山东省济宁市三校2025-2026学年高三年级上册12月联考数学试卷（解析版）

济宁市三校2025-2026学年高三12月联考

数学试卷

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）

1,已知集合4={/-、>2}，8={屹,<8},则AM=（）

A.0B.［x\x<-3}C.{x|-3<x<3|D.{X|-2<A<3）

【答案】C

【解析】

【分析】解不等式得到集合A、8,然后求交集即可.

【详解】集合4={如<3},集合8={小>一3},所以4CB={H-3<I<3}.

故选:C

2.已知复数2=—L,则下列结论正确的是（）

1-1

A.z在复平面对应的点位于第三象限B.z的虚部是i

C.；=l+i（［是复数z的共轨复数）D.\z\=yj2

【答案】D

【解析】

【分析】化简得到z=-l+i,得到I=|z|=V2,对匕选项得到答案.

【详解】z=（］_；）（二广T+1，对应点（一1,1）在第二象限，A错误；虚部为1,B错误;

z=—1—i，C错误：忖=Jl+1—y/2,,D正确.

故选：D.

3.已知正实数。，人满足。+人=2,则"!>+£+4的最小值为（）

ab+2

11232513

A.—B.——C.—D.—

2442

【答案】C

【蟀析】

【分析】分离常数后整理化简转化为求;+±+4的最小值，由1=：［。+（4-a）］,利用“乘I法”转换变

形后，利用基本不等式可得.

【详解】由正实数〃，人满足a+b=2,所以〃=2—〃，4-«>0.

/14,

乜j"+心—+4=—+----+4

ab+2a4-a4-a)a4-(7

1(14、「/.'1/1(<4—。4〃

=-—+------\\a+(4-a)\+4=—\5+-----+-----+4

4(〃44(a4-a)

、1I“4a~~\.1/_lX,25

>-x5+2x/----X----+4=一(5十4)十4=—,

4Va4-a]4、)4

42

当且仅当4/=(4-〃)2,结合已如求解得当。=4，〃二4时等号成立.

JJ

所以H+2_+4的最小值为”.

ab+24

故答案为：C.

一•（兀1】..兀）。

4.己知sina——=-,则sin2a——+cos2a=（）

k6J3I6J

227

A.一一B.-C.一一D.

3399

【答案】D

【解析】

【分析】利用和差角正弦公式、诱导公式及倍角余弦公式即可求值.

yj3._1_._兀、r兀兀、]

【详解】sinI2a--|+cos26Z=——sin2a+—cos2a=sin(z26r+—)=cos|——(2。+—)]

I6)22626

=C03-2a）=cos（2a--）=1-2sin**（（z.

故选：D

5.已知圆C：Y+），2—4x—4），—10=0,直线/：x-y+c=0f若圆。上有四个不同的点到直线/的距

离为2及，则。的取值范围是（）

A.[-2>/2,2V2]B.卜2"2⑹C.[-2,2]D.（-2,2）

【答案】D

【蟀析】

【分析】利用直线和圆的位置关系及点到直线的距离公式数形结合计算即可.

【详解】将圆。化成标准方程为3-2)2+()，-2)2=18,圆心C(2,2),半径r=3拉・

上图所示，使圆上有4个不同的点到直线的距离等于2板，则圆心C到直线x-y+c=o的距离小于

6,

|2xl-2xl+c|

所以圆心C(2,2)到直线x—y+c=0的距离d=<夜，即同＜2,

解得一2＜。＜2,所以实数C的取值范围为(-2,2).

故选：D.

6.已知等差数列｛4｝为递增数列，若Y+qjnlOl,%+4=11,则数列｛%｝的公差d等于()

A.1B.2C.9D.10

【??案】A

【解析】

【分析】根据给定条件结合等差数列性质计算出进而求出q与可0即可得解.

【详解】在等差数列｛4｝中，依题意，(4+4O)2-2%4O=(〃5+4)2-244O=121-244O=101,

解得44O=1O,而q+q()=%+4=11,且｛〃”｝为递增数列，即qv%o，则q=l,«10=1(),

所以数列｛a,,｝的公差d=寥4=1.

10—1

故选：A

7.已知。£(0,兀)，满足(：052夕+005。=0,则6=()

it「兀-2兀〜3兀

A.-B.-C.—D・—

4334

【答案】B

【解析】

【分析】利用二倍角公式化简方程，结合特殊角的函数值求解即可.

【详解】因为8s26+cosJ=0,所以2cos20+cos0-1=0，

即（2cos8-l）（cos8+l）=0,所以cosO=L或cos6=—l,因为。£（0,兀），所以。二色，

3

故选：B.

