2021-2022学年浙江省宁波市北仑区精准联盟九年级（上）期中数学试卷-带答案详解

2021-2022学年浙江省宁波市北仑区精准联盟九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题4分，共40分）1．（4分）已知点，，都在函数的图象上，则A． B． C． D．2．（4分）在一个不透明的袋中装有2个黄球和2个红球，它们除颜色外没有其他区别，从袋中任意摸出一个球，然后放回搅匀，再从袋中任意摸出一个球，那么两次都摸到黄球的概率是A． B． C． D．3．（4分）把写成的形式是A． B． C． D．4．（4分）如图，、、是上的点，且．在这个图中，画出下列度数的圆周角：，，，，仅用无刻度的直尺能画出的有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（4分）在一个不透明的袋子中，装有红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它完全相同．若小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在0.15和0.45，则该袋子中的白色球可能有A．6个 B．16个 C．18个 D．24个6．（4分）已知圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为A． B． C．4 D．27．（4分）如图，若二次函数图象的对称轴为，与轴交于点，与轴交于点，点，则（1）二次函数的最大值为；（2）；（3）；（4）当时，．其中正确的个数是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（4分）如图，为半圆的直径，是半圆上一点，且，设扇形、、弓形的面积为、、，则它们之间的关系是A． B． C． D．9．（4分）某网店销售一款李宁牌运动服，每件进价100元，若按每件128元出售，每天可卖出100件，根据市场调查结果，若每件降价1元，则每天可多卖出5件，要使每天获得的利润最大，则每件需要降价的钱数为A．3元 B．4元 C．5元 D．8元10．（4分）如图，四边形是的内接四边形，，，的半径为，连接交于点，与相交于点，则图中阴影部分面积是A． B． C． D．二、填空题（每题5分，5×6共30分）11．（5分）抛物线的顶点坐标是．12．（5分）两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，则两个指针同时落在偶数上的概率是．13．（5分）若点是线段的一个黄金分割点，，且，则（结果保留根号）．14．（5分）在中，，，将绕点逆时针旋转后得到，则图中阴影部分的面积是．15．（5分）如图，已知的半径为5，弦，则上到弦所在直线的距离等于2的点有个．16．（5分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，直线交轴正半轴于点，交抛物线的对称轴于点，若，则点的坐标为．三.解答题（17，18，19每题8分；20，21，22每题10分；23题12分，24题14分）17．（8分）如图，在中，三个顶点的坐标分别为，，，（1）在网格中画出绕原点顺时针旋转后的图形△；（2）求出△的面积．18．（8分）已知：如图，，是的两条弦，平分．求证：．19．（8分）在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字1，2，3的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字．请你用画树形图或列表的方法，求下列事件的概率：（1）两次取出小球上的数字相同的概率；（2）两次取出小球上的数字之和大于3的概率．20．（10分）如图，在中，为直径，且，垂足为，，．（1）求半径的值；（2）点在直径上，连接，当时，直接写出的长，并在图中标出点的具体位置．21．（10分）（1）已知，求的值．（2）已知线段，，求线段，的比例中项．22．（10分）一张圆心角为的扇形纸板和圆形纸板按如图方式各剪得一个正方形，边长都为1，求扇形纸板和圆形纸板的面积比．23．（12分）如图所示，在中，，厘米，厘米．点从点开始沿边向点以1厘米秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米秒的速度移动，当点运动到点时停止，点也同时停止．（1）如果点，分别从点，同时出发，那么几秒后，的面积等于4平方厘米？（2）如果点，分别从点，同时出发，问第几秒时，四边形的面积最小？其最小面积为多少？24．（14分）如图，已知抛物线经过点、两点，且交轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）点是线段上的点（不与、重合），过作轴交抛物线于，若点的横坐标为，请用的代数式表示的长；（3）在（2）的条件下，连接，，是否存在点，使的面积最大？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

2021-2022学年浙江省宁波市北仑区精准联盟九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题4分，共40分）1．（4分）已知点，，都在函数的图象上，则A． B． C． D．【分析】把点的坐标分别代入函数解析式可分别求得、、，再比较其大小即可．【解答】解：点，，都在函数的图象上，，，，，故选：．【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．2．（4分）在一个不透明的袋中装有2个黄球和2个红球，它们除颜色外没有其他区别，从袋中任意摸出一个球，然后放回搅匀，再从袋中任意摸出一个球，那么两次都摸到黄球的概率是A． B． C． D．【分析】列举出所有情况，看两次都摸到黄球的情况数占总情况数的多少即可．【解答】解：根据题意画图如下：共有16种等可能的情况数，两次都摸到黄球的情况数有4种，么两次都摸到黄球的概率是；故选：．