空间立体几何典型例题分析讲解

空间立体几何

考试范围：XXX；考试时间：100分钟：命题人：xxx

考前须知：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷〔选择题〕

请点击修改第I卷的文字说明

评卷人~得分

一、选择题〔题型注释〕

1.如图，球0是棱长为1的正方体ABCB-ABCD的内切球，那么平面AC6截球。的极

面面积为〔〕

〔A〕-〔B〕-〔C〕—（D〕—7T

6363

2.一个几何体的三视图如下图，且其侧视图是一个等边三角形，那么这个几何的体积为

〔）

〔A〕〔B）（4+乃）&

（8+乃）百[D]（8+万）6

[C）

-3-

3.某几何体的三视图及尺寸如图示，那么该几何体的外表积为〔〕

A.3万B.10乃C.6〃D.47r

4.某简单几何体的三视图如下图，其正视图.侧视图.俯视图均为直角三角形，面积

分别是1,2,4,那么这个几何体的体积为（）

正w视图侧视图

48

A.-B.-C.4D.8

33

5.一个棱锥的三视图如图，那么该棱锥的全面积〔单位：0〃/〕为〔〕

〔A〕48+12及(B)48+24y[2

〔C〕36+120(D)36+24行

6.一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为（〕

21

A.2B.1C.±D.-

33

7.正方形AUEA的边长为4,点8,C位边［鸟，的中点，沿AB,5C,。折叠成

一个三棱锥〔使/鸟，6重合于点尸〕，那么三棱维P-A8C的外接球外表

积为

A.24万B.I24C.8乃D.4乃

8.球的外表积为20不，球面上有A、B、C三点，如果AB=AC=2,BC=273,那么球心到

平面ABC的距离为〔〕

A.1B.桓C.y/3D.2

4

9.设四面体的吗个面的面积分别为S“S2,S3,S,，它们的最大值为S,记4=上一

S

那么有〔〕

A.2</W4B.3<2^4C.2.5<%W4.5D.3.5<4W5.5

10.假设一个三角形，笑用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的

A/B孝信C2倍DJI倍

11.在A43C中，AB=2,BC=1.5,NABC=120°〔如以下图），假设将AABC绕直

线8c旋转一周，那么所形成的旋转体的体积是

9万c7乃八5万c3乃

A.——B.——C.—D.—

2222

12.在三棱锥A-8CO中，AC_L底面BC。，BDLDC,BD=DC,AC=af

/A3C=30。，，那么点C到平面ABD的距离是（）

A石A/15X/3V15

A.——aBR.---aCP.——aDR.----a

5553

13.一个外表积为36n的球外切于一圆柱，那么圆柱的外表积为〔〕

A、45nB、27n

C、36nD,54n

14.如图，半球内有一内接正方体，那么这个半球体积与正方体的体积之比为〔〕

A、3：6B、展房：2C、后；2D、5元：12

15.两个球的体积之比是8：27,那么这两个球的外表积之比是〔）

A、2;3B、4；9c、五:'月D、花:

16.甲球与某立方体的各个面都相切，乙球与这个立方体的各条棱都相切，丙球过这个

立方体的所有顶点，那么甲、乙、丙三球的半径的平方之比为〔〕

A、1：2：3B、1：尤：右C、1：幽：枣D、1：2五：3后

17.假设球的大圆面积犷大为原来的3倍，那么它的体积扩大为原来的〔〕倍

A、3B、9C、27D、3上

18.球内接正方体的外表积与球的外表积的比为〔）

A、2：kB、3:kC、4：汗D、6:"

32

19.球的体积是3n,那么此球的外表积是〔〕

1664

A、12nB、16nG、3nD、3n

20.在长方体A8CO-4SG。，底面是边长为2的正方形，高为4,那么点4到截

面Ad"的距离为（）

8343

A.-B.-C.-D.一

3834

21.直三棱柱ABC-A/G中，各侧棱和底面的边长均为。，点。是CG上任意一点，

连接那么三棱锥4一48。的体班为〔〕

直角三角形的直角边长为1,那么这个几何体的体积为cm3.