8.已知抛物线C:），2=4x与过焦点尸的一条直线相交于A,8两点，C的准线/交对称轴于点例，则下列

结论正确的是（）

A.|AB|>4B.匹1r的最小值为正

11\AM\2

C.以AB为直径的圆与y轴相切D.41ABM的面积最小值为2

【答案】B

【解析】

【分析】当直线A8斜率不存在时，计算可得此时|4叫=4,以43为直径的圆不与>轴相切，即可判断

AC；对于B：设A（.KX）,结合抛物线定义表示温，利用基本不等式求其最小值即可判断，对于

D,设直线AB的方程为x=）+1,8（电,力），联立方程组求y+%，力%，表示4AHM的面积求其最

小值，即可判断.

【详解】抛物线）3=4k的焦点尸的坐标为（1,0）,准线方程为1=-1,点用的坐标为（一1,0）,

对于AC：当直线A3的斜率不存在时，即A4直线方程：x=l,

y2=4xfx=lfx=l

联立可得，\.或〈c，

不妨设交点A的坐标为（1,2）,贝！点B的坐标为（1,一2）,

所以卜固=4,A错误；

则以A8为直径的圆半径为2,此时不与）'轴相切，故C错误.

对干B,设点A的坐标为(5,X)，则弁=4%,

又三点共线，故%>0,

所以|从周=%+1,|AM|=+1)2+y；/J(+6=+],

AF

erL1\\_-y,+l_卜"2%+1-I41

MMJX：+6R+1]x；+6x+lV才+6内+广

M=14

所以"6+「

由基本不等式可得当N>0时，X,+-!->2,当且仅当芭二1时取等号，

X】

1()<-------<11<1-------——<1

所以西+「6之8,%+_1+6一2,所以2.Xi+l+6，

V2\AF\

所以-w+dvl，当且仅当直线A8与“垂直时等号成立，

2\AM\

所以盥的最小值为也，B正确；

\AM\2

对于D：过点尸(1,0)的斜率为0的直线与抛物线y?=4x有且只有一个交点，不满足要求,

故可设直线4B的方程为工=9+1,A(g,y),8(%,%)，

[x=)+l.

由21,得/一例，—4=0,

[)广=4x

J

得A=16(/+1)>0,>)+y2=4/,y,y2=-4,x|MF|=2,

所以sABM=sMT+s的3=；|历可闻+；|加可|月月y-刃=+%)2-你必,

JJ

所以S„=JiMG=4庐当且仅当1=0时取等号，

所以...A8M的面积最小值为4,故D错误.

二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合题意，全选

对得满分，漏选得部分分，错选不选不得分)

9.设分别为△ABC的内凭ARC的对边，下列条件中可以判定△48C一定为等腰三角形的有

()

A.acosA=hcosBB.4cos6=Z?cos4

C.Z?sinB=csinCD.a=2bcosC

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用正弦定理的边角关系，结合三角恒等变换及三角形内角的性质，即可判断△ABC是否为等

腰三角形.

【详解】A：sinAcosA=sin^cosB,即sin2A=sin2B,有A=B或A+B=工，错误；

2

B：sinAcos3=cosAsin3,即sin(A-3)=0,在三角形中必有A=8,正确；

C：sin2B=sin2C，在三角形中必有4=C,正确；

D：sinA=2sinBcosC,而A=3+C,所以sin(8-C)=0,在三角形中必有3=C,正丽;

故选：BCD.

10.已知函数/(x)=sin(0X+-(8>0)的最小正周期为工则()

I4J2

A.@=2B.rf-^=O

k16；

【答案】BCD

【解析】

【分析】对A,利用周期公式计算得解；对B,求出r(x),代入计算；对C,代入解析式计算判断；对

D,代入解析式计算判断.

【详解】对于A,由题意可得」=二，解得①二4,故A错误；

co2

对于B,函数的解析式为：/(x)=sin4x+?,故/'(x)=4cos(4x+?,

4/\4J

则r(一等］=4cos(-号+=4cosf-^I=0,故B正确；

I16JI44jI2)

r_，/兀)(兀兀、.it拒，(冗、.(兀、.3兀V2

对十C,f——=sin——+—=-sin—=---,f——=sm―兀+―=-sin—=----,

I8；I24)424；(4j42

(兀、(兀、

所以/--=/--L故C1E确；

I8JI4)

对干D,f

所皿YK-向，故D正确.

故选：BCD.

