数列-2025年高考数学三模试题分类汇编（原卷版）

专题06数列

题型概览

题型01数列的递推公式

题型02等差数列及其性质

题型03等比数列及其性质

题型04数列的前n项和

题型05数列与概率等知识的交汇问题

题型06数列中的新定义问题

数列的递推公式

1.（2025•四川省白贡市•三模〉命题〃：数列｛4｝为等比数列，命题4:数列｛4｝满足5w。，

。,4+4=%凡+3，则夕是〃的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.:多选）（2025•陕西省安康市•三模）在数列｛&｝中，4=1,对任意〃Z,"N+4.”M+4+2〃"?,

贝卜）

A.4=16B.｛q｝为递增数列

C.｛勺｝为等差数列

4+1%+2仆+3%。+2021

3.设数列｛q｝满足4+i=2a：-l（〃wN）若存在常数%,使得可071成立，则4的最小值是

4.（2025•四川省攀枝花•三模）已知数列｛为｝的首项4=1,4+.=3X2".

⑴求证：忖「2”｝是等比数歹ij；

⑵求数列｛%｝的前〃项和S„；

2

⑶令〃广——，求数列也｝的最大项・

4“一（一1）

等差数列及其性质

1.（2025•河南省焦作市•三模）已知等差数列｛q｝的公差为3,则%-4=（）

A.3B.9C.27D.30

2.（2025•湖南省永州市•三模）已知S”为等差数列｛4｝的前〃项和，且q=l,55=15,则S°=（）

A.40B.45C.50D.55

3.若数列｛q｝是等差数列，其前〃项和为"，若6=2,且§5=30,则58等于（）

A.31B.32C.33D.34

4.（2025•四川省凉山州•三模）设等差数列｛4｝的公差为4若4+%。=6,必4=15,则［=（）

A.1B.2C.3D.4

5.（2025年江西省萍乡市三模）记S”为等差数列｛4｝的前〃项和，若｛可｝的公差为4,54=7S,,

则4=（）

A.7dB.8dC.9dD.10d

6.（2025年江西九江市三模）九江银行・2025“庐山杯”九江马拉松于3月23日上午鸣枪开跑.比前，

为备战此次马拉松，小宝同学制定了一个为期20周的跑步训练计划.计划第1周跑步2公里，之

后一段时间每周的跑步量是前一周的2倍；当周跑步量首次超过30公里后，每周比前一周多跑2

公里；当周跑步量首次超过全马里程（42.195公里）后，保持这个周训练量直至训练结束.请问：

训练计划结束时，小宝同学跑步的总量是（）

A.736公里B.724公里C.692公里D.660公里

7.（2025年广东省广州市天河区三模）某校新建一个报告厅，要求容纳840个座位，报告厅共有

21排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位，则第1排应安排的座位数为（）

A.18B.19C.20D.21

8.（2025•浙江省金华市义乌市•三模）已知等差数列也｝的前〃项和为S“，=5,则公差d=_.

等比数列及其性质

1.（2025年江苏如皋市三模）在等比数列｛4｝中，%+4=2（）,则。4=（）

A.36B.±6C.-6D.6

2.（2025年湖北武汉市武昌区三模）已知等比数列｛为｝为递增数列，若%+%=5，

则4=（）

A.-B.7C.4D.8

84

3.（2025年山西省吕梁市三模）己知等差数列也｝的公差八0吗=1,，；-%=9,则,/=（）

A.4B.3C.2D.1

4.（2025•陕西省安康市•三模）已知正项等比数列｛/｝的前〃项和为S.,若邑=2/-S2+6,生=1,

则%=（）

A.16B.32C.27D.81

5.（2025•河北省张家口•三模）已知等比数列｛q｝的前〃项和为若5s2-4S4=（）,%—尹0,

贝_11=____.

