平面向量的运算-人教A版高一数学必修第二册课后练

6.2平面向量的运算

——高一数学人教A版(2019)必修第二册课后练

【教材课后习题】

1.如果。表示“向东走10km"，b表示“向西走5km”，。表示“向北走

10km”，d表示“向南走5km”，那么下列向量具有什么意义？

(1)a+a；(2)a+b；(3)a+c；(4)b+d；(5)b+c+b；(6)d+a^-d.

2.一架飞机向北飞行300km,然后改变方向向西飞行400km,求飞机飞行的路程

及两次位移的合成.

3.一艘船垂直于对岸航行，航行速度的大小为16km/h,同时河水流速的大小为

4km/h.求船实际航行的速度的大小与方向(精确到1°).

4.化简：

(1)AB+BC-^-CA；

(2)++；

(3)OA+OC+BO+CO；

(4)AB-AC+BD-CD；

(5)OA-OD-^-AD；

(6)AB-AD-DC；

(7)NQ+QP+MN-MP.

5.作图验证：

(1)-(a+b)+—(a-b)=a；

22

(2)-(a+b)-—(a-b)=b.

22

6.(1)已知向量〃，b,求作向量c,使a+Z?+c=O.

(2)(1)中表示a,b,c的有向线段能构成三角形吗？

7.已知a,力为两个非零向量，

(1)求作向量a+b,a~b；

(2)当向量。，力成什么位置关系时，满足|〃+力(不要求证明)

8.化简：

(1)5(2a-2b)+4(2b-3a)；

(2)6(。-3b+c)-4(-«+b-c)；

(3)-(3。-25)+5〃」(6。-9b)；

2\_3_

(4)(x-y)(«+b)-(x-y)(a-b).

9.如图，及AN=！AC.求证MN=』BC.

333

(1)若a,力满足|〃|=2,|)|=3,则|a+〃|的最大值为最小值为

(2)当非零向量a,5满足时，a+Zr平分。与〃的夹角.

2

11.(1)已知|a|=3,|M=4,且。与力的夹角6=150。,求a/,(a+b)t

\a+b\；

(2)己知|a|=2,\b\=5f且a.)=一3,求|。+勿，\a-b\.

12.求证:(京0•力=4(a5)=a・(/l〃).

13.根据下列各小题中的条件，分别判断四边形A3C。的形状，并给出证明.

(1)AD=BC；

(2)AD=-BC；

3

(3)AB=DCf且|A8|=|人

14.在△A3C中，AD=-ABt。石〃3C,且与边AC相交于点E,△ABC的中线

4

AM与OE相交于点N.设AB=〃，AC=b,用〃，力分别表示向量A£,BC,

DE,DB,EC,ON,AN.

15.如图，在任意四边形ABC。中，E,尸分别为A。，BC的中点，求证：

16.飞机从甲地沿北偏西1S。的方向飞行1400km到达乙地，再从乙地沿南偏东7S。

的方向飞行1400km到达丙地.画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的

什么方向?丙地距甲地多远？

17.(1)如图(1),在AA5c中，计算AB+BC+CA；

(2)如图(2),在四边形4BCQ中，计算A8+BC+CO+DA；

(3)如图(3),在〃边形A4A,..A“中，

A4+&4+A4++ALA+4A=?证明你的结论.

(1)(2)(3)

18.已知|。|=4,传|=3,且(2a-3b)・(2a+b)=61,求。与b的夹角6.

19己知|。|=8,|力|=10,且|。+川=16,求°与力的夹角6(精确到1。).

(可用计算工具)

20.己知a是非零向量，b于c,求证：ab=ac^>a1(b-c).

21.已知3c的外接圆圆心为0,且2Ao=+\OA\=\AB\,则向量

BA在向量BC上的投影向量为().

A.-BCB.—BCC.--BCD.--BC

4444

22.如图，。是平行四边形A8CQ外一点，用04,OB,0C表示。。.

23.己知。为四边形A3CD所在平面内一点，且向量0A,OB,0C,。。满足

等式04+0C=08+0D.

（1）作出满足条件的四边形A8CD

（2）四边形A8CD有什么特点？请证明你的猜想.

