《建筑力学》-第五章轴向拉伸与压缩

第一节轴向拉（压）杆的内力与内力图一、内力的概念前面已经研究了结构的支座反力与已知主动力平衡的问题。对于所研究的物系受到其他物系给予的作用力称为外力，而将此物系内部各物体之间的相互作用力称为内力。当讨论构件的强度和刚度等问题时，一般总是以某一构件（不能再拆的结构原件）作为研究对象。因此，其他构件对此构件的作用力，就称为外力。而内力则指的是此构件内部之间或各质点之间的相互作用力。实际上，构件在未受外力作用时，其内部就存在内力，正是这些内力使各质点之间保持一定的相对位置，使构件维持一定的形状。下一页返回第一节轴向拉（压）杆的内力与内力图当构件受到外力作用时，其形状和尺寸都将发生变化。构件内力也将随之改变，这一个因外力作用而引起构件内力的改变量，称为附加内力。其作用趋势是力图使构件保持其原有形状与尺寸。所以，附加内力是由外力而引起的，如外力增加，附加内力也随之增加。但是，对任何一个构件来说，附加内力的增加总有一定限度（决定于构件材料、尺寸等因素），到此限度构件就要发生破坏。力学研究构件的变形和破坏问题，离不开讨论附加内力与外力的关系以及附加内力的限度。因为讨论只涉及附加内力，所以本教材中把附加内力简称为内力。二、内力的计算法———截面法计算内力，通常运用截面法，其一般步骤如下：（１）截开。在需要求解内力的截面处，将构件假想截成两部分。上一页下一页返回第一节轴向拉（压）杆的内力与内力图（２）代替。留下一部分，弃去另一部分，并用内力代替弃去部分对留下部分的作用。按照连续均匀假设，内力在截面上是连续均匀分布的。可用内力向截面形心简化结果来表示整个截面的内力。（３）平衡。根据留下部分的平衡条件求出该截面的内力。这种假想地用截面把构件截开，分成两部分，将内力转化为外力而显示出来，并可用静力平衡条件求解的方法称为截面法。截面法是求内力的基本方法，各种基本变形的内力均用此法求得。以下讨论轴向拉压杆的内力。上一页下一页返回第一节轴向拉（压）杆的内力与内力图三、轴向拉压杆的内力沿杆件轴线作用一对大小相等、方向相反的外力，杆件将发生轴向伸长（或缩短）的变形，这种变形称为轴向拉伸（或压缩）。产生轴向拉伸或压缩的杆件称为轴向拉杆或压杆。以图５-１（ａ）所示的拉杆为例，运用截面法确定杆件内任一截面上的内力。把作用线与杆轴线相重合的内力称为轴力，用符号FＮ表示。背离横截面的轴力称为拉力，指向横截面的轴力称为压力。上一页下一页返回第一节轴向拉（压）杆的内力与内力图轴力的正负号规定：拉力为正，压力为负。因此，利用截面法求轴力时，无论留下截面哪侧作为研究对象，求得轴力的正负号都相同。通常计算轴力时，按正向假设，得正号表明杆件受拉，得负号表明杆件受压。如图５-１（ａ）所示的直杆只在两端受拉力，每个截面上的轴力FＮ都等于F。如果直杆承受多余两个的外力时，直杆的不同段上将有不同的轴力。应分段使用截面法计算各段的轴力。为了形象地表示轴力沿杆件轴线的变化情况，可绘出轴力沿横截面变化的图线，这一图线称为轴力图。以平行于杆轴线的坐标狓表示杆件横截面的位置，以垂直于杆轴线的坐标FＮ表示轴力的数值，将各截面的轴力按照一定比例画在坐标图上，就得到轴力图。上一页返回第二节轴向拉（压）杆的应力一、应力的概念一种材料制成的两根粗细不同的杆，在相同的轴向拉力作用下，两杆的轴向内力是相同的，但当拉力逐渐增大时，细杆必定先被拉断。这说明拉杆的强度不仅与轴力有关，而且还与杆的横截面面积有关，因此引入应力的概念。应力是反应截面上各点处所分布内力的集度。应力的大小反映了该点分布内力的强弱程度。为了定义图５-４（ａ）所示杆件在其任一横截面B点处的应力，取如图５-４（ｂ）所示的隔离体，围绕C点取微小面积ΔA。