山东省淄博某中学2025-2026学年高三年级上册第一次教学诊断数学试卷

山东省淄博实验中学2025-2026学年高三上学期第一次教学诊

断数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若集合A={x|f-2x<0},8={x|lnxvO},则AJ5=()

A.{AIx<2}B.{.dx<l}C.{X|O<A<1}D.{A|0<x<2}

2.已知实数a、b、c满足a<〃vc,且acvO,那么下列选项中一定成立的是

A.B.c(b-a)<0C.cb2<ab2D.ab<ac

3.已知扇形的圆心角为3rad，面积为24,则该扇形的弧长为()

A.6B.6兀C.12D.12兀

21+1

4.设函数/(%)=-则下列函数中为奇函数的是()

.r-1

A./(x+1)+2B./(x-l)+2

C.f(x+1)-2D./(x-l)-2

5.已知函数/(力=胪(。>0且awl),若f(-3)v”4),则不等式〃2x—3)W〃5)的解集

为()

A.(-oo,-l]U[4,+co)B.(^»,-l)U(4,+ao)

C.[-1,4]D.(-1,4)

6.已知cos(吟.3则sin(2a+^

a+--sina=—,的值为（)

、6j5

7n19、19e7

A.一一B.---(D.—

2525八2525

7已知关于1的不等式"+2…＜。的解集为卜③其中…,则泊的取值可以

是（）

A.1B.2D.3

已知函数/（力=吗"：°,八，若函数y=/（/（1））有6个零点，则实数。的取，‘直范

8.

—X+Zcix,xsu

围为（）

A.a>IB.a<()C.ci<—\D.-l<a<0

二、多选题

9.下列等式中正确的有（）

sin250

A.tan250=

sin65°

B.sin53°cos7°-cos53°sin7°=—

2

C.cos38°cos220-cos520sin22°=—

2

D.tan880-tan280-、行tan88°tan28°=6

10.下列说法正确的是（）

A.已知集合人=卜|/一4<0,且xwN},则集合A的真子集个数是7

B.是“方程/+4+〃=。有一个正根和一个负根”的必要不充分条件

C."x=T"是“寸_5%-6=0"的必要不充分条件

D.设则％工（）”是“他H0”的必要不充分条件

H.已知函数/（X）的定义域为R,/（取）=双）。+好6），则（）

A./（1）=（）

B.〃力为偶函数

C.若/（2）=2,则/（£）=—g

D.若时，/（X）是连续单调递减函数，则当x«l,+8）时，不等式

冬-牛D的解集是（7,田）

三、填空题

12.函数y=-1呜（3+2。的定义域是

13.化简2Jl-sin8-J2-2cos8=.

14.己知函数/（6=4'-92日+/一3,若的图象上存在不同的两个点关于原点对称,

则实数机的取值范围为__________.

试卷第2页，共4页

四、解答题

15.江苏城市足球联赛(俗称“苏超”)火爆出圈，某城市文旅部门推出“看球赛抽奖品”活动，

到该城市观看比赛的球迷可抽奖获得纪念品.规则如下：抽奖3次，每次抽中纪念品的概率

均为若前2次未抽中纪念品，则第3次无论抽中与否均获得纪念品.

(I)求某球迷恰好获得1个纪念品的概率；

⑵记x为某球迷获得第1个纪念品时的抽奖次数，求工的数学期望£(".

16.在等比数列｛q｝中，4=1,。产出，且2%,%成等差数列.

⑴求｛g｝的通项公式；

(2)若"=：,求低｝的前〃项和S”.

17.已知〃>()且"1,函数/(x)=log%-310g“x+2,g(x)=-^—+fn.

e+1

⑴方程f(x)=0的两根为-和%，且中占=3,求。的值；

⑵当〃=2时，对任意的内e[L8],都存在々€[0,+8),使得/(.即)=且仇)，求机的取值范

围.

18.设函数/(x)=sin(公+，其中0v0<3,已知函数/(月的图象关于点

信0)成中心对称.