24.如图，在OC中，是不是只需知道的半径或弦AB的长度，就可以求出

A8MC的值?

【定点变式训练】

25.在平行四边形ABCD中八8+4）等于（）

UU1UuuHIMIUt・l

A.ACB.CAC.BDD.DB

inmuuu.、"Li*«*uiui,ULUU

26.在7ABe中，AB=c,AC=b,右点O)两足8O=2DC,则AD=()

219?Ic1L2

AA.一bt+-cB.-c--bC.-b--cL).-b+-c

33333333

27.若同=2,M|=4,向量a与向量b的夹角为120°,则向量a在向量b上的

投影向量为（）

B.--hC.-hD.--h

4224

28.化简AC—+CO-AB+BC得（）

A.OB.DAC.BCD.AB

29.设。为少改;所在平面内一点，若AC=48,则下列关系中正确的是（）

num1uim4111raliunn।min5IAI«

A.AD=--AB+-ACB.AD=-AB--AC

4344

1m5r

ULna

Ao+UUAcLRWISIHB1IHIKI

4-4-D.AD=-AB——AC

44

30.已知非冬向量a力满足|a|=6|b|,”.力的夹角的余弦值为§,且。_L（a-必），则实

数k的值为（）

A.18B.24C.32D.36

31.如图所示，在梯形A3CD中，ADHBC,AC与3。交于O点，则

UUUUUUUlllUULILIU

BA-BC-OA+OD+DA=.

32.已知向量a,5不共线，且c=M+b,d=a+（24-1）6.若c与d同向,则实数4

的值为.

33.如图，在平行四边形ABCD中，APA.BD,垂足为点尸，且AP=3,则

UUUUUU1

APAC=.

34.如图所示，已知在矩形48C。中，|AD|=46|AB|=8.设

UUUllliuULM1

AB=a,BC=b,BD=c9求

DC

35.已知ej为两个小共线的向量，若四边形4BCD满足

ULU1LILIU111111

AB=e+2f,BC=-4e-f,CD=-5e-3f.

LILMU

⑴将4)用ej表示;

(2)证明：四边形A8C。为梯形.

36.己知非零向量。溥满足|°|=1,且(。-勿-5+b)=g.

⑴求Sl.

(2)当时，求向量。与b的夹角0的值.

2

答案以及解析

1.答案：(1)向东走20km；

(2)向东走5km；

(3)向东北走10夜km；

(4)向西南走5夜km；

(5)向西北走10&km；

(6)向东南走10及km；

解析:

2.答案：飞机飞行的路程为700km；两次位移的合成是向北偏西约53。方向飞行

500km

解析：

3.答案：船实际航行的速度的大小为447km/h,方向与水流方向成76。角

解析：设船的航行速度为匕，水流速度为岭，

船的实际航行速度为口u与匕的夹角为。，则

|v|==Vl62+42=4a(km/h).

由tana=L=4,得。476。.

4

/.船实际航行的速度的大小为4gkm/h,方向与水流方向成76。角.

4.答案：(1)0

(2)AB

(3)BA

(4)0

(5)0

(6)CB

(7)0

解析：(1)原式=4C-AC=0.

(2)原式=48+80+0M+MB=A5.

(3)原式=Q4+OC-OB-OC=%.

(4)原式=AB+30+OC+C4=O.

(5)原式=。4+4。+。0=0.

(6)原式=A8-(AO+OC)=A8-AC=C8.

(7)原式=MN+NQ+QP+PM=0.

5.答案：(1)见解析

(2)见解析

解析：如图，在平行四边形ABCQ中，设AB=〃，AD=b,则

(1)因为AO+O8=AB,

所以(a+〃)+L(〃一份二Q

22

(2)因为4。-08=4。+6。=/4。+。。=4。，所以_L(a+》)—_L(a—与=从

22

6答案:(1)略.

(2)当小〃共线时，不能构成三角形，当。不共线时能构成三角形.

解析：

7.答案：(1)略.

(2)当时，满足|a+川=|。-R.

解析:

8.答案:(1)-2a-2b

(2)10«-22〃+10c

(3)3a+-b

2

(4)2(x-y)b.

