数列大题综合（45题）原卷版-2025-2026学年高二数学（人教A版）

数列大题综合(精选45题)

楼焕一

I_1块二\其础知识•揄理J____________

知识点01&与%共存

品法归类

角度1：已知S“与乙的关

用S〃-S「\,得到例子:已知4s“=(4+1)=求对

系；或s”与〃的关系

角度2：已知与S-S”的S“一Si替换题目中例子：已知2%=S.S.i(〃22)；

已知=勺+1一JS”+]

关系；或。〃与的明

的关系

1/48

角度3:已知等式中左侧含作姜法（类似S”-S“_1例子：已知/+2%+3%+…+〃*=2"求明

有：也,

1=1

知识点02累乘法与累加法

累乘法（叠乘法）：若数列｛勺｝满足也^二/。?）（〃eN.）,jf1]Jfl—,—,—----=—

册6a2%%q

累加法（叠加法）：若数列｛。“｝满足册+]-册=/（〃）（”wN*）,

则累加可得（的—。]）+（生一生）+…+（。“一。".1）=4”一《

知识点03求通项之构造法

要点阐述：形如%+i=他+/）的递推式：设q+1+%=p（4十丸）

展开移项整理得%*=a〃+（p-i）/i,与题设4+i=加“+夕比较系数（待定系数法）得

幺二—^7，（pH°）na”+i+工

〃一1〃一1

知识点04倒数法

要点阐述：形如（〃为常数且pwO）的递推式：两边同除于转化为

111

—=—+P形式，化归为。,川=aa+g型求出——的表达式，再求凡；

S/r"/I—In

ma1m1m

还有形如———n的递推式，也可采用取倒数方法转化成一=——+—形式，化归为

+q勺+】q%p

=w“+q型求出——的表达式，再求可.

a”

an_x+c〃为奇数

知识点05奇偶数列求通项形如明=

katl_}+b〃为偶数

-C〃为奇数

要点阐述：形如知=〈“/由皿的数列求通项问题需要对奇偶项分类讨论，再分别求出

kan_[+b〃为偶数

奇偶项的通项公式，可以令“=。21，利用递推关系得出生”，。2〃-1，〃2”-2，。2"-3相关的递推

公式，再进一步得出也｝,风｝的性质

知识点06裂项相消求和

1_1J1.1111

等差型:

〃（〃+%）kitn+k'（4?+〃）[4（〃+1）+4]AAn+k4（“+l）+A

2，'48

(a-l)a"_1________1

指数型裂项:

(〃叫幻。+行一/+k

根式型裂项相消:

裂和型裂项相消：」-+」一

a

*%n+J

知识点07错位相减法

要点阐述：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这

个数列的前〃项和即可用错位相减法求解.

类型一：，“二（•"（其中凡是等差数列，”是等比数列，公比为9.）

a

类型二：%二,（其中4是等差数列，"是等比数列，公比为4.）

首先列出S0，记为①式；

再把①式中所为项同乘等比数列低｝的公比q,即得人5“，记为②式；

然后①②两式错开一位作差，从而得到｛4｝的前〃项和。

知识点08放缩求和

常见放缩公式

一、等差型

1111，

(1)T<7---iT-=---7—[”-2)；

n(〃-/?-1n

111I

(2)-7----；=------7；

n/7(/?+1)n/7+1

,144(11)

(3)—=---<------=21-------------

n24«24〃2-12n+\),

二、根式型

(4)2<1=2(-V^T+V^)(H>2)；

\Jn\Jn+v//>Jn—1+\Jn'7

⑸土忑土>不去=2卜册+E):

(6)2(J〃+1-4ii)=-j_-一r<-L<-j-3---=2跖-VM-1).

三、指教型

3/48

2"TT\匕(〃之2)；

（2"-1丫一（2"-1）（2H-1）（2B-l）（2n-2）-（2n-l）（2fl-1-1）2n~'-12"

11

（8）1+-<1+1+---4-----F…+-----一<3；

n1x22x3（〃-1）n

11222

（9）-----=<-----------------=---------=---------

2"-1（1+1）"-1C：+C：+C=l〃（〃+1）〃〃+1；

2"11

。°）2W-1<（2n''-l）（2n-1）_2n-,-1"T~^[GE.

