上海2026年初三中考二模三模试卷专题汇编专题10 解答25题几何综合题【含答案】

2/2试卷第=page11页，共=sectionpages33页上海2026年初三中考二模三模试卷专题汇编专题10解答25题几何综合题1．（2025·上海青浦·二模）已知：为的直径，，点C在上．联结OC、，过点O作，交于点D．(1)如图，联结，当时，求证：四边形是菱形；(2)作，垂足为E．①如图，联结、，交半径于点F，当时，求线段的长；②如图，联结、、，设的面积为，四边形的面积为，如果，求线段的长．2．（2025·上海崇明·二模）如图，中，，，，过点的直线与边平行，点在射线上，⊙O是以为圆心，为半径的圆．(1)当直线与⊙O相切时，求的长；(2)当直线与⊙O相交时，交点记为点、，且点在点的右边；以为圆心、为半径长作⊙C与⊙O的另一个交点记为．①若四边形是矩形，求的长；②若是以为腰的等腰三角形，求的正切值．3．（2025·上海普陀·二模）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径，以另两个顶点为端点画圆弧，由首尾相连的三段圆弧可组成一个曲线图形，这个曲线图形叫做莱洛三角形．(1)下面结论中，正确的是________．（写出所有正确结论的序号）莱洛三角形是轴对称图形；莱洛三角形上的任意一点到等边三角形的中心的距离相等；莱洛三角形的每段圆弧所对的圆心角都为；莱洛三角形的面积等于．(2)如果、是莱洛三角形上的两点，连接、，满足且，求此时的正切值；(3)已知、分别是、上的两个动点：点沿从点运动到点，点沿从点运动到点，它们同时出发且速度相同，连接．试表述线段的中点的轨迹．4．（2025·上海金山·二模）已知：矩形的对角线与以为圆心为半径的圆弧相交于点，过点作的垂线分别与直线、、交于点、、．(1)当点在边延长线上时，如图所示．①联结，与交于点，求证：；②若，求的比值；(2)联结，若为等腰三角形，求的值．5．（2025·上海虹口·二模）阅读材料：我们学过有关直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．这条定理的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”也是真命题．如图，在中，为上的中线，如果，那么．也可以说，在中，如果，那么．根据上面的阅读材料，完成下列问题：（若需要，可直接运用直角三角形性质定理的逆命题）如图，为半圆的直径，是半圆的弦，以为直径作．(1)如图①，过点作，垂足为．①求证：；②已知，如果经过点（如图②），求直线与直线夹角的正弦值；(2)已知与线段相交于点、，，如果，求的长．6．（2025·上海徐汇·二模）如图，在中，，点是边上的动点，以点为圆心，为半径的圆交边于点．设．(1)当点是边的中点时，求的值；(2)已知点是线段AE的中点（规定：当点与点重合时，点也与点重合），以点为圆心、为半径作①当与边有公共点时，求的取值范围；②如果经过边的中点，求此时与的公共弦长．7．（2025·上海·二模）已知在中，，是边上的中线．以点B为圆心，为半径的圆交线段于点E（点E不与点C、点D不重合）．(1)如图1，如果与边交于点F，，求的度数；(2)如图2，当时，求的正切值；(3)如图3，以点E为圆心，为半径的与相交，其中一个交点P在边上．如果，求的长．8．（2025·上海松江·二模）已知是半圆的直径，是弦延长线上一点．(1)联结与半圆交于点．①如图1，如果点是弧的中点，且，求的长；②如图2，如果点是弧的中点，且，求的值．(2)设是弦的中点，如果以点为圆心、为半径的圆与相切，以点为圆心、为半径的圆与直线相切，求的值．9．（2025·上海闵行·二模）如图，在中，直径长为，弦的长为8，点是上一点，过点作的垂线交直线于点．(1)求的正切值．(2)当与相似时，求的长．(3)以点为圆心，长为半径画，试根据线段的长度情况探究和的位置关系．10．（2025·上海嘉定·二模）为的内接等腰三角形，．连接并延长，交于点，交于点，过点作，垂足为点（点不与点重合）．(1)如图1，如果，求的大小；(2)如图2，连接，如果，，求关于的函数解析式（不用写自变量的取值范围）；(3)如果点是线段的黄金分割点，求的值．11．（2025·上海浦东新·二模）如图1，和是半径为2的的两条直径，点P是延长线上的一点．连接交于点E（点E在线段上，且不与点P、点C重合）．(1)当时，求证：；(2)连接，交半径于点M，已知．①连接，如图2，当点M是的重心时，求的余弦值；②连接、，当为等腰三角形时，求线段的长．12．（2025·上海宝山·二模）如图，已知梯形，，，以点为圆心、为半径画弧，与分别交于点，且．

