上海市摸鱼中学2025-2026学年高三年级上册第一次学科调研数学试卷

上海市吴淞中学2025-2026学年高三上学期第一次学科调研数

学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、填空题

1.函数y=2cos%-l的最小正周期为一.

2.若z=—2+3i（其中i为虚数单位），贝I」|z|=

3.抛物线丁=2力（〃>0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则〃=

4.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，则图中用的值___

甲乙

723

9m3248

5.直线4:2x-（a+l）y-l=0,直线4+1=。，若/他，则。=

6.设xwR,则方程卜一2|十|21一3|二段一5|的解集为.

7.记S”为数列｛q｝的前八项和，若S”=2%+l,则$6=.

8.如图所示为困数/（%）的图象，则不等式的解集为—

9.在平面直角坐标系中，已知圆f+），2=4上有且仅有四个点到直线12x+5），+c=。

的距离为1,则实数c的取值范围是一

10.随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是（默认每月天

数相同,结果精确到0.001）.

II.在△ABC中,已知画=2,麻卜3,|叫=4,设0为AABC的内心,且和=义而+"反\

则入+□=.

12.设，>0,A=[〃+l]U[/+3,f+6],任意xeA,都有geA,则A=

二、单选题

13.下列命题中正确的是（）

A.若acfbc2,则|。|>例

B.若a>b,c>d,则a-c>Z?-d

C.若a>b,贝让<?

ab

D.若。>8>0,c<d<0,则

dc

14.已知事件A和8相互独立，且P（A）=g,P（3）=m，则P（A8）=（）

A.1B.2C.2D.3

721721

15.已知函数/（x）和g（x）在区间切上的图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A./（x）在。到〃之间的平均变化率大于g（x）在a到》之间的平均变化率

B./。）在a到b之间的平均变化率小于以上）在a到b之间的平均变化率

C.对于任意玉€（。力），函数/（X）在工=%处的瞬时变化率总大于函数g（x）在％=/处

的瞬时变化率

D.存在（4㈤，使得函数/（X）在X=.%处的瞬时变化率小于函数g（x）在K=x。处的

瞬时变化率

16.指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况.已知全集U的

1X€5

元素个数有限，对于u的任意一个子集S,定义集合S的指示函数力W=（，集合A、

U,“X£D

8都是U的子集.现有以下四个命题：

试卷第2页，共4页

①若AqB,则,〃(x)W/(x)：

xeAxeU

③EAJM)=E(人3-/a)-人(x)fB(").

xeUxeU

®Z(1_AW)(i-4⑹=ZOKH-力(x))；

xeUXEU

注：Z/(x)表示M中所有元素X所对应的函数值/(x)之和.(其中历是/(“定义域的子

x^M

集)

上述命题中真命题的个数是()

A.1B.2C.3D.4

三、解答题

17.如图，棱锥P-ABCQ的底面A8C7)是矩形,PA,平面ABCD,PA=AD=2、BD=2日

(1)求证：3。_L平面PAC;

(2)求点C到平面PBD的距离.

18.已知函数/'(%)=sinxcosx-sin21.

(I)求/(”的单调递增区间；

(2)在VARC中，a,b.c为角A,R,。的对边,且满足〃(?0$24=/>(?08人一4$111区,且。<A,

求角A的值，进而再求/2)的取值范围.

19.已知函数/(力=21'-表.

(1)若/。)=2,求X的值；

⑵若2'/(2。+〃"/)"对于/恒成立，求实数〃?的取值范围.

20.设椭圆C:^\{a>h>0)过点(-2,0),且直线4-5），+1=。过C的左焦点.

（2）设［,6），）为C上的任一点，记动点（X），）的轨迹为「，「与上轴的负半轴、），轴的正

半轴分别交于点G、〃，c的短轴端点关于直线y=x的对称点分别为《、尸2,当点尸在直

线G〃上运动时，求万不*的最小值；

（3）如图，直线/经过C的右焦点尸，并交C于A8两点，且A、8在直线x=4上的射影

依次为D、E,当/绕尸转动时，直线AE与BO是否相交于定点？若是，求出定点的坐标,

否则，请说明理由.

