2026年山东烟台市高三一模高考数学试卷试题（答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026年山东省烟台市高考第一次诊断试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分.1．已知复数为纯虚数，则实数的值为（

）A． B． C． D．2．已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．3．已知向量，且，则（

）A．4 B． C．9 D．4．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集的数据如下表所示：零件数个1020304050加工时间4050607090由上表的数据求得关于的经验回归方程为，则（

）A．1.1 B．1.2 C．1.3 D．1.45．已知菱形的边长为分别是的中点，，则（

）A． B． C． D．6．已知数列的前项和记为，若，则（

）A．15 B．31 C．63 D．1277．已知函数的最小值为，则的取值范围为（

）A． B． C． D．8．已知定义在上的函数的导函数为，且对任意的，有，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多项选择题：本大题共3小题，共18分.9．函数的部分图象如图所示，则（

）A．为的周期B．是图象的对称中心C．当时，的值域是D．的单调递增区间是10．已知函数，则（

）A．函数在上单调递减B．曲线在点处的切线方程为C．恒成立D．恒成立11．如图，已知点是棱长为的正方体表面上一动点，则下列结论正确的有（

）

A．当点在线段上时，B．当点在线段上时，平面C．当点在面上时，三棱锥外接球的表面积的最大值为D．当点在面上时，若，则点的轨迹长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若某圆锥侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为___________．13．已知双曲线的左焦点为是右支上的一个动点，记点到双曲线过第一象限的渐近线的距离为，则的最小值为__________.14．若数列满足（，当且仅当为奇数时取“”），则称为“数列”.设数列为“数列”，，则的最小值为__________；若，则正整数的最大值为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．中，角所对的边分别为.(1)若，求；(2)若，求的面积.16．如图，在四棱锥中，平面分别为的中点.

(1)证明：平面；(2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求的长；若不存在，请说明理由.17．已知点均在抛物线上，，，以点为圆心的圆与轴相切，且圆与圆外切，.(1)求数列的通项公式；(2)设圆的面积为，求证：.18．已知椭圆的右焦点为，离心率为.过点且与轴不重合的直线交于两点.(1)求的方程；(2)若的平分线垂直于轴.（i）求实数的值；（ii）以为半径的圆的面积分别记为的面积为，求的取值范围.19．已知抛物线的焦点为，过点且斜率存在的直线与交于两点，点是以线段为直径的圆的圆心，点在圆上（在的右边），且轴，直线与交于另一点，直线与交于另一点.(1)证明：圆与的准线相切；(2)证明：；(3)求.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．A【分析】利用复数的乘法运算，结合复数的意义求解.【详解】依题意，，由复数为纯虚数，得，解得，所以实数的值为.故选：A2．C【分析】利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.【详解】因为，则，所以，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故选：C.3．A【分析】直接根据向量垂直的坐标运算求解即可.【详解】因为向量，且，所以，解得，故选：A4．B【分析】由表格中的数据求得样本数据的样本中心，代入回归方程，求得即可.【详解】由题意得，，因为经验回归直线必过点，即点，所以可得，解得.故选；B5．B【分析】以为基底，分别表示出，，利用数量积的运算律求即可.【详解】如图：

以为基底，则，.又，，所以.故选：B6．C【分析】根据的关系得数列是等比数列，公比为，首项为，再根据等比数列前项和公式计算即可.【详解】因为，所以当时，，即；当时，，，两式作差得，即，所以数列是等比数列，公比为，首项为.所以故选：C7．C【分析】利用基本不等式确定当时的最小值为，再利用当时的最小值为并结合分离参数法求解参数范围即可.【详解】由题意得，当时，，由基本不等式得，当且仅当时取等号，此时解得，此时的最小值为，符合题意，当时，可得，由题意得的最小值为，则，即恒成立，可得恒成立，令，解得，令，解得，令，解得，当时，可得恒成立，令，则恒成立，可得在上单调递增，此时，得到，当时，恒成立，符合题意，此时，当时，恒成立，由已知得，则在上单调递增，当时，，此时，综上，可得，即的取值范围为，故C正确.故选：C8．A【分析】由题意可得函数的图象关于直线对称，在上单调递减，在上单调递增，进而将问题转化为或恒成立，进而分、两种情况讨论求解即可.【详解】由，得函数的图象关于直线对称，由，当时，，当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，由，则，即，所以或，则或恒成立.当时，恒成立；当时，，则或，而，则不可能恒成立.综上所述，实数的取值范围为.故选：A9．BD【分析】根据图象中两点距离求周期，进一步得出，代入特殊点坐标求，从而确定函数的解析式，再根据周期、对称中心性质、范围对应函数值范围、单调区间求法判断各选项对错.【详解】对于A，由图象可知，，则，所以A选项错误，对于B，又因为，所以，将点代入，可得，即，又因为，所以，解得，即，因为，所以是图象的对称中心，所以B选项正确，对于C，当时，，此时，所以，所以C选项错误，对于D，令，，解得，，所以单调递增区间为，.故选：BD.10．BCD【分析】利用指数和对数的运算化简，再利用求导判断单调性，利用求导来求切线斜率，利用导数来证明不等式即可作出选项判断.【详解】由，得，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，故A错误；由，,可得在点处的切线方程为，故B正确；由，构造，则，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，即，故恒成立，故C正确；由，求导得，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，所以，即，则，当时,上式两边取对数可得:，则由，可知恒成立，故D正确.故选：BCD11．ABD【分析】根据正方体中线面的位置关系，可判断AB的真假；当点与点（或）重合时，三棱锥的外接球即为正方体的外接球，求正方体外接球的表面积可判断C的真假；先明确点轨迹是一段弧，再结合弧长公式求弧长可判断D的真假.【详解】如图：