(1)如果设，，求的长；(2)求的值；(3)如果是弧的中点，求的值．13．（2025·上海奉贤·二模）定义：如果一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且这两个三角形相似，那么我们把这个三角形称为另一个三角形的镶嵌相似形；已知中，点分别在上，连接．(1)如图，是中点，，时，求证：是的镶嵌相似形；(2)如图，当，，是的镶嵌相似形，．求的值；(3)如图，如果，，，是的镶嵌相似形，且与不平行，求的长．14．（2025·上海·二模）如图，在矩形中，联结，在边上取一点E，上取一点F，联结，．在上有一点G．作的外接圆，弧弧．联结，延长交边于点H．(1)若点C、H重合，求证：．(2)若；①当时，求的长和的余切值；②列表写出圆O的圆心分别在、与内部时，长度的取值范围(不写解答过程)．15．（2025·上海杨浦·二模）已知圆O的直径上有一点C（不与A、B重合），，过点C作弦，点F是弧的中点，连接，交于点G．(1)如图1，当点G与点O重合时，求的长；(2)如图2，连接，当时，求的值；(3)设，，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．16．（2025·上海黄浦·二模）已知，在中，，是边上一动点，联结．点在线段上，且，以点为圆心，为半径作，交边于点．(1)当点与点重合时，判断与边的位置关系并说明理由；(2)已知点在上，且，与边交于点，当经过圆心时（如图），求的值；(3)过点作，交边于点，当与线段只有一个交点时，求的取值范围．17．（2025·上海静安·二模）如图，在中，，点在的延长线上，，，点在边上，，的延长线交线段于点．(1)求证：；(2)当点是的中点时，求证：；(3)已知，，设，，求关于的函数解析式，并写出的取值范围．

