抛体运动（知识+9大重难题型+过关验收）解析版-2025-2026学年高一物理上学期期末复习（人教版）

抛体运动(知识必备+9大重难题型+过关验收)

.明•期末考情.

核心考点复习目标考情规律

1.理解曲线运动的速度方向。

曲线运动2.理解物体做曲线运动的条件，会判断物体是基础必考点，常出选择题

做直线运动还是曲线运动。

1会.利用平行四边形定则计算分速度、合速度及分位

基础必考点，常出选择题或计

运动的合成与分解移、合位移。

算题

2能.够运用合成与分解思想分析一些实际问题。

1.会用实验的方法研究平抛运动的两个分运动。

实验：探究平抛运

2学.会用实验的方法描绘平抛运动的轨迹。高频必考点，常出实验题

动的特点

3.通过实验，掌握平抛运动轨迹的获取过程和方法。

1.理解平抛运动的规律，会用运动合成和分解的方法

高频考点，常出选择题和计算

效体运动的规律分析平抛运动。

题

2.能用平抛运动规律分析生产、生活中的平抛运动

.记•必备知识，

知识点01曲线运动

1.曲线运动的速度方向

(1)速度方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。

(2)运动性质：速度是矢量，既有大小，又有方向。曲线运动中速度的方向是变化的，所以曲线运动是恋速

运动。

2.物体做曲线运动的条件

(1)动力学角度：当物体所受合力f勺方向与它的速度方向不在同一直线上时,物体做曲线运动。

(2)运动学角度：当物体的加速度方向与速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。

知识点02运动的合成与分解

1.合运动与分运动

(1)合运动：指在具体问题中，物体实际所做的运动。

(2)分运动：指物体沿某一方向具有某一效果的运动。

2.运动的合成与分解

1/44

由分运动求合运动叫作运动的合成;反之，由合运动求分运动叫作运动的分解,即:

运动的合成

分运动合运动

运动的分解

3.运动的合成与分解所遵循的法则

(1)运动的合成与分解指的是对位移、速度、加速度这些描述运动的物理量进行合成与分解。

(2)位移、速度、加速度都是矢量，对它们进行合成与分解时遵循王红四边也定则。

惶知识点03抛体运动的规律

一、平抛运动的速度

以速度i，o沿水平方向抛出一物体，以抛出点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系。

1.水平方向：不受力，加速度是。，水平方向为匀逑直线运动，％=为。

2.竖直方向：只受重力，由牛顿第二定律得到〃吟=加心所以i=g，乂初速度为。，所以竖直方向为且由落

傕运动，4=空。

3.平抛运动的速度

(1)大小:

(2)方向：与水平方向夹角满足tan9="=8

vxvo

二、平抛运动的位移与轨迹

1.平抛运动的位移

⑴水平方向：

(2)竖直方向：歹=尹

(3)合位移：①大小/=必分

2/44

②方向与水平方向夹角满足tana=-=—

x2vo

2.平抛运动的轨迹

⑴根据求得，，=工代入-lg/2得、=_£理。

vo22no

(2)■N这个量与x、y无去，满足数学中》=妙2的函数形式，所以平抛运动的轨迹是一条抛物线。

2vo"

