2025年专升本初等数论专项复习题库及答案详解

2025年专升本初等数论专项复习题库及答案详解

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.若整数a满足a≡5(mod7)且a≡3(mod11)，则a的最小正整数解为A.38B.61C.82D.1032.设p为素数，则模p的最小正原根一定是A.1B.2C.不大于p的正整数D.无法确定3.欧拉函数φ(360)的值为A.96B.108C.120D.1444.若(a,m)=1，则a^φ(m)≡1(modm)称为A.费马小定理B.欧拉定理C.威尔逊定理D.中国剩余定理5.同余方程x²≡1(mod15)的解的个数为A.2B.3C.4D.66.设p为奇素数，则Legendre符号(2/p)等于A.(-1)^(p-1)/2B.(-1)^(p²-1)/8C.(-1)^(p-1)/4D.17.若n>1且2^n-1为素数，则n必为A.偶数B.奇数C.素数D.合数8.下列整数中，哪一个是模13的二次剩余A.5B.7C.8D.119.设d(n)表示正整数n的正因子个数，则d(720)等于A.28B.30C.32D.3610.若a,b为正整数且a²+b²=prime，则该素数被4除的余数为A.0B.1C.2D.3二、填空题（每题2分，共20分）11.若a≡b(modm)且c≡d(modm)，则ac≡____(modm)。12.模17的所有原根共有____个。13.若p为素数，则(p-1)!≡____(modp)。14.设m=2^4·3^2·5，则φ(m)=____。15.若x≡3(mod7)，x≡5(mod9)，x≡1(mod11)，则x的最小正整数解为____。16.若a与m互素，则a在模m下的乘法阶必整除____。17.若p≡3(mod4)且(a/p)=-1，则同余x²≡a(modp)的解的个数为____。18.设n=2025，则n的所有正因子之和σ(n)=____。19.若a,b为正整数且(a,b)=d，则存在整数x,y使得ax+by=____。20.若p为素数且p|2^p-2，则p满足____小定理。三、判断题（每题2分，共20分）21.若a≡b(modm)，则对任意正整数k都有a^k≡b^k(modm)。22.模m的所有简化剩余系中，每个元素的阶都等于φ(m)。23.若p为素数，则模p的原根一定存在。24.若(a,m)=1，则a模m的阶一定小于m。25.若n为完全数，则σ(n)=2n。26.若p≡1(mod4)，则-1是模p的二次剩余。27.若m>2，则欧拉函数φ(m)必为偶数。28.若a²≡1(modm)且m为素数，则a≡±1(modm)。29.若p为素数，则2^p-1必为素数。30.中国剩余定理保证任意一组两两互素的模数对应的同余方程组必有唯一解模乘积。四、简答题（每题5分，共20分）31.叙述并证明费马小定理。32.简述欧拉函数φ(n)的积性性质，并给出φ(p^k)的计算公式。33.说明如何判断奇素数p下a是否为模p的二次剩余，并举例。34.给出模m存在原根的充要条件，并说明理由。五、讨论题（每题5分，共20分）35.讨论RSA公钥密码体系中初等数论知识的具体应用，并指出安全性依赖的数论难题。36.试分析素数分布与欧拉函数值分布的关联，并举例说明其对密码学的意义。37.探讨中国剩余定理在快速大整数运算中的实际价值，并给出算法框架。38.结合梅森素数与完全数的关系，讨论大素数搜索对计算数论的推动作用。答案与解析一、1.B2.C3.A4.B5.C6.B7.C8.A9.B10.B二、11.bd12.813.-114.28815.24816.φ(m)17.018.655219.d20.费马三、21.√22.×23.√24.×25.√26.√27.√28.√29.×30.√四、31.费马小定理：若p为素数且p∤a，则a^(p-1)≡1(modp)。证明：考虑集合{1,2,…,p-1}，乘以a得新剩余系仍为其排列，故乘积相等，约去即得。32.欧拉函数积性：若(m,n)=1则φ(mn)=φ(m)φ(n)。对素数幂φ(p^k)=p^k-p^{k-1}，由容斥即得。33.用Legendre符号(a/p)=a^{(p-1)/2}(modp)判断，若得1则为二次剩余。例：p=13，a=5，5^6≡1(mod13)，故5是二次剩余。34.模m存在原根当且仅当m=1,2,4,p^k,2p^k，其中p为奇素数。理由：乘法群循环需群结构允许，若含高阶非循环部分则不存在。五、35.RSA利用大数分解难：选两大素数p,q，公开n=pq与e，私钥d满足ed≡1(modφ(n))。加密c=m^e(modn)，解密m=c^d(modn)。安全性依赖分解n求φ(n)不可行。36.素数愈大φ(n)愈接近n，使公钥e选择范围大；若φ(n)过小则易受穷举。例：选安全素数p=2q+1可防p-1分解攻击。37.将大整数按模