专题10解答25题几何综合题1．（2025·上海青浦·二模）已知：为的直径，，点C在上．联结OC、，过点O作，交于点D．(1)如图，联结，当时，求证：四边形是菱形；(2)作，垂足为E．①如图，联结、，交半径于点F，当时，求线段的长；②如图，联结、、，设的面积为，四边形的面积为，如果，求线段的长．【答案】(1)见解析(2)①；②【分析】（1）利用同圆的半径相等的性质，平行线的性质和等边三角形的判定与性质得到，再利用菱形的判定定理解答即可；（2）①利用平行线的性质，圆周角定理和垂径定理得到，则，，即可得出结论；②过点O作于点H，得，则，利用全等三角形的面积相等和同高的三角形的面积比等于底的比的性质得到，从而求得；利用全等三角形的性质得到，最后根据解答即可得出结论．【详解】（1）证明：∵，，∴是等边三角形，∴．∵，∴．同理，是等边三角形，．又∵，∴．∴四边形是菱形．（2）解：①∵，∴．∵，∴．∴．∴．∵，∴．∵，∴．∴．又∵，∴，∵，∴．∴．∴．∴．∵，，∴．∴．∴，∴，∴．②过点O作于点H，得，∵，∴，∵，∴．∴，∴．∵，，∴．∴，，∴．∵，∴．∵在中，，，∴．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键．2．（2025·上海崇明·二模）如图，中，，，，过点的直线与边平行，点在射线上，⊙O是以为圆心，为半径的圆．(1)当直线与⊙O相切时，求的长；(2)当直线与⊙O相交时，交点记为点、，且点在点的右边；以为圆心、为半径长作⊙C与⊙O的另一个交点记为．①若四边形是矩形，求的长；②若是以为腰的等腰三角形，求的正切值．【答案】(1)(2)①；②或【分析】（1）作，先在中求出、长度及的值，利用切线性质设得出表达式．在中根据正弦函数定义列方程求解．（2）①利用矩形性质得到的长度，设，表示出，在中，依据勾股定理列方程求解；②1．由两圆相交性质得出，通过角度关系得到，分与两种情况讨论即可．【详解】（1）解：作于，与相切设，在中，，∴，，，在中，，．（2）①四边形是矩形，设，则，在中，，，，；②若是以为腰的等腰三角形，那么或，设与相交于点，与相交于，，又，，又，，（i）当时，，，解得：，，，．（ii）当时，作，，，，即，，解得，设，则，在中，，，．综上所述，或．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、矩形性质、等腰三角形性质、解直角三角形及勾股定理的应用．解题关键是利用相关性质构建边的关系，通过方程求解线段长度，并借助角度等量代换求角的正切值．3．（2025·上海普陀·二模）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径，以另两个顶点为端点画圆弧，由首尾相连的三段圆弧可组成一个曲线图形，这个曲线图形叫做莱洛三角形．(1)下面结论中，正确的是________．（写出所有正确结论的序号）莱洛三角形是轴对称图形；莱洛三角形上的任意一点到等边三角形的中心的距离相等；莱洛三角形的每段圆弧所对的圆心角都为；莱洛三角形的面积等于．(2)如果、是莱洛三角形上的两点，连接、，满足且，求此时的正切值；(3)已知、分别是、上的两个动点：点沿从点运动到点，点沿从点运动到点，它们同时出发且速度相同，连接．试表述线段的中点的轨迹．【答案】(1)；(2)或；(3)点在以的中点R为圆心，以为半径的圆心角为的弧上【分析】（）根据莱洛三角形的定义，结合轴对称图形的判断圆的相关性质直接判断即可；（）分当在上方时，当在下方时，两种情况分析即可；（）连接，，，，，取、的中点，连接，，，再证明，得出即可确定轨迹．【详解】（1）解：因为以等边三角形的每个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径，以另两个顶点为端点画圆弧，由首尾相连的三段圆弧可组成一个曲线图形，这个曲线图形叫做莱洛三角形，所以莱洛三角形是轴对称图形，正确；三段弧到它们所对的三角形顶点的距离相等，故莱洛三角形上的任意一点到等边三角形的中心的距离不相等，不正确；等边三角形的每一个内角都是，故莱洛三角形的每段圆弧所对的圆心角都为，正确；莱洛三角形的面积等于三个弓形的面积加上等边三角形的面积，即，不正确；故答案为：；（2）解：如图，当在上方时，过作于点，∵，∴，∴，，∵，∴设，则，，∵且，∴，∴，∴，∴，∴，∴，由勾股定理得：，∴，∴；当在下方时，同理：∵，∴设，则，，由勾股定理得：，∴；综上可得：的正切值为或；（3）解：连接，，，，，取、的中点R、S，连接，，，∵点沿从点运动到点，点沿从点运动到点，它们同时出发且速度相同，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵、的中点为，的中点为，∴，，，，∵，∴，∵，，∴，，设，则，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，当点与点重合时，点为中点，当点与点重合时，点为中点，此时，，故点在以的中点为圆心，以为半径的圆心角为的弧上；【点睛】本题考查了圆的有关性质、垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质、解直角三角形，三角形的中位线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是熟练运用相关知识进行证明和推理．