%一勺

6.（2025年江西九江市三模）如图，有一款合成2048游戏.游戏规则如下：在一个4*4的方格中，

游戏开始时，方格中会随机出现两个数字小方块，只能是2或4.手指向一个方向（上、下、左、

右）滑动，所有含有数字的小方块都会向这个方向移动到不能移动为止，滑动过程中相同数字的两

个小方块相撞时数字会相加，称为一次合并运算.每次滑动时，空白处会随机刷新出一个含有数字

（只能是2或4）的小方块.当界面中最大数字是2048时，最少合并运算的次数为.

2

416

8163264

1024512256128

7.（2025・四川省宜宾市三模）设S”为等差数列｛4｝的前〃项和,若S”15,且4MM4成等比数歹IJ，

则&二1

数列的前n项和问题

1.（2025年山东威海市三模）已知等差数列｛叫的前〃项和为%/+4=15-4，则S“=（）

A.40B.45C.50D.55

2.（多选）（2025年山东省泰安市三模）已知公比为仪夕>。）的等比数列｛q｝的前〃项和为S,，已

知4+%=3,贝lj（）

A.Oy=y/2B.q=y/2C.%=20D.Sl0<78

3.（多选）（2025年河北石家庄三模）已知数列｛q｝的前〃项和为S.二T/+11〃，则下列说法正确

的是（）

A.数列［2］为递减数列B.当且仅当〃=5时，S“取得最大值

n

c.%=-2〃+12D.｛24｝是等比数列

4.（2025・四川省绵阳市,三模）已知等差数列｛4｝的前〃项和为S,，若%+%=-2,则§8=.

5.（2025•云南省玉溪市、保山市•三模）已知等差数列｛%｝的前〃项和为S”，55=20,其=56,则

数列的前9项和7；=.

6.（2025・四川省绵阳市•三模）已知等比数列｛q｝满足q=2,且4%,2%,生成等差数列.

⑴求数列｛q｝的通项公式：

⑵求4+智+爷…合.

7.（2025•辽宁沈阳•三模）己知数列｛4｝中，%-3,%-15,且数列｛"为等差数列.

⑴求｛q｝的通项公式；

（2）记S”为数列的前〃项和，证明：S“<4.

4

8.（2025年天津市滨海新区三模）已知等差数列｛q｝与正项等比数列｛"｝满足：%=4=2,

⑴求｛叫、也｝通项公式；

（2喏对数列｛〃”｝、也｝,在4与k之间插入4个2（丘N）组成一个新数列｛%｝,求数列匕｝前

100项和Zoo；

-a,,b,n=2k-1筋

⑶若4=]in”（其中人N*）,证明：

-F1'〃=2ktT18

9.（2025•安徽省安庆市•三模）己知数列｛q｝中，%=1，设S”为｛q｝前〃项和，2s.=〃q.

⑴求｛%｝的通项公式；

⑵若“小+£；（%+]），求数列｛端的前"项和工，

10.（2025•四川省成都市•三模）已知正项数列｛4｝的前〃项的和为，，且见（2S“-q）=1.

⑴求S，52；

⑵证明：设｝是等差数列；

⑶求数歹小’，的前〃项的和

数列与概率等知识的交汇问题

1.（2025•山东省枣庄市•三模）已知｛可｝为等比数列，且％=1,则“％=2〃是“%=4〃的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2025年江西省萍乡市三模）已知（2+x）”=%+£q（l+x）‘，且6>外,则〃的最小值为.

/=1

3.（2025・四川省自贡市•三模）在VA3C中，角A8,C所对的边长。力,c组成公差为1的等差数列.

⑴若4sinB=5sinA,求VABC的周长和面积；

（2）V人AC为锐角三角形，求整数。的最小值.

