第8章 实数（大单元教学设计）-人教版(2024)七下

第八章实数大单元教学设计主备人课型新授时间课程标准课题第8章实数课时课时大单元主题背景分析（教材分析）1.知识体系中的地位：实数这一单元在初中数学知识体系里起着关键的衔接作用.在此之前，学生主要学习了有理数，对数的认知局限于有限小数、无限循环小数以及整数、分数的范畴.而实数章节将数的范围从有理数扩充到实数，引入了无理数，让学生对数的认识更加完整，为后续学习二次根式、一元二次方程以及解三角形等知识奠定了不可或缺的基础.从整个数学学习进程来看，也为高中数学中不等式、函数以及解析几何等大部分知识的学习做好准备，是学生数学学习道路上从基础向更高层次迈进的重要过渡阶段.2.教材内容编排逻辑：教材先从学生熟悉的平方运算出发，引出平方根的概念，让学生理解一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根.接着在平方根的基础上，类比引入立方根的概念，探究立方与开立方互为逆运算的关系以及互为相反数的两个数的立方根的关系.随后，通过回顾有理数的表示，引入无理数的概念，进而将数的范围扩充到实数，并阐述实数与数轴上的点一一对应的关系，最后介绍实数的简单运算，包括加、减、乘、除、乘方及开方运算，同时说明有理数的运算法则及运算性质在实数范围内同样适用.这种由浅入深、层层递进的编排方式，符合学生的认知规律，有助于学生逐步构建起关于实数的知识体系.3.数学思想方法渗透：在这一单元的学习过程中，蕴含着丰富的数学思想方法.例如，在探究平方根、立方根概念时，运用了从特殊到一般的归纳思想；在将数的范围从有理数扩充到实数过程中，体现了分类讨论思想；通过数轴表示实数，建立了数与形之间的联系，渗透了数形结合思想.这些数学思想方法不仅有助于学生更好地理解和掌握实数的相关知识，而且对于培养学生的数学思维能力，提升学生的数学素养具有重要意义，为学生今后学习更复杂的数学知识提供了有力的思维工具.学生在学习实数前已掌握有理数知识，能基于此理解实数概念与运算，也能领会乘方和开方的逆向关系，但逆向思维对部分学生仍有难度.进入七年级，学生们在学习过程中的自觉性和主动性相较于小学阶段有了较为明显的提升，他们开始展现出一定程度的自主学习能力以及探究学习的热情和潜力.然而，由于这个阶段的知识内容逐渐复杂，深度和广度都有所拓展，学生们在学习时难免会遇到各种困难和挑战.比如，无理数概念比较抽象，学生理解起来可能存在障碍；在进行实数运算时，由于涉及多种运算规则以及符号变化，部分学生容易出现计算错误.老师在他们困难的时候要适时地给予帮助，要多加鼓励，提高他们学习数学的兴趣.单元教学的目标一、知识与技能1.学生能够深入理解算术平方根、平方根、立方根的概念，熟练且准确地用根号表示数的算术平方根、平方根、立方根.例如，能快速写出25的平方根是±5，0.64的算术平方根是0.8等.2.清晰了解开方与乘方互为逆运算，能够灵活运用平方运算求百以内完全平方数的平方根，利用立方运算求千以内完全立方数（及对应的负整数）的立方根，并且熟练掌握用计算器计算平方根和立方根的方法.像求144的平方根、-27的立方根等能迅速且正确解答.3.透彻理解无理数和实数的概念，明确知道实数与数轴上的点一一对应这一重要关系，能够准确无误地求实数的相反数与绝对值.如给出实数-3，能马上说出其相反数是3，绝对值是3.4.可以熟练地用有理数估计一个无理数的大致范围.二、数学思考1.通过对平方根、立方根以及无理数、实数概念的探究学习过程，不断发展学生的抽象思维能力，使学生能够从具体的数学运算和实例中抽象出一般性的数学概念和规律.比如在从众多平方运算结果归纳出平方根概念的过程中，锻炼学生的抽象概括能力.2.在探索实数与数轴的对应关系以及实数运算规律等内容时，培养学生的逻辑推理能力，让学生学会依据已知的数学条件和规则，进行有条理的推理和论证.如在证明实数运算中有理数运算法则同样适用的过程中，提升学生的逻辑思维.3.借助对无理数的认识以及实数运算的学习，培养学生的数感，使学生对数字的大小、数量关系和运算结果有更敏锐的感知和判断能力.例如在估算无理数大小时，增强学生的数感.