⑴求

(2)当xG[0,可时,求函数/(.r)的单调递增区间；

(3)若ac冗，P€冗,g,且/口+四]=避5,sin(尸一0=把°,求。+〃的值.

1_4」L2J｛6)5'10

19.已知函数/(x)=alnx+bx+l.

⑴若〃=1,讨论/(力的单调性;

(2)若。=/=1,数列｛4｝满足q=1吗+1=〃％).

n

(i)记｛%｝的前〃项和为3,证明：Sn<2-\-

(1+^)(1+^)•-(1+<)

(ii)证明：当〃22时,<e

府…a；

试卷第4页，共4页

《山东省淄博实验中学2025-2026学年高三上学期第一次教学诊断数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案DACCCCDDADBD

题号11

答案ACD

1.D

【分析】先求出集合中不等式的解集,然后根据并集的概念进行求解即可.

【详解】因为集合人=卜*_24<0},所以A={x|x(x-2)<0}={x[0<x<2}.

因为集合4={x|lnx<0},所以B={x|lnx<lnl}={x|O<x<l}.

所以Au4={x[O<x<2}.

故选：D.

2.A

【解析】先根据“<c，且团<0,得出。的符号，再结合人〈。，利用不等式的基本性质即可

得到结果.

【详解】解：,.・a<b<c,Kac<0,

:.aac>cac

即ac(a-c)>(),故A正确；

..C>0,6/<0,

乂。<b,

:.ac<bc,即-a)>0,故3错误；

・•・〃可正、可负、可为零，

.・.仍2,他2的关系无法确定，故C错误；

Qb<c,«<0,

ab>ac,故。错误：

故选：A.

【点睛】本题主要考查不等关系与不等式应用、不等式的基本性质、实数的性质等基础知识,

考查运算求解能力.属于基础题.

3.C

【分析】根据给定条件，利用扇形面积及弧长公式列式求解.

答案第1页，共12页

【详解】设扇形半径为「，由扇形的圆心角为3rad，面积为24,得24=了3/，解得r=4,

所以该扇形的弧长为3r=12.

故选：C

4.C

【分析】由/(x)=2+=),写出各项对应函数的解析式，利用函数奇偶性的定义依次判断

x-1

各项对应函数的奇偶性.

mVIr/、2x+12A'—2+3-3

【详解】因为/(x)=--=------=2+-

x-lx-\x-\

A：/(x+l)+2=4+-3,而4+3—=4一3三二-4一3三，显然不是奇函数，不符；

X-xXX

B：/。-1)+2=4+二3，定义域为{月工工2},显然不关于原点对称，不符；

x-2

333

C：/(x+l)-2=-,其中二二-士且定义域为{X|XNO},易知八x+l)-2为奇函数；

X—XX

D：/(x-l)-2=^-,定义域为{幻工工2},显然不关于原点对称，不符；

x-2

故选：C

5.C

【分析】求出/(另为偶函数结合/(-3)</(4)可得/")的单调性，再利用单调性和奇偶性

求解不等式.

【详解】因/㈠勿=〃1),/(-3)</(4),RlJ/(3)</(4),

当x>0时〃力=a=1，故/(”在(0,+8)上单调递增，

因〃2工一3)<〃5)等价于〃|2x-3|)W/(5),贝”2x—3|«5,得TJW4,

故不等式3)</(5)的解集为[-1,4].

故选：C

6.C

【分析】应用和角余弦公式，将条件化为cos(a+3=g,应用二倍角余弦公式得

35

COS(2«+y)=-^191,最后应用诱导公式求函数值.

【详解】由cos(c+二)-sin。=^cosa-3sinc=gcos(o+二)=3,故cos(a+4)=立，

I6)223535

答案第2页，共12页

所以85(2。+@)=28$2(&+四)-1=一里,

3325

-J—/c2冗\/兀c加、>/r\冗\ndc兀)19

而cos(2a+—)=cos(—+za+—)=-sin(2a+—),则sin2a+—=

3266I6J25

故选：C

7.D

4

【分析】由根与系数的关系可求出。=1,2b=-m+——，再由基本不等式求结合

对勾函数的单调性即可得出答案.