心题型片侬

1.(23-24高二上•江苏南通・期末)已知数列｛%｝满足卬=1,。m=2。“+1,数列｛4｝的前〃灰和S”满

足4s“=（2〃+1）"+1.

⑴求｛为｝,｛%｝的通项公式;

(2)设q,=(q+1)&+2),求数列｛c“｝的前〃项和Tn

4/48

2.(23-24高二上•浙江嘉兴•期末)已知数列｛%｝的各项均为止数，其前〃项和为5”，且2S“二q(4-1).

⑴求｛%｝的通项公式；

(2)记久为｛q｝在区间(Sm，S2ml中的项的个数,求数列｛。也｝的前“项和，,

5/48

3.(23-24高二上•广东深圳•期末)已知数夕必凡｝满足4=1,。川-(=2〃+1(〃€1<),等比数列｛"｝

满足4+4=6,且2"+bn+2=3a+](〃wN)

⑴求｛4｝和｛2｝的通项公式：

(2)设。“=珏1,求数列W的前〃项和，.

6/48

4.(23-24高二上•广东江门•期末)已知等比数列｛4｝的前〃项和为，，且。川=21+2(〃€1<).

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)在©与。向之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为力的等差数列，若数列｛&｝满足

4、

「=7，求数列｛fqj的前"项和r”.

7/48

5.(23-24高二上•江苏南京•阶段练习)在数列｛4｝中，已知q=l.当〃eN“时，满足

4-q+产％…

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)记“=丁,求数列低｝的前〃项和4.

8/48

6.(23-24高二卜・福建福州•期末)已知数列｛4｝与等差数列｛《｝,若q=。=1,知=与,

，川=2"+1.

(1)求｛%｝，也｝的通项公式；

(2)求数歹U｛%(a+1)｝的前〃项和邑.

9/48

7.（23-24高二上•江苏南京•期末）设数列｛%｝的前〃项和为，，且30=^%-：乂3"+1,其中〃wN..

⑴证明］枭）为等差数列，求数列｛%｝的通项公式；

（2）求数列1热的前〃项和7；

10/48

8.(23-24高二卜・广东广州•期末)设数列｛%｝的前〃项和为工，已知%>0,且2%,2%成等

差数列.

(1)求｛4｝的通项公式；

〃为奇数，

(2)设"=•2〃为偶数,求数列｛a｝的前2〃项和匕.

a“a“+2

11/48

9.(23-24高二上•广东茂名•期末)已知数列｛对｝的前〃项和为

⑴求｛%｝的通项公式；

(2)若，,求数列也｝的前〃项和7；.

anan^\

12/48

10.(24-25高三上•广东深圳•阶段练习)设｛〃“｝是等比数列，｛，｝是递增的等差数列，色｝的前〃项

和为5"，。］=2,4=1,$4=%+%，。2=4+，3.

⑴求应｝与低｝的通项公式

"+，I1

(2)求证：,/,=-77-；

4(4+1)%。也%也+1

(3)设/占，求数列｛j｝的前〃项和

%+i/4+i

13/48

11.（22-23高二上•河北邯郸•期末）已知止项等差数列｛〃”｝的前〃项和为S”，满足

6S.=a.q+i+2（〃eN）q<2,

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）若a=——,记数列也｝的前〃项和求q.

14/48

12.(24-25高二上•江苏淮安•期中)已知数列｛叫的前〃项和为5”，。向=2%+2"(〃wN)q=l.

(1)证明：数列1段।•为等差数列，并求数列m｝的通项公式；

(2)求数列｛%｝的前〃项和为邑；

⑶若工42(-4〃-/1对任意〃eN.恒成立.求实数「的取值范围.

15/48

13.(23-24高二上•湖南邵阳•期末)已知数列｛%｝满足％=3,。7=4勺+3-,WeN\

(1)求证：数列｛%+3”T｝是等比数列，并求4的通项公式；

⑵记S”=，+—+…+—,求证：对任意〃wN"gvvg.

q%%39

16/48

14.(23-24高二上•湖南益阳•期末)已知数列｛q｝的前〃项和为5”，且q=l,S“+〃2=〃4+〃.

