2026年河北唐山市高三一模高考数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页唐山市2026年普通高等学校招生统一考试第一次模拟演练数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选抒题时，使用0.5毫米黑色字迹签字笔，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．样本数据1，2，3，6，12，24的中位数为（

）A．8 B．6 C． D．32．表示复数z的共轭复数，若，则（

）A． B． C． D．3．已知全集U及其两个非空真子集M，N，则（

）A． B． C． D．4．记为等差数列的前n项和，若，，则（

）A．11 B．9 C．8 D．55．某学校组织同学们假期参加社区服务活动，4名同学被分配到甲、乙两个社区，每个社区至少一名同学，不同的分配方案有（

）A．6种 B．12种 C．14种 D．28种6．若x为锐角，且.则x的取值范围是（

）A． B． C． D．7．等轴双曲线C的左、右焦点分别为，，以为直径的圆O与双曲线C交于M，N，P，Q四点.设四边形的面积为，圆O的面积为，O为坐标原点，则（

）A． B． C． D．8．已知，，，则（

）A．M的最小值为 B．M的最大值为1C．N的最小值为0 D．N的最大值为二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知，为数列的前n项和，则下列结论正确的有（

）A．是等比数列 B．C．是递减数列 D．中存在连续三项成等差数列10．若函数与函数的图象关于y轴对称，则（

）A．与有相同的零点 B．为偶函数C．与有相同的极值点 D．对任意的，都有11．O为坐标原点，抛物线的准线与x轴的交点为M，直线l与x轴交于点N，与抛物线C交于A，B两点，满足，作于D，则（