4．（2025·上海金山·二模）已知：矩形的对角线与以为圆心为半径的圆弧相交于点，过点作的垂线分别与直线、、交于点、、．(1)当点在边延长线上时，如图所示．①联结，与交于点，求证：；②若，求的比值；(2)联结，若为等腰三角形，求的值．【答案】(1)①见解析；②(2)或1或【分析】（1）证明，得出，即可证明；②根据，设，，那么，根据矩形的对边相等，得出，证明，求出，在中，勾股定理求出，即可求出．（2）若为等腰三角形，分为当时，可证为等边三角形，求出，即可求解；当时，可证四边形为正方形，得出，即可求解；当时，设，，可证，得出，求出，在中，勾股定理列方程得出，即可求解．【详解】（1）解：①四边形为矩形，，，，在和中，，，，，在圆中，，；②，设，，那么，矩形的对边相等，，∵，∴，，，，在中，，即，，．（2）解：若为等腰三角形，当时，∵，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，在和，，，，又∵，，连接，由（1）①可知，，，即，在和中，，，，，，，∴为等边三角形，，，；当时，则，∵，∴，∴，∵，∴，∴，则四边形为正方形，，；当时，设，，∴,∵，∴，∴，∴，∴，，，∴，在中，，，整理得：，，．综上所述，的值为或1或．【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，角的正切，勾股定理，矩形的性质，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，圆心角定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．5．（2025·上海虹口·二模）阅读材料：我们学过有关直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．这条定理的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”也是真命题．如图，在中，为上的中线，如果，那么．也可以说，在中，如果，那么．根据上面的阅读材料，完成下列问题：（若需要，可直接运用直角三角形性质定理的逆命题）如图，为半圆的直径，是半圆的弦，以为直径作．(1)如图①，过点作，垂足为．①求证：；②已知，如果经过点（如图②），求直线与直线夹角的正弦值；(2)已知与线段相交于点、，，如果，求的长．【答案】(1)①见解析；②(2)或【分析】本题考查了相似三角形的性质，圆的性质，解直角三角形，分类讨论是解题的关键；（1）①证明，根据相似三角形的性质，即可得证；②根据①的结论，结合已知得出，进而得出，过点作于点，连接得出则过点作交于点，则四边形是矩形，得出直线与直线夹角的为，进而根据正弦的定义，即可求解；（2）设，根据题意画出图形，分当在的左侧时，当在的右侧时，分别求得，，进而在，中，，根据勾股定理求得的值，即可求解．【详解】（1）解：①如图∵∴∴又∵∴，∴∴∴即；②∵，∴，∴∴过点作于点，连接，如图，∵∴，∵，，∴∴，，∴过点作交于点，则四边形是矩形，∴∴∴∴∴直线与直线夹角的正弦值为（2）解：∵，∴设①当在的左侧时，如图，连接，，过点作于点，∴∴∵∵，∴∴又∵，∵∴∴在，中，∴解得：∴②如图，当在的右侧时，∴∴同理可得，∴同理得，解得：∴综上所述，或．6．（2025·上海徐汇·二模）如图，在中，，点是边上的动点，以点为圆心，为半径的圆交边于点．设．(1)当点是边的中点时，求的值；(2)已知点是线段AE的中点（规定：当点与点重合时，点也与点重合），以点为圆心、为半径作①当与边有公共点时，求的取值范围；②如果经过边的中点，求此时与的公共弦长．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）过作于点H，由垂径定理可得，再利用三角函数求解即可；（2）①当点E与A重合时可知，过作于点M，求出，可知在点运动过程中，与边始终有公共点，进而即可得出r的范围；②利用建立方程求解，得到，即此时与A重合，进而即可得解．【详解】（1）如图，过作于点H，则，∵，∴，∵E为中点，∴，∴，∴，即，解得；（2）①当点E与点A重合时，此时与A重合，，∵，∴，∴，∴，即此时，过作于点M，∵，∴，∴，∴在点运动过程中，与边始终有公共点，∴；②如图，记中点为F，过F作，过作于点H，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，在中，，∵，即，解得；∵，∴在中，，∵，解得（负值舍去），∴此时E和A重合，即与A重合，如图所示，为公共弦，∵，∴是等边三角形，∴，∴，即与的公共弦长为．【点睛】本题主要考查了勾股定理、解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、圆的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．7．（2025·上海·二模）已知在中，，是边上的中线．以点B为圆心，为半径的圆交线段于点E（点E不与点C、点D不重合）．(1)如图1，如果与边交于点F，，求的度数；(2)如图2，当时，求的正切值；(3)如图3，以点E为圆心，为半径的与相交，其中一个交点P在边上．如果，求的长．