沈阳市2026届高三年级教学质量监测（一）一模数学试卷（含答案）

2026年沈阳市高中二年级教学质量监测（一）

数学

本试卷分第1卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案写在答题卡

上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定的区域内。

2.第I卷每小题选出答案后，用28铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干

净后，再选涂其他答案标号。第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上

作答无效。

3.考试结束后，考生将答题卡交问。

第I卷（选择题共58分）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

L已知集合。{x|lVxV6,x£N},A={2,3},B=(2,4,5},则(CuA)n8=()

A.{4,5}B.{2,3,4,5}C.{2}D.{2,4,5}

2.若复数空是纯虚数，则实数疗()

乙'4

A.-|33B.|C.-j2D.j2

3.不等式的解集()

3-x

A.[1,3]B.[1,3)C.(-8,/]D.[1,3)U(3,+8)

4.样本数据5,7,4,6,12,10,11,9的第70百分位数为（)

A.7B.9C.9.5D.10

5.抛物线必=2p%（p>0）的焦点与双曲线=l的右焦点重合，则抛物线准线方程为（）

10V

A.X=-1OB.x=--C.x=-5D.x=--

24

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6.若函数广/Q)是y=a"(a>0且1)的反函数，则函数y=/(2r1)13图象必过定点()

A.(j,4)B.(1,4)C.(j,3)D.(1,3)

7.已知在圆炉+丫2一4%+2y=0内，过点七(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD,则

四边形A8CD的面积为()

A.3V5B.6A/5C.2715D.4VB

8.如果方程尸(x,)，)=0能确定)，是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数，隐函数的

求导方法如下：在方程)，)二0中，把y看成x的函数产)，(x),则方程可看成关于x的恒

等式F(x,)，(均)二0,在等式两边同时对x求导，然后解出y'G)即可.例如，求由方程

x2+y2=ll所确定的隐函数的导数,，'，将方程/+y2=i的两边同时对x求导，则

2r+2y•)，=0(y=y(x)是中间变量，需要用复合函数的求导法则)，得y'=-'(V=0),那么曲

线肛+/町=2在点(2,1)处的切线方程为()

A.x-3y^1=0B.X+3P-5=0C.3X-^-5=0D.2x+3y-7=0

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.F列结论正确的是()

A.若戈VI,则函数y=x+」一的最小值为3

x~\

B.若廿2y=3,则2%+4y的最小值为4a

21_

C.函数y=.)H------丁的最小值为3+2近

sin-xcos2x

D.若心>0,)>0,且e2x=2,则xy的最大值为:

10.已知事件A,8满足尸(A)=0.5,。(8)=0.2,则下列结论正确的是()

A.若则尸(A8)=0.5B.若A与8互斥，则P(A+8)=0.7

C.若/)(AB)=0.1,则从与8相互独立D.若A与6相互独立，贝lJP(45)=0.9

11.已知数列｛〃”｝的前n项和为S”,若%=2,an+1-2an+anan+1=0,则下列结论正确的是

A.a3=|B.数列｛1一2｝为等比数列

231

C.an+1<anD.Sio>2-产

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第n卷(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在△ABC中，角A,3,C的对边分别为3b,c,若s讥4=s%&osC且C=2VI,A=F,

6

则—^―=___________.

sinC+sinA

13.已知〃>0,二项式(％+9丫的展开式中所有项的系数和为64,则展开式中的常数项为

14.已知球。内切十止四棱台(即球与该止四棱台的上、卜底面以及侧囱均相切)，且该止四

棱台的上、下底面棱长之比为1：2,则球。与该正四棱台的体积之比为.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本题满分13分)已知数列｛%｝是公差为2的等差数列，其前8项和为64,数列出J是公

比大于0的等比数列只=3fb3-b2=18.

(1)求数列｛〃〃｝,仿〃｝的通项公式;

(2)记〃=詈⑺WMnN1),求数列七｝的前n项和S〃.

bn

16.(本题满分15分)a=(2y/3cosxf—1),5=(sin%，cos2%)且/(%)=a-b

(1)求函数产f(x)的最小正周期；

(2)将函数度/(x)图象上所有的点向左平移专个单位后得到函数)，招(x)的图象，当%e

02］时，求函数)kgG)的值域；

⑶说明函数尸爪的图象经过怎样的变换能得到函数打⑴的图象，写出一个变换过程.

17.(本题满分15分)如图，四棱锥P-ABCD的底面A8CO是菱形，PO_L平面

ABCD、PD=CD=BD=2,E为尸。的中点.

(1)证明:M〃平面8DE;

(2)求三棱锥的体积；

(3)在棱AP上是否存在一点F,使得二面角尸—BD-E正弦值为等？若存在，

14

求出AF的长；若不存在，请说明理由.