根据均匀连续假设，ΔA上必存在分布内力，设其合力为ΔF。下一页返回第二节轴向拉（压）杆的应力二、轴向受力构件应力计算受轴向拉（压）力，横截面面积为A的杆件，其横截面上法向内力的大小可用截面法求得。内力在横截面上是否均匀分布？应力的大小与内力的关系又如何？下面将进行讨论。如图５-５（ａ）所示的矩形等截面杆，为了观察受力后的变形情况，受力之前在其表面画横向线ag和bh，横向线之间上下各画一条平行于轴线的纵向线cd和ef。横向线代表两个横截面，纵向线用来观察变形情况，进而推导应力的分布情况。当杆件受到轴向拉力F的作用后，杆件被拉长，虚线即为拉长后的杆件，如图５-５（ｂ）所示。根据杆件的变形情况，可观察到下列现象：（１）横向线ag、bh缩短到a′g′和b′h′的位置，但仍保持为直线且仍互相平行并垂直于杆轴线。上一页下一页返回第二节轴向拉（压）杆的应力（２）纵向线cd、ef分别变形到c′d′和e′f′的位置，但仍保持与杆轴线平行。根据上述现象可以假设：变形之前横截面为平面，变形之后仍保持为平面，而且仍垂直于杆轴线，此假设称为平面假设。根据平面假设，两横截面在变形后只是相对平移了一段距离，即两横截面间各纵向线的伸长变形相等，这表明横截面上的法向内力是均匀分布的。由于轴力垂直于横截面，所以它相应的分布内力必沿此截面的法线方向，所以截面上每点只受正应力，未受切应力。上一页下一页返回第二节轴向拉（压）杆的应力因此，轴向拉（压）构件横截面上的正应力的计算公式为当杆受轴向压缩时，情况完全类似，只是需将轴力连同负号一并带入公式计算。拉应力为正，压应力为负。上一页返回第三节拉（压）杆的强度计算一、许用应力各种原因使结构丧失其正常工作能力的现象，称为失效。工程材料失效有以下两种形式：（１）塑性屈服。塑性屈服指材料失效时产生明显的塑性变形，并伴有屈服现象，如低碳钢、铝合金等塑性材料。（２）脆性断裂。脆性断裂指材料失效时几乎不产生塑性变形而突然断裂，如铸铁、混凝土等脆性材料。材料丧失工作能力时的应力值，称为材料的极限应力，用σ０表示。极限应力一般由试验确定。对于塑性材料，进入塑性屈服时的极限应力取屈服极限σｓ，则σ０＝σｓ；对于脆性材料，断裂时的极限应力取强度极限σｂ，则σ０＝σｂ。下一页返回第三节拉（压）杆的强度计算理论上，只要构件最大工作应力不大于极限应力σｍａｘ≤σ０，构件就能安全工作。实际上，轴向拉压杆件在工作时，其横截面上的正应力绝不允许达到材料的极限应力。不仅如此，工程上还必须考虑使材料具有一定的安全储备，因此将材料的极限应力σ０除以大于１的安全系数K作为材料的许用应力，用符号［σ］表示。即上一页下一页返回第三节拉（压）杆的强度计算二、强度计算１．强度条件为了保证构件能够正常工作，并且具有足够的强度，就必须要求构件实际工作时的最大应力σｍａｘ不能超过材料的许用应力［σ］，即拉压构件的强度条件为２．强度计算强度计算一般分为下列三种。（１）强度校核。在已知荷载、杆件几何尺寸和材料许用应力的情况下，验算杆件是否满足强度条件，即式（５-４ａ）是否成立。如果强度条件不等式成立，则满足强度要求；反之，强度不足。上一页下一页返回第三节拉（压）杆的强度计算（２）截面设计。在已知荷载和材料许用应力的情况下，在满足强度条件的前提下，将式（５-４ａ）变化为（３）确定允许荷载。在已知杆件的横截面面积和材料许用应力的情况下，在满足强度条件的前提下，将式（５-４ａ）变化为根据上式确定构件的最大允许荷载，在已知每个构件的允许荷载的情况下，根据整个结构的受力情况，即可确定出整个结构的允许荷载。常用材料的许用应力值见表５-１。