11.如图，线段A5为圆。直径，点E,尸在圆。上，EF//AB,矩形48co所在平面和圆。所在平

面垂直，且45=2,所=4)=1，则下述正确的是()

A.OF//平面BCE

B.平面AO77

C.点A到平面C。庄的距离为上

7

D.三棱锥。一8£尸外接球的体积为&

【答案】ABC

【解析】

【分析】由所=08=1,EF//OB,易证O9//平面BCE,A正确：

B,由所矩形A3CO所在平面和圆。所在平面垂直，易证AZ)_L平面48EF,所以AOLB/7，由线段

A3为圆。的直径，所以B/_L£4，易证故B正确.

/yr

C,由VC_DAF=VA_CDF可求点4到平面COPE的距离为与，C正确•

D,确定线段力区的中点M是三棱锥C-3EF外接球心，进一步可•求其体积，可判断D错误.

【详解】解：EF=OB=1,EF//OB,四边形0在3为平行四边形，所以OF“BE,

0/0平面BCE,3£u平面3C£,所以0/〃平面BCE,故A正确.

线段AB为圆。的直径，所以B尸_LE4，

矩形A8CO所在平面和圆。所在平面垂直，平面A8CO1平面A5Eb=AB,A7)u平面

ABCD,所以AD_L平面ABE/LBFu平面ABEF,所以

APu平面AOb,A尸u平面A£>f\AD(\AF=A,

所以3/_1_平面AD/7,故B正确.

OF=OE=EF=\,△。正是正三角形，所以EF=BE=AF=1,

DA//BC,所以3C_L平面45所，BCtBF,

BF=6,CF=yJcB2^BF2=7371=2*

DF=\lDA2+AF2=VF+T=>]2，

AB=CD=2,VCOb是等腰三角形，VO产的边。尸上的高

c_1V14r-_/l

s△皿二,x石-x，2=w

DA//BC,ADu平面4)产，8C(Z平面AOb，

BC//平面ADF，点C到平面ADF的距离为BF=6

S4DAF=--Xlxl=T'，^C-DAF=^A-CDF»

设点A到平面CDFE的距离为h,

Xxxx

§S&ADF*FB=-XS&CFD*人，—yV3=-X〃,

所以h=叵,故c正确.

7

取。B的中点M,则M0〃4。，M0=-所以例。_1_平面0)“£,

2f

所以M是三棱锥C-8E/外接球的球心，其半径逝,

2

44

三棱锥C-8所外接球的体枳为V=—4/=一乃x故D错误,

33

故选：ABC.

【点睛】综合考查线面平行与垂直的判断，求点面距离以及三棱锥的外接球的体积求法，难题.

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.设F是双曲线。：=一当=1（。〉0力＞0）的右焦点，O为坐标原点，过〃作。的一条渐近线的垂线,

a~b~

垂足为M,若9M的内切圆与x釉切于点M旦2NF=30N，则C的离心率为.

【答案】f

3

【解析】

〃+〃一〃uuunum

【分析】结合题意，首先求出厂=—一，由2Nb=3ON，通过运算得到5〃=c+5a,再利用a,〃,c,e之

间的关系得到关于离心率的方程，解出即可.

结合题意：双曲线渐近线方程为：y=±-x,即法士a），=0.

a

所以F（C,O）到渐近线的距离为IPM|=J"=b,所以|OW\=4c^=a,

+cr

则△FOM的内切圆的半径为一="7",

设△尸OM的内切圆与FM切于点P,

则|MP|=r="竺£,

2

UUU1UUUI334+〃一C

由2NF=3ON，得1fpi二|防|二三c\FP\+\MP\=-c-^-——^MF\=b,

JJ4

即5/?=c+5425lr=c2+\Oac+25a2,

则25c2-25a2=c2+\0ac+25片，24?-10«c-50a2=0，

由e=£,得12/_5e-25=0.

a

即（3e—5）（4e+5）=0,

由于e>l,解得e=2.

3

故答案为：—.

3

13.若点。和点尸分别为椭圆±+±=1的中心和左焦点，点P为椭圆上任意一点，则OP.。的取值范

43

围为.（答案用区间形式表示）

【答案】[2,6]

【解析】

22

【分析】设尸（X,），），求出OP即，根据X的范围以及点。为椭圆三+汇=1上的任意一点求出OP.尸产

43

的取值范围.