36.三个球的半径之比为1：2：3,那么最大球的体积是其他两公球的体积之和的

倍

37.湖结冰时，一个球漂在其上，取出后（未弄破冰），冰面上留下了一个直径为24cm,

深为8cm的空穴，那么该球的半径为

38.如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水、假设放入一个半径为r的

R_

实心铁球，水面高度恰好升高r,那么广

39.把一个大的金属球外表涂漆，需油漆2.4kg,假设把这个金属球熔化，制成64个

半径相等的小金属球〔设损耗为零〕，将这些小金属球外表漆漆，需用油漆。

40.球。的一个小圆。的面积为25不，。到此小圆板面的距离是12,那么这个球的外

表积为。

41.有6根细木棒，其中较长的两根分别为64,&1,其余4根均为〃，用它们搭

成三棱锥，那么其中两条较长的棱所在的直线所成的角的余弦值为.

42.在右图所示的是一个正方体的展开图，在原来的正方体中，有以下命题：

①AB与EF所在的直线平行：②AB与CD所在的直线异面；③MN与BF所在的直线成60°

角：④MN与CD所在的直线互相垂直.其中正确的命题是

43.。为边长为4的正三角形A8C所在平面外一点且==那么。到

AB的距离为o

44.空间四边形ABCD中,分别是A8,BC,C7）,D4的中点，那么8C与

4。的位笈关系是；K边形EFGH是形；当E寸,

四边形EFGH是菱形;当时，四边形EFG”是矩形；当时,

四边形EFGH是正方形

45.正三棱锥的侧面积为186cm",高为3cm.求它的体积.

46.球的外表积扩大为原来的4倍，那么它的体积扩大为原来的倍

47.正六棱锥的高为4cm,最长的对角线为4j?cm,那么它的侧面积为.

评卷人得分

三、解答题〔题型注释〕

48.〔此题总分值14分〕

如图，正三棱柱—的底面边长是2,O是侧棱CG的中点，直线AD与

侧面BBCQ所成的角为45.

⑴求此正三棱柱的侧棱长；

⑵求二面角A—3。一。的平面角的正切值；

⑶求直线6C与平面的所成角的正弦值.

工平面是矩形,袅是

49.如图，PAABCD,ABCDPA=AB=\fAD=6,FPB

的中点，点E在边8c上移动.

⑴求三棱维E-PAD的体积；

⑵当点E为8C的中点时，试判断所与平面BAC的位置关系，并说明理由；

(3)证明：无论点£在边3C的何处，都有庄_LA尸.

50.〔此题总分值12分〕

如图，轴截而为边长是2的正方形的圆柱。01内有一个三棱柱4BC-A8G，三棱柱

的底面为圆柱底而的内接三角形，且A3是圆。的直泾.ZAOC=60°

〔1〕求三棱柱49C—A«G的体积；

〔2〕证明：平面A4CCJL平面B8CC

51.正三棱维P—ABC的侧棱长为I,两侧棱的夹角为2仪，求它的外接球的体积。

52.：球的半径为R,要在球内作一内接圆柱，问这个圆柱的底面半径和高为何值时，

它的侧面积最大？

53.在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别是49n。冽2和400n、

求球的外表积、

54.如图，正三棱柱ABC—ABC的底面边长的3,侧棱AAk二一,D是CB延长线上一点，

2

且BD=BC.

(I〕求证：直线BG〃平面ABiD；

(II〕求二面角Bi—AD一B的大小；

(III)求三棱锥Ci—ABB,的体积.

参考答案

1.A

【解析】

试题分析：根据正方体的几何特征知，平面ACDi是边长为血的正三角形，且球与与

以点D为公共点的三个面的切点恰为三角形ACDt三边的中点，

故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，

那么由图得，AxACDi内切圆的半径是立Xtan30',

26

那么所求的城面圆的面积是nX二一X—=—,

666

应选A.