三、问题解决1.引导学生学会从数学的角度发现和提出关于实数的问题，能够运用所学的实数知识和方法对问题进行深入分析，并尝试寻找有效的解决策略.比如在实际生活中遇到与面积、体积相关的计算问题时，能转化为平方根、立方根的问题来解决.2.鼓励学生积极参与小组合作学习，在与他人共同解决实数相关问题的过程中，学会与他人合作交流，清晰准确地表达自己的观点和思路，同时也能够认真倾听并理解他人的思考方法和结论，不断提高团队协作能力和沟通能力.3.培养学生在解决问题后进行反思总结的习惯，让学生回顾解决问题的整个思考过程，分析所用方法的优劣，思考是否还有其他更简便、更有效的方法，从而不断积累解决问题的经验，提高解决问题的能力，逐步形成批判性思维和创新意识.四、情感态度1.通过介绍无理数的发现历史以及实数理论在数学发展中的重要地位等数学文化知识，激发学生对数学学习的浓厚兴趣和探索欲望，使学生感受到数学的魅力和博大精深.2.在学生解决一个个实数相关问题的过程中，让学生体验到成功的喜悦，增强学生学习数学的自信心，培养学生勇于克服困难的意志品质.3.引导学生认识到数学与现实生活紧密相连，实数知识在实际生活中有广泛的应用，从而让学生体会到数学的实用价值，提高学生学习数学的积极性和主动性，培养学生用数学眼光观察世界、用数学思维分析世界、用数学语言表达世界的意识.学习活动设计活动一平方根活动二立方根活动三实数学习评价设计1.课堂表现：密切观察学生在课堂上的参与度，包括是否积极主动回答问题、参与小组讨论的活跃度和贡献度等.对于那些积极思考、勇于发表独特见解的学生给予及时的口头表扬；对于参与度不高的学生，课后进行沟通交流，了解原因并鼓励他们积极参与课堂互动.2.作业完成情况：认真批改学生的日常作业，对作业完成质量高、准确率高且书写规范的学生，在作业本上给予书面表扬，并在课堂上展示优秀作业；对于作业中出现的共性问题，在课堂上进行集中讲解；对于个别学生的问题，进行单独辅导.同时，根据作业情况分析学生对知识的掌握程度，及时调整教学进度和方法.3.小组合作评价：在小组合作学习活动中，观察小组内成员的分工协作情况、团队凝聚力以及问题解决能力等.每个小组推选一名组长，对小组内成员的表现进行评价，评价内容包括参与讨论的积极性、对小组的贡献、团队协作精神等方面.教师综合组长评价和自己的观察，对表现优秀的小组给予奖励，如颁发小组荣誉证书等，激励学生更好地参与小组合作学习.反思性教学改进（一）教学过程反思1.在教学过程中，关注学生对概念的理解程度.例如，在讲解平方根概念时，部分学生可能对一个正数有两个平方根的理解存在困难，教师应及时调整教学方法，可通过更多具体的实例，如边长为4的正方形面积为16，那么16的平方根就是±4，让学生直观地感受平方根的概念.同时，增加课堂互动环节，让学生自己举例说明平方根的情况，加强学生对概念的理解和记忆.2.对于实数运算部分，部分学生容易出现运算错误.教师要反思教学中是否对运算规则的讲解不够清晰，练习量是否不足.在后续教学中，可针对学生容易出错的地方，如符号问题、运算顺序问题等，进行专项练习，并加强对运算规则的强调和解释，通过对比不同运算类型的题目，让学生明确运算规则的适用范围.（二）教学方法改进1.针对学生的学习特点和知识掌握情况，尝试采用多样化的教学方法.除了传统的讲授法外，增加探究式教学、情境教学等方法的应用.例如，在讲解实数与数轴的关系时，创设一个在数轴上寻找无理数对应点的情境，让学生通过小组合作探究的方式，尝试在数轴上表示出像3这样的无理数，通过实际操作和探究，让学生更深刻地理解实数与数轴上的点一一对应的关系.2.充分利用现代信息技术辅助教学，如利用数学软件制作动态演示课件，展示平方根、立方根的运算过程以及实数在数轴上的表示等，使抽象的数学知识更加直观形象，便于学生理解和掌握.同时，借助在线学习平台，为学生提供更多的学习资源和练习题目，满足不同学生的学习需求，实现个性化教学.单元教学结构图教学设计课题实数学习活动设计教师活动学生活动设计意图复习引入思考：从小学到初中我们学过哪些基本运算？加法：3+4=7减法：7−4=3乘法：4×6=24除法：24÷4=6平方：32=9