【详解】•••点尸为椭圆工+上=1上的任意一点，

43

设P(x,y)(—2KxW2,—\/3WyK\/3),

uu

依题意得左焦点b(-1,0),OP=(x,y),bP=(x+l,y)，

>

。尸♦Q=Mx+1)+/=f+x+12-3r=lx2+x+3=riA.+1|+2,

44U)

•：-2<x<2,/.0<^x+l<2,

(i丫

.\0<(-x+l|<4,/.2<—x+1+2V6，

12)12)

故答案为:[2,6].

14.已知函数={3'_；2[1，设g(/)=[/(x)}一/(x)+〃，若函数g(x)有6个零点,

4人D人I，，人0*1

则实数。的取值范围是.

【解析】

【分析】作出/(文)图象，令，=/(工)，则方程/―/+〃=()在0</<1有两个根，据此列出不等式组,

即可求出实数〃的取值范围.

【详解】当XE[1,+8)时，/(x)=lnx,此时函数在[1,+ce)上单调递增，

当上<1时，/(工)=2丁一312+|,则/'(工)=6工2-6x=6x(x-l),

当x<0时，r(x)>0,当0<K<1时，/,(x)<0,

所以/(x)在(y,0)上递增，在(0,1)上递减，且/(0)=1,/(1)=。，

故函数/(x)=J3।，的图象如图所示，

2x-3x-+l,x<l

令7=/(x)，则由g(x)=[/(x)]2一/(x)+〃=0,得/一+”=(),

因为函数g(“有6个零点，

所以由图象可知/—1+4=()在0</<1上有两个不同的根,

所以△=1一4。>0,且满足《。2-0+。>0,

l2-l+r/>0

解得0<a<1,

即实数。的取值范围是

4

故答案为：(o,；)

四、解答题(本题共5小题，共77分)

15.4ABC中,4瓦c分别为角A,B,C的对边,且满足a8s2c=acosC-csinA.

(1)求角C；

(2)若AABC为锐角三角形，c=12,求二ABC面积S的最大值.

【答案】(1)C=—或。=5；(2)36(\/2+1).

42

【解析】

【分析】(1)根据acos2c=〃cosC-csinA,由正弦定理得到：

sinAcosIC=sinAcosC-sinCsinA,即cos2C=cosC—sinC求解：

(2)由(1)根据“ABC为锐角三角形，得到C=X,然后利用余弦定理结合基本不等式得到6曲的范围

4

求解.

【详解】(1)因为acos2C=4cosc-csinA,

由正弦定理可得：sinAcos2c=sinAcosC-sinCsinA,

因为4€(0,万)，sinAwO,

所以cos2c=cosC-sinC,

所以cos?C—sin2C=cosC-sinC»即(cosC-sinC)(cosC4-sinC-1)=0,

所以;：05。-5由。=0或＜：05。+$m。一1=0,

即cosC=sinC或cosC+sinC-1=0,

IT

①若cosC=sinC,则。=一,

4

②若cosC+sinC-l=0,则sinC+—|=——，

I4j2

因为工＜。+工＜红，所以c+2=W,即。=工，

444442

综上，C=±或C=三.

42

(2)因为.-ABC为锐角三角形，所以C二三，

4

因为c2=144="+/-2ahcos—=a2+b2-\{2ab＞lab-＞/2ab=(2-O)ab,

4

即〃。£±75=72(2+&)(当且仅当。=。等号成立).

所以S=La/?sinC=」a〃sinX=EaZ?wEx72(2+0)=36(0+l)

22444

即△48C面积S的最大值是36（0+1）

11cl

16.已知数列满足q=1,------------=2〃+1

J%

（1）求｛4｝通项公式;

.2〃兀记数列｛〃｝的前99项和为L,求强

（2）若她二sni^-，

【答案】(1)ci=—

nn~

小336

992

【解析】

11,.1

【分析】（1）首先通过累加法求解-------=犷-1,然后解得〃“二r

anqn-

（2）首先通过分析判断出数列｛%2｝是周期数列，然后通过平方差公式分解求得心9,最后代入求解即

可;

【小问1详解】

11cl

因为---------=2〃+1,

〃用%

11c,11cC11clic

所以---------=2n-1,--------------二2〃-3,,----------=2x1+1=3,

%为t%a吁2a2a,

I1,

累加得------=3+5+7+・・・+2〃-1=〃-一1

、,4q

所以a“=—.

n

【小问2详解】

.2〃兀.2.2〃兀

因为=sin-----,所以，=，!sin------

33

2兀6

当〃=1时,sin—=——；

32

4兀6

当〃=2时,sin—=------

32

当〃=3时,sin2兀=0.

