(3)表示方法：①几何表示法：空间包量用有向线段表示；②
字母表示法：用字母。，b,r,...表示
零向星、单位向量、相反向呈、共线向量(平行向量)、相等向
X.
加法、减法、数乘运箕
①交换律；②结合律；③分配律
定义：对于空间任意两个向量。，b(b^Q),“II。的充要条件是存
(D定义；(2)范围：0<(a,b)<n
空间向小夹角的计兑，利川公式cos求cos〈,")・
空间向量的
夹角
进而定〈力；).
定义：已知两个非零向・凡b,则㈤0cos(a.b)叫做。，。的
数量扎记作a力.即a,b=a|b|cos(a,b)
性质：两大性质
运算律：①(&)6=*。力),>ER；软力=»。(交换律)；①r(0
一空间向量的+。)=。力+。•《分配律)
数量积
求空间向量数量枳的步骤：(1)将各向量分解成已知模和夹角的
向量为组合形式；(2)利用向■的运算律将数量税展开，转化为
空间向量的已知模和夹角的向量的数量枳；(3)代入公式求解.
(1)解决空间中有关距离或长度的问题；(2)解决两向量夹,，特
数量积运算空间向量数别是两异面直线夹角的问题
量枳的应用
c=|«|cos(a.b)一・向iitc称为向;大。在向於》上的投江向Gt
网
向量的投影
第2页共35页
向
合同
意一
对任
，那么
共面
,。不
明b
个向量
如果三
定义：
空
间
向
度
，且长
垂直
两两
向量
个基
的三
底中
个基
的一
空间
如果
定义：
量
基
本
定
;
直问题
证明垂
角、
求夹
；（2）
问题
共面
共线、
行、
明平
（1）证
定义
系的
坐标
亘角
空间
标
个坐
每两
，通过
向量
坐标
叫做
j.A都
，/,
原点
。叫做
概念：
相关
坐
直角
空间
，
平面
、。=
平面
、@二
平面
为。X3
别称
，分
平面
坐标
叫做
平面
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