(−3)2=9将9逆运算回去得到原来的数字3或-3教师：它们互为逆运算填空：思考：反过来，如果已知一个数的平方，

怎样求这个数呢？思考：如果一个数的平方等于9，这个数是多少？完成下列表格.一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.例如，3和-3是9的平方根，简记为±3是9的平方根.思考：下列说法是否正确？(1)0的平方根是0.(2)1的平方根是1.(3)-1的平方根是-1.(4)0.01是0.1的一个平方根.已知一个数，求它的平方的运算，叫做平方运算.反之，已知一个数的平方，求这个数的运算叫什么？求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.例1.求下列各数的平方根：(1)100；

(2)9/16；

(3)0.25.若一个数的平方等于a,则这个数叫做a的平方根.若x2=a，则x是a的平方根思考：1.144的平方根是什么？2.0的平方根是什么？3.4/25的平方根是什么？4.-20有没有平方根？为什么？特别注意：1.正数有两个平方根，两个平方根互为相反数.2.0的平方根还是0.3.负数没有平方根.思考：下列说法是否正确，并说明理由．（1）49的平方根是7；（2）2是4的平方根；（3）-5是25的平方根；（4）64的平方根是±8；（5）-16的平方根是-4．思考：7，例2.分别求下列各数的平方根：（1）36；（2）1.21.例3.一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，求这个数．例4.求下列各式中x的值.(1)x2-49=0； (2)25-64x2=0； (3)4(1-2x)2-1=0.我们知道，正数a有两个平方根，其中正的平方根a叫作a的算术平方根.正数a的算术平方根用a来表示.规定：0的算术平方根是0.0的平方根也记为0.例如：①5是25的算术平方根.②0.1是0.01的算术平方根.归纳总结：平方根等于本身的数是，算术平方根等于它本身的数是，算术平方根和平方根相等的数是.思考：平方根与算术平方根有什么区别和联系？练习：说出下列各式的意义，并求它们的值：例5.例6.例7.求下列各数的算术平方根和平方根.归纳总结：求一个正数a的算术平方根和平方根的方法先找出平方等于这个正数a的数，这样的数有两个，它们互为相反数，这两个数均为这个正数a的平方根，其中正的平方根为这个正数a的算术平方根.另外，当这个正数a为带分数时，一般先将其化为假分数，再求其平方根；当有乘方运算时，先用乘方运算求出结果，针对结果再求平方根；当这个正数a不能写成有理数的平方的形式时，其平方根应表示为±a.例8.例9.如果将一个长方形ABCD折叠，得到一个面积为144cm2的正方形ABFE，已知正方形ABFE的面积等于长方形CDEF面积的2倍，求长方形ABCD的长和宽.课堂总结：通过本节课的学习你学会了什么？由什么样的收获和疑问？课后练习1.若8xmy与6x3yn的和是单项式，则(m+n)3的平方根为()A.4 B.8

C.±4 D.±82.下列说法不正确的是（）A.0的平方根是0B.-22的平方根是2C.正数的平方根互为相反数D.一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数3.求下列各数的平方根：（1）25；

（2）0.81;

（3）15；4.已知2a-1的平方根为±3，3a-2b的算术平方根为2，求4a-b+2的平方根.学生根据老师的提问完成计算，然后认真观察结果，并将自已的想法在班级内交流.从前面我们知道，这个数可以是3.除了3以外，还有没有别的数的平方也等于9呢？由于(−3)2=9，这个数也可以是-3.因此这个数是3或-3.学生填图，并听老师介绍开平方运算.让学生多思、多说来充分暴露他们所出现的问题.（1）√（2）×（3）×（4）×例题教学是使学生掌握知识，形成技能，发展智力的重要手段，上述例题设计做到了有层次、有梯度、难易适当，从而使不同层次的学生都能主动参与并提出各自解决问题的方法.学生先审题，然后认真听老师的讲解后，独立完成例题.0没有，因为一个数的平方不可能是负数.（1）×（2）√（3）√（4）√（5）×7表示7的正的平方根-7表示7±7表示7解：由于一个正数的两个平方根是2a＋1和a－4，则有2a＋1＋a－4＝0，即3a－3＝0，解得a＝1.所以这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9.（1）√（2）×（3）×（4）×（5）√00,10学生回答老师的提问，并听老师讲解算术平方根、平方根的表示方法、读法、平方根的性质及平方根与算术平方根的联系与区别.B跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.学生回顾总结学习收获，归纳本节课所学知识，教师系统归纳.归纳小结是巩固新知不可缺少的环节之一，此环节对培养学生的归纳能力、自我获取知识的能力和语言表达能力都十分重要.本节课我采用让学生谈学习收获的方式对所学知识进行归纳，重点是让学生用自己的语言谈对本节课的理解.学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流.学生认真做课堂练习.通过课堂习题练习，进一步理解并掌握新知.DB这一环节主要是复习旧知识和提出问题,由上节课的“算术平方根”的求法使学生能明白“平方”和“算术平方根”的关系,过生活中的具体问题激发学生的学习兴趣,并让他们产生解决问题的强烈欲望.成“平方根”的概念．在列举一些具体数据的感性认识基础上，由平方运算反推出平方根的概念和定义.让学生非常熟练地进行平方和平方根之间的互化并，明白它们之间的互逆关系，辨析概念“平方根”与“算术平方根”的区别与联系，使之与上一节课紧密联系．由于遵循了从具体到抽象的过程，注重学生原有认知基础的回顾，并和原有的概念进行了比较与辨析，因此，学生对这一抽象的概念掌握得比较牢靠．了解开平方运算的概念.掌握求一个数的平方根或算术平方根了解算术平方根、平方根的表示方法，探究平方根的性质.让学生认识到算术平方根定义中的两层含义:中的a是一个非负数,a的算术平方根也是一个非负数,负数没有算术平方根.这也是算术平方根的性质——双重非负性.再一次深入地认识算术平方根的概念,明确只有非负数才有算术平方根.帮助学生加强记忆知识.在教师的引导下，学生自主对本节课的所学内容进行归纳小结，使所学的知识及时的纳入学生的认知结构.借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.活动一：

