山东省聊城市2025-2026学年高二年级上册11月期中数学试题（解析版）

2025-2026学年度第一学期期中教学质量检测

高二数学试题

注意事项：

L答题前，考生务必用0・5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写到答

题卡和试卷规定的位置上.

2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

3.第H卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置;

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按

以上要求作答的答案无效.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符

合题目要求.

1.直线工+6=°的倾斜角为（）

2717t兀

A.—B.—C.—D.0

323

【答案】B

【解析】

【分析】根据直线方程，判断直线倾斜角即可.

【详解】由题意可知直线X+G=O垂直于X轴，所以倾斜角为二.

2

故选:B.

2.空间中，若直线/的方向向量为乙=（。,一1,2）,平面a的法向量为用=（-3,2,1）,则（）

A.U/aB./la

C.///a或/uaD./与。斜交

【答案】c

【解析】

【分析】根据向量M与比的数量积为零，判断讶_L沅，再根据线面平行的判定定理可得，111a或若lua.

【详解】根据日=（0,—1,2）和沆=（—3,2,1）得：5w=-3x0+2x（-l）+lx2=0；

因为M•沅=0,可得彳_1_谕，所以/_!_沅；

比为平面。的法向量，所以///a或者/ua.

故选:C.

3.直线（。+2）1-（2）y+4=0与直线方―3y+3=0平行，则。的值为（

B.-1C.6或TD.1或一6

【答案】B

【解析】

【分析［根据两直线平行的判定方法，列方程求解即得.

【详解】由题意，可得小/,解得。=—i.

3（。+2）/4。

故选：B.

4.甲、乙两人进行三局两胜制的乒乓球比赛.已知每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,利用

计算机模拟试验估计乙获胜的概率.用计算机产生0〜9之间的随机数，当出现0』,2或3时，表示此局乙获

胜，当出现其他数字时，表示此局甲获胜.以3个随机数为一组弋表比赛三局的结果.根据以下产生的20组

随机数估计乙获胜的概率为（）

977864191925271932812458569683

431257394027556488730145537908

A.（）.3B.0.35C.0.4D.0.45

【答案】B

【解析】

/、

【分析】根据古典概型概率公式尸（八）=一k=一n票（A计）算乙获胜的概率即可.

【详解】总共有20组样本数据，经统计当出现0,1,2或3时，表示此局乙获胜的数据共有7生,

7

则乙获胜的概率。===0.35.

故选:B

5.若圆f+）,2一4工+2〃b=0与坐标轴的交点是一个等腰直角三角形的三个顶点，则”的值为（）

C.±1D.±2

【答案】D

【解析】

【分析】由圆的方程，分别令x=0,y=0,求得A,B,C三个顶点的坐标即可求解.

【详解】由圆炉+y2-4/+2m），=0,

令上=0,得y?+2my=0,解得y=0或y=-2m；

令F=。，得丁―4工=0,解得火=（）或工=4；

则不妨设A（0,0）,3（4,0）,C（0,-2m）,

结合题意可知等腰直角三角形的直角顶点A为原点，

则可得|2时=4,解得6=±2,

故选：D

6.在棱长为1的正四面体A3CZ）中，点£为48的中点，点F在CO上，且。尸=2在。，则方.正为

（）

55cl1

121244

【答案】A

【解析】

【分析】设阮二7而=瓦丽=入将题设中的炉和衣分别用3,B,2线性表示，再根据向量数量积的

运算律计算即得.

如图，设反*=2,前=瓦丽二2,依题意|〃|=|1|=|C|=1M，B=B・C=C・Q=',

2

._.一_1一.9_1.

连接因而=旃一丽=觉+无一一BA=BC+-CD一一BA

232

又：4e=46一函=£一2,

则EF-AC=（；不+*15-31）（1一

32633

故选：A.

7.有3双不同颜色的手套，如果从中随机取出2只，取出的手套一只是左手一只是右手的，但颜色不同的

概率为()

13八2।

A—B.—C.-D.—

51052

【答案】C

【解析】

【分析】根据占典概型概率计算公式，通过列举法，写出所有可能的情况，求出结果即可.

【洋解】设3双不同颜色的手套分别为4由，层，其中左手为d(i=l，2,3),右手为

用(i=L2,3).

则随机取出两个由15种不同的情况，分别为

符合条件的有6种情况，分别为4名，4员,4g,483,4^,482，

A)

则取出的2只手套一只是左手一只是右手的，但颜色不同的概率为一=一；

155

故选：C.

