19.3 二次根式的乘法（同步练习）（解析版）-人教版(2024)八下

专题19.3二次根式的乘法教学目标掌握最简二次根式的概念，并能够熟练的判断二次根式是否为最简二次根式。掌握二次根式的乘法运算法则，并能够熟练的对二次根式进行乘法运算。3.掌握积的算术平方根的性质，并能够结合二次根式的性质对二次根式进行化简。教学重难点重点（1）最简二次根式；（2）二次根式的乘法运算法则；（3）积的算术平方根。2.难点（1）判断被开放式是式子的最简二次根式；（2）利用二次根式的乘法以及积的算术平方根对二次根式进行计算化简。知识点01最简二次根式最简二次根式满足的三个条件：①被开方数不含开方开的尽的数。②根号下面不含分母。③分母里面不含根号。注意：若被开方数是多项式时，要判断多项式能否进行因式分解，若不能进行因式分解，则为最简二次根式；若能进行因式分解，且分解的结果没有相同的式子，则也为最简二次根式。【即学即练1】1．下列二次根式是最简二次根式的是（）A．5 B．13 C．0.2 D．【答案】A【解答】解：A、5的被开方数不含分母，也无开得尽方的因数，选项是最简二次根式，符合题意；B、13C、0.2=D、16=4故选：A．【即学即练2】2．在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A．1.3x B．a2+a8 C．【答案】C【解答】解：A、1.3xB、a2C、a2D、18=3故选：C．知识点02二次根式的乘法二次根式的乘法法则：几个二次根式相乘，根指数不变，把被开方数相乘。即ab。拓展：【即学即练1】3．计算：3×A．6 B．6 C．5 D．1【答案】B【解答】解：原式=3×2故选：B．【即学即练2】4．计算8×A．10 B．6 C．4 D．2【答案】C【解答】解：原式=8×2=故选：C．知识点03积的算术平方根的性质积的算术平方根的性质：两个非负数的积的算术平方根等于这两个非负数的算术平方根的积。即a∙b。【即学即练1】5．化简计算18A．4 B．2 C．22 D．【答案】B【解答】解：原式=18故选：B．【即学即练2】6．阅读材料，解答问题：（1）计算下列各式：4×9=6，4×16×25=20，16×25=通过以上计算：猜想得出a⋅b（a＞0，b＞0）＝a•b（2）运用（1）中的结论进行化简：例如：8=4×2=4×2=请化简：①27；②9ab2（a＞0，b【答案】（1）20；20；a•b；（2）3ba．【解答】解：（1）16×25=40016×25=4×5猜想a⋅b（a＞0，b＞0）=a故答案为：20；20；a•b；（2）①27=9×3=②9ab2=9•a•b2=3ba（a【即学即练3】7．计算：（1）18a⋅2a(a≥0)；（2）2（4）25a⋅10a(a≥0)；（5）3a【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原式=36a2（2）原式＝23×13（3）原式=2×7×7×5=7（4）原式＝250a2=10（5）原式＝﹣3a72ab2=-题型01判断最简二次根式【典例1】下列各式是最简二次根式的是（）A．13 B．12 C．a2 D．【答案】A【解答】解：A、13是最简二次根式；B、12=4×3=C、a2=|aD、53故选：A．【变式1】在根式①a2+b2②x5A．①② B．③④ C．①③ D．①④【答案】C【解答】解：①a2②x5③x2④27abc=3①③是最简二次根式，故选C．【变式2】在式子4、0.5、123、A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解答】解：∵4=20.5=12a2综上所述，是最简二次根式的个数是2个．故选：B．【变式3】在式子18，A．2 B．3 C．1 D．0【答案】B【解答】解：根据条件（1），排除13，0.5根据条件（2），排除18．最简二次根式有三个：x2+4，2a，a题型02二次根式的乘法运算【典例1】计算12×A．3 B．6 C．6 D．2【答案】B【解答】解：原式=36=故选：B．【变式1】计算：（1）3×5；（2）【答案】（1）15；（2）3．【解答】解：（1）3×（2）1=9＝3．【变式2】计算：（1）5×15（2）3x⋅13xy（3【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原式=75=5（2）原式=x2y（3）原式＝﹣518=-152（4）原式＝23×32×33=【变式3】计算：（1）3×6（2）210×35×8（3）1327【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原式==18＝32；（2）原式＝210×35×＝（2×3×2）10×5×2＝12100＝120；（3）原式=＝3；（4）原式＝（3×12=3=32b2题型03二次根式的化简【典例1】化简：（1）9=3；（2）325=35；（3）(3)2=3；（【答案】（1）3；（2）35；（3）3；（4）5【解答】解：（1）原式＝3．故答案为：3；（2）原式=3故答案为：35（3）原式＝3．故答案为：3；（4）(-5)2故答案为：5．【变式1】化简．（1）180．（2）2a•8a（a≥（3）35a•【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原式=36×5=6（2）∵a≥0，∴原式=16a2=|4a|（3）原式＝650ab=30【变式2】化简：（1）144×81；（2）500；（3）8m2n2（m＞0，（4）5×【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）144×81=12×9＝108（2）500=100×5=（3）8m2n2（m＞0，＝22mn；（4）5×10=1．下列二次根式中是最简二次根式的是（）A．