二、一般的抛体运动

1.定义：初速度沿斜向上或斜向下方向的抛体运动。

2.初速度：vy=vncos^>Vv=vnsin6*<

3.性质：斜抛运动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的联直_L抛或胫直下抛运动的合运动。

号知识点04实验：探究平抛运动的特点

一、实验思路

1.思路：把复杂的曲线运动分解为不同方向上两个相对简单的直线运动。

2.平抛运动的分解方法

由干物体是沿着水平方向抛出的，在运动过程中只受到竖直向K的重力作用，可尝试将平抛运动分解为水

平方向的分运动和竖直方向的分运动c

二、进行实验

1.探究平抛运动竖直分运动的特点

(1)实验按图示装置进行实验，小钢球力、8位于相同高度处，用小锤击打弹性金属片，金属卢。受到小锤

的击打，向前推动4小钢球力具有水平初速度，做平抛运动,同时松开小钢球从自由下落，做自由落体

运动。

⑵分析

仔细观察可知，不管两个小钢球距地面的高度为多大，或小锤击打金属片的力度多大(小锤击打金属片的力

度越大，小钢球4水平抛出的初速度越大)，两小钢球每次都同时落地，说明两小钢球在空中运动的时1回相

等，即做平抛运动的物体在竖直方向上的分运动是宜由芨住运动。

3/44

(3)结论

做平抛运动的物体在竖直方向上做自由落体运动。

2.探究平抛运动水平分运动的特点

⑴实验在图示的实验装置中，两人相同的弧形轨道河、M上端分别装有电磁铁C、调节C、。的高度,

使,4C=8。。将小铁球P、。分别吸在C、。上，然后切断电源，使球以相同的初速度均分别同时从加、N

的末端水平射出，其中与轨道N相切的水平面

光滑。

实验发现两铁球在P球落地时相遇。只增大或减小轨道"的高度再进行实验，结果两铁球总是在尸球落地

时相遇。

Q)分析

只改变轨道M的高度，相当于只改变P球做平抛运动的竖直高度，发现尸、。两球总是在P球落地时相遇,

即P球在水平方向上的运动不因P球在竖直方向上运动时间的长短而改变，总是和在水平面上做匀速直线

运动的0球有完全相同的运动情况。

(3)结论：做平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动；平抛运动的各分运动具有独立性。

.破•重难题型.

秀题型一曲线运动条件及特点

［解i题］£「15

:1.速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。

i2.物体做曲线运动的条件：物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向

1与速度方向不在同一条直线上。

i3.运动轨迹的判断

：!(1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动；若物体所受合力方向与速度方

i向不在同一直线上，则物体做曲线运动。

：(2)物体做曲线运动时，合力指向轨迹的凹侧；运动轨迹在速度方向与合力方向所夹的区间。可速记为“无

:力不弯，力速两边

i4.曲线运动速率的变化

4/44

P锐角一物体的速率增大

（合力方向与速LT物体的速率减小

度方向的夹角—1钝角

匚垂直

一物体的速率不变

【典例1】（24-25高一下•山西吕梁•期末）某高一学习小组在空旷泥土地带，通过飞镖的运动来体会曲线运

动的速度方向和轨迹曲线的关系，飞镖运动简化图如图所示。忽略空气阻力作用，下列关于飞镖的运动说

法正确的是（）

夕

/

A.出手后匕镖的加速度是变亿的

B.飞镖运动到最高点时速度为零

C.飞镖在不同的时间内速度变化量方向不同

D.飞镖落地插入泥土后的指向可表示落地瞬时的速度方向

【答案】D

【详解】A.忽略空气阻力，飞镖出手后只受重力，由牛顿第二定律得加速度为重力加速度，加速度不变,

A错误;

B.飞镖飞到最高点时竖直方向速度为零，但水平方向速度不为零，故最高点时速度不为零，B错误；

C.飞镖出手后只受重力，加速度方向恒定，在不同时间内速度变化量的方向与加速度方向相同，故C错误；

D.飞镖落地插入泥土后的指向就是它落地瞬时的速度方向，D正确。

故选Do

【典例2】（24-25高一下•河南许昌•期末）如图所示，实线为一物体在水平恒力作用下沿光滑的水平面做曲

线运动的轨迹，当物体从M点运动到N点时，其速度方向恰好改变了90°,则物体从M点到N点的运动过程中，

A.物体在M点时的速度方向可能与水平恒力方向相同

B.物体所受的水平恒力的方向一定垂直M点的速度方向

5/44

C.物体做的一定是匀变速曲线运动

D.物体的速率一定是先增大后减小

【答案】C

【详解】A.由于物体做曲线运动，故物体在M点时的速度方向不可能与水平恒力方向相同，故A错误；

BD.因为质点速度方向恰好改变790。，可以判断恒力方向应为右下方，即速度方向与恒力方向夹角先为钝

角后为锐角，故物体速率先减小后增大，故BD错误；

C.由于物体受水平恒力/作用，根据牛顿第二定律有Q二g可知加速度也恒定，故物体做的一定是匀变速

曲线运动，故C正确。故选C.