8.己知4(0,1),8(2,1),尸(1,0)三点，动点P满足用.而=0,若两■而，则线段(。为原点)

2

长度的最大值为()

A>/3-1R6+1「y/5-\n石+1

2222

【答案】D

【解析】

【分析】设M(x,y),由题分析可知点M为Pb的中点，得P(2x-l,2y),根据可.丽=0化简可得

(x-l)2+(y-1)2=i,从而可知点M在以N(l,g)为圆心，；为半径的圆上，再结合点到圆上点距离最

值求解.

___1一

【详解】设M(x,y),由尸—F(l,0),得点M为月月的中点，则P(2x—1,2)，).

2

又4（0,1）,3（2,1）,则丽=（1-2x,l-2y）,PB=（3-2x,l-2y）,

因此西♦方二（1-2x）（3-2x）+（l-2y）（l-2y）=4（x-l）2+（l-2y）2-1=0,即

（x-l）2+（y-l）2=l,

点〃在以N（l,g）为圆心，;为半径的圆上，

线段CM长度的最大值为|ON|+；=，2+g='乎.

故选:D

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9.掷两枚质地均匀的硬币，设事件A="第一枚正面向上"，事件3="第二枚反面向上”，则（）

A.P（A）=P（B）

B.A与4相互对立

C.A与8相互独立

D.A与8互斥

【答案】AC

【解析】

【分析】求出夕（A）,P（8）可判断A；根据对立事件的定义可判断B；根据独立事件的定义可判断C；根

据互斥事件的定义可判断D.

【详解】掷两枚质地均匀的硬币，样本空间为：（（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）｝,

事件4="第一枚正面向上”，即｛（正，正），（正，反）｝

事件3="第二枚反面向上”，即｛（正，反），（反，反）｝,

则P（A）=：=g,P（B）=1=g,得P（A）=P（3）,故A正确；

由于事件A和事件4能同时发生，所以A与B不为互斥事件，也不为对立事件，故B、D错误；

事件A8="第一枚正面向上且第二枚反面向上”，即｛（正，反）｝,

则P（A8）=；,则P（A3）=P（A）P（3）,所以A与9相互独立，故C正确，

故选:AC.

10.已知圆0:/+）,2=4,圆。：工2+）,2+6工+8）,=/一25,直线-4.（）

A.直线/过定点（0,-4）

B.当人二一后时，直线/被圆。截得的弦长为

C.当r=7时，圆。与圆。有两个公共点

D.当r=2及时，过圆C上的点P作圆。的两条切线，切点分别为48,则存在点P使四边形。为

正方形

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用直线过定点可判断A,利用垂径定理和勾股定理求弦长可判断B,利用两圆心距和半径可判断

C,利用圆上到点到定点的距离范围可判断D.

【详解】对于A,由直线/：＞=依-4恒过定点（0,-4）,故A正确；

4

对干B,由原点到直线l:y=-V15x-4的距离为d=1,

V1+15

所以直线/被圆。截得的弦长为2，^二尸=26，故B正确；

对干C,由圆C:工2+）2++8），=24=（x+3『+（y+4『=49,

所以圆。与圆C的圆心距为|OC|=j9+16=5,

圆。与圆C的半径分别为2,7,所以|0。=5=7-2,

即两圆内切，只有一个公共点，故C错误；

对于D,圆C:+6工+8）,二一17n（x+3）2+（y+4『=8,

假设存在点P使四边形OAP8为正方形，则|尸山=|叫=2,

由此可得：|OP|=20,

根据圆上动点P到原点的距离的取值范围是：5-2近,5+2码,

而2及e[5-2夜,5+2夜],所以圆C上存在点/>,故D正确;

故选：ABD.

11.四边形ABCO为正方形，DE上平面ABCD,BF//DE,AB=DE=2,BF=1.()

B.点尸到4E1的距离为石

C.点尸到平面ACE的距离为6

D.点P在线段E尸上（不含端点），则AP与平面ACE所成角的正弦值的范围为（o，W）

【答案】ACD

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，利用平面法向量的性质、空间点到直线和点到面的距离公式、空间向量夹角

公式逐一判断即可.

【详解】因为四边形A8C£>为正方形，OE_L平面A8C。，

所以建“.如图所示的空间直角坐标系，

A（2,0,0）,B（2,2,0）,C（0,2,0）,D（0,0,0）,£（0,0,2）,F（2,2,l）.

