五年级下册数学“因数与倍数”单元核心概念建构教案

五年级下册数学“因数与倍数”单元核心概念建构教案

设计者：[此处可填写学校或设计团队名称，例如：XX市教育科学研究院小学数学研究室]

适用学段与年级：小学五年级下学期

教材版本：人教版

课时安排：建议4-5课时（本设计涵盖核心概念引入与建构部分，约2课时）

一、课标依据与前沿理念解读

本节内容隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“数与代数”领域“数与运算”主题下的“数的认识”部分。课标明确指出，要引导学生“经历从具体情境中抽象出数的过程，理解数的意义；能进行简单的整数四则运算，理解运算的意义”。因数和倍数的概念是整数理论的基础，是理解数的整除性、质数、合数、最大公因数、最小公倍数的基石，同时也是后续学习分数通分、约分，乃至代数因式分解的思维准备。

当前数学教育的前沿理念强调：

1.概念建构的生成性：知识不应是被动灌输的符号，而应是学生在具体操作、观察比较、归纳推理中主动建构的心理意义。因数与倍数源于两个整数的整除关系，必须让学生在大量的算式辨析中自我发现、总结规律。

2.思维发展的进阶性：教学设计需遵循学生从具体到抽象、从单一到关联的认知规律。应从具体的除法算式或乘法算式入手，抽象出概念，进而探讨因数与倍数相互依存的关系，再拓展到探索一个数的因数、倍数的特点与求法。

3.核心素养的渗透性：本单元是培养“数感”、“推理意识”和“抽象能力”的绝佳载体。寻找因数、倍数有助于深化对整数性质的理解（数感）；探究因数、倍数的规律需要观察、归纳、演绎（推理意识）；从具体算式中剥离出纯粹的数学关系并加以符号化表达（抽象能力）。

4.跨学科视野的融合性：因数与倍数的概念在计算机科学（加密算法基础）、音乐（和弦频率比）、艺术（图案周期排列）及日常生活（分组、包装、周期规划）中均有广泛体现。教学设计应适度揭示这些联系，展现数学的普适性与工具价值。