【变式1】（24-25高一上・浙江•期末）2024年11月12日至0日，第十五届中国国际航空航天博览会在珠

海举行。图为中国空军表演飞机"急转弯”的照片，飞机在空中划出的一道弧线，实际生活中还有很多运动都

是曲线运动。下列说法正确的是（）

A.飞机转弯时所受到的合力沿运动方向

B.飞机转弯时加速度的方向沿运动方向

C.做曲线运动的物体，速度的大小一定改变

D.做曲线运动的物体，速度的方向一定改变

【答案】D

【详解】A.飞机做曲线运动，根据物体做曲线运动的条件，合外力与速度方向不在同一条直线上，所以飞

机转弯时所受合力不沿运动方向，故A错误；

B.加速度方向与合外力方向相同，由于飞机转弯时合外力不沿运动方向，所以加速度方向也不沿运动方向，

故B错误；

C.做曲线运动的物体，速度大小不一定改变，比如匀速圆周运动，速度大小不变，只是方向时刻改变，故

C错误；

D.曲线运动的轨迹是曲线，物体在曲线上某点的速度方向是该点的切线方向，所以做曲线运动的物体速度

方向一定改变，故D正确。

故选D。

【变式2】（24-25高一上•浙江宁波•期末）2024年9月25日，我国向太平洋相关海域成功发射了一枚携载

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模拟弹头的洲际弹道导弹，导弹精准落入预定海域，如图所示。图中力、8、。、D四点所在的曲线是该导弹

的飞行轨迹，则导弹经过4B、C、。四点时的速度也、也、力、叫的方向与所受的合外力/1、&、&、&

的方向可能正确的是在()

【答案】B

【详解】根据曲线运动的特点，可知速度u方向沿运动轨迹的切线方向，合外力”方向指向运动轨迹的凹

侧，轨迹在两者之间，故图中8点符合要求，A点、C点、。点小符合要求。故选B。

官题型二合运动性质的判断

解|题|技|巧

1.合运动与分运动的特性

⑴独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响。

(2)等时性：各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等，求物体的运动时间时，可选择•个简单的

运动进行求解。

(3)等效性：各分运动叠加起来与合运动有相同的效果，即分运动与合运动可以“等效替代

(4)同体性：各分运动与合运动是同一个物体的运动。

2•合运动性质的判断

艮。直线

共线|运动

F、a—*

定同向

―、。不曲线

共线运动

3.两个互成角度的直线运动的合运动性质的判断

7/44

吊塘吾加瓦底方向而谷初遗族皆商前天索，…珂乏谷运动足直线运动速层而残运薪;…瓦林芬药以下元而

情况：

(1)两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动。

(2)两个初速度均为零的匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动。

(3)一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动是匀变速运动，当二者速度方向共线时为匀变速

直线运动，不共线时为匀变速由线运动。

(4)两个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速运动。若两运动的合初速度方向与合加速度方向在同一

条直线上，则合运动是匀变速直线运动，如图甲所示；若合初速度方向与合加速度方向不在一条直线

上，则合运动是匀变速曲线运动，如图乙所示。

：甲乙:

【典例1】(24-25高一下•四川眉山•期末)图(a)为记载于《天工开物》的风扇车，它是用来去除水稻等

农作物子实中杂质的木制传统农具。风扇车的工作原理可简化为图(b)模型：质量为〃〃的杂质与质量为

m2的子实仅在水平恒定风力和重力的作用下，从同一位置夕静止释放，若如小于〃?2,杂质与子实受到的

风力大小相等。下列说法正确的是()

图(a)图(b)

A.杂质与子实在空中做曲线运动

B.杂质与子实在空中运动的时间相等

C.杂质与子实落地时速度相同

D.杂质落地点与P点的水平距离小于子实落地点与尸点的水平距离

【答案】B

【详解】A.杂质与子实受竖直向的重力和水平向左的恒定的风力作用，则合力也为恒力，方向斜向左下方,

因为均从静止开始运动，可知杂质和子实在空中均做直线运动，故A错误；

B.因应直方向加速度都相同，触直高度相同，可知落到地面的时间相同，即杂质与子实在空中运动的时间

相等，故B正确；

C.杂质质量较小，根据&=£可知，杂质水平加速度较大，则根据以二。/可知，杂质落地时水平速度较

8/44

大，因落地时竖直速度相等，可知杂质落地时速度较大，故c错误;