A：设平面ABF的法向量为m=（百，y,Z1）,

福二（0,2,0）,而二（0,2,1）.CE=（O,-Z2）,

比•丽=02y.=0.、

所以旬__=2耳+4=0=而=（d°'°）—°）'

w-AF=0

显然在.而二0，CE不在平面AB尸内，所以CE//平面A8尸，因此本选项正确;

AEAF2__________M

B：AE=（-2,0,2）,s〈M,通〉=

I2+22XA/22+1210，

于是sin（A及AF）=Jl-cos?〈通，通〉=之*

xM©=迪，所以本选项不正确;

所以点尸到4E的距离为,4・sin〈/l反A户〉=旧

109

C：设平面ACE的法向量为乃=（X2，%，Z2），

=（-2,2,0）,祈=（0,2,1）,CE=（O,-2,2）,

n-AC=0m=o=

所以有_.=>{

n-CE=0-2y2+2z2=0）

AF

点F到平面4CE的距离为|标gs〈/］〉n3=6,

MlVi2+i2+i2

所以本选项说法正确;

D：赤=（2,2,-1）,设丽=9》（〉£（0,1））=>丽=（2/2A-n）,

AP=AE+EP=（-2+22,22,2-2）,

设你与平面ACE所成角为

刎〈丽叶繇-瓦E|-24-522+22+2-2|34

sin〃

广+4把+（2-4）20xj9'-124+8

-812，

94

22A

9

9=8r2-12r+9=8|r--+一，

设V-Tl4J2

2QQ

二次函数加（f）=8（f—3+己的对称轴为t=-

<4,24

所以当.>1时，有〃7。）>帆（1）=5

于是有C―8—12,所以本选项说法正确,

』9H--z----T-

V/I2A

故选:ACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知事件A与事件8相互独立，尸（A）=g,P（B）=；,则P（4U^）=

JJ

【答案】I

3

【解析】

【分析】根据事件A与事件8相互独立，由夕（Au3）=夕（4）+夕（3）一夕（AB）求解可得.

【洋解】因为事件4与事件8相互独立，且P（A）=；,P（8）=；,

所以尸（Au3）=P（A）+P⑻-P（四）=：+=

故答案：g

13.以A（1,1）,B（3,5）和丁轴上一点。为顶点的三角形的面积为5,则尸的纵坐标为.

【答案】4或-6

【解析】

【分析】求出卜邳，根据△八放的面积为5,算出点P到43的距离求出4?的方程，设点

2（。,加），利用点到直线的距离公式解出〃?的值，即可得到答案.

【详解】•・•点A（1,1）I（3,5）,\AB\=^（3-1）2+（5-1）2=275，

设点P到A8的距离为止

:△ABP的面积为5,・，・3卜8卜”=5,得d=2后=非,

V--1JC1

•・•直线A3的方程为2—=——，即2上一丁一1=(),

5-13-1

设P的坐标为。（。,〃7）,

l-w-lli-

d=I、/、，=45,解得〃2=4或/〃=-6,

V2+(-0

・・・P的纵坐标为4或-6.

故答案为：4或-6.

14.如图，在四棱锥〃一ABC。中，PA_L底面A8C。，底面A8C。为梯形，4。//8C,且AO=28C,E

是棱夕。的中点，设PCc平面4组=尸，则名的值为

PC

【答案】|

3

【解析】

【分析】利用空间向量基本定理，以｛而，丽，而｝为一组基底，分别表示方和定向量，再根据向量方

与定共线的条件可'=4定求出参数人即可.

【详解】以｛而，丽，囚5｝为一组基底，所以卮=再+而+冠=一而+而+g而,

方=而十/=一而十/，口已知点尸在平面A8E内，即就与前，正共面,

可设4尸=〃7A8+，又因为£为尸£）的中点，所以AE=5AP+耳AO,

所以PF1户+mAB4-g

nAD,由而与定共线，设户户=4户C，

2

—A,=1—/?—1।

22

所以府1=-2而十义羽十~1义而，即，/L=m,解得A=m=n=—

21.13

22

,,PF2

所rr以▼=；，

PC3

故答案为：

3

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程、演算步骤.、

15.在某闯关游戏中，每位参赛者有两次闯关机会，如果第一次闯关成功，则获得奖品，且不再进行第二次

闯美；否则进行第二次闯关，第二次闯关成功则获得奖品，若两次都没成功则没有奖品.已知甲每次闯关成

功的概率都是0.8,乙每次闯关成功的概率都是0.5,假设甲、乙两人闯关互不影响，且每人每次闯关是否成

功相互独立.

（1）甲第二次闯关获得奖品的概率；

（2）乙获得奖品的概率；

（3）求甲和乙两人中至少一人获得奖品的概率.