）A．N的横坐标是4 B．C．直线斜率的最大为 D．当直线与C相切时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知，若，则______.13．已知点，，若将绕点A逆时针旋转得到，则点C的坐标为______.14．若一个棱长为的正四面体可以绕其中心在一个封闭的圆锥形容器（容器壁厚度忽略不计）内任意转动，则此圆锥体积的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图，在三棱锥中，，，D是的中点.(1)证明：平面平面；(2)若，三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.16．已知椭圆的离心率为，其左顶点为A，上顶点为B，的面积是1，其中O是原点，平行于的直线l与C交于M，N.(1)求C的方程；(2)是否存在这样的直线l，使以A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求此时l的方程；若不存在，请说明理由.17．记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知.(1)证明：；(2)若，求A.18．函数，.(1)若在上单调递减，求a的取值范围；(2)若曲线与在处有相同的切线，（i）求a的值；（ⅱ）若，证明：.19．某销售公司为了激励员工，对销售冠军——员工甲进行奖励，奖励方案为：在一个盲盒里，有n（足够多）张奖券，这些奖券的金额各不相等，其最大值为M，但金额具体是多少，并未公开.该员工甲需逐张随机抽取并查看金额，如果对抽取的奖券不满意就弃掉，继续抽奖（弃掉的奖券不能再抽取），如果对这张奖券比较满意就保留，从而停止抽奖，公司将以此奖券金额作为奖励.(1)若甲抽取了两张，把第2张奖券保留下来，求甲获得最大金额奖励M的概率；(2)若甲先抽取了k（，且）张奖券，记录下其中的最大金额为m，然后继续抽取，若抽到奖券的金额小于m，就继续抽，当抽到第i（，）张奖券时，其金额大于m，则保留该奖券，停止抽奖，若未抽到金额大于m的奖券，则保留第n张.（ⅰ）若，当时，求甲获得最大金额奖励M的概率p；（ⅱ）当调整k的取值时，甲获得最大金额奖励M的概率p也会发生变化.若，请估计p的最大值，并求此时k的值.（估值参考：当时，，，，.）答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．C【详解】样本数据1，2，3，6，12，24的中位数为.2．B【详解】由，得，所以.3．C【详解】如图：.4．A【详解】等差数列中，由，得，即，解得，而，则公差，所以.5．C【详解】4名同学按分配到两个社区，有种方法；按分配到两个社区，有种方法，所以不同的分配方案有（种）.6．B【详解】由题意得或，又因为x为锐角，则，即或，解第一个不等式组得，则，解第二个不等式组得，无解；综上，x的取值范围是.7．B【分析】根据题意结合等轴双曲线可得双曲线C：，圆O：，联立方程求，进而可得，，即可得结果.【详解】因为双曲线C为等轴双曲线，则，，则双曲线C：，圆O：，联立方程，解得，则四边形的面积为，圆O的面积为，所以.8．D【分析】整理可得，换元令，可得，，，结合函数单调性分析最值即可.【详解】因为，即，若，即，则，显然不成立，可知，则，令，则，，可得，解得，对于选项AB：因为，因为在内单调递减，在内单调递增，则，且，可知在内有最小值0，最大值为，即M有最小值0，最大值为，故AB错误；对于选项CD：因为，因为在内单调递增，则，且，可知在内有最大值，最小值为，即N有最大值，最小值为，故C错误，D正确.9．AC【详解】对于A，由，得，是等比数列，A正确；对于B，，B错误；对于C，，，是递减数列，C正确；对于D，假定中存在连续三项成等差数列，分别为，则，即，整理得，矛盾，因此中不存在连续三项成等差数列，D错误.10．ABD【分析】利用对称性求出，求出零点判断A；确定奇偶性判断B；求出极值点判断C；借助单调性及偶函数性质推理判断D.【详解】由函数与函数的图象关于y轴对称，得，对于A，由，得，由，得，则与有相同的零点，A正确；对于B，，则，为偶函数，B正确；对于C，由，求导得，当时，，当，，函数有唯一极值点，由，求导得，当时，，当，，函数有唯一极值点，C错误；对于D，令，函数都是上的增函数，则是上的增函数，当时，，则，由为偶函数，得当时，，因此，都有，D正确.11．AD【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，结合向量垂直的坐标表示求出点坐标判断A；求出直线为切线时，直线的方程及点坐标求解判断BCD.【详解】依题意，点，直线不垂直于，设其方程为，，由，得，，，，由，得直线不过原点，且，，解得，对于A，直线与x轴交于点，A正确；由对称性不妨令，直线，由消去，得，当直线与C相切时，，解得，此时直线，，对于BD，点，，因此，B错误，D正确；对于C，当直线与C相切时，直线，由，解得，即点，直线的斜率，C错误.12．3【分析】由题意可得：，分和两种情况讨论，去绝对值解方程即可.【详解】由题意可得：，当时，可得，即，解得或（舍去）；当时，可得，即，方程无解；综上所述：.13．【分析】设与轴正向夹角为，可得到，由此求得；代入可求得，进而得到点坐标.【详解】，设与轴正向夹角为，则，即∴由题意得：设，则，∴，，∴.14．【分析】根据给定条件，求出正四面体外接球半径，再求出球为圆锥内切球时圆锥体积表达式，然后利用基本不等式求出最小值.【详解】正四面体棱长为，该正四面体绕其中心在一个封闭的圆锥形容器内任意转动，则正四面体的外接球在该封闭的圆锥形容器内，要该圆锥体积最小，必有球为该圆锥的内切球，该圆锥的轴截面等腰三角形的内切圆为球的截面大圆，结合延长线交平面于，则是正的中心，平面，，，设球半径为，则，解得，令圆锥底面圆半径为，母线为，高为，于是，由，得，圆锥的体积，，当且仅当时取等号，所以此圆锥体积的最小值为.15．(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证.（2）利用锥体体积求出，再建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后利用线面角的向量法求解.【详解】（1）由，D是的中点，得，而，，平面，则平面，而平面，所以平面平面.（2）由（1）知平面，则，而，解得，即，直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，，，设平面的法向量，则，令，得，因此，所以直线与平面所成角的正弦值为.16．(1)(2)不存在，理由见详解【分析】（1）根据离心率可得，再结合的面积可得，，即可得椭圆方程；（2）设直线l：，与椭圆方程联立，利用韦达定理分别求线段、的中点，结合等腰梯形的性质列式求解即可.【详解】（1）因为椭圆的离心率为，可得，即，则，，又因为的面积，即，，所以椭圆C的方程为.（2）由（1）可知：，，则直线的斜率，且线段的中点为，假设存在直线l满足题意，设直线l：，，，联立方程，消去y可得，则，解得，可得，，即，则，可得线段的中点为，直线的斜率，此时，可知直线与直线不垂直，这与等腰梯形的性质相矛盾，假设不成立，所以不存在直线l满足题意.17．(1)证明见详解(2)【分析】（1）根据二倍角公式可得，再结合正弦定理即可得结果；（2）利用余弦定理结合（1）中结论可得，代入整理可得，进而分析求解.【详解】（1）因为，可得，整理可得，由正弦定理可得.（2）因为，即，则，又因为，则，可得，即，可得，即，可得，且，则，可得，解得.18．(1)；(2)（i）；（ⅱ）证明见解析.【分析】（1）求出的导数，由给定区间及单调性建立不等式求解.（2）（i）利用与在处的导数值相等求出；（ⅱ）按分段讨论，结合极值点的偏移方法推理得证.【详解】（1）函数在上单调递减，则，，即，，而，当且仅当时取等号，因此，所以a的取值范围是.（2）（i）由，求导得，由曲线与在处有相同的切线，得，即，解得，此时曲线与在处的切线都为，符合题意，所以.（ⅱ）由（1）及（i）知，函数在上单调递减，且，，当时，；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，且，当时，，而，不符合题意；当时，，则，，因此，符合题意；当，的取值集合为，而在的取值集合为，在的取值集合为，因此能成立，当时，；当时，，，令，求导得，函数在上单调递增，，即，因此，而，则，又函数在上单调递增，于是，即，所以.19．(1)；(2)（i）；（ii）所以的最大值约为0.3679，此时．【分析】（1）合理设出事件，再根据全概率公式即可得到答案；（2）（i）设：抽到的第张奖券金额为，再利用全概率公式求出概率通式，再代入即可；（ii）根据估值参考公式得，再设函数，求导得其最值，从而得到的估计