平方根活动二：立方根情景引入2025年春节期间，车厘子口味独特，收到人们的喜爱，其价格也持续走高.通常由海运运往国内销售，如果运送车厘子的箱子为正方体，大箱子的体积为1000立方米，那么你能求出大箱子的棱长吗？思考：要做一个体积为8cm3的正方体模型（如图），它的棱长要取多少？要做大小不同的正方体模型(如图),正方体棱长如下所示，你能求出它们的体积吗？思考：已知正方体棱长求正方体体积这是做的什么运算呢？思考：反之，要做大小不同的正方体模型(如图),正方体体积如下所示，你能求出它们的棱长吗？.思考：类比平方根的定义，你可以对上表中四对数之间的关系给出新的数学概念吗？一般地，如果一个数x的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.即：如果x3=a，那么x叫做a的立方根.a的立方根记作3a，读作“立方根号a”或“三次根号a思考：以下说法是否正确？1.任何有理数都有立方根，它不是正数就是负数；2.非负数的立方根还是非负数；3.一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1；4.3a5.一个数的立方根有两个，它们互为相反数；6.27的立方根的平方根是.思考：（1）2的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是8?（2）-3的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是-27?（1）2的立方等于8，除2以外，没有其他数的立方等于8.（2）-3的立方等于-27，除-3以外，没有其他数的立方等于-27.思考：(1)正数有几个立方根？(2)负数有几个立方根？(3)0有几个立方根？思考：正数、0和负数的的平方根和立方根各有什么特点？思考：平方等于本身的数：立方等于本身的数：平方根等于本身的数：算术平方根等于本身的数：立方根等于本身的数：填空，你能发现其中的规律吗？例1.求下列各数的立方根：； （2）；

（3）；（4） ；（5）． 思考：怎么求一个数的立方根?做开平方或开立方运算时，一般都是利用它们的定义，运用平方或立方法去掉根号；当被开方数不是单独一个数时，则需先将它们进行化简，再进行开方运算．思考：（1）表示a的立方根，那么等于什么？呢？（2）与有何关系？例2.求下列各式的值：（1）（2）

（3）；（4）．例3.求下列各式中x的值：例4.已知

且y−4的平方根是它本身，求xy的立方根.例5.有两个正方体形的纸盒，第一个纸盒的棱长是6cm，第二个纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127cm3.求第二个纸盒的棱长.本课小结通过本节课的学习，你有哪些收获？立方根：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也叫做a的三次方根.记作读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数．立方根与平方根比较：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零．一个正数有一正一负两个平方根；负数没有平方根；零的平方根是零．当堂练习1、一个数的立方根等于它本身，这个数是（）A．0B．1