【答案】（1）0.16

（2）0.75

（3）0.99

【解析】

【分析】（1）甲第二次闯关获得奖品意味着甲第•次闯关失败且第二次闯关成功.根据相互独立事件的概率

公式计算可得：

（2）乙获得奖品有两种情况：第一次闯关成功或者第一次闯关失败但第二次闯关成功.根据相互独立事件

及互斥事件的概率公式计算可得；

（3）“甲和乙两人中至少一人获得奖品”的对立事件是“甲和乙两人都没有获得奖品”.根据相互独立事

件及对立事件的概率公式计算可得.

【小问1详解】

设事件A-•“甲第，次闯关成功“，i=

则p（A）=（）.8,p（4）=1-0.8=（）.2.

甲第二次闯关获得奖品事件为4%,且4与人相互独立，

所以甲第二次闯关获得奖品的概率为

P（^A）=P（^）P（A）=0.2x0.8=0.16.

【小问2详解】

设事件用="乙第，次闯关成功”，i=I,2,则P（耳）=0.5,尸（瓦）=1-0.5=05

设事件8=”乙获得奖品"，事件方=”乙未获得奖品”，则8=4+及生，

乙获得奖品的概率为

P（B）=P（Bl）+P（B1B2）=P（^1）+P（B1）P（B2）=0.54-0.5x0.5=0.75.

【小问3详解】

事件C二"甲获得奖品”，则事件“甲未获得奖品”.

P©=P（A&）=尸（A）尸区）=0.2x0.2=0.04,

P（B）=1-P（B）=1-0.75=0.25,

设事件E=“甲和乙两人中至少一人获得奖品"，则后=C瓦

产（石）=1-P（左）=1-P（CB）=1一尸（C）尸伍）=1-0.04x0.25=0.99.

故甲和乙两人中至少一人获得奖品的概率0.99.

16.已知VA3C的顶点A（4,l）,边A8上的高线C"所在的直线方程为x+），-l=（），边AC上的中线

所在的直线方程为3x-y-\=0.

（I）求点C的坐标；

（2）求VA6c的面积.

【答案】⑴（-2,3）

（2）20

【解析】

【分析】（1）先设C（〃4〃），根据高线过点。及中线列式求解；

（2）先求出交点再应用两点间距离及点到宜线距离计算面积即可.

【小问1详解】

设则AC的中点

\m+n-1=0,fm~2

则.机+4〃+11八解得'即。（一2,3）.

[221

故点C坐标为（一2,3）.

【小问2详解】

由边A8上的高线CH所在的直线方程为工+y-1=0,

可设直线AB的方程为x-y+。=（）,

将A（4,l）代入可得4-1+〃=0,即。=一3,所以直线AB的方程为x-）」3=0.…

因为8为直线AB与BM的交点,

-y-3=0,x=­I,/、

所以联立3公）1二。解得产_4即BIT).

则\AB\=7(-1-4)2+(-4-1)2=572.

-2-3-3

点C到直线AB的距离为不-------=4夜.

VI+（-D2

所以S=lx5近x4贬=20.

2

故VA3C的面积为20.

17.校长为2的正方体ABCQ—A'?。'。中，2厂分别为棱8,4。上的动点，且CE=DF.

（1）若DF=l,求。'石与C77所成的角的余弦值;

（2）证明：平面4O'E_L平面BCN.

【答案】（1）2叵

15

（2）证明见解析

【分析】（1）以A为坐标原点，分别以A3,ADAA'所在直线为x轴，》轴，z轴，建立空间直角坐标

系，求得万%=（1,0,—2）,而=［一2,—1,—2）,再利用夹角公式求解.；

（2）求得平面A77E的一个法向量玩，平面8UF的一个法向量力，再由力J?=0证明.

【小问1详解】

以A为坐标原点，分别以ARAO,AA'所在直线为x轴，），轴，z轴，建立空间直角坐标系如图.

A(0,0,0),C(2,2,2),77(0,2,2),石(1,2,0),/(OJO),

I7E=(L0,-2),CT=(-2,-1,-2).

所以|方^卜石,|司卜3,

FE-CT=1X(-2)+0X(-1)+(-2)X(-2)=2

TTEgT22百

所以cosD'E,。/=

DT|X|C7|-^X3-15.

故DE与CF所成的角的余弦值为拽.

15

【小问2详解】

设A产=。,则尸（0,。,0）,£（42,0）,

而=（0,2,0），丽=（-〃,0,2）,丽=（2,-&。），旗=（0,2,2）.

设平面ADfE的一个法向量加=（工,y,z）,

^-W=o,2y=0,

由＜则《

所•或=(),-av+2z=0.