21.已知函数/（x）,g（“满足/（x）=2e'-e

/3+8（6=（2/-1）尸+（2一《eA+2a.

⑴若为R上的增函数，求。的取值范围.

⑵证明：“力与月（x）的图象关于一条直线对称.

⑶若此-2也，且关于x的方程/（力+/（^-"?）=2屋2-乃在［-1,1］内有解，求机的取值

范围.

试卷第4页，共4页

《上海市吴淞中学2025-2026学年高三上学期第一次学科调研数学试卷》参考答案

题号13141516

答案DADB

1.兀

【分析】先利用二倍角公式化简原函数，再结合余弦函数的最小正周期公式求解即可.

【详解】由二倍角公式得），=2cos2x-l=cos2x,

则该函数的最小正周期为g=

故答案为：兀

2.历

【分析】根据复数的模长公式可求忖.

【详解】|z|=7（-2）2+32=713,

故答案为：\/13.

3.2

【详解】因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的

最短距离为顶点到准线的距离，即1=1,”=2.

4.3

【分析】根据茎叶图可求得两组数据的中位数，进而构造方程求得机的值.

【详解】由茎叶图可知：乙组数据的中位数为%卢=33,

•••甲、乙两组数据的中位数相同，，甲组数据的中位数为33,即30+，〃=33,解得：加=3.

故答案为：3.

5.1

【分析】利用直线平行的判定列方程求参数值，注意验证.

【详解】由题设及“〃2,有—。3+1）+2=0,则。2=（。+2）（。-1）=0,

所以。=-2或4=1,

当4=_2,则4：2x+y_l=O,4：2x+y-l=。重合，不符合：

答案第1页，共13页

当a=l,则/［：x_y_；=0,Z2+l=0,符合.

所以4=1.

故答案为：1

6.(f,U［2,+oo)

【分析】分工<；3,：3<工<：5弓5工工〈2/22四种情况讨论，去绝对值符号解方程即可.

2233

3

【详解】当入<三时，x-2<0,2.r-3<0,3x-5<0,

2

所以原方程|1一2㈤2x—3|=|3x—5|可化为：

-(A：-2)-(2X-3)=-(3X-5),

即-3x+5=一3工+5o5=5恒成立，

3

所以是方程的解；

当234x<52时，x-2<0,2x-3>0,3x-5<0,

23

所以原方程卜-2|十|2.「3|二段-5|可化为：

一(x-2)+(24-3)=-(3工-5),

335

即4x=6nx=‘，

223

3

所以方程的解为：x=］；

当3«xv2时，x-2<0,2x-3>0.3.r-5>0,

3

所以原方程卜―2|+|2x—3|=|3x—5|可化为：

-(x-2)+(2x-3)=3x-5,

即一2x=Tnx=2,不满足gwx<2,

所以方程此时无解；

当入22时，x-2>0,2.r-3>0,3x-5>0,

所以原方程卜-2|+|2x-3|二段-5|可化为：

(x-2)+(2x-3)=3x-5,

即3x-5=3x-5o-5=-5恒成立，

答案第2页，共13页

所以方程的解为xN2；

综上所述方程的解集为：卜双|U[2,W),

故答案为：-°°，m]u[2,+R).

7.-63

【分析】首先根据题中所给的S0=2%+1,类比着写出先x=2a“+|+l,两式相减，整理得

到q.1=2%，从而确定出数列｛q｝为等比数列，再令〃=1,结合a，的关系，求得4=7,

之后应用等比数列的求和公式求得S,，的值.

【详解】根据S“=2a”+1,可得S〃M=24U+1,

两式相减得4.1=21-2an,即%=2an,

当〃=1时，*=q=24+1,解得q=-1,

所以数列｛q｝是以-1为首项，以2为公比的等比数列，

所以56=一(；：；)=—63,故答案是-63.

点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比

着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数

列，之后令〃=1,求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对

既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.

8.1-OO,£)U(1,2)

【分析】利用图象判断〃x)的单调性，进而得到广(x)的正负，最后求出不等式解集即可.