二、学情深度分析

已有认知基础：

1.学生熟练掌握了表内、表外乘除法计算，能正确进行整数乘除运算。

2.理解了“平均分”、“整除”的初步含义，能够判断简单的除法算式是否整除。

3.具备一定的观察、分类和简单归纳的能力。

潜在认知难点与迷思概念：

1.概念关系的颠倒与混淆：极易混淆“谁是谁的因数，谁是谁的倍数”，对“相互依存”关系理解不深。

2.概念的孤立化：可能将“因数”、“倍数”视为两个孤立的概念，难以建立“整除”这一核心关系作为联结桥梁。

3.寻找因数、倍数时的遗漏与无序：寻找因数时缺乏有序思考的策略（如成对寻找），导致遗漏；寻找倍数时对“无限性”体验不足。

4.与生活用语冲突：日常生活中“倍”常用于表示“多”（如“你的力气比我大一倍”），与数学中“倍数”的精确含义（基于整数乘）存在差异。

学习心理特征：五年级学生抽象逻辑思维开始加速发展，乐于接受挑战性任务，但需具体素材支撑思考。他们渴望发现规律，享受“侦探”般的推理过程。

三、单元整体教学目标

1.知识与技能：

1.理解因数与倍数的意义，能结合具体实例准确表述两个数之间的因数、倍数关系。

2.掌握找一个数的因数和倍数的方法，能有序、不重复、不遗漏地找出一个数的所有因数和指定范围内的倍数。

3.了解一个数的因数个数有限、倍数个数无限的特性。

4.初步感知质数（素数）、合数的概念（为后续课时铺垫）。

2.过程与方法：

1.经历从大量乘除法算式中抽象出因数与倍数概念的过程，发展抽象概括能力。

2.通过动手操作（如拼长方形）、小组合作探究，体验有序寻找因数的策略，培养思维的条理性。

3.在探索因数、倍数特征的过程中，学习观察、比较、归纳等数学方法。

3.情感、态度与价值观：

1.在探究活动中体验数学的严谨性和规律性，增强学习数学的兴趣和自信心。

2.感受因数、倍数知识与现实生活的联系，体会数学的价值。

3.初步养成乐于思考、言必有据的科学态度。

四、教学重难点剖析

1.教学重点：理解因数与倍数的意义及其相互依存的关系；掌握求一个数的因数和倍数的方法。

2.教学难点：因数与倍数概念的抽象建立过程；有序、完整地求出一个数的所有因数；理解倍数个数的无限性。

五、教学准备与资源设计

1.教师准备：

1.2.多媒体课件（包含动态演示、生活情境图、探究任务单）。

2.3.实体数字卡片（1-30）、可供拼摆的长方形单位方格纸（或磁性小正方形）。

3.4.“因数倍数关系”概念图模板（课堂生成用）。

4.5.设计分层探究任务单与课堂即时反馈工具（如迷你白板、应答器）。

6.学生准备：预习教材相关部分，准备练习本、彩笔。

六、教学过程实施详案（第一、二课时：概念建构与求法探究）

第一课时：因数与倍数概念的生成与关系建构

环节一：情境锚定，关联旧知——在“整装待发”中激活经验（约8分钟）

1.生活化情境导入：

1.2.课件呈现：学校运动会即将举行，五（1）班有36名同学需要分组进行队列训练。老师要求每组人数相同，且至少2组。可以怎样分组？

2.3.问题驱动：“每组人数相同”是什么意思？你能想到几种分组方案？请用算式表示出来。

3.4.学生活动：独立思考，在草稿纸上列出方案。预设学生列出：36÷2=18（组），每组2人；36÷3=12（组），每组3人；36÷4=9；36÷6=6；36÷9=4；36÷12=3；36÷18=2。可能还有36÷1=36。

4.5.教师引导：这些除法算式有什么共同特点？（被除数、除数、商都是整数，没有余数）像这样，整数除以整数，商是整数且没有余数，我们就说被除数能被除数整除。这是今天所有新知识的起点。

6.概念生长点聚焦：

1.7.聚焦算式36÷9=4。引导：“36能被9整除”，我们还可以从另一个角度来描述这个关系。

2.8.启发提问：看到36÷9=4，你还能想到哪个乘法算式？（9×4=36）在这个乘法算式中，9和4都叫乘数，36叫积。但在“整除”的视角下，它们有了新的名字。

**环节二：操作探究，抽象概念——从“算式森林”到“概念花园”（约20分钟）

1.探究任务一：为算式关系“命名”

1.2.提供素材：课件呈现一组整除算式：20÷4=5,28÷7=4,18÷3=6，以及其对应的乘法算式。

2.3.小组合作（2人一组）：

1.3.4.任务：仿照例子（36÷9=4，9×4=36），将每个除法算式改写成乘法算式。

2.4.5.思考与讨论：在乘法算式中，两个乘数和积之间，在“整除”的前提下，存在着怎样特殊的关系？你能试着给这种关系起个名字吗？

5.6.全班分享与引导：

1.6.7.学生可能用“分成”、“组成”等生活语言描述。教师引导：在20÷4=5（4×5=20）中，我们可以说，20是4和5的“积”，但在整除关系中，我们更关注4、5与20的“生成”关系：4和5“生成”了20，或者说，20能被4和5“整除”。这时，4和5有一个共同的新名字——因数，20则是4和5的倍数。

2.7.8.关键提炼：

1.3.8.9.在整数除法中，如果商是整数且没有余数，那么被除数就是除数和商的倍数，除数和商就是被除数的因数。

2.4.9.10.也可以说，在整数乘法中，乘数都是积的因数，积是每一个乘数的倍数。

5.10.11.规范表述训练：以20÷4=5为例，教师示范并强调表述的完整性：“因为20÷4=5，所以20是4和5的倍数，4和5是20的因数。”请学生用此句式练习说其他算式。

12.探究任务二：辨析关系，深化理解

1.13.即时判断练习（使用迷你白板）：

1.2.14.因为15÷5=3，所以15是倍数，5是因数。（）【辨析：必须说清“谁是谁的”】

2.3.15.因为3×6=18，所以18是倍数。（）【同上】

3.4.16.在13÷4=3……1中，13是4的倍数吗？为什么？（强调整除前提）

4.5.17.2.5×4=10，2.5和4是10的因数吗？（强调整数范围）

6.18.概念关系可视化：师生共同完善“因数与倍数关系”概念图（板书或课件动态生成），核心是“整除”，引出“因数”与“倍数”两个分支，并用双向箭头强调其“相互依存”性。没有“因数”就无所谓“倍数”，反之亦然。它们不能单独存在。

**环节三：巩固内化，游戏辨析——在“概念网络”中精准定位（约10分钟）

1.“找朋友”游戏：

1.2.教师准备数字卡片（如4,6,12,18,20,24,1,3等）。

2.3.规则：一位学生手持一张数字卡片（如12）作为“中心数”上台。其他手持卡片的同学判断自己的数是否是12的因数或倍数。如果是，则上台与该生“握手成为朋友”，并说出完整的关系语句。