(详解】•・•口干+2/吠+4<0的解集为卜,

4

，4>0,且方程ad+2Zu+4=0的两根为“，-

m

.42b44.

•・/〃+—=---,w--=—,••

inama

*/m<0,m<—,/.m<—2,

in

4I4

・5=一〃?+尊之2卜少前=4’即〃空当且仅当，…2时取f

故〃>2,而2+?=〃+：,对勾函数y=x+2在(2,田)上单调递增,

abbx

・.・3+》的取值范围为(今+8

故选：D.

8.D

【分析】根据题意对实数。进行讨论，分。20,。<0,再利用函数零点问题，结合函数图

象进行分析求解.

【详解】当。NO,xW。时，/(x)=-f+2ar,对称轴为x=a20,

所以/(”在(YO,0)单调递增，函数图象如下：

答案第3页，共12页

令/(])=/，y=/(/(x))=/(f)=。，解得r=o或，=1,

即〃x)=/=。或/(同=/=1，根据图象/("=，=0有2个解，/(力=/=1有1个解,

所以此时y=有3个零点，不符合题意：

当a<0,xKO时，f(x)=-x1+2ax,对称轴为x=a<0,

所以/(x)在(e,a)单调递增，在(。,0)单调递减，函数图像如下:

令y=⑺=0,解得/=勿或，=0或1=1，

根据图象/(力=，=2。<0有2个解，f(x)=f=O有3个解,

又y=/(/(x))有6个零点，所以〃灯=/=1要有1个解,

4<0

即《解得一Iva<(),

f(a)=a2<\

故选：D.

9.AD

【分析】由sin65o=sin(90。-25。)结合诱导公式、商数公式即可判断A；由两角差的正弦公

式化简计算即可判断B：由诱导公式结合两角和的余弦公式即可计算判断C；由

tan6Qo=tan(88。-28。)结合两角差的正切公式即可计算判断D.

.、、，.sin25°sin25°sin25°.……

【详解】sin65°=sin(90c-25°)~cos25°-'A正确；

sin530cos70-cos530sin70=sin(53°-7°)=sin460^>B错误；

cos38°cos220-cos52°sin22°=cos38°cos220-sin38°sin22°=cos(38°+22°)=cos600=g,

C错误;

tan880-tan28°

因为tan600=tan(88。-28°)=向

I+tan880tan280

答案第4页，共12页

所以

tan880-tan28O-Gtan88°tan28°=tan(88°-28°)(I+tan880tan28。)-6tan88°tan28。=6,

D正确.

故选：AD

10.BD

【分析】对A,化筒集合A,利用公式2"-1计算；对BCD,利用充分、必要条件的定义

逐项分析判断即可.

【详解】对于A：集合A={X|X2-4<0,且xeN}={x[-2<xv2,xeN}二{0,1},

所以集合A的真子集个数为2?-1=3,A错误；

对于B：若“方程f+x+a=0有一个正根和一个负根”，则八=。<。，

[A=l-4^>0

所以％<1”是“方程f+x+4=。有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，B正确；

对于C：JWx2-5x-6=0»得工=-1或x=6,

所以。=-1”是"x2-5x-6=0”的充分不必要条件，C错误；

对于D：若则々KO且〃工0,

所以“。工0”是“血工。”的必要不充分条件，D正确.

故选：BD.

11.ACD

【分析】利用赋值法，分别代数检验，可判断A、B、C的正误，根据函数的奇偶性和单调

性，化简整理，即可判断D的正误.

【详解】选项A：令%=)=1,可得八1)=/⑴+/⑴，解得/(1)=0,故A正确；

选项B：令x=y=-l,可得/(1)=一/(—1)—/(—1)=(),蟀得/(—1)=0,

再令y=-1,可得/(-x)=#(f-再奏=-/(x),

所以“X)为奇函数，故B错误:

11

选项C：令x=2,y=；,可得+5/（2）=2/-

解得/(£!=-：，故c正确;

选项D：因为〃力为奇函数,所以f(-2)=-f(2),

答案第5页，共12页

由韭L止也3,可出+型>3,

326326

因为/(")=虫y)+W。)，

所以次=殁+&1,

孙x)，

所以出+地=3=犯，

322x36

因为xe(l,+8)时，/(X)单调递减，且幺8>八1),

66

fx-l>0/、

所以解得工>7,即解集是(7,侄)，故D正獭；

故选：ACD

33]

12.