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由弧等得到，由直角三角形斜边上中线的性质得到，然后根据等边对等角以及三角形的外角性质得到，最后在中，由三角形内角和定理建立方程求解；（2）过点作于点，由垂径定理得到，设，则，那么，则，故，由勾股定理得，再由正切的定义即可求解；（3）连接，先证明，再证明，则，设，则，代入解一元二次方程即可．【详解】（1）解：如图：∵，∴，设，∵，是边上的中线，∴，∴，∴,∵，∴，∵在中，，∴，解得：，即；（2）解：过点作于点，∵过圆心，∴，∵，设，则，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：连接，由上知，∵，∴，由题意得：，∴，∴，∵，∴，∴，设，则，∴，整理得：，解得：或（舍），∴．【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及圆心角和弧之间的关系，圆与圆的位置关系，垂径定理，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握并运用圆的相关性质是解题的关键．8．（2025·上海松江·二模）已知是半圆的直径，是弦延长线上一点．(1)联结与半圆交于点．①如图1，如果点是弧的中点，且，求的长；②如图2，如果点是弧的中点，且，求的值．(2)设是弦的中点，如果以点为圆心、为半径的圆与相切，以点为圆心、为半径的圆与直线相切，求的值．【答案】(1)①；②(2)【分析】（1）①连接，过点作于点，求出，设，则，由求出，得到，，，则，即可求出答案；②连接，，，证明△△，得到，得到，则．设，，则，证明△△，得到，即可求出答案．（2）设为半径的圆与直线相切于点，连接，，证明△△，得到，设，证明△△，得到，则，，即可得到答案．【详解】（1）解：①连接，过点作于点，如图，是半圆的直径，点是弧的中点，，，，，设，则，，，，，，，，．②连接，，，如图，点是弧的中点，，，，，．，，，，，，△△，，，，，四边形为圆的内接四边形，，，，．设，，则，△△，，．（负数不合题意，舍去），，；（2）设为半径的圆与直线相切于点，连接，，如图，点为圆心、为半径的圆与相切，点为切点，，设，则，是弦的中点，，，为半径的圆与直线相切于点，，，在△和△中，，△△，，设，，，△△，，，，，，，，，，．，【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、切线的性质、全等三角形的判定和性质、垂径定理等知识，综合性较强，熟练掌握相似三角形的判定和性质、解直角三角形是解题的关键．9．（2025·上海闵行·二模）如图，在中，直径长为，弦的长为8，点是上一点，过点作的垂线交直线于点．(1)求的正切值．(2)当与相似时，求的长．(3)以点为圆心，长为半径画，试根据线段的长度情况探究和的位置关系．【答案】(1)；(2)；(3)当时，内含于；当时，圆与圆内切；当或时，与相交．【分析】（1）连接，由直径所对的圆周角是直角得到，利用勾股定理求出的长，再根据正切的定义可得答案；（2）分在的左侧和在的右侧两种情况，讨论求解即可；（3）如解析图示中，求出圆与圆内切时，，再求出时，，据此分，，三种情况讨论求解即可．【详解】（1）解；如图所示，连接，∵是的直径，∴，∵，∴，∴，即；（2）解：如图：当在的左侧时；过作，∴，∴，设，则与相似，，，∵，即，∴，即，∴，∵，，，即解得（已检验，符合题意）；如图：当在的右侧时；过作于，过过于，过作于，则，∴，∴，∴，∵，∴，∵与相似，∴，设，则，在中，，∴，∴，在中，，∴，，∴，，，综上：；（3）解：如图，当圆与圆内切时，则，过作于，过过于，同（2）可证明，∵，∴，∴，∴如图，当时，在内切的基础上，点D会更靠近点B，即此时一定有，∴，∴内含于；如图，过点O作交于T，则，∴；如图，当时，，则一定有，∴与相交；当时，如图，∵，∴，∴与相交；综上所述，当时，内含于；当时，圆与圆内切；当或时，与相交．【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，相似三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．10．（2025·上海嘉定·二模）为的内接等腰三角形，．连接并延长，交于点，交于点，过点作，垂足为点（点不与点重合）．(1)如图1，如果，求的大小；(2)如图2，连接，如果，，求关于的函数解析式（不用写自变量的取值范围）；(3)如果点是线段的黄金分割点，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查了圆内接三角形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，黄金分割点，锐角三角函数比等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．（1）连接并延长，交于点，先利用直角三角形的性质求出，然后利用垂径定理和等腰三角形的性质求出，，最后利用角的和差即可求出结果；（2）连接并延长，交于点，利用三角函数比和垂径定理得出，根据条件证出，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果；（3）连接并延长，交于点，连接，根据条件得出是的中位线，得出，根据点是线段的黄金分割点，得到或，分两种情况进行求解即可．【详解】（1）解：如图，连接并延长，交于点，在圆中，∵过圆心，∴，，∴，