C．0或1D．0或±12、下列选项中正确的是（）A．27的立方根是±3B．的平方根是±4C．9的算术平方根是3D．立方根等于平方根的数是13、下列说法错误的是（）A．5是125的立方根B．±4是64的立方根C．-2是-8的立方根D．0是0的立方根4、求下列各数的立方根：125，-8，，64．5、求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．用多媒体展示图片和课件让学生动手做一做.在做的过程中引导学生思考，利用体积等于边长的立方，将此题转化为求一个数使它的立方等于1000，得出边长为10.学生分组讨论，相互交流，再总结定义，最后由教师补充.立方运算学生积极回答老师的提问.学生思考作答，相互交流，教师点评.1.×2.√3.×4.×5.×6.√引导学生观察被开方数、根指数及运算结果之间的关系，从而得出立方根的性质；也可以安排学生分小组讨论，通过交流，展示学生发现的规律；若学生的讨论不够深入，可由教师补充得出结论．若学生通过上面的计算得出了立方根的性质，可以直接展示学生的成果；若没有得出结果，可以引导学生分析，学生举手回答学生认真审题后回答问题，并观察老师的板书后独立书写例题及练习题，然后班内交流解：（1）因为，所以的立方根是，即；（2）因为，所以的立方根是，即；（3）因为，所以的立方根是，即；（4）因为，所以的立方根是，即；（5）的立方根是．探究立方根的性质，并与平方根的性质对比．如果=a,那么x就是a的立方根，即x=,所以==a,同样，根据定义，是的a三次方，所以的立方根就是a,即，=．解：（1）=；（2）=；（3）=；（4）=9．跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.对本节课的知识点进行归纳．学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流.通过实际情境引入,让学生感受新知学习的必要性,激发学生的求知欲望.在思考问题的同时,学生既感受了数学的应用价值,激发了学生的学习热情,又很快将问题归结为如何确定一个数,从而顺利引入新课.在这里让学生原有的知识和经验出发，引导学生通过类比、思考、探索、交流来获取知识和学会学习，同时让学生经历数学知识的形成与应用过程，使他们更好地理解数学概念的形成，发展他们的数学能力.通过小组讨论合作交流，归纳得出立方根的性质.这样让学生通过探究活动经历了一个由特殊到一般的认识过程，在探究的过程中发展思维能力，有效的改变学生旧有学习方式.例题采取学生自己先动手做，再由教师点评，最后师生共同小结的方式完成.这种师生互动的形式激发了学生学习的热情，使学生主动地获取了知识和技能.掌握利用立方运算来求一个数的立方根的方法.教师引导学生先分析每个式子所表示的意义再填空.通过这个活动，让学生大胆猜想，训练学生由浅入深，从特殊情形总结一般规律的能力，进一步熟悉立方根的求法，总结出负数立方根的一个重要性质：=-.通过具体的举例计算，让学生感受到一个数的立方根的唯一性，在小组合作交流中发展自主探索知识的能力．进一步提高学生的计算能力，突出了立方根和平方根的对比，以利于弄清两者的区别和联系．培养学生归纳总结的能力，通过求一个数的立根提高学生运算的能力．通过练习，掌握求一个数的立方根的方法．借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.活动三：实数思考:我们知道有理数包括整数和分数，利用计算器把下列分数写成小数的形式，它们有什么特征？思考:整数能写成小数的形式吗？3可以看成是3.0吗？由此你可以得到什么结论？思考:所有的数都可以写成有限小数和无限循环小数的形式吗？定义：无限不循环小数叫做无理数．判断标准：小数位数无限，小数形式为不循环．三种常见形式：(1)开方开不尽的数的方根，如：3，(2)π及化简后含π的数，如：π/2，π+1等；(3)具有特殊结构的数，如：0.3030030003…(相邻两个3之间依次多一个0).思考：无理数与有理数的区别(1)任何有理数都能化成分数(整数可以看成分母是1的分数)，无理数不能化成分数.(2)任何一个有理数都可以化成有限小数(把整数看成小数点后是0的小数)或无限循环小数，无理数是无限不循环小数.像有理数一样，无理数也有正负之分.例如，3，35，π是正无理数，-【溯源】无理数是不能写成两个整数之比(分数)的数，它和有理数一样，都是现实世界中客观存在的量的反映.我国古人对无理数已经有了很多认识.《九章算术》中用“面”来表示开平方开不尽的数.刘徽在其著作《九章算术注》中，不仅记录了包含无理数运算的问题，而且给出了用有限小数无限逼近无理数的算法“求微数法”.思考：你还记得有理数的分类吗？您能类比有理数的分类对实数进行分类吗？实数的概念：有理数和无理数统称实数．实数的分类有不同的方法，但不论用哪一种分类方法，都要做到不重不漏.例1.把下列各数填入相应的集合内注意：(1)对实数进行分类时，某些数应先进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类，不能看到带根号的数，就认为是无理数，不能看到有分数线的数，就认为是有理数.(2)在实数范围内，一个数不是有理数，那么它一定是无理数，反之亦成立.我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示，那么无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O'，点O'对应的数是多少？思考：你能在数轴上表示出2和-2把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，得到一个大正方形，大正方形的边长为2，从而说明边长为1的小正方形的对角线长为2.实数与数轴间的关系：实数和数轴上的点是一一对应的．两层含义：(1)每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；(2)数轴上的每一个点都表示一个实数．例2.如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为－1和3，点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数．与有理数一样，实数也可以比较大小：与有理数规定的大小一样，数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.与有理数一样，在实数范围内：1.正数大于零，负数小于零，正数大于负数；2.两个正数，绝对值大的数较大；3.两个负数，绝对值大的数反而小.例3.比较32−1与1+22的大小.思考：用字母来表示有理数的加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律.思考：在实数范围内，相反数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、绝对值的意义完全一样．填空：教师总结：填空:在实数范围内1.运算类型：加、减、乘、除、乘方和开方运算（开平方仅限非负数）2.运算法则：与有理数的运算法则相同3.运算律：有理数的运算律在实数范围同样适用4.运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号的先算括号里面的.例4.求下列各数的绝对值：例5.计算下列各式的值：例6.如图，长方形内两个正方形的面积分别为3cm2，1cm2.(1)求长方形的周长；(2)求图中两块阴影部分的面积和.课堂小结谈一谈这节课有什么收获？一、实数定义二、实数分类：或三、实数的相关概念与运算：相反数倒数绝对值运算实数和数轴上的点一一对应实数混合运算顺序：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．如果遇到括号，则先进行括号里的运算．可以利用运算法则和运算律简化运算过程．当堂练习1.下列说法错误的是（）A.正整数和正分数统称正有理数B.两个无理数相乘的结果可能等于零C.正整数，0，负整数统称为整数D.3.1415926是小数，也是分数2.下列说法不正确的是 （）A.-7的相反数是7B.7-3的绝对值是C.2是4的平方根D.-33是3.如图，在数轴上点A和点B之间的整数是．4.(1)正实数的绝对值是_________，