2727c

所以数列'sin-/是以3为周期的数列.

心=S（l-22）十*K（42—52）十手位—用十.•十日K”-982）

乙乙乙L

=-#x(l+2+4+5+7+8+・+97+98)

-会[0+4+7++97)+(2+5+8++98)]

V3「(1+97)x33(2+98)x3333x996

1X1十

229~2~

啜一早.

17.如图，在三棱柱ABC—A百G中，侧面8RCG为正方形，点M、N分别是44、AC的中点,

A3_L平面BCM.

（II）若4A8片是边长为2的菱形，求直线AN与平面MCC所成角的正弦值.

【答案】（I）证明见解析；（H）巨.

38

【解析】

【分析】

（【）设NC的中点为Q.连接N。，MQ,证明出AN〃MQ.即可证明出AN〃平面ACM：（II）以

HA，BM,3c分别为x,丁，z轴建立坐标系，写出各点坐标，求解平面MCq的法向量，设直线

AN与MCG所成角为。，代入公式即可求出sinO

【详解】解：（I）证明：设BC的中点为Q,连接NQ,MQ,

因为M、N分别为4片，AC的中点，所以NQ〃AB,且N0=ga8,又且AB=A4,

所以NQ/RM，且NQ=AM,所以四边形AMNQ为平行四边形.

所以AN〃MQ,又因为MQi平面BCM,ANu平面BCM,

所以AN〃平面BCM.

（H）QABJ•平面8cM,BM,BCu平面BCM,.•.■，加，AB±BC,

又BC工BB「BC±AB,BBqAB=B,所以BC_L平面

于是以3A，BM,8c分别为x,z轴建立平面直角坐标系5-,

如图，因为A48出是边长为2的菱形，且A&JLBM,得/53/=60。,

所以各点坐标：3(0,0,0),4(2,0,0),M(0,JJ,0),C(0,0,2)

A(l,g,0)，4(—1,6,0)，G(—1,7^2),N(l,0,l)

则4%=(0,-6,0),MC,=(-1,0,2),CC-=(-1,73,0)

n.MG=0—》+2z=0

「〃八，即〈r八

n-CC=0[-x+v3y=0

{}

则〃=QG,2,G),设直线AN与MCG所成角为夕

【点睛】本题考杳了立体几何中的线面平行的判定和线面夹角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力

和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过

严密推理，同时对「立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用

向量的夹角公式求解.

18.已知椭圆£：£+与二乂。〉〃〉。）的左、右焦点分别为乙、K,尸是椭圆E1上一动点，APF\F、

dIT、

的最大面积为石，|£&|=2g.

（1）求椭圆E的方程；

（2）若直线不一），-1=0与椭圆E交于A、B两点,C、。为椭圆E上两点，且。_LAB,求|8|的最

大值.

【答案】（1）—+y2=l

4

⑵芈

【解析】

【分析】（I）根据焦距得到C,结合三角形面积的最大值得到/九利用〃=庐1求得。，得到椭圆的

方程；

（2）根据已知设出直线CO的方程，与椭圆联立，利用根与系数的关系及弦长公式得到

\CD\=^xy]5-m2，判断单调性即可求得最大值.

【小问1详解】

解：设椭圆E的半焦距为。，•.•山巴|=26，c=JL

.■△尸石鸟的最大面积为逐，二.〈立八力二石，

b=l,

a=\lb24-c2=2,

椭圆E的方程为土+），2=1；

4

【小问2详解】

由题知CQJ_4B,设直线CO的方程为y=-x+〃7,C（玉，y）,。（公,，2），

[x21

---+V2=1

联立，4.，消去）'并整理得：5x2-Sfnx+4/??2-4=0♦

y=-x+m

・•・A=（-8/??）2-4X5X（W-4|>0,得-非cm〈后，

8/7/4/n2-4

勺14（4疗-4）二名昕言"迪

y\5y555

逑

设g(〃?)=-\/5<m<也，

5

由复合函数的单调性知：

8（,〃）=殍乂行二版在（-6,0）上单调递增，在倒，国单调递减,

・••当"=0时,g(〃7)M=g(O)=¥^,

故|8|二也

IImax5

19已知函数/(x)=sinx,g(6=e"[aeR.

(1)若曲线y=/(x)在点0(0,0)的切线也是曲线y=g(x)的切线，求。的值;

(2)讨论函数〃(x)=在区间(0,y)上的单调性;

(3)若/(X)g(x)<%对任意x6恒成立，求。的取值范围.

【答案】(1)-

e

(2)答案见解析⑶