∵，∴，∵，∴，∵，∴，

∵，∴，∴，∵，∴，

∴；（2）解：如图，连接并延长，交于点，在中，，，∵，∴，

∵，，∴，又∵，∴，∴，

∵，∴；（3）解：如图，连接并延长，交于点，连接，∵为直径，∴，又∵，∴是的中位线，∴，，∴，∵点是线段的黄金分割点，∴或，①当时，∵，∴，∵，∴在中，，∴；②当时，同理可得，∴，

综上所述，．11．（2025·上海浦东新·二模）如图1，和是半径为2的的两条直径，点P是延长线上的一点．连接交于点E（点E在线段上，且不与点P、点C重合）．(1)当时，求证：；(2)连接，交半径于点M，已知．①连接，如图2，当点M是的重心时，求的余弦值；②连接、，当为等腰三角形时，求线段的长．【答案】(1)见解析(2)①；②或【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质可得，进而可得，根据相似三角形的性质即可得解；（2）①过P作于H，根据直径对直角可得，根据等腰三角形的性质可得，再根据余弦的定义即可得解；②分三种情况讨论，当时，不符合题意；当时，连接，，证明，即可得解；当时，连接，设与交于G，先证明是的中位线，是的中位线，可得，，再根据勾股定理即可得解．【详解】（1）解：连接，，，，，，，∴，∴，∴；（2）解：①过P作于H，是直径，，，∵点M是的重心，，∴，∵，半径为2，∴，，，，∴；②当时，如图，，，，由（1）知，不符合题意；当时，连接，，和是的两条直径，，，，，，，，，，，，，∴，∴，，，，当时，连接，设与交于G，，，，，是直径，，，∴，，，，是的中位线，，，是的中位线，，，∴，，∴，综上所述，线段的长或．【点睛】本题考查了圆综合，勾股定理，三角函数，中位线，等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是综合运用以上知识点，运用分类讨论思想；12．（2025·上海宝山·二模）如图，已知梯形，，，以点为圆心、为半径画弧，与分别交于点，且．

(1)如果设，，求的长；(2)求的值；(3)如果是弧的中点，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）过点分别作，垂足为点，过点作，交的延长线于点，可证四边形是矩形，，在中，，，同理，，在中，，由此即可求解；（2）由（1）设，则，则，，所以，则，由此即可求解；（3）连接，延长交于点，则，由（2）可设，在中，，，，同理，，，，所以，由此即可求解．【详解】（1）解：过点分别作，垂足为点，过点作，交的延长线于点，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴四边形是矩形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在中，，∴，同理，，在中，．（2）解：由（1）设，则，在中，，∴，∴，∵点为圆心，，∴，∴，∴．（3）解：连接，延长交于点，∵，∴，∵是弧的中点，∴，由（2）可设，在中，，∴，，同理，，∴，∴，

∴，∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的计算，圆的基础知识，掌握以上知识的综合，数形结合分析是关键．13．（2025·上海奉贤·二模）定义：如果一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且这两个三角形相似，那么我们把这个三角形称为另一个三角形的镶嵌相似形；已知中，点分别在上，连接．(1)如图，是中点，，时，求证：是的镶嵌相似形；(2)如图，当，，是的镶嵌相似形，．求的值；(3)如图，如果，，，是的镶嵌相似形，且与不平行，求的长．【答案】(1)见解析；(2)；(3)．【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．（）由平行线分线段成比例定理可得，，又是中点，则，所以，故，从而求证；（）由是的镶嵌相似形，，，则，，证明，所以，然后代入即可求解；（）由是的镶嵌相似形，，则分当时，当时两种情况分析即可．【详解】（1）证明：∵，，∴，，∵是中点，∴，∴，∴，∴，∴，∴是的镶嵌相似形；（2）解：∵是的镶嵌相似形，，，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，