0的绝对值是_______，

负实数的绝对值是_____________.(2)3的相反数是_______，

绝对值是_______．(3)绝对值等于5的数是________，-7的平方是_______5.把下列各数填入相应的集合内：-9，3（1）有理数集合：{…}（2）无理数集合：{…}（3）整数集合：{…}（4）负数集合：{…}（5）分数集合：{…}（6）实数集合：{…}6.计算：（1）；（2）；（3）．7.某地气象资料表明：某地雷雨持续的时间t（h）可以用公式来估计其中d（km）是雷雨区域的直径．雷雨区域的直径为8km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？学生思考作答：它们都可以化成有限小数或无限循环小数的形式有理数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.不是.如：

π=3.1415926535897932384626…1.01001000100001…（两个1之间依次多一个0）理解无理数与有理数的区别强化文化自信让学生讨论回答，形成共识：实数也可以分为正实数、0、负实数，并体会到了分类中不能出现遗漏和重复的要求.学生思考，解决问题学生解答，小组订正理解有理数大比较大小方法学生独立完成，教师板书回顾有理数的运算律及运算法则．加法交换律：a＋b=b＋a加法结合律：(a＋b)+c=a+(b＋c)乘法交换律：ab=ba乘法结合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：a(b＋c)=ab＋ac学生独立思考学生借助数轴思考回答：学生类比有理数中相关概念，体会到了实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义.举手抢答学生回忆有理数的运算法则和运算律,比较一下,在实数范围内,这些运算法则和运算律是否适用由学生自己独立思考完成，并找出做的好的同学谈谈自己的思路和见解.对本节课的知识点进行归纳．学生回顾总结学习收获，归纳本节课所学知识，教师系统归纳.学生认真做课堂练习.通过课堂习题练习，进一步理解并掌握新知.回顾以前学习过的内容，为进一步学习引入无理数后数的范围的扩充作准备.在实数概念形成的基础上对实数进行不同的分类.引导学生类比有理数的分类方法对实数进行两种分类，启发学生综合定义和符号两种标准将实数进一步分类，让学生去发现，培养学生类比思想和分类思想.探讨用数轴上的点来表示实数，将数和图形联系在一起，让学生进一步领会数形结合的思想，利用数轴也可以直观地比较两个实数的大小.在实数范围内,相反数、倒数和绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数和绝对值的意义完全一样.从复习入手，类比有理数中的相关概念，建立实数的相反数、倒数和绝对值等概念，它们的意义和有理数范围内的意义是一致的，并动手实践.学生类比有理数中相关运算，体会到了实数范围内的运算及运算律.在教师的引导下，学生自主对本节课的所学内容进行归纳小结，使所学的知识及时的纳入学生的认知结构.培养学生归纳总结的能力，提高学生计算的能力．这个环节是巩固本课知识点，通过设置一组由浅入深的练习，来检测学生的掌握情况，在这部分的设计中，主要是发挥学生作为教学主体的主动性，让学生感受学习的乐趣和成功的喜悦.单元作业设计A组1．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查的是实数与数轴，熟练掌握数轴上各点的分布和从数轴上提取已知条件是解题的关键．由数轴可知，，得，，由此逐一判断各选项即可．【详解】解：解：由数轴可知，，∴，，A、由数轴可知，，那么的范围是，而的范围是，所以，该选项错误，不符合题意；B、因为，根据不等式两边同时乘以，不等号方向改变，可得，所以该选项错误，不符合题意；C、由于，根据不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，可得所以该选项错误，不符合题意；D、因为，所以的范围是，则的范围是；又因为，所以的范围是，则的范围是．所以，故此选项符合题意；故选：D．2．在实数范围内，定义新运算“☆”：，例如：．如果，则的值是（