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18.（本题满分17分）已知椭圆/*1（4b>0）的左右焦点分别为F1、尸2,离心率e=?,

且过点（1，

'/'y|

（1）求椭圆的标准方程；^>4^^

（2）直线小，2过右焦点&,且它们的斜率乘积为.设小，2分别

与椭圆21、，2交于点C、。和E、F,若M、N分别是线段CD和EF

的中点；

G）直线MN是否过定点?若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由.

（"）求△OMN面积的最大值.

19.（本题满分17分）己知随机变量4的取值为非负整数，其分布列为：

e012n

pP。Pl尸2Pn

其中Pi《。1],且0=1.由4生成的函数为

\~i7l\"17l2

/（X）=Z=0P*，0（f）=Z-0（i-£（6））,加

⑴若J生成的函数为/⑺=义+京+:二+亮好股事件4当^为奇数时，求P⑷的值;

JLU。OJLU

（2）现有编号为一利二的两个盒子，在盒一中有1个红球，在盒二中有2个蓝球和4个绿球

（球的颜色不同，其他完全相同）.若随机选两个盒中的一个盒，再取出一个球，选择盒一的概

率为:•设随机变量生成的函数为/（x）=Zf=oP〃,其中〃式E，2,3）分别对应取到红球、

蓝球、绿球的概率.

请判断.。团与尸⑴+尸⑴一片⑴产的大小关系：（尸鱼）=[尸⑹'）

（3）已知方程.x+y+z=9（x,y,z6N）,用J表示一组解中最小的数，此时由C生成的函数记为

t（x）,令gCr）可O,求g（x）的极小值点.

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2026年沈阳市高中三年级教学质量监测(一)

数学参考答案及评分标准

第I卷(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.A2.A3.B4.D5.C6.D7.C8.B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.BCD10.BC11.BCD

第n卷(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.413.1514.7i/7

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.解：(1)数列｛为｝是公差为2的等差数列，其前8项的和为64,

・•・8al+28d=8al+56=64,解得=1,.........................................................................2分

•••an=2n—1;......................................................................................................................4分

数列彷〃｝是公比q大于()的等比数列，・・・3,b.t18,

3/-3q=18,解得于3,.............................................................................................6分

n

•••bn=3.................................................................................................................................8分

(2)由⑴得斯=2n—l,b=3n，则％=詈=(2n-1)■仔)，

nDfi\3z

2

Sn=1彳+3•(0+…+(2n-3))-@)〃一】+(2n-1)-①,...............................…9分

衿二»(I)2+3•(|)3+...+(2n-3)).Q)n+(2n-1)-②,..............................10分

2n-1

・・・由①一②得|sn=11+2[(|)++g)+.....................................................................II分

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.If1------/i、n+l

=、十2.人,.........................................................................................…12分

•••5n=1-(n4-1)♦图........................................................•13分

16解：(1)/(%)=2\l~3cosxsinx-cos2x=1\f3sin2x-cos2x=2sin\2x-.............................3分

所以/(X)的最小正周期T=y=7T....................................................................................................5分

(2)由题意可得，...............................................................

gM=/(x+/)=2sm2(x+/)—'=2sin(2x+'),..........................................................6分

已知xW|o,3则2x£[(),扪，那么+.............................7分

L2J6L66J

当2X+B=£即x=如寸，..........................................

626

s比卜x+匀取得最大值1,此时g3取得最大值2X1=2.........................................................8分

当2rq=£，即x=轲，sizi(2x+J取得最小值一盘此时g(x)取得最小值2x(-；)=-1........9分

所以，当xw[0用时，函数g(x)的值域为[-1,2].................................................................10分

横坐标变为原来的我

(3)答案1:产sinx-y=sinlx12分

纵坐标不变

再向右平，个单位长度

分

----------------------------->y=sin(2x—76)...14

纵坐标变为原来的2倍、»。“、

~—-、---------------->y=2sin(2x15分

横坐标不变76

向右平移昔单位长度

答案分

2ty=sinx-------------------------->y=sin(x-7o)...................................................................12

横坐标变为原来的相、

y=sin(2x-^.................................................1..4..分..........................................

纵坐标不变

纵坐标变为原来的2倍7r

横坐标不变>y=2sin(2x--)..........................................................................................

17.解：

(1)如图，连接4C,交于点O,则。为AC的中点.连接0E

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因为E是。。的中点，所以OE〃PA.

又OFu平面BDE,%C平面BDE,所以%〃平面BDE.............................3分

(2)V锥P—BDE力锥B—PDE=B~PDC=押P-BCD=寺ABCD+PD

=-x—x4x2=—............................................................6分

643

（3）存在点R使得二面角尸8。-石的正弦值为要.