考点：正方体及其内接球的几何特征

点评：中档题，关键是想象出截而图的形状，利用转化与化归思想，将空间问题转

化成平面问题。

2.D

【解析】

试题分析：观察三视图知，该几何体是半个圆锥与一个四棱锥的组合体。因为，其侧视图是

一个边长为2的等边三角杉，所有，几何体高为6。圆柱底半径为1,四棱锥底面边长为2,

故其体积为，XJx6万+,x2?x6=（8+%）3,选D。

2336

考点：三视图，体积计算，

点评：简单题，三视图问邈，关键是理解三视图的画法规那么，应用''长对正，高平齐，宽

相等〃，确定数据。认识几何体的几何特征，是解题的关键之一。

3.

【解析】D

试题分析：由三视图可知，该几何体是一个圆锥，底面圆的半径为1,高为2J5,所以圆

锥的母线长为3,所以圆锥的外表积为乃xl2+；rxlx3=44.

考点：本小题主要考察根据三视图识别几何体和圆锥外表积的计算，考察学生的空间想象能

力和运算求解能力.

点评：解决此类问题，关键是根据三视图正确复原几何体.

4.A

【解析】

试题分析：由三视图可知，该几何体是一个底面是直角三角形，有一条侧枝垂直于底面的三

棱锥，设底面直角三角杉的两条直角边分别为，垂直于底面的侧棱长为c,所以

114

ab=2,bc=^.ac=S,所以该三棱锥的体积为一x—xdxbxc=—.

323

考点：本小题主要考察三视图的应用和三棱锥体积的计算，考察学生的空间想象能力和运算

求解能力.

点评：解决此类问题关键是根据三视图正确复原几何体.

5.A

【解析】

试题分析：由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，所以全面积为

-x5x6x2+-x6x6+-x6V2x4=48+12>/2.

2

考点：本小题主要考察三视图和空间几何体的外表和的计算，考察学生的空间担孽能力和运

算求解能力.

点评：求解与三视图有关的问题，关键是正确复原几何体.

6.C

【解析】

试题分析：由三视图可知，该几何体是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，该几何体的高是1,

底面是对角线为3的正方形，所以该几何体的体积为1X()2X1=2.

33

考点：本小题主要考察几何体的三视图的识别和应用以及四棱锥体积的计算，考察学生的空

间想象能力和运算求解能力.

点评：解决与三视图有关的问题，关键是由三视图正确复原几何体.

7.A

【解析】

试题分析：折登后的三棱锥~一ABC中氏℃两两垂直，所以三棱锥的外接球与以

PA,PB,PC为临边的长方体外接球是一样的，球的直径2R等于长方体体对角线2«,

；.口=瓜：、=4兀片=24兀

考点：三棱锥外接球

点评：解此题的关键点在于利用PAP氏尸C两两垂直将三棱锥外接球转化为长方体外接球

8.A

【解析】由球的外表枳公式可知S球=4万/?2=20匹「./?=6,

所以因为AB=AC=2,BC=2Ji,所以ZBAC=120°,所以

-------:—=2r,.\—=2r,.,.r=2,所以球心至“平面ABC的距离为

sin120sin120

J=J(75)2-22=1.

9.A

【解析】当S产S*S3£=S时，入=4：当高趋向于零时，入无限接近2

10.B

【解析】根据斜二侧画法可知，平行与x轴的不变，y轴的缩为原来的一半，那么一个三角

形，采用斜二测画法作出其直现图，其直观图面积是原三角形面积的J倍，选B.

4

11.D

【解析】根据旋转体的概念可知，AA8C中，入8=2,4C=1.5,NABC=120°,假设将

△ABC绕直线3c旋转一周，那么所形成的旋转体的体积大圆锥减去小的圆锥的体积，那

么可知是阴，选D.

2

12.B

【解析】因为三棱锥A-BCO中，ACJ_底面8CQ,BDLDC,BD=DC,AC=a,

4BC=30。，，那么点。到平面430的距离是誓。，选B

13.D

【解析】因为球的外表积为36n,所以球的半径为3,

因为该球外切于圆柱，所以圆柱的底面半径为3,高为6,

所以圆柱的外表积S=277x3?+2^x3x6=544.