【详解】由图象得〃力在(—，£),(2,xq)上单调递增，在6,2)上单调递减，

f

则当xe-8,gU(2,+8)时，r(x)>0,当xw(g,2卜寸，f(x)<Of

若£kl<o,则当XT<O时，r(x)>。或当x-i>o时，r(x)<of

x-\

当％-i<o,尸(力>。时，解得

当x—1>0,尸(力<0时，解得xe(l,2),

答案第3页，共13页

综上可得不等式/H＜o的解集为(-8』U(1,2).

x-1V2)

故答案为：［-oog)u(l,2)

9.(-13,13)

【分析】根据题意，由条件可得圆心到直线的距离代入公式计算即得结果.

【详解】因圆/+炉=4的圆心(0,0)到直线12x+5)，+c=0的距离为”=

V12*2+3*595213

由题意，圆上有且仅有四个点到直线12x+5)，+c=0的距离为1,易知圆的半径为「=2,

则〃＜一1,即@＜1,解得一13＜。＜13,

13

故实数c的取值范围是(T3,13).

故答案为:(-13,13)

10.0.985

【详解】设事件A为“至少有2位同学在同一月份出生”,

则A的对立事件可为“所有人出生月份均不相同”，

人9

则P(A)=|—P(Q=I-怖

12x11x10x9x8x7x6x5x4

=1-0.0155=0.9845=0.985.

【详解】设AO与BC交于点D.

由角平分线定理知照=第=半

DCAC3

3__2

于是，AD=-AB+-AC.

55

„AOABACABAC5

ODBDCDBDCD4

___5___1一?___

AO=-AD=-AB+-AC

939

答案第4页，共13页

5一2一

=-AB+-BC,

99

7

因此，％+〃=§♦

故答案为《

12.”

4

［/+1］0［，+3/+6］推出［六，木］U［木,：］，推

【分析】由题意先判断0£人，由

理可得心。，即得〜点，*£告%根据可得关于4,的不等式组，分析

得出；l=W+6)=(，+l)Q+3),求解即得.

【详解】依题意，OwA,因/>0,由工£，,/+1]3，+3"+6],可得[—),---JUI,~1>

iJ1■」xf+6t+3t+\t

又由题意义>0,(否则4W0时，在xwA时，得不到&cA),则4c工]UI©，2],

xx/+61+3/+1/

2

>t—>/+3

因人€A,一田/f+6t+\

故有13且《

A

X<r+l-</+6

,7^3

r(r+6)<2<(r+l)(/+3)

则得,故；l=«f+6)=«+l)(f+3)

(z+l)(/+3)</l<r(/+6)

由W+6)=(/+l)(/+3)解得f==3，故4=彳3(39+6)=4亍5.

2224

故答案为：弓45.

4

13.D

【详解】举例说明判断ABC,利用不等式性质推理判断D.

【分析】对于A,由a,2＞历2,得〃＞。，取4=0/=-1,显然|。|=。＜1=|勿，A错误:

对于B,由a＞b,c＞d,取4=21=l,c=-l,d=-4,显然〃-c=3＜5=Z?—4,B错误;

对于C,由取=显然，=|＞-1=；,C错误；

ah

对于D,由cvdvO,得1＜，＜0,则—＞」＞(),而a＞b＞0,

acdc

因此—£＞一2,所以D正确.

acdc

故选：D

14.A

【分析】由相互独立事件的概率乘法公式可得答案.

答案第5页，共13页

【详解】依题意可P(A8)=P(A)P(8)=g.

故选：A

15.D

【解析】由平均变化率和瞬时变化率的概念即可判断.

【详解】解：:fM在a到b之间的平均变化率是,

b-a

g。)在a到》之间的平均变化率是吗)一仪编,

b-a

又「f(b)=g(b),f(a)=g(a),

•fS)-/(〃)_gS)-g(a)

••—,

b-ab-a

:.A、B错误；

易知函数/(X)在X=4处的瞬时变化率是函数/(外在X=/处的导数，

即函数/(X)在该点处的切线的斜率，

同理可得：函数g*)在犬=与处的瞬时变化率是函数冢㈤在该点处的导数，

即函数g(X)在该点处的切线的斜率，

由题中图象可知：

/e(〃力)时，函数/")在"处切线的斜率有可能大于g(x)在X=/处切线的斜率，也有

可能小于g(x)在x=.%处切线的斜率，故C错误，D正确.