D.杂质水平加速度较大，根据％=2&伊可知，杂质落地点与尸点的水平距离大于子实落地点与产点的水

平距离，故D错误。故选B,

【典例2］（24-25高一上•宁夏银川・期末）在一次施工中，塔吊将重物从。点吊起，从起吊开始计时，以0

为原点，设水平向右为X方向、竖直向上为V方向，重物沿工、y方向的运动规律分别如图甲、乙所示，则重

物（）

A.在水平方向做匀变速直线运动B.第8s末的速度为5m/s

C.0~8s内的位移大小为24mD,在相等时间内的速度变化量小相等

【答案】B

【详解】A.由图甲％图像可知，重物在水平方向做匀速直线运动，速度大小为%;=；=gm/s=3m/s,

IO

故A错误；

D.由图乙可知，重物在竖直方向做匀变速直线运动，则成物的加速度保持不变，根据Au=成可知，在相

等时间内的速度变化量相等，故D错误；

B.由图乙可知，第8s末的竖直分速度为丹=4m/s,则第8s末的速度为u=+筠=73?+42m/s=5

m/s,故B正确；

C.0~8s内水平方向的位移大小为X=24m,竖直方向的位移大小为y=：x4x8m=16m则0~8s内的位移

大小为s=y/x2+y2=A/242+162m>24m,故C错误。故选B,

【变式1】（24-25高一上•江苏盐城•期末）跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动

员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是（）

A.风力越大，运动员的下落时间就越长，运动员可完成更多的动作

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B.风力越大，运动员下落时竖直方向的速度就越大

C.运动员着地时的水平位移大小与风力无关

D.水平风力的大小不会影响运动员的下落时间

【答案】D

【详解】AD.运动员的下落时间由竖直方向的运动决定，与水平方向的风力无关。因此，风力的大小不会

改变运动员的下落时间，故A错误；D正确；

B.运动员下落时竖直方向的速度是由重力加速度和时间决定的•与水平方向的风力没有直接美系。风力只

会影响运动员在水平方向上的速度，故B错误；

C.运动员在水平方向上的位移是由风力作用下的水平速度和下落时间共同决定的。风力越大，水平速度就

越大，因此在相同的时间内，水平位移也会越大，故C错误。故选D。

【变式2】（24-25高一下•安徽芜湖•期末）2025年春季，芜湖响水涧万亩油菜花海竞相绽放，万亩油菜花

海吸引无数游人纷至沓来,成为春日芜湖最红打卡地之一.某摄制绢为了拍到更广、更美的景色.采用了

无人机拍摄的方法。现通过传感器将无人机拍摄的飞行过程转化为如图所示的图像，无人机仅在wy平面上

运动，/=0时，无人机位于y轴上。则下列说法正确的是（）

A.从Q0时刻开始无人机做匀变速直线运动

B.Z=0.5s时，无人机所受的合力为4N

C.E=1.0s时,无人机的位置坐标为（5m,5m）

D.z=2.0s时，无人机的速度大小是lOm/s

【答案】C

【详解】A.从/=0时刻开始无人机向x轴正方向做匀加速直线运动，向y轴负方向做匀速直线运动，所以

无人机做匀变速曲线运动，A错误；

B./=0.5s时，无人机的加速度为a=^m/s2=2m/s2所受的合力为r=ma无人机的质吊未知，无法求出

无人机的合力，B错误；

C./=l.Os时，向X轴正方向运动的位移=5m,工轴坐标为5m向y轴负方向匀速运动的速

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度i?=5m/s=5m/s,/=1.0s时，向y轴负方向运动，的位移八=a=5mv轴坐标为y=10一九=5m无人

机的位置坐标为（5m,5m）,C正确;

D./=2.0s时，向x轴正方向运动的速度为%：=8m/s,/=2.0s时.向y轴负方向运动的速度为为=5m/s,

无人机的速度大小是〃合=J说+y=V89m/s,D错误。故选Co

再题型三小船过河问题

:解|题|技|巧

11.小船参与的两个分运动

;（1）船相对水的运动（即船在静水中的运动），它的方向与船头的指向相同。

:⑵船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行。

：2.区别三个速度：水流速度v水、船在静水中的速度了小船的实际速度（即船的合速度）y台。

:;3.两类最值问题

!（1）渡河时间最短问题

:由于水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度。因此若要渡河时间最短，只要使船头

!ddUA"