14.B

【解析】假设正方体的棱长为〃，半球的半径为R,

、V6

在直角三角形。VV中，R=a~+~=——a

2

15.B

4£3

QX247rA*24

【解析】设半径分别为r,R;那么—=，_,.・.巳=之则——^:一.应选B

他*27R34%尸9

T

16.A

【解析】设立方体棱长为a,甲，乙，丙三个球半径分别为r,s";那么

r=—a,s=W^a,i=如~叫那么，：/：/=1:2:3.应选A

222

17.D

【解析】设球扩大前后半径为r,R;那么4)R2=3X4/"2..・./?二百厂；扩大后体积为

4434冗03凌石4万3A俚八

3R=3(>]3r)=373x3，.应选D

18.A

【解析】假设正方体的棱长为。，那么球的半径为卫一〃，

2

S正方体=6〃2=2

S球4/吟汽

19.B

4,32

【解析】设球的半径为R,那么一成3=工乃，

33

所以7?=2,

球的外表积S=4成2=16万。

20.C

［解析】利用三棱锥A一4耳。1的体积变换：匕1TB内二匕认用旦，那么gx2x4=gx6x〃

21.B

・cry/3a

“0i,-=1e1x—=--

【解析】vA_AiBD=yD-AiBAovi?

JJ乙乙<14

22.C

【解析】正四棱柱的底面积为4,正四棱柱的底面的边长为2,正四棱柱的底面的对角线

为2近，正四棱柱的对角线为26，而球的直径等于正四棱柱的对角线，

即2R=2瓜/?=#，5球=4万冗2=24万

23.A

【解析】设扇形半径为R,那么4=2X3£R2=32R2；圆锥底面圆半径为r,那么

248

2^r=-R,:.r=-R;^以3=A+乃/=亚/??+万己/?)2=空H2.所以

488864

4:8=11:8.应选A

24.B

【解析】设正方体棱长为a,球半径为r;由条件知4=2r.那么球外表积正方体

的外表积之比为"二工二2应选B

6a26(2r)26

25.D

AjrAjr

【解析】设个数为〃;那么——x5'=〃x——x1*,/.〃=125.应选D

33

26.D

【解析】设球的半径为：1,

那么球的外切圆柱的底面半径为：1,高为：2,

球的外切等边圆锥的底面半径为：75,圆锥的高为：3

4

所以球的体积为：一乃

3

圆柱的体积：2Xnf=2n

圆锥的体积：X3TI=3几

4

一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥〔圆锥的轴极面为正三角形〕的体积之比一万：2n：

3

3n

即4：6：9

应选D

27.B

【解析】

28.C

【解析】如图，由题意得；三棱锥A-ABD的体积等于三棱锥B-AA,D的体

­〃1°,1113，33

所以：V^W«-M«=OXSA^DX^=-X-X^X^X—^=—«

J，4»414

应选C.

29.B

1

【解析】27个全等的小正方体的棱长为一〃；边长为a的正方体的外表积为6。9~；27个全等

3

的小正方体的外表积和为27x6x(1q)2=18/；那么外表积增加了12/。应选B

30.D

4a,

【解析】设球半径为R,那么一；rR3=44/?2,.・./?=3.应选D

3

31.D

【解析】正四面体，正方体，正五棱锥的底面边长与侧棱长相等。因为正六

边形的中心到各个顶点的距离相等且等于正六边形的边长，所以不存在底面

边长和侧棱长相等的六棱锥，应选D

【解析】

试题分析：由三视图可知，该几何体是一个底面是边长为2的正方形，由一条长度为2的侧

1Q

棱垂直于底面的四棱锥，所以该四棱锥的体积为一x2x2x2二一.

33

考点：本小题主要考察空间几何体的三视图和空间几何体的体积的计算，考察学生的空间想

象能力和运算求解能力.

点评：求解与三视图有关的几何问题的关键是根据三视图正确复原几何体.

33.3万

【解析】

试题分析：显然该四面体是一个正四面体，把这个正四面体置于一个正方体中，在棱长为1

的正方体ABCD-A^Ciy中，由四个顶点4,BC,。组成的四面体的所有校长均为J5,

从而四面体的外接球就是正方体的外接球，由于正方体的体对角线长为所以球的半径

为管，所以球的外表积为4万x（母尸=34.

考点：本小题主要考察四面体与外接球的关系和球的外表积的计算，考察学生的空间想象能

力和运算求解能力.