上一页返回第四节轴向拉（压）杆的变形及胡克定律一、拉压杆的轴向变形设等直杆的原长为L，横截面面积为A。在轴向力F的作用下，长度由L变为L１，如图５-９（ａ）所示。杆件在轴线方向的伸长，即轴向变形为拉伸时ΔL为正值，压缩时ΔL为负值。轴向变形与杆件原长L有关，为了度量杆的变形程度需用单位长度变形量，单位长度变形量为线应变，用符号ε表示。下一页返回第四节轴向拉（压）杆的变形及胡克定律由于杆内各点轴向应力σ与轴向应变ε为均匀分布，所以一点轴向线应变即为杆件的伸长ΔL除以原长L。即二、拉压杆的横向变形设变形前杆件的横向尺寸为b，变形后相应尺寸变为b１，则横向变形为上一页下一页返回第四节轴向拉（压）杆的变形及胡克定律三、胡克定律当工作应力σ不超过材料的比例极限σｐ时，应力与应变成正比，即当工作应力不超过比例极限时，杆件的伸长ΔL与轴力F和杆件的原长度L成正比，与横截面面积A成反比。这是胡克定律的另一种表达形式。式中，EA是材料弹性模量与拉压杆件横截面面积的乘积，EA越大，则变形越小，所以EA称为杆件的抗拉（压）刚度。上一页返回第五节材料在拉伸和压缩时的力学性能为了解决构件的强度和变形问题，必须了解材料的一些力学性质，而这些力学性质都要通过材料试验来测定。工程材料的种类很多，但依据其破坏时产生变形的情况可以分为脆性材料和塑性材料两大类。脆性材料在拉断时的塑性变形很小，如铸铁、混凝土和石料等；而塑性材料在拉断时能产生较大的塑形变形，如低碳钢、铝等。这两类材料的力学性质具有明显不同的特点，通常以低碳钢和铸铁为例来介绍材料在拉伸和压缩时的力学性能。工程材料在不同荷载、不同环境下的力学性能是不同的，要根据不同情况分别进行试验。这里介绍用常温静载试验来测定材料的力学性能。下一页返回第五节材料在拉伸和压缩时的力学性能一、拉伸时材料的力学性能１．应力-应变曲线通过材料的拉伸试验，可以获得材料的许多重要力学性能指标。为了便于比较各种材料在拉伸时的力学性质，试件尺寸需按照国家颁布的建材标准试件制作，分为圆截面试件和矩形截面试件。圆截面试件如图５-１１所示，其标距L与直径D的比例分为L＝１０D和L＝５D两种；上一页下一页返回第五节材料在拉伸和压缩时的力学性能拉伸与压缩试验在万能试验机上进行，将试件放在试验机上施加轴向拉力F，F从零开始逐渐增大，直至被拉断。试验机的位移-荷载记录系统会将每一时刻的拉力F与对应的轴向变形ΔL自动绘制成拉伸图，如图５-１２（ａ）所示。为了消除试件几何尺寸的影响，利用应力公式σ＝FＮ／A和应变公式ε＝ΔL／L（L为其工作段长度），将拉伸图转化为应力-应变曲线（σ-ε曲线），如图５-１２（ｂ）所示。下面结合σ-ε曲线来说明低碳钢拉伸时的一些力学性能。上一页下一页返回第五节材料在拉伸和压缩时的力学性能低碳钢拉伸试件从加载开始到最后破坏的整个过程，大致可以分为四个阶段。（１）弹性阶段［图５-１２（ｂ）中的Ob段］。在此阶段内，材料的变形完全是弹性变形，如卸去拉力F，试件的变形将全部消失，b点所对应的应力称为材料的弹性极限，用σｅ表示。在弹性阶段内，Oa段是直线，σ与ε成正比，即材料变形服从胡克定律，a点所对应的应力值称为比例极限，用σｐ表示。Ｑ２３５钢的比例极限σｐ约为２００ＭＰａ。弹性极限和比例极限的意义是不同的，但由试验测得的数值很接近，工程上对它们不严格区分，常近似认为在弹性范围内材料变形服从胡克定律。上一页下一页返回第五节材料在拉伸和压缩时的力学性能（２）屈服阶段［图５-１２（ｂ）中的cd段］。屈服阶段是以屈服现象命名的。当应力超过弹性极限后继续加载，会出现一种现象，曲线会剧烈波动，即应力增加很少或不增加，应变会很快增加，材料暂时失去抵抗变形的能力，这种现象称为屈服现象。