令2=。，则工=2,所以平面ADE的一个法向量沅=（2,0,。）.

同理可得平面BCF的一个法向量万=（。,2,-2）.

因为沅•后=2x4+（）x2+4x（—2）=（）.

所以平面A:DfEJL平面BCF.

18.已知圆心分别为«（-2,0）和JR,。）的两个圆的半径都是1,过动点户分别作圆。「圆。2的切线

PM、PN（M,N分别为切点），使得|PM=W|PN|.

（1）求动点尸的轨迹C方程，并说明轨迹的形状;

（2）直线/:（〃7+3）x+（2〃7—l）y—（10+8〃?）=0被轨迹C截得的弦长最短时，求”的值及最短弦长.

【答案】（1）“一6尸+），2=33,以（6,0）为圆心，半径为底的圆

2

（2）m=一一，最短弦长为10

3

【解析】

【分析】（I）设点P的坐标为«），），结合图形利用切线性质将|PM|二e|PN|化成

22

|PO1|-1=2（|PO2|-1）,利用两点之间距离公式化简即得动点/＞的轨迹方程；

（2）先求出直线/经过的定点，根据圆的性质可知，当CQ_L/时，/被圆C截得的弦长A3最短，由此根

据斜率建立方程求出参数，〃的值，进而利用弦长公式即可计算弦长.

【小问1详解】

由俨叫=闺叫得1PMi2=2|P/V|2.

因为两圆的半径均为I，所以四|2=俨。1―1,回|2=归02「_[,

代人上式可得，归。J一1=2（归。｛一1）.

设点尸的坐标为（X,），），则0+2）2+）,2_]=2[*-2）2+V-1],

整理得x2+y2-12x+3=0,即(x-6)2+丁=33.

因此所求的轨迹是以（6,0）为圆心，半径为屈的圆.

【小问2详解】

方程（〃z+3）x+（26-1）），一（10+8〃?）=0可化为（3%一丁一10）+〃?（工+2），-8）=0.

[3x-^-10=0x=4,、

由C。A，解得《）=2,则直线/恒过定点。（4,2）.

x+2y-8=0

记轨迹。的圆心为。（6,0）,当CQJ./时，直线/被圆。截得的弦长4B最短，此时。恰为线段A8的中点.

因为％二三一’所以直线/的斜率为I,即-黑1s解得…屋

圆心C(6,0)到直线/的距离为=7(4-6)2+22=2A/2，

则弦A3的长为||=2)33-(2拒产=10.

故当〃2=一2时，直线/被轨迹C截得的弦长最短，最短弦长为10.

3

CB1CD.CD=2CB=2,AB与平面BCO所成的角为0.

(1)若8=90°,/B4C=30°,如图，过点8作平面8"J_4＞分别交AC,4£＞于点2F.

Ap

①求一的值；

AD

②若G为D4的中点，〃为平面的厂内的动点，求ziCGH周长的最小值.

(2)若0=60,人8=1,求平面八CZ)与平面〃CD所成角的取值范围.

【答案】(1)①]:②叵+0

82

【解析】

【分析】(1)以C为坐标原点，CB,CD,CM所在直线分别为x，)'，z轴，建立空间直角坐标系，①设

AF=AAD^由得而.而=0,解出4即可求解；②设点G关于平面应户的对称点为G',则

HG=HG,当C、H、G'共线时，CH+HG有最小值，最小值为CG'，先求G'的坐标，利用两点间距离

公式得|CG[,进而求解.；

(2)以B为坐标原点，8所在直线为X轴，平行的直线为)'轴，垂直于平面8c。的直线为Z轴，建

iiJ3

立空间直角坐标系，点A在平面5c。的投影为以3为圆心，g为半径，设八-cos/y,-sinAy，分别求

,兀

平面AC。与平面3c。的法向量，设平面ACO与平面3co所成的角力。，且0,-，利用向量的夹

【2

t_1Fl>/3

cos/7+2

角公式得cosa=,令cos/7+2=fw[l,3],则c°s。

7（COS^+2）2+3

利用单调性即可求解.

【小问1详解】

①由CD=2CB=2,得C£>=2,C3=1,过点。作CM〃AB，以C为坐标原点，CB,CD,CM所在

直线分别为xy，z轴，建立空间直角坐标系，

由ZBAC=30，得ZACB=60MC=2BC=2,AB=6BC=6，则

A（l,0,石）“（0,2,0）,仅1,0,0）,

AD=（-1,2,-73）.

设而'=2而，则呼=丽+义赤，