故选：D.

16.B

【分析］根据题意，知对集合S的指示函数求和的结果是属于集合S的元素的个数，再结合

指示函数的定义对各选项进行逐项分析.

1xws

【详解】由已知，集合集合S的指示函数4(x)=0；任耳，

则对集合S的指示函数求和的结果是属于集合S的元素的个数；

对于①，因为AqB,所以若xtA,则xeB,此时£。)=人。)=1,

若x任A,但xwB,此时〃*)=0,8(x)=l,此时人⑴<%(x),

若工£A,且x任氏此时匕。)=勿。)=。，故始终有以(幻44。)，①正确；

答案第6页，共13页

对于②，当A=U时，由指示函数的意义知，次数»；（幻=»式幻，②错误；

xeAxeU

对于③，Z/w/x）表示属于AU8中的元素个数，

KWU

Z（以（x）+%（x）-人（外力（》））表示A中元素个数加8中元素个数再减去4c4中的元素个

x«U

数，即AU3中的元素个数，

故③正确；

对于④，当且仅当x任A,且x任8时，（l-A（x））（l-4（x））=l,

否则（1-〃幻）（1-%（外）二。，

所以Z（1一以（幻）（1-力（回）表示U中既不在A中又不在B中的元素个数，

xeU

即CU（AU3）中的元素个数，

—//，（”））表示U中元素个数减去A中元素个数再减去8中元素个数，

xeU

相较左边多减了1次4c8中的元素个数，故左右两式不相等，④错误；

综上，①③正确，②④错误，真命题个数为2.

故选：B

17.（I）见解析：（2）学

【分析】（1）证明直线8。所在的向量与平面内两个不共线的向量垂直，即可得到直线与平

面内的两条相交直线垂直，进而得到线面垂直；

（2）求出平面P8O的法向量，再求出平面的斜线PC所在的向量定，然后求出正在法向

量上的射影即可得到点到平面的距离.

【详解】（I）建系如图所示的空间直角坐标系，

则A（0,0,0）,D（0,2,0）,P（0,0,2）,在RMAD中,AD=2,BD=20,

答案第7页，共13页

z,

^Dy

・•・A8=2,・・・B（2,0,0）,c（2,2,0）,・・・A户=（0,0,2）,A（j=（22,0）,8方=（一2,2,0）;•昉.而=0,

=。，即A/7_L4P,BO_LAC.又APcAC=A,

6。JL平面PAC.

（2）由（1）题得»*=（2,0,-2）,加=（0,2,-2）,

设平面PBD的法向量为（=（XFz）厕%•P8=0,%.P力=0,

[2x+0-2z=0

叫，，x=）'=z.

0+2y-2z=0

故平面PBD的法向量可取为^=（1,1,1）//PC=（2,2,-2）,

【点睛】空间向量解答M体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐

标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利

用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;（4）将空间位置关系转化为向量关系;（5）

根据定理结论求出相应的角和距离.

18.（1）E—+S（k©Z）

_o8J

（2）A=：,/（A）的取值范围是-孝，自

【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式、正弦函数的图象与性质运算即可得解.

（2）利用正弦定理、二倍角公式、辅助角公式、正弦函数的图象与性质运算即可得解.

【详解】（1）解：由题意，

答案第8页，共13页

/W=lsin2A--l(l-cos2x)4=lsin2x4cos2x=^sin2x+^

解得：kn--<x<lcn+—,

oo

・・・/(外单调递增区间为1-筌也+』(丘2).

oX_

(2)解：Vbcos2A=boosA-asinB,

由正弦定理，sin^cos2A=sinficosA-sinAsinB,

•••在V4BC中0<3<兀，则sin^wO,

cos2A=cosA-sinA,即cos2A-sin2A=cosA-sinA»

/.(cosA-sinA)(cosA+sinA-1)=O

当cosA=sinA时，4=-；

4

/\

当cosA+sinA-l=0即V^cosA一==1时，A=—.

I4；2

*.*0<A<—,A——.