:垂直于河岸航行即可。由图甲可知，，短=一,此时船渡河的位移x=—，位移方向满足tan夕=」。

v筋sin0y水

⑵渡河位移最短问题

①V水Vy外最短的位移为河宽d,此时渡河所用时间f=―二，船头与上游河岸夹角夕满足cos夕=上,

vwsin0y船

如图乙所示。

②若i，水沁，如图丙所示，从出发点4开始作矢量y水，再以v水末端为圆心，以v解的大小为半径画

圆弧，自出发点力向圆弧作切线即为船位移最小时的合运动的方向。这时船头与上游河岸夹角。满足

cos0=-,最短位移工也="";,而渡河所用时间仍用/=—^计算。

v家cos0v^sin0

11/44

【典例1】（24-25高一下•甘肃白银•期末）如图所示，河两岸有正对的力、8两点，河水的流速大小%=3

m/So一小船在静水中的速度I，=5F/S,河宽4=100m,小船自力点出发。下列说法正确的是（）

B

—

-i

A

A.无论小船船头指向何方，小船运动的合速度始终大于5m/s

B.小船到达河对岸的最短时间为15s

C.小船从4点出发到达正对岸的8点用时20s

D.小船从4点出发到达正对岸的〃点，船头需斜向上游并与河岸夹角的正切值为g

【答案】D

【详解】A.小船的速度是静水中的船速与水速的合成，由合成的关系向一火|＜"介＜\v+v0|

可知合速度的大小在2m/s〜8m/s之间，故A错误：

B.小船船头垂直于河岸运动时，到达对岸的时间最短，此时t=—s=20s,故B错误；

CD.小船从4点出发想到达正对岸的"点，设船头与河岸的夹角为氏此时ucosO=外可解得cosO=曰=

I即12皿=2过河的分速度为3由。=401/$过河所用时间〃=七=黑=25$。所以C错误，D1E确。故选

□OvSlii＜7

Do

【典例2】（23-24高一下•四川眉山•期末）2024年4月,我国广东韶关、清远、广州等地出现局部特大暴

雨天气，多地遭受洪涝灾害，广州成为受灾最为严重的地区之一。救援小组在某次救援时，船从距对岸最

近距离为4的力点出发，经过一段时间到达对岸。已知水速恒为也，船在静水中的速度恒为也。下列说法

正确的是（）

A.船渡河的最短时间为《

B.船渡河的运动是曲线运动

C.若也＞以，船渡河的最小位移可能为d

D.若巧＜也，船渡河的位移最短时，船渡河的时间为看

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【答案】A

【详解】A.当船头与河岸垂直时，船渡河时间最短，则船渡河的最短时间为tmin=（故A正价：

B.根据运动的合成可知，水流速度和船速都是匀速运动，故船渡河的运动仍是直线运动，故B错误;

C.若也＞以，根据运动的合成可知，船不能到达正对岸，设船头与河岸上游的夹角为氏则COS。=晟所以

船渡河的最小位移为％=总=胃＞4故C错误;