4.（2025年山西省吕梁市三模）已知A,8分别为椭圆E：W+*=l（a>/»0）的左、右顶点，小工

〃-h-

分别为其左、右焦点，P是椭圆£•上与A,3不重合的任意一点，点P到原点。的距离的最小值为

1,直线应与直线总的斜率之积为-；.己知M”（〃O（〃eN=〃22）,以“为直径的圆与以八8为

直径的圆在工轴上方的交点为G「

⑴求椭圆£的方程;

⑵（i）证明：直线MO”为椭圆E的切线;

ft13

（ii）设切线〃“G”与椭圆E的切点的横坐标为证明：

，=23

5.（2025年江西省萍乡市三模）记抛物线E:/=4），的焦点为F,过原点。作斜率为1的直线/,/

与E交于另一点4，取州的中点直线OM与E交于另一点8,取尸匕的中点A/2,以此类推,

记直线OM”的斜率为配

⑴求点心的坐标；

⑵证明：｛勺+「尤｝是递减数列；

⑶记△0爪的面积为S“，证明:扃<支S<13.信］-13.

1=115,

6.（2025年山东威海市三模）设集合｛2。+2"|0①<〃且a/wZ｝中所有的数从小到大排列构成数

列｛q｝，并将数列｛q｝的各项依次按照上小下大，左小右大，第〃行共有〃项的原则，写成如下的

数表.

a\

。4。6

⑴写出该数表第4行各项的数；

（2）求4o；

⑶设厮位于数表的第〃行，若N>200,且该数列前N项的和能被2"整除，求N的最小值.

7.（2025•山东省枣庄市•三模）将所有正整数按照如下规律形成数阵：

第1行123.789

第2行101112……979899

第3行100101102……997998999

第4行100010011002…999799989999

⑴将数列｛3〃+1｝与数列｛2"｝的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列｛q｝,试确定恁在该数阵中

的位置;

⑵将数阵中所有相邻两位数字(从左到右)出现12的所有正整数去掉并保持顺序不变，得到一个

新数阵，记新数阵第八行中正整数的个数为4.

求伉；求.

(i)4,b2,(ii)

8.(2025•四川省凉山州•三模)在国务院新闻办公室举行的"推动高质量发展〃系列主题新闻发布会上,

教育部相关负责人表示，要在关键环节方面，让“健康第一"落细落地.实施学生体质强健计划、心

理健康促进行动等，保障中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时，全面培育学生枳极心理品

质.要让孩子们动起来、互动起来，多见阳光，多呼吸新鲜空包.

⑴为了解喜爱排球运动是否与性别有关，某统计部门在某地随机抽取了男性和女性各100名进行调

查，得到2x2列联表如下：

喜爱排球运动不喜爱排球运动合计

男性6040100

女性4555100

合计10595200

依据小概率值a=0.01的独立性检验，能否认为喜爱排球运动与性别有关？

⑵某校排球队的甲、乙、丙、丁四名球员进行传球训练，甲等可能地随机传向另外3人中的1人，

乙也等可能地随机传向另外3人中的1人，丙、丁均等可能地随机传向甲、乙中的1人，第1次由

甲将球传出，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记第〃次传球之后球在丙或丁手上

的概率为

(i)计算4,生，并求乩｝的通项公式；

(ii)记第〃次传球之后球在乙手上的概率为2，求｛〃｝的通项公式.

2n(adbe)2

y----------------------------------------

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

有关数列的新定义问题

1.（2025•湖南省郴州市•三模）给定一个数列｛4｝,记aa，则把数列出｝称为｛&｝的一阶

差数列.若数列匕｝的一阶差数列e｝的通项公式为0=1,则仇=（）

A.556B.557C.292D.291

2.（2025•湖南省永州市•三模）如果数列｛“对任意的〃eN*,都有4+2+q>2%成立,则称｛〃“｝

为“速增数列”若数列｛凡｝为“速增数列且任意项qeZ,=1,%=3,%=2025.则正整数％

的最大值为（）

A.62B.63C.64D.65

3.（多选）（2025年江苏如皋市三模）已知数列｛q｝,设/:a+生；-+《'（〃eN*）,若｛q｝满足

性质C：存在常数c,使得对于任意两两不等的正整数i、j、k,都有（/=/》为+（/-〃）町+伏-。吗=。,

则称数列｛《J