(1)求数列｛%｝的通项公式：

(2)设数列｛2｝的前〃项和为心求证：1<7；r<!|.

17/48

<1(4+3,”为奇数

15.(23-24高二上•湖南•期末)已知数列｛%｝的首项q=1,且满足。向“%偶数

(1)记"=%"，证明：也+1｝为等比数列；

⑵求数列｛4｝的通项公式及其前2〃-1项和S"1.

18/48

16.(23-24高二上•广东深圳期末)记，为数列｛?｝的前〃项和，已知q=1,旦

%超+/%+】，=-^.

(1)证明：为等差数列：

(2)求｛q｝的通项公式；

(3)若“=6・2”,求数列也｝的前一项和

19/48

log?。”,〃为奇数

17.（23-24高二上•湖北武汉・期末）已知数列｛凡｝满足：q川2产〃为偶数，且#4.记数列

q,%，％，…为也｝，记数列%4，%，…为｛q｝.

（1）求证：｛%｝是等差数列，并求｛%｝的通项公式：

⑵记4=%+1）一1，求数列｛4｝的前〃项和T”.

20/48

18.(23-24高二上•湖北武汉•期末)设数列｛凡｝的前〃项和为，，已知“2=6,2s尸a.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)已知数歹I」4=(-ir(3〃制：+2)，求数歹U｛4｝的前〃项加。.

21/48

19.(23-24高二上•湖北武汉•期末)已知数夕U｛%｝的前〃项司5“=2/-〃+2

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵若4=凡+100〃-2"，求数列｛4｝的最大项是该数列的第几项.

22/48

20.(23-24高二上•江苏•期木)已知各项均为止数的数列｛〃｝的前〃项和为为,4=1,且

(5用+1应=弓+1)如对一切〃£y都成立.若｛%｝是公差为2的等差数列，-3-%.

(1)求数列｛%｝与｛"｝的通项公式；

⑵求数列。“=(-1)"勺+”的前2〃项和T2n.

23/48

21.(23-24高二上•江苏南京•期末)已知数列｛q｝满足4=4,且。川+%=8〃+4.

⑴求｛%｝的通项公式；

(2)已知“=2",在数列血｝中剔除｛q｝与也｝的公共项后余下的项按原顺序构成一个新数列｛%｝,

求数列｛q｝的前192项和192.

24/48

22.(23-24高二上・江苏常州•期末)已知等差数列｛%｝满足%+&=12,6+%=22,数列｛勿｝满足

4=3,且％=26“-〃+1.

⑴证明：低-〃｝是等比数列，并求数列｛%｝和低｝的通项公式：

(2)将数列｛%｝和｛4｝的公共项从小到大排成的数列记为｛《｝,求｛(-1)%.｝的前2〃项和S.

25/48

23.(23-24高二上•江苏南通•期末)已知数列｛q｝的前〃项和为5,，且，=4川-〃，%=2q+l.

(1)求4，%，并证明：数列｛%+1｝为等比数歹IJ;

(2)求S]+$2+…+S9的值.

26/48

24.(22-23高二上•广东深圳•期末)已知等比数列｛%｝中，为+为=13,生+4=30.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

2c%〃为奇数，

(2)若数列也｝满足"=勺*便将(«GN*),求也｝前10项和1.

心，〃为偶数,

27/48

25.(23-24高二上•广东佛山•期末)已知等差数列｛%｝的前〃项和为工，且切=452,

%=2%+l(〃eN)

⑴求｛可｝的通项公式及S”；

(2)记”=(-1)"\,求数列也｝的前50项和4.

28/48

26.（23-24高二上•广东•期木）已知数列也”｝的前〃项和%，且5”=2，-2

⑴求数列也｝的通项公式；

（2）设数列｛%｝的通项公式%=〃，若将数列｛4｝中的所有项按原顺序依次插入数列｛2｝中，组成一

个新数列：％%,3%,%，％%，叼氏，的，&，…，”与4+1之间插入项应｝中的项，该新数

列记作数列｛g｝,求数列匕,｝的前100项的和（00.