点评：此题的解法很特殊但是很有效，其实借助规那么的几何体进展解题是常用的解题方法.

34.——n

2

【解析】

试题分析：由题意可知，A'BJLAC,所以假设四面体A—8c。顶点在同一个球面上，那么

8c为球的直径，所以8c=6,所以球的半径为立，由球的体积公式可知该球的体积为

考点：本小题主要考察球内接多面体，球的体积等，考察学生的空间想象能力和运算求解能

力.

点评：此题属于比拟根底的题目，正确求出球的半径是解题的关键.

【解析】

试题分析：由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，该三棱锥底而为直角边为1的等腰直角

三角形，由一条侧棱垂直于底面，长度为1,所以该几何体的体积为LxLxlxlxluL.

326

考点：本小题主要考察由几何体的三视图复原几何体和空间几何体的体积计算，考察学生的

空间想象能力和运算求解能力.

点评：解决此类问题的关键是根据三视图复原几何体，另外有时此类题目还考察外表积的计

算.

36.3

47r

【解析】不妨三个球半径分别为1,2,3；那么最大球的体积为——x3?=364;其他两个球的

3

47r47r

体积之和为3-x13+《_x23=12万.那么最大球的体积是其他两个球的体积之和的3倍.

37.13cm

【解析】设球半径为R,那么R2=(R_8>+122.解得K=13.

273

38.3

【解析】根据题意可得：——TVR~R=./—r———r,所以一=-.

3V33r3

39.9.6kg

【解析】设大的金属球半径为R,64个半径相等的小金属球半径为匕叫配=64乂加，，

33

那么r=』R;于是64个半径相等的小金属球的外表积和

4

64x41产=64X4^-(-/?)2=16/rR2

4

是大的金属球外表积的4倍：所以需用油漆2.4x4=9.6kg.

40.676万

【解析】因为小圆。的面枳为25万，所以小圆。的半径为5,

球的半径R=752+122=13,

所以球的外表积5=4成2=44x13?=676万。

&

41.3或o

【解析】依题意可得，三棱锥中较长的两条棱长为、万a,，设这两条棱所在直

线的所成角为。。假设这两条棱相交，那么这两条棱长所在面的第三条棱长为。，由余弦定

理可得COS®=*。)2+虚“—"2=如。假设这两条棱异面，如图，不妨设

273a.ea3

AC=6ci,BD=6a,取3。中点E,连接4瓦。\因为AB=AD=BC=CD=a,

所以有AEIRD,CEA.RD,从而有/?力I面ACE,所以BD1AC,邪么

cos=cos90=0

42.②④

【解析】由展开图可知，各点在正方体中的位笈如下

由图可知，砂且异面，①不正确；AB与CO异面，②正确：MN//BF,③不正

确；MN上CD,④正确

△a

2

【解析】

如图，设。是点P在平面ABC内射影，连接CO并延长交A8于点£。因为

PA=PB=PC=a,所以点。是AA3C的中心。因为AABC是边长为〃的正三角形，所

以0E_LA6,而PO_LA3,所以48_1_面。。后，从而可得AB_LPE,所以尸E长为点尸

到48距离。而△出8是边长为。的正三角形，E是AB中点，所以可得PE=@a

2

44.异面直线；平行四边形：BD=AC；BDVACx8O=AC且8O_LAC

【解析】

由图可知，8C,A。为异面直线。因为分别是4。中点，所以EH//LBD。同

=2

理可得RJ//，3。，所以EH//R7,那么四边形EFG"是平行四边形。

=2=

由上可得EF7/』AC,当四边形EPG”是菱形时，EF=EH,即所以

=222

可得BO=AC。

当四边形EFG”是矩形时，EF.LEH,因为EF//AC,EH//BD,所以可得BD1AC。

当四边形EFGH是正方形时，有EF工EH且EF=EH,从而可得8OJ.AC且

BD=AC

45.9>/3cm3

3x』H?'=18百

2

【解析】设底面边长为。，斜高为〃'；那么广，解得。=6.所以

32+（虫〃）2=/产

正三棱锥的体积为lx—X62X3=9X/3.