）．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】本题考查了定义新运算、一元一次方程，理解新定义是解题的关键．根据新定义可得，即可解出的值．【详解】解：，，，解得：．故选：B．3．在实数，，，，中，无理数的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题主要考查了求立方根，无理数的定义：无限不循环小数为无理数，注意带根号的要开不尽才是无理数．利用无理数是无限不循环小数分析求解即可求答【详解】解：，，，是有理数；，，为无理数，共2个，故选：B．4．下列说法正确的是（

）A．是的算术平方根 B．的立方根是C．的平方根是 D．是的算术平方根【答案】B【分析】此题考查了平方根和立方根的定义与性质，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义，根据平方根和立方根的定义和性质对选项逐个判断即可．【详解】解：A.是的算术平方根，故该选项不正确，不符合题意；

B.的立方根是，故该选项正确，符合题意；C.的平方根是，故该选项不正确，不符合题意；D.是的算术平方根，故该选项不正确，不符合题意；故选：B．5．在下列实数中，最小的是（）A． B． C．0 D．【答案】B【分析】本题主要考查了实数比较大小，熟练掌握法则是解题的关键；根据实数比较大小的方法进行求解即可．【详解】解：∵正数大于，大于负数，，，，∴和不是最小的，故C、D选项不符合题意，∴最小的数在负数中，，．∵，∴．∴最小的数是；故选：B．6．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了实数与数轴，实数的加法、实数的乘法运算，先由数轴得，再运算出，，即可作答．【详解】解：结合数轴得，故A选项不符合题意；∴，故B选项符合题意；则，，故C选项和D选项不符合题意；故选：B7．若，则（

）A． B．3 C． D．9【答案】B【分析】本题考查代数式求值，涉及算术平方根运算、立方根运算，先由条件求出的值，代入代数式，由立方根运算求解即可得到答案．熟记算术平方根运算、立方根运算是解决问题的关键．【详解】解：由得；由得，，故选：B．8．下列说法正确的是（

）A．表示25的算术平方根 B．表示2的算术平方根C．2的算术平方根记作 D．2是的算术平方根【答案】A【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的意义可得答案．【详解】A、表示25的算术平方根，故A正确；B、不是2的算术平方根，故B错误；C、2的算术平方根为，故C错误；D、是2的算术平方根，故D错误；故选：A．9．与互为相反数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．【详解】解：与互为相反数，故选：B．10．下列四个数中，是无理数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）．据此逐项分析即可．【详解】解：A．是有理数中的小数，故不符合题意；B．是有理数中的整数，故不符合题意；C．是有理数中的分数，故不符合题意；D．是无理数，故符合题意；故选D．11．如图，在数轴上点表示的实数可能是（