解析：

9.答案：见解析

解析：因为=而AN=』AC,AM=-ABf所以

33

MN=-AC--AB=-\AC-AB)=-BC.

333'3

10.答案:(1)5,1

(2)\a\=\b\

解析：(1)|a+b凶。|+网=2+3=5,当且仅当以b同向时取等号,

••・1。+外皿=5.

又以|〃|一|切|=|2-3|=1,当且仅当0,力反向时取等号，.•.|a+切*=1.

(2)当|〃|=|力|时，a+b为以0,。为邻边的平行四边形的对角线，此时的平行

四边形为菱形，对角线恰好平分。与力的夹角.

11.答案：(1)ab=-60；(〃+b)2=25-12月，|a+争|=)25—126

(2)|〃+川二回，\a-b\=435

解析：(1)〃/=|a||/?|cosl5(尸=3x4x1-#)=一66；

(a+b)2=a2+2ab+b2=|«I2+1|2-125/3=32+42-125/3=25-12>73；

\a+b\=yj(a+b)2=yl25-i2y/3.

(2)

\a+b\=yl(a+b)2=Jr，+2ab+>2=y]\a\2+2x(—3)+1b|2=\j22—6+52=>/23.

\a-b\=yl(a-b)2=yja:-2ab+b2=1-2x(-3)+1邸=>/22+6+52=屈.

12.答案：见解析

解析：(1)设“，力的夹角为e,当2=0时，成=0,刃>=o,

A(ab)=0(ab)=0fa=a-0=0,

/.(Aa)b=2(a•b)=a•(入b)成立.

(2)当2>0时，而与〃同向，乃与8同向，西与力的夹角为。〃与劝

的夹角为0.

(Aa)b=\Aa\\b\cos3=A\a\\b\cos0,

A(a-b)=A\a\\b\cos0,a-(Ab)=\a\Aa\cos0=A\a\\b\cos0,

/.(2a)-b=X(ab)=a(Ab)成立.

(3)当丸<0时，而与a反向，助与b反向，西与力的夹角为兀-。，a与b

的夹角为兀-8.

(Aa)-b^Aa\\b\cos(乃-0)=-X\a^b\(-cos0)=A,\a\\b\cos0,

2(a-^)=21a||^|cos0,

a•(Zb)=|a|||cos(n-0)=-21a||^|(-cos0)=A\a\\b\cos0,

(Aa)-h=4(〃・b)=〃•(劝))成立.

综上可知，原等式成立.

13.答案：(1)平行四边形，证明见解析

(2)梯形，证明见解圻

(3)菱形，证明见解圻

解析：(1)四边形A8C。是平行四边形，证明如下：

vAD=BC,AO//BC且|AO|=|8C|,

/.AD//BC且AO=BC,.•.四边形ABCD是平行四边形.

(2)四边形A8C。是梯形，证明如下:

■'.I.'一.I....

vAD=-BC,.-.ADUBC,..A。//3c.又|AO|=?|BC|,

z.AD=-BC即ADw8c..•.四边形ABCD是梯形.

3f

(3)四边形A8CQ是菱形，证明如下：

VAB-DCt.•.人8〃。。且|A8|一|。。|,

/.AB/IDCS.AB=DC一•.四边形ABCD是平行四边形.

又"48|二|八。|,「.45=4),.,.四边形48。。是菱形.

―.1一|一1—.3一3

14.答案：AE=-bxAE=-b；DE=-(b-a)；DB=-a；EC=-b；

44444

DN=-(b-a)；AN=-(a+h)

88

解析：如图，

AE=-b,AE=-bDE=-(b-a)

44t4f

3-3—1

DB=-aEC=-bDN=-(b-a),

4f4f8

AN=-AM=-(«+/>).

48

15.答案：见解析

解析：连接EB,EC(图略).

EF=^(EB+EC)

=^AB-AE+DC-DE)

=-\AB--AD^DC--DA

2(22

=-[AB--AD+DC+-AD\=-(AB+

2122)2

;.AB+DC=2EF.

16.答案：丙地在甲地的北偏东45。方向，距甲地1400km

解析：如图,丙地在甲地的北偏东45。方向,距甲地1400km.

