电动力学-静电场答案

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姓名：成生

第1章静电场

I.证明均匀介质内部的极化电荷体密度2总等于自由电荷体密度2/的

-(1一知倍。

£

2.有一内外半径分别为，［和G的空心介质球，介质的介电常数为£，1克介质内均匀带静止自由电荷夕/,

求

(1)空间各点的电场；

(2)极化体电荷和极化面电荷分布。

解1)

由电荷分布的对称性可知：电场分布也是对称的。电场方向沿径向

故：r＜。时

2

4^rE(r)=jv^-€lV=O或E(r)=O

£。

q＜尸＜々时球壳体内:

在厂〉G的球形外:

式中£-£0£r写在一起

P=DiE=(…0)禀n-(；)“r

2)

0,=-▽♦/＞=一£22f(与第一题相符)

内外表：

外外表：

3.证明：当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的偏折

tan0_£

满足:22

tan仇£|

式中4和J分别为两介质的介电常数，0、和02分别为界面两恻电场线与法线的夹角。

证明：绝缘介质分界面上自由电荷密度bj=0,故边值关系为：

Ej=E”,D2n=Dln(nx(E2-Et)=0.n(D2-〃)=j)

假设两种介质都是线性均匀的，即〃=与与，D2=e2E2:

上边两式为:E2sin02=E(sin回，s2E2cos02=jE)cosOx

tanOyg,

于是得:-----=——=-

tan0、G

4.试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体

外表。

证明：设介质1为导体,介质2为绝缘体。一^

绝缘体

静电情况下：E,=O,D,=OI导体\

由边值关系：wx(E2-E,)=0.n(D2-Di)=(yf

可得：E2,=EUyDln-DXn=(yf

即，£2/-0,D2n-af

对于各向同性线性介质D=£E

所以，E="n

£

即导体外的电场线垂直于导体外表

5.如图1,有一厚度为2。，电荷密度为P。的均匀带电无限大平板，试用别离变量法求空间电势的分布。

解：以O原点建立如图坐标系，为根据问题的对称性,

电势分布仅与x有关，即•维问题。容易写出定解问题:

时仍一噂=普

x=0时(pt(x)=0

直接求解得图1

6.内半径。，外半径为〃的两个同心导体球壳，令内球接地，外球带电量Q,试用别离变量法求空间可

势分布。

解根据球对称性，空间电势分布。仅与r有关，定结问题为:

r=b时(P\=£。华~一)ds=Q

Joror

求解得

7.均匀外电场中置入半径为此的导休球。求以下两种怙况的电势分布。

（1）导体球上接有电池，使球保持电势为①。；（2）导体球上带有总电荷。。

解建立球坐标系极轴方向为均匀电场方向，可知电势分布具有轴对称性，即电势仅与r有关

1）0的定解问题为

此时必是导体球放入前，通过坐标原点的等势而的电势，用别离变量法解为

2）0的定解问题为

类似解为

8.介电常数为£的无限均匀介质中，挖一个半径为。的空球，球心处置一电矩为p,的自由偶极子，试

求空间电势分布。

解如图建立球坐标系，的方向为极轴%方向，（

。的定解问题为［乃一1

『时，/=外：/华=£警

oror

注意到泊松方程解的性质及电势分布具有轴对称性，＜p,可写为：

第二项为极化电荷激发的势，该项在球心应为有限值，故&=0

解的电势分布

9.半径为R的均匀介质球中心置一自由偶极子球外充满另一种介质，求空间各点的电势和极化可

荷分布（介质球介电常数为与，球外为与）。

解：求解与上题类似，只需％——冬，

3芸+素练…），

44（与72邑尸

极化电荷分布，在介质球内，/,=—（1—

因此在球心处有一极化电偶极矩p=一（1一，

在厂二%的界面上，由=_〃.（p「p/）,p=（£-£o）V*

可得“3唔必用「仔誓广嘿荔芦

10.两个接地的无限大导电平面，其夹角为6()。，点电荷。位于这个两面角的平面上，并与棱边(两面

角之交线)相距为a。试用电像法求真空中的电势。

解：考虑到两个无限大导电平面是接地的，且点电荷。位于双面角的平分线上，可按下面的方法求得像

电荷的位置和大小：

(1)首先考虑半面ON',为了满足ON'平面的电势为零，应在。关于OM对称的位置“处有一像电

荷-Q,

(2)考虑半面ON,同样为了满足耳势为零的要求，对于4

8处两个点电荷+Q和-Q,应在人、8关于ON对称的位置C、

。处有两个-Q、+Q，

(3)再考虑OM半平面，对于C、。处的-。和+。，应在E、

尸处有两个像电佝+。和-Q才能使导体ON'的电势为零。

可以证明石、尸处的两个点电荷+Q和-。关于ON平面对称，因而可满足ON平面的电势为零，这样找

出了5个像电荷，加上原来给定的点电荷，能够使角域内的场方程和边界条件得到满足，所以角域内任

一点p处的电势可表为Mr)=—

其中4，弓，…，々分别为给定电荷。及其像电荷到P点的距离。

在其余空间的电势为0=0。

11.接地空心导体球，内外半径为R1和R?,球内离球心〃处(a<%)置一点电荷。，试用电像法求

空间电势分布。导体上感应电荷分布在内外表还是外外表？其量为多少？假设导体球壳不接地而是带电

量Q。，那么电势分布又如何？假设导体球壳具有确定的电势80，电势分布如何？

解：根据题意设球内区域电势为0,球外区域电势为°?,

▽%=0b(xa,y,z)

%

2

「•<V(p2=0，

5/?=留=夕21=冬=°

其中r=（/?2+-2Racos6^',r=（R?+b2-IRbcos6）~

由边界条件口，哂=0

要使上式对任意。成立，必有

02（吊+〃）_Q2（&+〃）=（）

24成―Q%）=0

R2

解得仇=1-,%=〃，1舍去）

代入（*）,得。;二一&。，。;=旦。

a"a

由上可知，s二!Q+g）,

4叫R

IQQR\/a+JQ+2

4%（R2+a2-2Racos0j"2

\R+（吊/aJ-2R（R；/a）cos0

确定外，且两种情况有相同解价=1Q+Q。

4殒）R2

/

1QQRJa

（P=.----------------------

4G>1R2a1-IRacosO启+黑型皿e

Va~a7

由边界条件£，华-与纱=-b

■dndn

'。尊。，

所以，外外表感应电荷面密度0=ww

内外表感应电荷面密度%=qM於"=f———纥二——Tv，

总感应电荷。感应=J/ds=-。，(可见全部在内外表上)

5

12.四个点电荷，两个+q,两个一q,分别处于边长为。的正方形的四个顶点，相邻的符号相反，求

此电荷体系远处的电势。

解：该系统电荷分布为分立分布，右如图坐标系中位置为q(0,0,0),-q(a,0O)>-q(0,a,0),q(0.0,a)的精确

到四极矩情况下，可求得远处的电势分布为夕=里:邙0

4在o厂(____________+q

13.求面电荷密度按(7=。0COS。分布，半径为〃的球的电矩。彳存在电四极矩？

解：p=^p(x)xdv|____________

+q-q

q.在)，对称，p、=1<TAZ/V=1(rxds=0,

所以，P=^7lCl'(T0e.

a/r(r>a)

14.设真空中电场的势为°\

-qr2/(2a3)+3q/(2a)(r<a)

式中，•是离坐标原点的距离，。和q是常数，求相应的电荷分布。

解：V2(t>=--,/=

%