14

因为底面A8CO是菱形，PO_L底面ABCD,AC,BDu平面ABCD,所以

AC±BD,PDLAC.故以。为坐标原点，分别以OA,03所

在直线为乂y轴，以过点。且平行于尸。的直线为z轴，建立如图所示

的空间直角坐标

系Oxyz........................................................

贝|J人(75,0,0),从0,1,0),c(-V5,o,o),£)(0,-1,0),P(O,-I,2),故

DB=(0,2,0),丽=而=(-V3»-h2).

设而=aQ=(一百；I，一九2A),26[0,1],

则F(-V3A+75,一加2/1),而=(-V3A+75,一/l一1，21).

设平面3OE的法向量为访=

则内用=。｛务|+|为一句=0

m•EB=022

则71=0,令31=V5,则Zi=|,......................故

布=（怖，0，|）.11分

设平面8。尸的法向量为n=（皿少2/2）,

TT

则C・呼=0,即2y2=0（-V3A+V3）X2+（-A-l）y2+2Az2=0

n•BF=0

则y2=o,令%2=2V5/1得Z2=3A-3,故n=（2巡加0,3A-3）.

因为二面角氏8D-E的正弦值为空

14

所以二面角尸3AE的余弦值的绝对值为普

14

inn6A+^(A-1)V7

令\cosm,n\=

丽J(⑸2+0J(2\/3A)Z+(3A-3)214J

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化简得63"-542+11=0,解得a=?或a=3经检验都符合2三[。，1]............14分

O4JL

因为AP=722+22=2必所以AF=筌或AF=..............................15分

3LtJL.

18.解：因为椭圆马+1=1的离心率？=乎，且过点

（港），可得

=V2

a2

2分

22

且c?=M一炉,解得a=2,b=1,

所以椭圆的标准方程为y+y2=1..................................................4分

（2）（/）由（1）知，椭圆9+y2=1,可得&（1,0）,

设直线/1的方程为）必（尸1）,，2的方程为y=-/（工一1），且（C（X1,），1）,。（历，丁2）,

X22—1

联立方程组｛3+y=1,整理得（1+2k2）x2-4k2x+2/_2=0,

y=k（x-1）

匕।4k22k2-2/八

所以为+&=际，%1%2=诉,...............................................6分

因为加为。。的中点，所以X”=土；3=]2”,F”=“（・玄，-'）=一工!正，

即“（徐，品）.............................................................

.7分

同理可得N（含，流）.......................................................8分

直线MN的方程为y-4=添1一合）...............................

即

丫=备卜—510分

所以直线MN过的定点为6，0）.....................................................11分

注意：此题也可参考下面做法评分：

、x=2

设l1-.x=my+l,l2'---y+1且C（xi，山）。（右,丫2）

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%_L2—1

联立方程组｛彳+y=】消去工得

x=my+1

(m2+2)y2+2my-1=0

>+力=_诉

由韦达定理得I-1..6

分

为C。中点

.............8分

直线MN的方程为丫+空二卷6一一三）..................................10

,m2+2m2-2\m2+2/

分

,，m2-2.2

令尸（）得％=—-H---；—

.2（m2+2）m2+2

一1

-2

故MN过定点（G，0）.........................................................11分

（汾由MN过的定点为P（g0）

所以S^MN=^\OP\\yM-yN\.................................................12分

=9高।......................................................」3分

1\k\11y/2八

=-X....-=—X------4—...........................................15分

21+2/2向+2阳8

当且仅当2U|=」时，即1=±年时，等号成立，.......................16分

IK|2

所以△OMN的面积最大值为孚................................................17分

8

19.解：⑴由4生成的函数为7(%)=卷+黄+|3+Qs,

知fM=—<%0+-x1+0•%24---%3+0•%4+—Xs,

7V7105510

19Q

所以P(f=1)=i=3)=：,P(f=5)=a......................2分

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设事件A：^为奇数时，pa)=P《=l)+PG=3)+PG=5)=高..............3分

(2)相等；证明如下：Pi(i=l，2,3)分别是取到红球、蓝球、绿球对应的概率，

,1.1622644匚八

故Pi=-X1=-,p=-x-=-,Do=-X-=.....................................5分

ri77'"N2767'〜767

即Pl+P2+P3=L故Po=°，

24

23分

X+-X+-X

所以j生成的函数为/(%)77

故/，(%)=；+(X)=qm............................................8分

所以/〃⑴+/'(1)-[/'(1)]2=,+三一(三)=篇.......................9分

2

因为E(f)=Pl+2P2+3P3，1(x)=Pl+2P2%+3p3x,

所以E©于(1),故E(f)=/'(l)=：+；+£=],................................10分

2

因为因为=£鼠(i-))-pb

所以0(行二(0—/)X0+^1--y)x+(2-Y)X|+(3-