开始发生屈服的点所对应的应力叫屈服极限σｓ，又称屈服强度。在屈服阶段应力不变而应变不断增加，因此产生了显著的塑性变形，此时若卸载，应变不会完全消失且存在残余变形。Ｑ２３５钢的屈服强度为２４０ＭＰａ。由于低碳钢在屈服时产生较大的塑性变形，使构件不能正常工作，因此在构件设计时，一般将构件的最大工作应力控制在屈服极限以下，所以，σｓ是衡量材料强度的重要指标之一。上一页下一页返回第五节材料在拉伸和压缩时的力学性能（３）强化阶段［图５-１２（ｂ）中的de段］。材料经过屈服阶段后，其内部的组织结构有了调整，使其又增加了抵抗变形的能力，如要让试件继续变形，必须继续加载，在曲线上表现为应力随着应变的增加而增加，材料似乎强化了，de段即强化阶段。应变强化阶段的最高点（e点）所对应的应力称为强度极限σｂ，它表示材料所能承受的最大应力。σｂ也是衡量材料强度的重要指标之一。Ｑ２３５钢的屈服强度为４００ＭＰａ。（４）颈缩阶段［图５-１２（ｂ）中的ef段］。过e点后，即应力达到强度极限后，试件开始出现非均匀变形，可以看到在试件的某一截面发生剧烈的局部收缩现象，即形成颈缩。试件沿颈缩部位迅速被拉断。上一页下一页返回第五节材料在拉伸和压缩时的力学性能低碳钢拉伸的四个阶段，有三个有关强度的重要指标，即比例极限σｐ表示材料的弹性范围；屈服极限σｓ是衡量材料强度的重要指标，当应力达到σｓ时，构件产生显著的塑性变形，使构件无法正常工作；强度极限σｂ是衡量材料强度的重要指标，当应力达到σｂ时，构件出现颈缩并很快被拉断。２．延伸率和截面收缩率试件被拉断后，弹性变形消失了，塑性变形残留下来，将拉断的试件对接在一起，量出拉断后的标距长度L１和断口处的最小横截面面积A１，即得材料的延伸率和截面收缩率。上一页下一页返回第五节材料在拉伸和压缩时的力学性能３．冷作硬化若在σ-ε曲线的强化阶段内的任意一点犽处慢慢地卸去拉伸荷载，如图５-１３所示，则此时的σ-ε曲线将沿着与Oa近于平行的直线犽O１回落到O１点，这说明材料的变形已不能完全消失，图中O１O２所代表的弹性应变在卸载后消失了，OO１表示残留下来的塑性应变。如果卸载后又重新加载，应力与应变又重新按正比关系增加，并且σ-ε曲线仍沿着O１犽直线上升到犽点，然后按照原来的σ-ε曲线变化。可以看出，若使材料应力超过屈服阶段并在进入强化阶段后卸载，则当再度加载时，材料的比例极限和屈服极限都将有所提高，而塑性变形能力降低，这一现象称为冷作硬化。工程上，常用冷作硬化来提高钢筋和钢丝的屈服极限，并称为冷拉钢筋和冷拔钢丝。上一页下一页返回第五节材料在拉伸和压缩时的力学性能二、压缩时材料的力学性能１．钢材的压缩试验钢材的压缩试件通常做成圆柱体，其高度为直径的１．５～３倍。试验时将试件放在试验机的二压座间，施加轴向压力。如图５-１４中的实线即为低碳钢在压缩时的应力-应变曲线。为了比较低碳钢在拉伸时和压缩时的力学性质，在图５-１４中还用虚线绘出了低碳钢在拉伸时的应力-应变曲线。从这两条曲线可以看出：在屈服阶段以前，它们基本上是重合的，这说明低碳钢在压缩时的比例极限、屈服极限和弹性模量都与拉伸时相同。但在超过屈服极限以后，因低碳钢试件被压成鼓形，受压面积越来越大，不可能产生断裂，也无法测定材料的压缩强度极限。故一般来说，钢材的力学性质主要用拉伸试验来确定。上一页下一页返回第五节材料在拉伸和压缩时的力学性能２．铸铁的压缩试验作为脆性材料典型代表的铸铁在受压时的应力-应变曲线如图５-１４所示。试验证明，铸铁试件在压缩变形很小时即会突然破裂，故只能求得其强度极限σｂ。铸铁的抗压性能较好，它在受压时的强度极限比受拉时要高４～５倍。由于破坏面间摩擦力的影响，铸铁试件破坏时，是沿与试件轴线成３５°～３９°