连接，则，又为正方体，所以平面，平面，所以，因为平面，且，所以平面.平面，所以.同理可得，平面，，所以平面.同理可得：平面，所以平面平面.对A：当点在线段上时，平面，又平面，所以，故A正确；对B：当点在线段上时，平面，又平面平面，所以平面，故B正确；对C：当点与点（或）重合时，三棱锥的外接球即为正方体的外接球.设半径为，则.此时三棱锥的外接球的表面积为：，故C错误；对D：当点在面上时，如图：

设，则，由，所以点轨迹是平面中，以为圆心，以为半径的圆弧，与的交点，，与的交点，.所以.由余弦定理，，所以.所以点轨迹的长度为：，故D正确.故选：ABD12．【分析】设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则，求得，进而得到圆锥的母线与底面所成的角的大小.【详解】设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则，可得，设圆锥的母线与底面所成的角为，则，，所以圆锥的母线与底面所成的角为.故答案为：.13．【分析】作出符合题意的图形，结合双曲线的定义对目标式合理转化得则即可.【详解】如图，作出符合题意的图形，作出双曲线的右焦点，作垂直于渐近线，连接，可得，由题意得，则，由双曲线的定义得，则，则，当且仅当共线时取等，因为垂直于渐近线，所以垂直于渐近线，由题意得渐近线方程为，由点到直线的距离公式得，则.故答案为：14．1686【分析】根据“数列”的概念，结合，利用递推关系可求的最小值；根据数列的单调性，且数列增长速度最慢时，根据求的值即可.【详解】因为数列为“数列”，且，，所以当时，；当时，，又，所以；当时，.所以的最小值为16.因为数列为“数列”，所以，又，所以数列为递增数列.问题转化为：数列增长速度最慢时，由，求的值.此时：设，则；当时，，所以；当时，，又，所以；当时，，所以；当时，，又，所以；当时，，所以；……归纳得：当为奇数时，；当为偶数时，.又.若，，由，即；若，，由，即.此时，，.又，所以数列应该是在第85项之后，突然改变增长速度，使得.故的最大值为86.故答案为：16；8615．(1)；(2).【分析】（1）利用余弦定理求出，再由正弦定理可得；（2）利用辅助角公式化简求出，然后利用正、余弦定理，结合三角形面积公式求解可得.【详解】（1）因为，，所以，所以，由正弦定理得，解得.（2）因为，所以，即，因为，所以，所以，由正弦定理可得，由余弦定理得，即，解得，所以.16．(1)详见解析；(2)存在，【分析】（1）取PD的中点H，易证，得到是平行四边形，从而，再利用线面平行的判定定理证明；（2）建立空间直角坐标系，求得平面PBC的一个法向量，根据平面，由求解.【详解】（1）如图：取PD的中点H，连接FH，AH，因为，又，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面（2）建立如图所示空间直角坐标系：

则，所以，，设平面PBC的一个法向量为，则，即，令，则，，所以，设，则，若平面，则，所以，解得，所以，则，所以在线段上是否存在点，使得平面，的长为.17．(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据两圆的位置关系列式，可得数列的递推公式，再根据数列的递推公式求通项公式.（2）利用放缩法，结合裂项求和法进行证明.【详解】（1）因为点在抛物线上，所以且，因为圆和圆外切且圆均与轴相切，所以，所以，整理得，因为，所以，即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以.（2）由（1）知，，因为，所以，即，原题得证.18．(1)(2)（i）4，（ii）【分析】（1）依条件列关于的方程，解方程即可；（2）（i）设直线方程与，，联立椭圆的方程，得到的值，由的平分线垂直于轴，得：，再代入坐标，代入韦达定理可得答案；（ii）分别计算三角形与圆的面积，代入，可把表示成关于的函数，利用对勾函数的单调性可得答案.【详解】（1）由已知，右焦点为，故，离心率，解得，由，得椭圆的方程为（2）（i）设直线的方程为，代入椭圆方程得，设，，则的平分线垂直于轴，等价于，且直线与椭圆有两个交点，由得，将韦达定理代入：，化简得：，解得：.因此，实数的值为；（ii）由（i）知，直线方程为（），联立椭圆方程得则由直线与椭圆有两个交点得：，三角形的面积，，又，所以，于是，，故，令，则：考虑函数，，由，得，故在上单调递增，当时，，所以的值域为，因此，的取值范围是。19．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)3【分析】（1）对的情况分类讨论，再结合韦达定理与中点坐标公式求出，利用焦半径公式求出，最后结合相切的定义求解即可.（2）先求出，再将转化为，利用韦达定理结合题意求出，得到，最后结合两直线不重合判断平行即可.（3）利用弦长公式得到，再构造并结合韦达定理得到，最后求出，利用焦半径公式得到，进而得到的值即可.【详解】（1）如图，作出符合题意的图形，当的斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题