34

46.8

【解析】设球半径为匕扩大后球半径为R;那么4乃/?2=4乂44,,...R=2匚于是扩

444

大后体积为一兀总二一纭（2Q3=8x—7，.所以它的体积扩大为原来的8倍.

333

47.30V3cm2

【解析】由条件知：正六棱锥底面边长为26；那么斜高为^4+（曰x26/二5;所以

正六棱锥的侧面积为6x,x2j5x5=30jG.

2

48.[1）2V2[2]3（3）—

10

【解析】

试题分析：〔1〕设正三棱柱ABC—A18cl的侧棱长为x.取BC中点E,连接AE.

•♦•443。是正三角形，...4七_18。.

又底而ABC_L侧面BBC。，且交线为BC.

.•.4EJ_侧面38。。.

连ED,那么直线AO与侧而BAG。所成的角为NADE=45…

在MAAED中,tan45^=—=,解得x=2拉.

EDr~e

FT

此正棱柱的侧棱长为

4分

〔2〕过石作石/J.BD于尸，连4尸，

•.•AEJL侧面BBgC,：.AFLBD.

.•./AWE为二面角A-BD-C的平面角.

在RMEF中,EF=BEsinNEBF,

CD

又8E=l,sinNE8E=——-________

BD丁+（后"3'

EF=—.又AE=®

3

在RtAAEF中

4/7

tanZAFE=—=3.9分

EF

〔3〕由〔2〕可知，4。J,平而AEW,.•.平而AEbJ,平面且交线为Ab,

二.过上作EG_L4产于G,那么EG平面人BO.

AExEF

在小A4E/中，EG=

AF

£为4c中点，

点。到平面ABD的距离

CI=2EG=^^-

14分

10

考点：本小题主要考察空间几何体中，直线与平面所成的角和二面角的求解和计算，考察学

生的空间想象能力和运算求解能力.

点评：求解线面角和二面南时，关键是先作出所求的前，证明所作的角即为要求的角，然后

再计算，计算时还要注意各个角的取值范围.

49.(1)—(2)E/〃平面PAC(3)分别证明PB工AF,所以A/J•平面

6

PBE,进而Ab_LP£

【解析】

试题分析：

(1)三棱锥E—24。的体积V=；PA•5.加=3PA・(；AO-A3)=点.……4分

(2)当点E为BC的中点时，石b与平面PAC平行.

•・•在•5。中，瓦厂分别为3C、PB的中点、,

：.EF/IPC,又所。平面PAC,PCu平面PAC.

:,EFH*而PAC.……9分

(3)证叨AOCO：•・•帖1•呼面448,BEu“面ABCD,

：.BE±PAf义BE上AB,43口抬=4，A&PA二平面/<43,

8EJL平面7M5.又AFu平面八钻，・・・AF_LBE.

大PA=AB=T,点、F是PB的中点、,：,PB上AF,

又•.■280|8后=8,PB,BEu平面PBE,

・•・Ab_1,平面PBE.

•；PEu平面PBE,AF工PE.……14分

考点：本小题主要考察三棱锥体积的计算、线面平行、线面垂直等的证明，考察学生的空间

想象能力和逻辑推理能力.

点评：计算三棱锥体积时，注意可以根据需要让任何一个面作底面，还经常利用等体积法求

三棱锥的高.

50.[1]—;〔2〕见解析。

2

【解析】本试题主要是考察了空间几何体的体积和面面垂直的证明的综合运用

〔1〕由题知AO=OC=1,XZAOC=60。则S,AOC=-AOOC-sin60°=—,结合体

积公式得到结论。

〔2〕•・•AA,1BCjAC±BCBC1面AA"「.面BBCC±面AA&C

51.

【解析】解：如图，

作PD~I■底面ABC于D,那么D为正.ABC的中心。

VODJ■底面ABC,

・・・P、0、D三点共线。

VPA=PB=PC=I,NAPB=2比

.・.AB=J21-21COS2a=21sin@

j2

a

.•・AD=3AB=3布|sin

设NAPD二产，作OE,PA于E,在Rt^APD中,

AD2

••,sin产二产4