0.3 B．7 C．12 D．1【答案】B【解答】解：∵0.3=3010，12=2故选：B．2．计算2×A．6 B．8 C．23 D．12【答案】C【解答】解：2×故选：C．3．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A．0.5 B．9a C．a2+b【答案】C【解答】解：根据最简二次根式定义：最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，逐项分析判断如下：A：0.5＝12B：9a＝3a，被开方数含平方因数C：a2D：a2故选：C．4．下列从左到右的变形不一定正确的是（）A．a•b=ab BC．(a)2=a(【答案】D【解答】解：A、左边a⋅b要求a≥0且b≥0，此时右边B、a2=|aC、当a≥0，(aD、左边ab要求ab≥0，但当a＜0且b＜0时，ab＞0左边有意义，右边a⋅故选：D．5．二次根式a2A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【解答】解：a2+3a+2：被开方数可因式分解为（a+1-xy3：被开方数含y2（因y3＝y2•y0.75：被开方数0.75=34，分母4是平方数，可化为a+ba-b综上，只有1个是最简二次根式．故选：B．6．给出四个算式：（1）32×42=122；（2）5x•5y=5xy；（3）2xy•3yx=6；（其中正确的算式有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【答案】C【解答】解：（1）32×42=（2）5x•5y=25xy（3）2xy•3yx（4）(-7)2×6=正确的只有（3）．故选：C．7．若x(3-x)A．﹣3 B．5 C．2x﹣3 D．3﹣2x【答案】B【解答】解：根据二次根式有意义的条件可得：∴x≥0，3﹣x≥0，∴0≤x≤3，∴x+1＞0，x﹣4＜0，∴(x故选：B．8．若10与m的积是一个有理数，则m的值可以是（）A．2 B．4 C．9 D．10【答案】D【解答】解：A、10×2=B、10×4=C、10×D、10×故选：D．9．已知a=2，b=3，用含a、b的代数式表示A．a+b B．2a C．2b D．ab【答案】D【解答】解：∵2×∴6=2故选：D．10．若m＝20222﹣2021×2022，n=20232-4×2022，k=A．m＜n＜k B．m＜k＜n C．n＜k＜m D．k＜n＜m【答案】D【解答】解：m＝20222﹣2021×2022＝2022×（2022﹣2021）＝2022×1＝2022，∵m＝2022，∴n=∴n＜m，∵n＝2021，∴k=∴k＜n＜m．故选：D．11．将二次根式50化为最简二次根式52．【答案】52【解答】解：原式＝52，故答案为：5212．等式x2-1=x+1⋅【答案】x≥1【解答】解：由题意可得，x+1≥0解得x≥1．13．若3a+1是最简二次根式，且a为整数，则a的最小值是2【答案】2．【解答】解：由题意得3a+1≥0，解得a≥-∵a为整数，∴当a＝0时，3a当a＝1时，3a当a＝2时，3a故答案为：2．14．若最简二次根式a+12a+5与4a+3b相等，则【答案】1【解答】解：根据题意得a+1＝2，2a+5＝4a+3b，所以a＝1，b＝1．故答案为1．15．观察下列各式：1+1×2×3×4=12+3×1+1；1+2×3×4×5=22+3×2+1；【答案】10301．【解答】解：猜测1+100×101×102×103=1002+3×100+1＝10301故答案为：10301．16．计算．（1）15×（2）214×3（3）2xy•yx（4）144×【答案】（1）35；（2）422；（3）2y；（4）2．【解答】解：（1）15=45＝35；（2）214＝614×7＝6×72＝422；（3）2xy•y＝2y＝2y；（4）144=217．已知b-a3（1）求a，b的值；（2）求b3【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵b-a3∴b-解得，a=0∴a的值是0，b的值是2；（2）b3+a18．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+22=1+22+2＝（1+2）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b2=（m+n2）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b2=m2+2n2+2mn2．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b3=（m+n3）2，用含m、n的式子分别表示a、b（2）试着把7+43化成一个完全平方式．【答案】（1）a＝m2+3n2，b＝2mn；（2）7+43=（2+3）【解答】解：（1）∵a+b3=（m+n3）2∴a+b3=m2+23mn+3n2∴a＝m2+3n2，b＝2mn；（2）7+43=4+43+3＝（2+319．【阅读材料】先来看一个有趣的现象：223=33【猜想】（1）5524=5【推理证明】（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，n≥2）表示含有上述规律的等式，并给出证明．【创新应用】（3）按此规律，若a+8b=a8b（a，b为正整数），则a+【答案】【猜想】（1）5524，证明见解析；【推理证明】（2）见解析；【创新应用】（3）【解答】解：（1）5555故答案为：55（2）nnnn（3）由条件可知a＝8，b＝a2﹣1，∴b＝82﹣1＝63，∴a+b＝8+63＝71，故答案为：71．20．探究过程：（1）62+13；（2）132+27；（3）观察计算