【点评】考查列树状图解决概率问题；找到两次都摸到黄球的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．3．（4分）把写成的形式是A． B． C． D．【分析】直接利用配方法写出二次函数的顶点式形式即可．【解答】解：．故选：．【点评】此题主要考查了二次函数顶点式求法，正确配方是解题关键．4．（4分）如图，、、是上的点，且．在这个图中，画出下列度数的圆周角：，，，，仅用无刻度的直尺能画出的有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】作直径，连接，在上取一点，连接、，如图，利用圆周角定理得到，，利用圆内接四边形的性质得到，根据互余可计算出．【解答】解：作直径，连接、，如图，，，为直径，，；在上取一点，连接、，．故选：．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．5．（4分）在一个不透明的袋子中，装有红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它完全相同．若小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在0.15和0.45，则该袋子中的白色球可能有A．6个 B．16个 C．18个 D．24个【分析】先求出摸到白球的概率，再用总球数的个数乘以白球所占的百分比即可得到白色球的个数．【解答】解：根据题意摸到红色、黑色球的频率稳定在0.15和0.45，则摸到白球的概率，则该袋子中的白色球可能有：（个，故选：．【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．6．（4分）已知圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为A． B． C．4 D．2【分析】根据扇形面积公式求得半径，再根据求弧长；【解答】解：令扇形的半径和弧长分别为和，则，，．扇形的弧长为．故选：．【点评】本题考查了弧长的计算和扇形面积的计算．解答该题需要牢记弧长公式和扇形的面积公式．7．（4分）如图，若二次函数图象的对称轴为，与轴交于点，与轴交于点，点，则（1）二次函数的最大值为；（2）；（3）；（4）当时，．其中正确的个数是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴交点以及过特殊点时，相应的系数、、满足的关系进行综合判断即可．【解答】解：抛物线的对称轴为，过，抛物线与轴的另一个交点为，当时，，即为最高点，因此（1）正确；当时，，（2）不正确；抛物线与轴有两个不同交点，因此，故（3）不正确；由图象可知，当时，，因此（4）正确；综上所述，正确的有：（1）（4），故选：．【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，掌握抛物线的位置与相应的系数、、满足的关系是正确判断的前提．8．（4分）如图，为半圆的直径，是半圆上一点，且，设扇形、、弓形的面积为、、，则它们之间的关系是A． B． C． D．【分析】设出半径，作出底边上的高，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式表示出三个图形面积，比较即可求解．【解答】解：作交与点，，，则．；．在三角形中，，，，，，，，．故选：．【点评】此题考查扇形面积公式及弓形面积公式，解题的关键是算出三个图形的面积，首先利用扇形公式计算出第一个扇形的面积，再利用弓形等于扇形三角形的关系求出弓形的面积，进行比较得出它们的面积关系．9．（4分）某网店销售一款李宁牌运动服，每件进价100元，若按每件128元出售，每天可卖出100件，根据市场调查结果，若每件降价1元，则每天可多卖出5件，要使每天获得的利润最大，则每件需要降价的钱数为A．3元 B．4元 C．5元 D．8元【分析】设每件降价元，每天获得的利润为元，根据销售问题的数量关系表示出与之间的关系式，转化为顶点式即可．【解答】解：设每件降价元，每天获得的利润为，则．，时，，故选：．【点评】本题考查了利润问题的数量关系的运用，二次函数的解析式的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．10．（4分）如图，四边形是的内接四边形，，，的半径为，连接交于点，与相交于点，则图中阴影部分面积是A． B． C． D．【分析】根据四边形是的内接四边形得到，根据得到，从而求得，最后根据得到，根据得到，从而得到为直角，然后利用求解．【解答】解：四边形是的内接四边形，，，，，，，；，，，，在中，，，，，．故选：．【点评】本题考查了扇形面积的计算，圆内接四边形的性质，解直角三角形的知识，在求不规则的阴影部分的面积时常常转化为几个规则几何图形的面积的和或差．二、填空题（每题5分，5×6共30分）11．（5分）抛物线的顶点坐标是．【分析】根据抛物线的解析式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标．【解答】解：抛物线，该抛物线的顶点坐标为，故答案为：．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是根据抛物线的顶点式可以写出顶点坐标．12．（5分）两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，则两个指针同时落在偶数上的概率是．【分析】先画出树状图展示所有25种等可能的结果数，再找出两个指针同时落在偶数上所占的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有25种等可能的结果数，其中两个指针同时落在偶数上占6种，所以两个指针同时落在偶数上的概率．故答案为．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有等可能的结果数，再找出某事件所占有的结果数，然后根据概率公式计算这个事件的概率．