）A． B． C．2.4 D．1.6【答案】B【分析】此题考查了数轴，解题关键在于结合数轴进行解答．根据数轴得到，再结合选项即可求解．【详解】解：由数轴可得，故符合题意的只有B，故选：B．12．计算：．【答案】【分析】该题考查了实数的运算，先计算平方根，再合并即可．【详解】解：原式．故答案为：．13．已知x，y满足，则的值为．【答案】【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，根据题意得出，进而求得的值，代入代数式，即可求解．【详解】解：∵，∴，∴∴，故答案为：．14．为的整数部分，则的值为．【答案】【分析】本题考查实数的估算，掌握实数的估算方法是解题的关键；本题根据实数估算的知识进行作答，即可求解；【详解】解：∵，即，为的整数部分，∴故答案为：．15．化简：．【答案】【分析】本题考查了立方根．根据立方根的定义求解即可．【详解】解：，故答案为：．16．整数a满足，则整数a的值为．【答案】4【分析】本题考查了无理数的大小估算，求一个数的算术平方根与哪个整数最接近，就要看被开方数的值在哪两个相邻正整数的平方之间，与被开方数的差值较小的那个正整数的算术平方根即为与其最接近的整数．【详解】解：，，即，整数a的值为，故答案为：4．17．的相反数是，的倒数是．【答案】//【分析】本题考查了实数的性质，求一个数的立方根，倒数和相反数的定义，掌握以上知识是解题的关键，根据求一个数的立方根，倒数和相反数的定义进行求解．【详解】解：的相反数是；的倒数是故答案为：；．18．计算：【答案】【分析】此题考查了实数的混合运算．利用绝对值、乘方、立方根进行计算即可．【详解】解：19．计算：【答案】【分析】本题考查了实数的混合运算，算术平方根，立方根．根据立方根，算术平方根的定义化简，实数的混合运算进行计算即可求解．【详解】解：．20．如图，将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处．(1)点A表示的数为_______；点B表示的数为_______．(2)请你阅读以下材料，并完成作答：，，的整数部分为2，小数部分为．根据以上材料可得点B所表示的数的整数部分为_______，小数部分为_______．(3)小星想用面积为10的正方形纸片裁出一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为，他能裁出来吗？请帮他判断并说明理由．（参考数据：，．）【答案】(1)，(2)2，(3)他不能裁出来，理由见详解【分析】本题考查了无理数的估算，实数与数轴，算术平方根的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）根据面积分别为10和5的正方形纸片，得边长为，再运用数形结合思想，即可作答．（2）模仿题干过程，则，即的整数部分为2，小数部分为，即可作答．（3）先列式，则，则长方形纸片的长为，根据，，故，进行作答即可．【详解】（1）解：∵将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处．则面积分别为10和5的正方形纸片的边长为．∴∴点A表示的数为；点B表示的数为，故答案为：，；（2）解：由（1）得点B表示的数为，依题意，，，的整数部分为2，小数部分为．∴点B所表示的数的整数部分为2，小数部分为；故答案为：2，；（3）解：他不能裁出来，理由如下：依题意，设长方形纸片的长为，∵一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为，∴宽为，，则，∴（负值已舍去）则长方形纸片的长为，∵，∴，依题意，面积为10的正方形纸片的边长为，且∵即，∴他不能裁出来．21．（1）计算：．（2）解方程：．【答案】（1）；（2）或．【分析】本题考查实数的运算以及平方根的含义和求法，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．熟练掌握运算法则是解题关键．（1）首先计算乘方、开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．（2）先移项，求出，再根据平方根的性质得出两个一元一次方程，解方程求出的值即可得答案．【详解】解：（1）．（2）或，∴或．22．计算：(1)(2)【答案】(1)6(2)【分析】此题考查了绝对值，算术平方根，立方根和有理数的乘方，解题的关键是掌握以上运算法则．（1）首先计算算术平方根，立方根和有理数的乘方，然后计算加法即可；（2）首先计算算术平方根，立方根和化简绝对值，然后计算加减即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．B组1．如图，这是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（）行的数据的个数是解题的关键．观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出行的数据的个数，再加上得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可。【详解】前行的数据的个数为，所以，第10行从左到右数第7个数的被开方数是，所以，第10行从左向右数第7个数是．故选B．2．已知：a的平方根是它本身，的立方根是3，的算术平方根是4．(1)直接写出a，b，m的值；(2)求的平方根；(3)若的整数部分是x，小数部分是y，计算的值．【答案】(1)，，；(2)；(3)．【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根的定义，无理数的整数部分和小数部分等知识，掌握相关知识是解题的关键．（1）根据平方根、立方根、算术平方根的定义即可求解；（2）根据平方根的定义即可求解；（3）通过估算确定无理数的整数部分和小数部分，代入即可求解．【详解】（1）解：∵a的平方根是它本身，∴，∵的立方根是3，∴，解得：，∵的算术平方根是4，∴，解得：；（2）解：∵，，，∴，∵的平方根是，∴的平方根是；（3）解：∵，，∴，∵，即，∴的整数部分为，小数部分为，∴．3．如图，某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积为的正方形空地上建一个排球场．已知排球场的面积为，其中长和宽的比为．(1)分别求出排球场的长和宽；(2)若排球场的左右两侧必须留出至少宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个排球场？【答案】(1)宽为，长为(2)能按规定在这块空地上建一个排球场【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，解题的关键在于能够根据题意求出排球场的长和宽．（1）先设排球场的宽为，则长为，列出方程求得排球场的长和宽；（2）求出正方形空地的边长，再结合题意即可判断能否按规定在这块空地上建排球场了．【详解】（1）解：设排球场的宽为，则长为，则，即，解得：（负值已舍去），即，排球场的宽为，长为；（2）解：能按规定在这块空地上建一个排球场，理由如下：正方形空地的面积为，正方形空地的边长为，排球场的左右两侧必须留出至少宽的空地，，，能按规定在这块空地上建一个排球场．C组1．我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，则有．下列说法中正确的有（

）个①；②；③；④若，且，则或A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】本题主要考查新定