3.4.进阶挑战：“中心数”同学可以提问：“我的朋友中，谁既是我的因数，又是我的倍数？”（引出“本身”这一特殊因数/倍数）。

5.课堂小结与反思：

1.6.引导学生回顾：我们今天认识了哪两个新朋友？它们是在什么情况下产生的？（整除）

2.7.它们之间的关系是怎样的？（相互依存）

3.8.如何准确表述它们之间的关系？（“X是Y的因数，Y是X的倍数”）

第二课时：求一个数的因数与倍数及其特性探究

**环节一：复习联结，问题驱动——从“关系判断”到“主动寻找”（约5分钟）

1.复习提问：根据12÷3=4，说出谁是谁的因数，谁是谁的倍数。

2.问题升级：刚才我们根据已知的算式判断关系。现在，如果给你一个数，比如18，你能找出它的所有因数吗？你能找出它的几个倍数吗？怎么找才能找得又快又全？

**环节二：策略探究，发现规律——化身“数的侦探”（约25分钟）

探究活动一：寻找一个数的因数——拼摆中的有序思维

1.动手操作，直观感知：

1.2.任务：用18个单位面积的小正方形（或画18个方格），拼成不同的长方形（包括正方形）。记录下每一种长方形的“长”和“宽”。

2.3.学生操作与记录：能拼出的长方形有：1×18,2×9,3×6。（将正方形视为特殊长方形，6×6也在此列，但本质与3×6重复，可引发讨论）

4.操作关联，建立模型：

1.5.引导提问：长方形的“长”和“宽”与18这个小正方形的总数有什么关系？（长×宽=总面积18）那么，长和宽这两个数，与18是什么关系？（都是18的因数）

2.6.提炼方法：所以，要找18的所有因数，其实就是找所有能相乘得18的整数对。

7.算法优化，形成策略：

1.8.展示无序找法：有的学生可能随机找出1,2,3,6,9,18。

2.9.引导有序思考：怎样才能不重复、不遗漏？我们可以从最小的整数1开始试除。18÷1=18，找到一对因数1和18；18÷2=9，找到2和9；18÷3=6，找到3和6；继续试4？不行（有余数）；试5？不行；试6，发现已经出现过了（与3配对）。停止准则：当试除的因数开始重复或超过已找到的较小因数时，就可以停止了。

3.10.板书演示有序过程：1,2,3,6,9,18。并成对书写：(1,18),(2,9),(3,6)。强调“一对一对地找”。

11.即时练习与观察：

1.12.独立找出16、24的所有因数。

2.13.观察发现：观察18,16,24的因数，你有什么发现？（一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。）

探究活动二：寻找一个数的倍数——序列中的无限延伸

1.类比迁移，尝试发现：

1.2.提问：我们通过乘法找到了因数。那么，要找2的倍数，该怎么想？（就是找哪些数能被2整除，或者说，哪些数是2与一个整数相乘的积）

3.方法生成：

1.4.学生说出：用2依次乘1,2,3,4……得到的积就是2的倍数。

2.5.板书：2的倍数有：2,4,6,8,10……

3.6.关键讨论：能写得完吗？可以用什么符号表示？（省略号）这说明了什么？（一个数的倍数有无限个）

4.7.最小与特性：最小的倍数是？（它本身）有最大的倍数吗？（没有）

8.规范表达与应用：

1.9.练习：写出5的倍数（前5个）。如何表示30以内7的倍数？（7,14,21,28）

2.10.比较：找一个数的因数和倍数，方法有什么根本不同？（因数用除法或“配对”乘法，有限；倍数用乘法，无限。）

**环节三：综合应用，链接生活——让概念“落地生根”（约8分钟）

1.生活问题解决：

1.2.问题1（分组优化）：回到开头的36人分组问题。如果要使每组人数大于5人且小于10人，有哪几种分法？（找36的因数中在5-10之间的数：6,9）对应可以分成6组或4组。

2.3.问题2（包装方案）：食品厂有60块月饼，要用盒子包装，每盒数量相同且大于5块。有哪些包装方案？（找60的因数中大于5的：6,10,12,15,20,30,60）

3.4.问题3（周期现象）：音乐节拍中，每小节4拍。演奏了第几拍时，正好是新的小节开始？（4的倍数拍：第4,8,12,16…拍）路灯从第一盏开始，每隔5米一盏，第几米处有路灯？（5的倍数米）

5.跨学科微链接：

1.6.简单介绍计算机领域“公钥加密”（如RSA算法）的基本思想依赖于大数的质因数分解非常困难，而判断一个数是否是另一个数的倍数（即能否整除）则相对容易。让学生初步感受因数倍数知识在现代科技中的巨大威力。

**环节四：总结梳理，构建体系（约2分钟）

1.引导学生自主梳理本课收获：如何找一个数的因数（有序、成对、有限），如何找一个数的倍数（依次乘、无限），以及它们各自的特点。

2.将“因数”和“倍数”的相关知识点补充到第一课时的概念图中，形成更完整的知识网络。

七、分层作业设计与评价建议

A层（基础巩固）：

1.根据算式，说出因数和倍数关系：45÷9=5,7×8=56。

2.写出24的所有因数。写出50以内8的所有倍数。

3.判断：一个数的倍数一定比它的因数大。（）（辨析：可能等于本身）

B层（能力提升）：

1.一个数既是18的因数，又是24的因数，这个数可能是几？（初步渗透公因数思想）

2.寻找“完美数”线索：6的因数有1,2,3,6。除去它本身6，其他因数之和1+2+3=6。像这样等于自身因数（除本身外）之和的数叫完美数。你能找到20以内的下一个完美数吗？（28，可查阅资料）

3.设计一个用因数和倍数知识解决的生活小问题。

C层（拓展探究）：

1.研究“完全平方数”（如1,4,9,16,25…）的因数个数有什么特点？（奇数个）

2.查阅资料，了解“哥德巴赫猜想”（任一大于2的偶数可写成两个