三元一次方程组的解法（分层作业）-2024人教版七年级数学下册【解析版】

10.4三元一次方程组的解法分层作业

基础训练

1.下列方程中，属于三元一次方程的是（）

A.n+x+y=6B.xy+y+z=6

C.x+2y+3z=9D.3x+2y-4z=4x+2y-2z

【分析】含有3个未知数，且含有未知数的项的指数为I的整式方程，叫做三元一次方

程，据此进行判断即可.

【解答】解：A、只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意；

8、含未知数的项的最高次哥为2次，不是三元一次方程，不符合题意；

C、是三元一次方程，符合题意；

D、方程化简为：-x-2z=0,只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意.

故选：C.

【点评】本题考查了解三元一次方程组，掌握含有3个未知数，且含有未知数的项的指

数为1的整式方程，叫做三元一次方程是解答本题的关键.

a+b+c=0

2Q-b+c=-5

3ai-c=-4的解.

2.下列四组数值中，（）是方程组

a=—1

b=2

c=-1

A.B.

a=1

b=-2

c=3

C.D.

【分析】①+③得出4a=-4,求出〃的值，②+③得出5a・25=-9,代入后求出〃,

即可求出答案.

(a+b+c=0①

j2a-b+c=-5②

【解答】解：(3a-b-c=-4③

①+③得：4a=-4,

解得：〃=-1,

②+③得：5a-2b=-9④，

把4=7代入④得：-5-2。=-9,

解得：b=2,

把a=-l,〃=2代入①得：-l+2+c=0,

解得：c=-l,

a=-1

6=2

c=—1

故原方程组的解为

故选：B.

【点评】本题考查了三元一次方程组的解法，能正确消元是解此题的关键.

x+y=3

y+z=-6

3.已知方程组=9,贝kr+y+z的值是（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】把三个方程相加，进行计算即可解答.

仔+y=3①

卜+2=-6②

【解答】解：Q+"9③,

①+②+③得：

2x+2y+2z=3+（-6）+9,

.,.x+y+z=3,

故选:A.

【点评】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关犍.

2a+b-3c=19

4n+2b+c=3

4.三元一次方程组'一匕+'二°消去未知数c后，所得二元一次方程组是（）

(5a—2b=19(2a+b=4

(a+b=1(3a+b=3

A.

a+b=13a+b=3

3a—2d=195a-2b=19

C.D.

(5a-2b=19

【分析】先消去未知数c可得la+d=1,从而可得答案.

2a+b-3c=19①

4a+2b+c@

［解答］解：Q_b+c=O③,

②-③得：3〃+3。=3即a+Ql,

③X3+①得：5。-2〃=19,

(5a-2b=19

・(Q+b=1

••9

故选:A.

【点评】本题考查的是三元一次方程组的解法，掌握加减消元法是解本题的关键.

a+b=3

b+c=2

5.若方程组Q+0=l的解满足女=a+8+c,则点尸(-2,1-24)在第四象限.

【分析】将方程组中的三个方程相加后求得”的值，再将其代入-2,1-2%中计算，最

后根据各象限内点的坐标特征即可求得答案.

a+b=3

b+c=2

【解答】解：［若方程组c+a=l的解满足攵=9〃+小

・••将方程组中的三个方程相加可得2a+2/〉+2c=6,

^•k=ci+b+c=3t

工吩2=5,1-2k=-5,

则尸(5,-5)在第四象限，

故答案为：四.

【点评】本题考直:解三元次方程组，二元一次方程组的解，点的坐标，结合已知条件

求得攵的值是解题的关键.

6.有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、闪1件，共需20元；若购甲4件、乙

10件、丙1件，共需27元；若购买甲、乙、丙各I件，共需要£元.

【分析】设购甲、乙、丙三种货物各1件，分别需要x元，y元，z元，根据题意列出三

元一次方程组，再利用加减法求出％+y+z的值即可.

【解答】解：设购甲、乙、丙二种货物各1件，分别需要x元，y元，z元，

(3x+7y+z=20①

根据题意，得l4x+10y+z=27@>

①X3-②X2得3(3x+7y+z)-2(4x+10y+z)=20X3-27X2,

整理，得X+y+z=6.

故答案为：6.

【点评】本题考查三元一次方程组的应用，理解题意，弄清题目中的数景关系是解题的

关键.

2x+3y+z=6①pr-y+z=0①

x—y+2z=-1(2)卜x+2y+z=3②

7.解方程组：(1)Q+2y-z=5③.⑵(25x+5y+z=60③.

【分析】利用加减法消掉一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再进

行解答.