D.若灯〈也，船能到达正对岸，则船渡河的位移最短为d,由运动学公式可得，船渡河的时间为t=^=

帚故D错误。故选A。

【变式I】（23・24高一下•广东肇庆•期末）某地防汛演练中，战士驾驶小船进行救援，河岸是平直的，河宽

12cm。船在静水中的速度为4m/s,水流速度为3m/s,下列说法正确的是（）

B

水流方向

A.若小船渡河的位移最短，则渡河时间为30s

B.调整船头的方向，小船渡河的时间可能为40s

C,调整船头的方向，小船在河水中的合速度可能达到10m/s

D.若船头方向始终垂直于河岸渡河，则渡河位移为120m

【答案】B

【详解】AD.若船头垂直于河岸渡河，则时间最短，最短时间为30s,此时位移不是最短，垂直河岸方向位

移为120m,沿河岸方向位移为x=3x30m=90m合位移为％合=V1202+902m=150m故AD错误；

B.若调整船头方向，船速与河岸垂直时，渡河时间最短为tmin=!=冬=3OS小船渡河的时间可能为

40s,故B正确；

C.根据速度的合成原理，小船在河水中的速度范围为lm/sc＜7m/s故C错误。故选B。

【变式2］（24-25高一下•陕西西安・期末）淮河在蚌埠境内的某段平直河面宽度为100m,现有一小船由河

南岸渡河，已知船在静水中速度为lm/s,当时河水速度为2m/s,下列说法正确的是（）

A.小船可以垂直到达河北岸

B.渡河的最短时间为100s

C.渡河的最短航程为100m

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D.渡河的航程最短时，船头指向与上游河岸的夹角为45°

【答案】B

【详解】AC.因船的静水速度小于河水的速度，可知小船不可以垂直到达河对岸，则最短航程大于100m,

选项AC错误；

B.当船头指向正对岸时渡河的时间最短，渡河的最短时间为加访=看=哈=1005选项B正确；

D.渡河的航程最短时，船头指向与合速度方向垂直，则上游河岸的夹角cos。=£=/即船头与上游河岸的

夹角为60。，选项D错误。故选B。

3题型四关联速度模型

解|题|技|巧

1.解决关联速度问题的一般步骤

第一步：先确定合运动，即物体的实际运动。

第二步：确定合运动的两个实际作用效果，••是沿绳（或杆）方向的平动效果，改变速度的大小：二是沿

垂直于绳（或杆）方向的转动效果，改变速度的方向。即将实际速度正交分解为垂直于绳（或杆）和平行于

绳（或杆）方向的两个分量并作出运动矢量图。

第三步：根据沿绳（或杆）方向的速度相等列方程求解。

2.常见的两种模型

⑴绳牵联模型

单个物体的绳子末端速度分解：如图甲所示，也一定要正交分解在垂直于绳子方向，这样”的大小就

是拉绳的速率，注意切勿将绳子速度分解。

甲乙

两个物体的绳子末端速度分解：如图乙所示两个物体的速度都需要正交分解，其中两个物体的速度沿

着绳子方向的分速度是相等的，即匕||=如卜

如图丙所示，将圆环的速度分解成沿绳方向和垂直于绳方向的分速度，8的速度与4沿绳方向的分速

度相等，即为尸丫8||。

14/44

;丙丁

:（2）杆牵联模型

:如图丁所示，将杆连接的两个物体的速度沿杆和垂直于杆的方向正交分解，则两个物体沿杆方向的分

;速度大小相等，即匕S

【典例1】（24-25高一下•福建福州・期末）如图为电影拍摄过程中吊威亚的情景。工作人员A沿水平直线

向左运动，他通过绳子使表演者B沿竖直方向匀速上升，绳与轻滑轮间的摩擦不计，则（）

B.A对地面的压力变小

C.A在向左加速移动

D.A在向左减速移动

【答案】D

【详解】A.当B匀速上升时，B的受力平衡，绳上拉力等于B的重力，所以绳对A的拉力大G也是B的重

力，保持不变，故A错误；

B.绳对A的拉力随着与水平面的夹角变小，竖直方向的分力减小，叫\。=际+八而。所以支持力在增大,

A对地面的压力也在增大，故B错误；

CD.根据绳的关联速度公式，有wcosa=%即"A=潦/由于B匀速运动且a角度逐渐减小，弘减小，A在

向左做减速运动，故C错误，D1E确。故选D。

【典例2］（23-24高一上•湖南株洲•期末）甲、乙两光滑小球（均可视为质点）用轻直杆连接，乙球处于粗

糙水平地面上，甲球紧靠在粗糙的竖直墙壁上，初始时轻杆竖直。施加微小的扰动，使得乙球沿水平地面

向右滑动，当两球在如图所示位置时，甲球速度为七，乙球速度为以，把这两个球的速度都沿平行于杆和

垂直于杆方向分解，则（）

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A.两球平行于杆方向的分速度大小一定相等

B.两球垂直于杆方向的分速度大小一定相等

C.甲球平行于杆方向的分速度和乙球垂直于杆方向的分速度大小一定相等

D.甲球垂直于杆方向的分速度和乙球平行于杆方向的分速度大小一定相等

【答案】A

【详解】A.设杆与水平面的夹角为仇甲球平行于杆方向的分速度为巧I，垂直于杆方向的分速度为四2；

乙球平行于杆方向的分速度为艺1，垂直于杆方向的分速度为外2；如图

两球平行于杆方向的分速度大小一定相等，即%1=P21=〃故A正确；

B.由图可知巧2=%COS。，vn=vAsin0,v2i=v2cos0,v22=>sin。解得两球垂直于杆方向的分速度大

小分别为也2=警，吃2=瞿〃两球垂直于杆方向的分速度大小不一定相等，故B错误；

sintzcos（7

C.由艺2=黑〃可知甲球平行于杆方向的分速度和乙球垂直于杆方向的分速度大小不一定相等，故C错误:

D.由打2=篝〃可知甲球垂直于杆方向的分速度和乙球平行于杆方向的分速度大小不一定相等，故D错误。

故选A。

【变式1】（24-25高一下•江西景德镇•期末）如图所示，套在竖直细杆上的轻环A由跨过光滑轻质定滑轮的

不可伸长的轻绳与重物B相连，施加外力让4沿杆以速度u匀速上升，从图中M位置上升至与定滑轮的连线处

于水平的N位置，己知4。与竖直杆成。角，则（）

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A.刚开始时B的速度大小为岛

B.A匀速上升时，重物B也匀速下降

C.重物B下降过程，绳对B的拉力大于8的重力

D.A运动到位置N时，B的速度大小不为0

【答案】C

【详解】AD.A在运动过程中，A的速度沿着细杆竖直向上，可以将A的速度可以分解为沿着绳子的速度

和垂直于绳子的速度，如图所示

根据关联速度之间的关系可知，B任意时刻的速度大小均应等于A沿绳方向分速度的大小，由此可知刚开始

时B的速度为%="os。当A环上升至与定滑轮的连线处于水平位置N时则有。=90。，所以%=0.故AD

错误；

BC.A匀速上升时，根据方=ucos。当A上升时，夹角。增大，COS。减小，%减小，因此B做减速运动，由

牛顿第二定律，可知，绳对〃的拉力大于夕的重力，故B错误，C正确。故选C.