I22J

【分析】确定IIog6(3i2x)>0,得到Ov3+2xW6,解得答案.

【详解】函数y=1-log/3+2x)的定义域满足1-logs(3+2x)>0,

故0<3+2xW6,解得故函数定义域为.

22I22.

故答案为：.

13.2cos4

【分析】利用同角三角函数基本关系及二倍角公式化简即可.

【详解】2>/l-sin8-J2-2cos8=2^(sin4-cos4)'-\/2sin24+2cos24-2cos24+2sin24

2(cos4-sin4)+2sin4=2cos4.

故答案为：2cos4

14.[1-V3,2V2]

【分析】根据题意，可得方程-/3=/(-x)在R上有解，代入化简整理，令，=2、+27(/22),

换元得产一2〃〃+2〃/一8=0,在fe[2,+e)时有解，结合二次函数的图像性质，对用的取值

进行分类讨论，即可求解.

【详解】已知函数/(犬)=@'-〃7?户/加一，由于/⑴的图象上存在不同的两个点关于原

点对称，所以-/(力=/(-X)在R上有解，

答案第6页，共12页

即一（4'一机•2川+m2-3）=4r-m-2+m2-3在R上有解，

即（2、+2r）2-2〃?（2、+）+2>-8=0在R上有解，

令I=2'+2TN2^2,・2。=2，当且仅当2、=2-x,即x=（）时，等号成立，

则t2-2nit+2m2-8=0，在/©[2,+8）时有解，

令g。）二/一2〃廿+2nr-8,其对称轴为t=m,

①当〃>2时，g⑺在[2,向上单调递减，在网转）上单调递增，

则g（z）nun=g㈣=>-2m2+2^2-8<0,解得2<m<2>/2;

②当〃区2时，g。）在[2,y）上单调递增，

则g（/）min=g（2）=4-4"7+2"?2-8<0,解得1一Gw〃?42.

综上所述，实数用的取值范围为

故答案为：[1-6,2a]

15.⑴g

⑵5

【分析】（1）记B为“恰好获得I个纪念品”，列出事件3包含的子事件，求出这些子事件

的概率再求和即可；

（2）据题意得到x的可能值并求对应事件的概率，求x的分布列，再根据期望公式计算

即得.

【详解】（1）设每次抽中纪念品为事件4,未抽中为事件X,且P（A）=：,P（，）=；.

记8为“恰好获得1个纪念品“，则有以下可能情况：

第1次中，第2次未中，第3次未中：4=P（A）P®P®=H!=：：

第I次未中，第2次中，第3次未中：6=P®P（4）P⑷=4'x上"

222o

第1、2两次均未中，则第3次必得：^=P（A）P（A）=1xl=l;

所以P（3）=R+2+6=:+!+；=]

OO4Z

（2）记x为杲球迷获得第1个纪念品时的抽奖次数，贝”的可能取值为1,2,3.

答案第7页，共12页

P（x=2）=P（,）P⑷==；

（孙尸（可（

分布列

n-1

16.（l）an=3

9

⑵工工

【分析】（1）设｛〃“｝的公比为夕，由M，2%%成等差数列求出“，可得｛可｝的通项公式;

（2）错位相减法求低｝的前〃项和S..

【详解】（1）设｛4｝的公比为/由6工生，得夕行，

因为3%,2%必成等差数列，

所以4%=3%+/，所以4/4=3%+%/，

所以g?—4g+3=。，解得夕=1（舍），或4=3,

又q=1,所以%=31.