29/48

,1为奇数

27.(22-23高二上•重庆•期末)已知数列牝满足q=1,a向=(%俚蝌，，

2勺,〃为偶数

nsN，.从①A=0i+2,②"=%川这两个条件中任选一个填在横线上，并完成二面问

题.(注：如果两个条件分别作答，按第一个解答计分).

(1)写出。,b2；

(2)证明｛，｝为等比数列，并求数列｛"｝的通项公式；

⑶求数列｛%｝的前2〃项和先.

30,48

28.(22-23高二上•江苏镇江•阶段练习)已知数列｛%｝满足：畀+

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)设，=log2fln,求数列,——----的前”项和为乙.

也勾“心2.

31/48

29.(23-24高二上•重庆九龙坡•期末)已知止项数列｛%｝(〃wN+)中，«3=5,前〃项和为5〃，且

.请从下面两个条件中任选一个条件填在题目横线上，再作答.

条件：①。3-2。田=。；+2%；②〃(%+l)=2S”.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

1

Q)设"=数列｛"｝的前〃项和为证明：

(%+1)Z

32/48

30.（24-25高二上•山东青岛•阶段练习）已知数列｛%｝的前〃项和为工，4=1,4>0,且

2qSz-2qr+5=。必…

⑴求｛可｝的通项公式；

2"i

（2）若“=（2，，­］）>“」ip数列也｝的前“项和为证明：7；,<-.

33/48

31.（24-25高二上•福建龙岩・期中）已知数列｛q｝的前〃项和5.=/+〃，数列｛0｝是各项均为止数

的等比数列，4+々=8（4+々），且乙=2.

（1）求｛%｝和｛"｝的通项公式；

---，〃为奇数

⑵设,数列匕｝的前〃项和为71，证明：4,<^.

土/为偶数18

34/48

32.(24-25高二上•重庆•期中；已知的｝为等差数列，其公差为4,前〃项和为工，他,｝为等比数列,

其公比为夕，前〃项和为。，若d=qwI,%=?；，Sg=7；,at=6.

(1)求公差d和”;

C=

(2)记n⑥一])伍_])，证明：C|+c2HF%<1.

35/48

33.(23-24高二上•浙江温州•期末)已知数列｛q｝满足对•尸Up

n4

(1)求证：数列为等差数列；

(2)设数列｛4｝前〃项和为S”，且S2“-S.＞左对任意的〃wN恒成立，求女的取值范围.

36,48

34.(23-24高二上•浙江丽水•期末)已知S”为止项数列｛对｝的前〃项和，％=1且，+，“二。3.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

4/

(2)若4=(24-1)(‘24+1)'求数列也｝的前〃项和人

37/48

35.(23-24高二上•浙江杭州•期末)已知止项数列｛%｝的前〃项和为，，且满足g,=。；+4%+4.

(1)求数列｛%｝的通项公式;

[2"T〃为奇数

⑵若1｛"｝的前〃项和为求匕.

5%〃为偶数

38/48

36.(23-24高二卜•右南保山•期末)已知｛乙｝的前〃项和是S”，且5“=〃％吗=2.

(1)求数列｛%｝的通项公式;

+1,〃为奇数

⑵设。二•]〃为偶数求数列｛a｝的前2〃项和匕.

〃(〃+/)'

39/48

37.(23-24高二上•广东深圳•期末)正项数列｛4｝满足q=1,

(1)求数列｛凡｝的通项公式;

(2)n>2,时,

①证明：。的＞1+

_111

②证明：一+一十••一一＜/一］

40,48

38.(23-24高二上•广东深圳•期末)止项数列｛。力满足：对一切〃wN"有“:+d+...+a：=S；,其中

S”为数列｛%｝的前〃项和.

⑴证明：或-%=2S”；

(2)求数列｛"“｝的通项公式：

⑶若“=亨吟，数列他｝的前〃项和为人证明：|<7；,<1.

41/48

39.（23-24高二上•广东河源•期末）已知数列｛q｝的前〃项和为工.

⑴若%=2〃+1,求和：.+!+!+~+!；

2q

(2)若=+证明：是等差数列.