【变式2】(24-25高一下•广东广那期中)如图所示为某自行车转弯时的俯视图，自行车前、后两轮轴A、B

连线与后轮所在竖直面平行，两轮轴速度方向与各自轮面平行，前后两轮所在竖直面的夹角仇37。，若后轮

轴B的速度大小彩=4m/s,则此时轮轴4的速度力大小为(sin37°=0.6,cos37°=0.8)()

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A.2.4m/sB.3m/sC.3.2m/sD.5m/s

【答案】D

【详解】将轮A的速度分解为沿后轮B方向的速度和与后轮B速度垂直的速度，则有%cos。=也

解得也=5m/s故选Do

3题型五平抛运动的规律和推论

解|题|技|巧

1.基本规律

2.两个重要推论

（1）做平抛（或类平抛）运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为0,位移方

向与水平方向的夹角为«,则tan/?=2tanao

⑵做平抛（或类平抛）运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如

图中C点为冷的中点。

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【典例1】（24-25高一下•辽宁•期末）在法网公开赛的关键分时刻，郑钦文将网球（可视为质点）以水平

36m/s的初速度从距地面2.45m的高度强力击出。若忽略空气阻力，取重力加速度g=10m//,关于这记

精彩发球，下列说法正确的是（）

A.网球在空中运动的时间约为0.75s

B.这记发球使网球落在距离发球点27m处

C.网球落地时竖直方向速度大小为7m/s

D.网球落地瞬间速度方向与水平方向夹角的正切值为卷

【答案】C

【详解】A.根据自由落体运动公式h二》出

解得网球在空中运动的时间t=聆==V049S=0.7s,故A错误；

B.水平位移为x=vot=36x0.7m=25.2m

则这记发球使网球落在距离发球点的距离为s==25.32m<27m,故B错误：

C.网球落地时竖直方向速度大小为%=gt=10x0.7m/s=7m/s,故C正确；

D.网球落地时速度方向与水平方向夹角的正切值为tan6=§=（，故D错误。故选C。

【典例2］（23-24高一上•重庆•期末）某同学用无人机模拟"投弹〃实验，无人机在高度为九时水平投出一个

小球，若小球到达地面时速度方向与水平方向间的夹角为H空气阻力可以忽略不计，重力加速度为g,下

列说法中正确的是（）

A.小球的初速度大小为%=镖

B.小球着地时的速度大小为□二号

sinff

C.小球从投出到着地时运动的水平位移大小为无=htanG

D.小球着地时的位移方向与水平方向间的夹角为2。

【答案】B

【详解】A.小球做平抛运动，在竖直方向上有谤=2gh其速度方向与水平方向间的夹角的正切值为tan。=

总联立可得，小球的初速度大小为孙=髻故A错误；

□otanG

B.小球着地时的速度大小为u=J诺+谤=故B正确:

C.在竖直方向上有/1=1£2在水平方向上仃4=打1联在解得，小球从投出到着地时运动的水平位移大小为

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x=黑故C错误;