∴；（3）解：∵是的镶嵌相似形，，当时，∴，过点作于，作于，∴，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，

∴，∵，∴，

设，，∵，∴，

设，，∴，∴，∴，∵中，，，∴；当时，不成立，舍去．14．（2025·上海·二模）如图，在矩形中，联结，在边上取一点E，上取一点F，联结，．在上有一点G．作的外接圆，弧弧．联结，延长交边于点H．(1)若点C、H重合，求证：．(2)若；①当时，求的长和的余切值；②列表写出圆O的圆心分别在、与内部时，长度的取值范围(不写解答过程)．【答案】(1)见解析(2)①，；②见解析【分析】（1）连接，延长交于M，证明四边形是矩形，在矩形中，，再证明，即可解答；（2）①先证明，求出，，，，再证明，即可求出的长，连接，交于点N，过点G作交延长线于点P，同(1)得，即可求出，证明，求出，，利用余切的定义即可解答；②过点E作与点M，分当点O在上，点O在上，点O在上时，三种情况讨论，利用矩形的性质结合解直角三角形求出的长，利用相似三角形的性质即可求出点O在边界上时的值，再结合图形即可得到结果．【详解】（1）解：连接，延长交于M，，，，，，，，四边形是矩形，，在矩形中，，∵，∴，，，，，；（2）解：①，，又，∴，，，，，，，∵，∴，，∴，，连接，交于点N，过点G作交延长线于点P，同(1)得，则，∵，∴；∴，∴，，∵，；，，；②解：过点E作与点M，当点O在上时，如图，连接，，，，，，∴四边形是矩形，∴，同理，四边形是矩形，∴，设，则，，∴，∴，，∴，∴，∴，即，解得（负值舍去），∴，，∴，，∵，∴，∴，，∴，，即，∴；当点O在上时，如图，延长交于点K，同理得：四边形是矩形，则，设，则，∵，∴，∴，∵，∴，，，，，∴，∵，∴，∴，∴四点共圆，∴，∴，∴，∴，，∴，，即，∴，解得：，∴，，，∴，，即，∴；当点O在上时，如图，同理得：四边形是矩形，则，此时，为的直径，∴，，，，∴四边形是矩形，，∴四边形是正方形，同理：四边形是正方形，设，则，，，∴，∴，∴，解得：，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，，即，∴；当点C、H重合时，；则点O位置长的取值范围内内内【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定与性质，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，垂径定理，勾股定理等，解题的关键是作辅助线利用特殊角构造直角三角形来求相关线段的长度．15．（2025·上海杨浦·二模）已知圆O的直径上有一点C（不与A、B重合），，过点C作弦，点F是弧的中点，连接，交于点G．(1)如图1，当点G与点O重合时，求的长；(2)如图2，连接，当时，求的值；(3)设，，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）连接，根据垂径定理得出，根据弧、圆心角的关系，以及对顶角的性质得出，结合平角定义求出，根据余弦定义求出，即可求解；（2）连接，，，，设与相交于H，根据垂径定理得出，根据弧、弦、圆心角的关系得出，，结合（1）可得，，结合平角定义求出，根据等边对等角和三角形内角和定理可求出，进而求出，根据垂径定理、垂直平分线的性质得出，进而求出，然后证明，得出，证明是等腰三角形，得出，则可化简为，最后解方程即可；（3）分情况讨论：当C在上时，连接，，，过F作与于H，证明，得出，证明，得出，在和中，根据勾股定理得出，则可求出即可求出y关于x的函数解析式；当C在上时，同理求解即可．【详解】（1）解∶连接，∵，∴，∴，∵点F是弧的中点，∴，∴，又，∴，又，∴，∴，∴；（2）解：连接，，，，设与相交于H，∵，∴，∴，，又，∴，又，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，又，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，化简得，解得（负值舍去）；（3）解：当C在上时，连接，，，过F作与于H，∵，∴，∴，∴，∵，，，∴，又，∴，∴，在中，，在中，，∴，化简得，∴（负值舍去），∴；当C在上时，连接，，，过F作与于H，同理可求出，，解得∴，综上，．【点睛】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，垂径定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解一元二次方程，勾股定理