17.答案：(1)0

(2)0

(3)0,证明见解析

解析：(1)AB+BC+CA=AC+CA=AC-AC=^.

(2)AB+BC^CD+DA=AC+CD+DA=AD+DA=AD-AD=O.

(3)A4+&4+A4++A,_]4+4A=0・

证明如下：

A4+44+A4+•,+4A+AM

=AA+4A++4-A+4A

=A4+4A=44-44=0.

18.答案：夕=120。

解析：(2a-3b)(2a+b)=4a2-4ab-3b2=6],

于是可得。”=-6,cos^=-^-=--,所以8=120。.

|。11切2

19.答案：855。

解析：・・1。+方1=16,

.'ia+bf=a2+2ah+b2=82+2zz-ft+102=162,.a5=46,

.•.cose="-=*=纪，用计算器算得夕七55。.

|〃||。|8x1040

20.答案：见解析

解析：证法1：a-b=a-c<=>ab-a'c=0<=>a(b-c)=0<=>aL(b-c).

证法2：设a=(x，y),〃=伍,%)，。=(芍%).

先证〃〃=a・c=_LS-c).

ab=xix2+y]y2fac=x^+y\y3.

由a•b=a•。得x}x2+y]y2=x1x3+y%.

即百5一七）+凶（、2一%）=。

而力一c=（w—七,%一%），所以。・S-c）=0.

再证a_L（b-c）=Q〃=QC.

由aS-c）=。得内（七一七）+），]（%—为）=。，

即不马+%月二玉刍+,为，因此。・〃=a，c.

21.答案：A

解析：如图，由2A。=AB+AC知。为8c的中点,

又。为△A3C的外接圆圆心,

OA=OB=OC.

•>\OA\=\48],

Ai3=OB=OA=OC.

.•.△440为正三角形，ZABO=60°,

—I1

.•.84在8。上的投影向量为一6。二一8。，故选A.

24

22.答案：OD=OA+AD=OA-OB+OC

解析：0D=0A^-AD=0A+BC=0A+0C-0B=0A-0B+0C.

23.答案：（1）平行四边形

（2）四边形A8CD为平行四边形，证明见解析

解析：（1）作图略，通过作图可以发现四边形A6c。为平行四边形.

（2）四边形A8CQ为平行四边形.

证明：因为。4+OC=OB+O。，所以Q4-O5=OO-OC,因为

OA-OB=BAfOD-OC=CDt

所以8A=CD,即因此四边形ABC。为平行四边形.

24.答案：2a2

解析：只与弦A3的长度有关，与半径无关.理由如下：

设OC的半径为r,A8的长度为2〃，

取A8的中点。，连接C。，则CD_LA3.

在RlZXAS中，AD=a,AC=rcosZCAD=-,

fr

AB-AC=2«rcosZCAD=2ar•—=2a2.

r

25.答案：A

Inaiuumuuiu

解析：因为四边形A3c。为平行四边形，故A3+AO=AC.故选A.

26.答案：A

umnuuuniurno1,1111X112suiurno12

解析：由题意得从。=从4+3。=43+—8c=/W+-（AC—A/3）=-43+-AC=-c+—〃.

333333

故选A.

27.答案:D

解析：〃在力的投影向量是|a|cose2=2xcosl20"x£=」力.故选D.

|力|44

28.答案：C

解析：AC-BD+CD-AB+BC

=AC+CD+DB+BA+BC

=0IBC

=BC.

故选：C.

29.答案:C

LKB1IR.IUUUU10.11IRB1UL1U1IKMIUUU11110CtUU

解析：因为BC=4C。，所以AC—A3=4C=4AO—4AC，所以4。=一,AB+三AC.

44

故选C

30.答案：A

解析：由|“=6|加可设|)|=/,则|。|=6«/>0).因为

a(a-kb)=\a\2-ka-b-36r2-kx6txtx-=0,所以攵=18.故选A.

3

...ULI

31.答案：CA

uuinaiuuiiuuuiaiuumiuIRUUU

解析：BA-BC-OA+OD+DA=CA+AD+DA=CA.

32.答案：1