24

由(1)知〃x)=¥sin(2x+；｝则/(B)=等sin(28+：

VB+C=n-A=—t则0<4〈也，

44

兀7兀

-<一,

44

/.-1<sin2

・•._理工也川24+为也，

2214)2

即/(B)的取值范围是一与，与

综上知，A=：,/⑹的取值范围是-H

19.(l)log2(l+V2)；

(2)[-5,-KC)

答案第9页，共13页

【分析】（1）分别讨论x＜0和xNO去绝对值解方程/"）=2即可求解；

（2）由题意可得：2（2”-宝„-5卜0对于问1,可恒成立，分离用转化为最值问

题即可求解.

【详解】（1）当xvO时，""=？；/-2，—？、。工2,舍去；

乙

当X2O时，f（x}=r-^=2,即（2、『—2.2，-1=0,

令〃?=2、＞0，贝lj一2〃?一1=0,解得：机=1+&或〃?=1—（舍），

所以2*=1+&，可得：x=log2（l+夜）.

（2）当问1,2]时，27（2/）+＜（r）＞0,即2，（20白卜,〃（2得40,

即巩2"-1）2-（2厂1）.

当时，22/-1＞0,所以〃?2-（22'+1）对于飞[1,2]恒成立，

所以回-（23）/，

当问1,2],一（2〃+1闫-17,-5],[-（2"+l）L=-5,所以〃此一5

故机的取值范围是卜5,内）.

20.⑴（2）-1（3）当/绕/转动时，直线AE与4。相交于定点

435U?

【分析】（1）由题设知。=2,进一步求得c,再由隐含条件求得从则椭圆方程可求；

（2）求出轨迹为r的方程，端点G、”的坐标，得到GH所在直线方程，设户的坐标，利

用数量积的坐标运算把斯・厄转化为P的纵坐标的二次函数求最值；

（3）当直线/斜率不存在时，直线/_1_%轴，则A8EO为矩形，由对称性知，AE与3。相交

FK的中点N（g,0）,猜想，当直线/的倾斜角变化时，AE与3。相交于定点0）.设

22

出直线方程及A（x/,＞'/）；B（也，”），知。（4,），/）,E（4,”）.当直线/的倾斜角变化

时，首先证直线AE过定点N（g,0）,再证点N（＜，0）也在直线IBD上，可得当/绕尸

22

转动时，直线AE与B。相交于定点（5,0）.

【详解】解：（1）由已知得。=2,在直线x-5y+l=0中，取y=0,得x=-l,可得c=l.

,\b2=a2-。2=3,

答案第10页，共13页

2

工椭圆C的方程为工+*=1;

43

(2)由［，6y)为C上的点，得?+)，2=i,

2

・,・「：土+)3=1,贝i」G(-2,0),H(0,1),

4-

:・GH：-^+^=1,即x-2),+2=0.

椭圆C的短轴两端点分别为(0,-&),(0,6)，

两点关于直线y=x的对称点分别为F/(-百，0)、B(6，0),

设P(w,光)，贝ijxo-2)，。+2=0,

朋=卜6-%-%),%

则打：•夕月=$2—3+为2=5)，。2—8%+1=5(%—$2—92—/,

・•・西画的最小值为-二；

-5

(3)当直线/斜率不存在时，直线/J_x轴，则A4EO为矩形，

由对称性知，AE与B。相交/K的中点N(g,0),

猜想，当直线/的倾斜角变化时，4E与8D相交于定点N(g,0).

证明：设直线/方程y=A(x-1),

直线/交椭圆于A(x/,y/),B(必1y2),则D(4,j/).E(4,”)，

y=/:(x-l)

联立2,得(3+4N)f-8N.r+4N-12=0,

---F--=1

43

.8k24二一12

当直线/的倾斜角变化时，首先证直线八E过定点N(!■,0),

VAE：y-y2=^f^-(x-4),当x=|时，>"外十与二，-(-|)

「2(4-9>)，2-3()，2-。)_2(4—芭)/(七一1)一32(占一刈

―2(4-芭)-2(4-xJ

8A-2kxtx2+5Mxi+x2)

答案第11页，共13页

・••点N(g,0)在直线IAE上，

同理可证，点N(J,0)也在直线IBD上.

・••当/绕户转动时，人E