13．（5分）若点是线段的一个黄金分割点，，且，则（结果保留根号）．【分析】根据黄金分割的定义列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，．故答案为：．【点评】本题考查了黄金分割，熟记定义：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比是解题的关键．14．（5分）在中，，，将绕点逆时针旋转后得到，则图中阴影部分的面积是．【分析】根据，再根据旋转的性质可得，然后利用扇形的面积公式计算即可得解．【解答】解：，，，由图可知，，由旋转的性质得，，．故答案为：．【点评】本题考查了扇形的面积计算，弧长公式，旋转的性质，熟记性质并求出阴影部分的面积等于扇形的面积是解题的关键．15．（5分）如图，已知的半径为5，弦，则上到弦所在直线的距离等于2的点有2个．【分析】作圆的直径于点，连接，根据勾股定理求出的长，求得、到弦所在的直线距离，与2比较大小，即可判断．【解答】解：作圆的直径于点，连接，，．，，，在劣弧上，没有到弦所在的直线距离为2的点；，在优弧上到弦所在的直线距离为2的点有2个，即圆上到弦所在的直线距离为2的点有2个．故答案为：2．【点评】本题考查了垂径定理，转化为、到弦所在的直线距离，与2比较大小是关键．16．（5分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，直线交轴正半轴于点，交抛物线的对称轴于点，若，则点的坐标为．【分析】由抛物线的解析式求得和对称轴，进而求得的坐标，然后根据待定系数法求得直线的解析式，把代入即可求得．【解答】解：由抛物线可知，对称轴为，，，，设直线的解析式为，，解得，直线为，当时，，．【点评】本题考查了二次函数的性质以及待定系数法求一次函数的解析式，利用抛物线的解析式求的坐标和对称轴是解题的关键．三.解答题（17，18，19每题8分；20，21，22每题10分；23题12分，24题14分）17．（8分）如图，在中，三个顶点的坐标分别为，，，（1）在网格中画出绕原点顺时针旋转后的图形△；（2）求出△的面积．【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出、、的对应点、、即可；（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△的面积．【解答】解：（1）如图，△为所作；（2）△的面积．【点评】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．18．（8分）已知：如图，，是的两条弦，平分．求证：．【分析】由平分可推得，进而推出，根据弦与弧之间的关系即可证得结论．【解答】证明：过点作于，于，过点作于，于，平分，，，．【点评】本题主要考了弧和弦的关系，角平分线的性质，关键在于正确的作出辅助线．19．（8分）在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字1，2，3的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字．请你用画树形图或列表的方法，求下列事件的概率：（1）两次取出小球上的数字相同的概率；（2）两次取出小球上的数字之和大于3的概率．【分析】（1）画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次取出小球上的数字相同的结果数，然后根据概率公式求解；（2）找出两次取出小球上的数字之和大于3的结果数，然后利用概率公式求解．【解答】解：（1）画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次取出小球上的数字相同的结果数为3，所以两次取出小球上的数字相同的概率；（2）两次取出小球上的数字之和大于3的结果数为6，所以两次取出小球上的数字之和大于3的概率．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．20．（10分）如图，在中，为直径，且，垂足为，，．（1）求半径的值；（2）点在直径上，连接，当时，直接写出的长，并在图中标出点的具体位置．【分析】（1）先根据垂径定理得出为的中点，再由勾股定理即可得出结论；（2）连接．因为，作点关于的对称点，点即为所求；【解答】解：（1）为直径，，．在中，，，，，解得；（2）如图，连接．，作点关于的对称点，点即为所求．．【点评】本题考查的是垂径定理，圆周角定理等知识，熟知垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．21．（10分）（1）已知，求的值．（2）已知线段，，求线段，的比例中项．【分析】（1）设，，得到，于是得到结论；（2）设线段是线段，的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．【解答】解：（1），设，，，；（2）设线段是线段，的比例中项，，，，，（负值舍去）．线段，的比例中项是．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．22．（10分）一张圆心角为的扇形纸板和圆形纸板按如图方式各剪得一个正方形，边长都为1，求扇形纸板和圆形纸板的面积比．【分析】先画出图形，分别求出扇形和圆的半径，再根据面积公式求出面积，最后求出比值即可．【解答】解：如图1，连接，四边形是正方形，，，，，由勾股定理得：，扇形的面积是；如图2，连接、，四边形是的内接四边形，四边形是正方形，，，，，，的面积是，扇形和圆形纸板的面积比是．【点评】本题考查了正方形性质，圆内接四边形性质，扇形的面积公式的应用，解此题的关键是求出扇形和圆的面积，题目比较好，难度适中．23．（12分）如图所示，在中，，厘米，厘米．点从点开始沿边向点以1厘米秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米秒的速度移动，当点