2x+3y+z=6①

x-y+2z=-1②

【解答】解：(1)&+2y-z=5③

③+①得，3x+5.y=ll④，

③X2+②得，3x+3y=9⑤，

④-⑤得2)，=2,y=l,

将y=l代入⑤得，3x=6,

x=2,

将x=2,y=l代入①得，z=6-2X2-3Xl=-1,

lx-2

y=i

・•.方程组的解为（z=-1

x-y+z=0①

4x+2y+z=3②

（2）（25%+5y+z=60③,

②•①得：3x+3y=3,

即x+y=1④，

③-①得：24x+6y=60,

即4.r+y=IO⑤，

⑤-④得：3x=9,

解得：x=3,

把x=3代入④得：3+y=l,

解得：尸-2,

把x=3,y=-2代入①得：3-(-2)+z=0,

解得：z=-5,

x=3

y=-2

・•・原方程组的解为：“z一=-，5

【点评】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键.

8.已知三角形的周长为30,三边长分别是。、b、c,且a+2/，-c=13,2a=c+3,求三角形

的三边长.

【分析】根据已知条件列出关于。，b,c的方程组，然后利用加减和代入消元法解方程

组即可.

【解答】解：•・•三角形的周长为30,三边长分别是a、b、a

»\a+l)+c=30,

e+b+c=30①

ja+2b—c=13②

.・.(2a=c+3③，

①+②得：2a+3〃=43④，

把③代入④得：c+3〃=40⑤，

①-②得：-力+2c=l7⑥，

⑥X3得：-36+6c=51⑦，

⑤+⑦得：c=13,

把c=13代入③得：。=8,

把4=8,c=13代入①得：b=9,

a=8

b=9

・••方程组的解为:c=13

・••三角形的三边长分别为8,9,13.

【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握利用加减和代入消元

法解三元一次方程组.

9.已知yua^+hx+c,当工=-I时，y=0,当x=l时，y=-4：当x=2时，）=3.

（1）求a、b、c的值;

（2）求当x=-3时，y的值.

【分析】（1）把x、y的三对对应值分别代入尸一+打+小列出方程组，再求解:

（2）把x=-3代入），=3/・2r-5,求解.

a-b+c=0

a+b+c=-4

4a+2b+c=3

【解答】解：（1）由题意得：ET“"T。一。

a=3

b=-2

解得：c=T,

・二。=3,b=-2,c=-5；

（2）当x=-3时，y=9X3+3X2-5=28.

【点评】本题考查了解三元一次方程组，掌握消元思想是解题的关键.

2x+y+z

10.己知x+y+7z=0,x-y-3z=05，zK0）,则“一丫+^-4.

【分析】在x+y+7z=0,x-y-3z=（）中，未知数系数相同，工），的系数互为相反数，通

过两个式子相减或相加，即可用z的代数式表示出X、），，进而得出答案.

【解答】解：x+y+7z=0①，

x-y-3z=0②，

①■②，得2y+10z=0,即y=-5z,

①+②，得2t+4z=0,即x=-2z,

2x+y+z-4z—5z+z-8z

...2x-y+z-4z+5z+z2z4

故答案为：-4.

【点评】本题考查了解三元一次方程组，正确用z的代数式表示出X、），是解答本题的关

键.

11.一个二位数,如果把它的个位数字与百位数字交换位置,那么所得的新数比原数小99.

且各位数字之和为14,十位数字是个位数字与百位数字之和.求这个三位数.

【分析】首先假设这个三位数的百位数字为1，十位数字为＞，个位数字为z.根据题目

说明，以及百位数是百位数字的100倍，十位数是十位数字的10倍，个位数就是个位数

100x+10y+z-（100z+10y+x）=99

x+y+z=14

字列出方程组

通过加减消元法、代入法求得％、＞、Z的值，那么这个三位数也就确定.

【解答】解：这个三位数的百位数字为X,十位数字为y,个位数字为Z.

①

HOOx+lOy+z-（100z+10y+x）=99②

卜+y+z=14

③

由题意列方程组L+z=y

②-③得y=14-yf即）'=7,

由①得x-z=l⑤，

将），=7代入③得工+z=7⑥，

⑤+⑥得2x=8,

即x=4,那么z=3,

答：这个三位数是473.

【点评】解决本题的关键是根据百位数字、十位数字、个位数字与数值间的关系列出方

程组，用代入消元法或加减消元法求出方程组的解.

拔高拓展

俨+y=2

12.【数学问题】解方程组区'-2（x+y）=6.

【思路分析】小明观察后发现可以把x+y视为