/-、।"“Ic123n-17;

⑵由"=£=诃，得邑=3+要+铲++产+强

k工…I/口］c123n-1n

两边同乘以守得可工==+9+下++布+懑

J333333

/口2c,111na”〃32，?+3

两式相减，得/=1+不+至+…+/-*=-—=--T—T7，

17.（））«=V3：

答案第8页，共12页

(2)-1<w<--.

4

【分析】(1)解含有对数的方程，结合内入=3求参数值即可；

(2)依题意将问题转化为/(x)在1,8]上的值域是g(x)在[0,+。)上值域的子集，结合指对

数函数、二次函数性质求其在给定区间上的值域，再由包含关系列不等式求解即得.

【详解】(])令log*-310gM+2=0,解得log“x=1或k)g0x=2,

解得内=。，x2=a",则。.(/二/二？，所以〃=正；

2

(2)当。=2时，/(x)=log-x-31og2x+2=(log2x-1)-^-,

因xe[l,8],则log2xw[(),3],/(-V)G-；,2,

又函数8(力=^^+机在工w[0,+8)上单调递减，则g(x)w(，〃,/〃+3],

eIi

由任意的%都存在川w[0,+8),使得了a)=g(z),

则/(可在［1,8］上的值域是g(x)在［0,+8)上值域的子集,

1

tn<—

故<4,g|J-1</??<一一.

4

/n+3>2

18.⑴0=2

⑵「八m5兀][「行1E几

陪

【分析】⑴利用三角恒等变换得到小)=Gsin"4}将总可代入，结合0v©<3,

求出。=2；

(2)整体法得到2x-*-p|,求出％wo,y|即为单调递增区间；

(3)求出sin2a=半，由同角三角函数关系得到cos2a和cos(〃-a)的值，凑角法，结合

余弦和角公式得到cos(a+£)=cos[(夕-a)+2a]=冬结合％夕的范围，求出a+/?=与.

【详解】(1)f(x}=sin(yxcos--cosryxsin--cos(ox=—sina)x--cosa)x-coscox

八,6622

71

—sinrwx--coscox=#sinCOX——

223J

答案第9页，共12页

将修。代入得小加等T=0,故等一"e入z,

\0/\63y63

解得①=6k+2,&wZ,

又0<口<3,故当A=0时，@=2满足要求;

(2)由(1)知，/(x)=V3sin^2x—j,

xw［0,可时，2x-^e一彳，,，

故当2工一?€|"—弓］或21一等］，即％w［0,号］或［辱，兀］时，/(力单调递增,

■SV■■

故“X)单调递增区间为喈］［詈，兀］

=Gsin2a=^^,Jisin2or=—,

⑶44)55

又as二,江，所以2aw三,2兀,

_4J[2

因为sin2a=>0,所以2aw不兀],

512J

故awU'cos2a=-Jl-sin?2a=一

[42j5

a3jCIJ“兀57c

又尸e兀，石，故0-ae-.—,

又sin(夕一0)=［10>0,所以万一。£K

2，n

所以cos(/9-a)=-^l-sin2(/?-a)=一宣见,

其中cos(a+〃)=cos[(/?-a)+2a]=cos(/-a)cos2a-sin(/?-a)sin2a

3M(2行］V10>/5x/2

=------X-----------X---=---

1015J1052

其中a+〃e—,2n，故。+6=会

_4

19.(1)答案见解析

(2)(i)证明见解析；(ii)证明见解析

【分析】(1)求导，通过。2(),a<0讨论导数符号，即可求解:

(2)(i)构造g(x)=〃x)-2x,求导确定其单调性，从而得到一再结合

等比数列求和公式即可求证；(ii)由/(1)=12+工+1的单调性及外讨=/(〃,)，通过累加

答案第10页，共12页

得到%>〃，再结合(i)的分析过程得到h】(l+x)«x,从而得到］“1+5卜=-7再

通过累加即可求证.

［详解］(1)若b=l,则〃x)=Hiu:+x+l,x>(),所以厂(同=幺+1=*,

.IX

当aNO时,r(x)>0,则f(x)在(0,+8)上单调递增;

当av0时，令f(T)>0,得工>一々；

令r(x)