D.小球着地时的位移方向与水平方向间的夹角的正切值为tana=g=3an。则a。2仇所以小球着地时的

位移方向与水平方向间的夹角不为2仇故D错误。故选B,

【变式1】（24-25高一上•山东日照•期末）父子俩从同一竖直线上不同高度先后水平抛出一个小球，小球恰

好击中前方地面上的同一点，父亲抛出小球的高度是儿子抛出小球高度的4倍。忽略空气阻力，关于父亲

和儿子抛出的小球，下列说法正确的是

父0f

A.运动时间之比为1:2B.水平初速度之比为2:1

C.速度变化率之比为1：1D.落地速度大小之比为4:1

【答案】C

【详解】A.圆环被抛出后做平抛运动，设小孩抛出圆环的高度为A,则大人抛出圆环的高度为4儿则有

h=ggt；,4/i=］改解得以向=2:1故A错误；

B.由题可知,两者的水平位移相同,根据％=%£可得水平初速度之比为以0：%0=11：匕=1：2故B错误；

C.根据加速度的定义式g=把可知速度的变化率之比为1:1,故C正确；

D.在竖直方向有力=外可知竖直方向的木速度之比为U2y：也y=2：1根据落地速度为V=J诏+学可得落地

速度大小之比无法比较，故D错误。故选C。

【变式2】（24-25高三上•江西萍乡•期中）如图所示，圆心为0的半圆形轨道固定在水平地面上的C点,

48是水平直径，C是最低点，。是水平地面上的一点且在8点的正下方，圆弧轨道的E点有个小孔。让小球甲

从地面上的M点、小球乙从地面上的N点斜向上抛出（甲、乙均视为质点），甲、乙均恰好经过A点，甲落到

C点，乙通过E处的小孔（无碰撞）运动到。点，忽略空气的阻力，重力加速度为g,下列说法正确的是（）

RB

〃〃〃〃〃〃〃〃〃//〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/而〃河〃〃〃〃/〃〃〃/

A.甲、乙在4点的速度大小之比为1：6

B.甲在。点速度的反向延长线经过力。的中点

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C.甲、乙在空中的运动时间均为2

D.乙在N点的速度与水平方向的夹角为30°

【答案】B

【详解】A.斜抛运动具有对称性，把斜抛运动看成两个对称的平抛运动，由图像看出，甲、乙从4点到落

地，平抛运动的高度相等，运动时间/相等，由平抛规律可知£=也=因水平位移之比为1:2,由水平方

7g7g

向位移％故甲、乙在4点的速度大小之比为1:2,选项A错误；

B.平抛运动速度的反向延长线经过水平位移的中点，故甲在C点速度的反向延长线经过A。的中点，选项B

正确：

C.斜抛运动时间是平抛运动时间的2倍，则两个斜抛运动时间均为2后，选项C错误；

D.乙在N点的速度与水平方向的夹角设为仇根据对称性，乙在。点的速度与水平方向的夹角也为。，根据

平摘运动规律，故乙在D点的速度反向延K线经过。点，则tan。-*一1解得e-45c选项D错误。故选B。

3题型六平抛运动与斜面和曲面结合问题

解|题|技|巧

一、平抛运动与斜面相结合

1.与斜面相关的几种的平抛运动

图示方法基本规律运动时间

.……K、"°/

：垂直落：\X

:到斜面：

=八

分解速度，构建水平vVQvovo/c

x由tan8=—=一得

Vvg/

速度的矢量三角竖直Vy=gt

F?。”

vo

形合速度y=J以2+v2/=--------

gtan0

水平x=vV

:从斜面顶点：„由tan。=2=旦■彳导

:水平抛出且：，汇7分解位移，构建

遒查斜直反,，竖直；，x2vo

位移的矢量三角y=g2

2votan0

形t=---------

4合位移工含=>//+炉

1g

;从斜面顶点水平1由0=必一。匕0一片2=—得

:抛出，肉斜面最远：在运动起点同时

I'otan0vo2sin例an0

分解“、gt=--------,d=---------------

g2g

_______L出区吏_________

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分解平行于斜面,口votanG

由vv=gr得，=-----

的速度yg

2.与斜面相关平抛运动的处理方法

⑴分解速度

平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，设平抛运动的初速度为

见在空中运动时间为则平抛运动在水平方向的速度为匕.=%,在竖直方向的速度为4=卬,合速度为v=

JuJ+17y2,合速度与水平方向的夹角满足tan

⑵分解位移

平抛运动在水平方向的位移为x=R,在竖直方向的位移为），=先产,对抛出点的位移（合位移）为$=

+y2,合位移与水平方向夹角满足tan（p=^o

（3）分解加速度

平抛运动也不是一定要分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，在有些问题中,

过抛出点建立适当的直角坐标系,把重力加速度g正交分解为务,把初速度出正交分解为小.然后分

别在x、y方向列方程求解，可以简化解题过程，化难为易。

二、平抛运动与圆面相结合

三种常见情景：

1.如图甲所示，小球从半圆弧左边沿平抛，落到半圆内的不同位置。由半径和几何关系制约时间/：h=

[g/2,R土，/?2-J=w，联立两方程可求人

2.如图乙所示，小球恰好沿A点的切线方向进入圆就道，此时半径OA垂直于速度方向，圆心角a