黑龙江省绥化市青冈县哈尔滨师范大学青冈实验中学校2025-2026学年高二下学期开学初考试数学试题（含解析）

哈师大青冈实验中学2025-2026学年度学期初考试高二数学试题一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求)1.经过点1,3,倾斜角为120∘A.3x+C.x+32.设fx存在导函数且满足limΔx→0f1−f1−A.-1B.-3C.1D.−3.各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,且−a1,34a2A.58或C.58或-15D.4.已知A4,1,3,B2,3,1,C3A.-4B.1C.10D.115.已知圆O1:x2+y2=1与圆O2:x2A.1B.3C.5或1D.56.设数列an的前n项之积为Tn,满足an+2A.−1C.14049D.7.已知m,n为非零常数，函数fx=mA.-2B.0C.2D.48.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子(春分时，北京的阳光与地面夹角为60∘)，若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为(A.2−3B.2−1二、选择题(本题共小3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得得6分,有选错的得0分,部分选对的得部分)9.若方程x23−t−y2A.苦C为椭圆,则1<t<3B.若C为双曲线,则tC.曲线C可能是圆D.若C为焦点在y轴上的椭圆,则110.下列结论正确的是()A.若A−2,3、B3B.经过点3,2,且在两坐标轴上的截距相反的直线方程为C.已知两点M−3,4、N3,2,过点P1,0的直线l1与线段D.经过直线l3:x+3y−10=11.已知数列an的前n项和为Sn,a1=2A.anB.an+C.SD.Sn2三、填空题(共3小题，每小题5分，共15分)12.如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，E,F分别为棱CD,AD13.已知m∈R,直线l1:x−my+m=0与l2:mx+y−514.已知函数fx=lnx,gx=ax2,存在直线过点0,−12四，解答题(本题共5个小题，其中15小题13分，16.17小题每题15分，18.19小题每题17分,共77分,解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)15.已知曲线fx(1)求曲线过点A1,(2)求满足斜率为−1316.在平面直角坐标系xOy中,已知圆M:x2+y2(1)求M的半径；(2)过坐标原点O的直线l被M截得的弦长为2，求l的方程.17.如图,在四棱锥P−ABCD中,CD⊥平面PAD,△PAD为等边三角形,AD//BC,AD=CD=2BC=2，平面PBC(1)求证:BC∥l(2)求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值；(3)在棱PC上是否存在点G,使得DG∥平面AEF?若存在,求PGPC18.已知数列an的前n项和为Sn,a1(1)求数列an(2)设bn=n2Sn,求数列bn的前19.已知点−5,12,3,5(1)求双曲线C的标准方程；(2)当m=1且k≠0时，直线l与双曲线C分别交于A,B两点，A关于y轴的对称点为D.证明:(3)当k≠±ba时，直线l与双曲线C有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴，y轴于Sx,0，T0,y两点.1.A由于倾斜角为120∘,所以k所以直线方程为:y−整理得:3x故选:A2.D解:因为limΔx→0f故选:D3.B设等比数列an的公比为q,由数列an为正项数列,则由−a1,34a2,a3为等差数列,则解得q=2或−12(舍去),又a1故选:B4.D:点Px,−1,3在平面ABC内,∴存在实数λ,∵AB∴x∴x−4=−2λ故选:D5.C两圆相减得公共弦方程为:2x−根据题意可知,圆O1的圆心到公共弦的距离d解得:F=1或当F=1时,圆O2的标准方程为:当F=−3时,圆O2的标准方程为:所以r=1或故选:C6.C因为an+2Tn所以Tn+2TnTn−1=Tn因为a1+2T1所以Tn=12n+故选:C.7.C函数fx则f′故f′故选:C.8.A如图,伞的伞沿与地面接触点B是椭圆长轴的一个端点,伞沿在地面上最远的投影点A是椭圆长轴的另一个端点,对应的伞沿为C,O为伞的圆心,F为伞柄底端,即椭圆的左焦点,令椭圆的长半轴长为a,半焦距为由OF⊥BC,OF=在△ABC中，∠BAC=60∘sin75由正弦定理得，2asin75∘=22sin60∘所以该椭圆的离心率e=故选:A9.BC因为方程x23−t−y21−对于A,若C为椭圆,则3−t>0t−1>03对于B,若C为双曲线,则3−tt−1<0,∴t>对于C,当3−t=t−1,即t=2时,曲线对于D,若C为焦点在y轴上的椭圆,则3−t>0t−1>010.ACA,B,C共线时,意味着直线AB,AC重合,此时kAB=kAC当直线经过原点和3,2时,方程为y=23x,在横纵坐标上截距都是0,也互为相反数,符合题意,如图，kPN=2−03−1=1，kPM=先求得l3:x+3y−10=0当直线斜率不存在时,x=1当斜率存在时,设y−3=kx解得k=43,即符合题意的直线有x=1,故选:AC11.ACD对于A,由Sn=an=Sn−1对于B,将an=Sn−1+n−所以an又a1+a2=所以an因此an+1对于C,因为an所以当n≥2时,当n=1时，当n≥2时,Sn−2an=对于D,因为Sn所以Sn所以Sn因此Sn2n是递增数列,故选:ACD.12.5依题意可得BE=所以BE===故答案为:513.2∵1由x−my+m=0得:由mx+y−5=0知:∵l1∩l2=P,∴P点轨迹是以C0,设Q2t则当t2=1,即t=±1故答案为:2214.1设直线与曲线y=fx相切于点Px1,y1由fx=lnx,则f′x=1x又切线过点0,−12,所以−12−lnx1=所以切线方程为y=1ex−12,由则2ax2=1e故答案为:115.(1)4x+(2)x+3y−23(1)f=又A1,0不在曲线设过点A1,0的切线的切点为则f′x0=−1因为点A1,所以1x解得x0=12.故曲线过点A1,0的切线方程为y=−4(2)设斜率为−13的切线的切点为Q由(1)知，k=f′a=−所以切点坐标为3,33或故满足斜率为−13y−33=−1即x+3y−2316.1(2)x=0或(1)圆M:x2+y则圆心为M1,−a,半径因为M上存在两点关于直线x+y+1=0对称,所以点M所以1−a+1=所以M的半径r=(2)由(1)可得x−12+y+因为过坐标原点O的直线l被M截得的弦长为2,所以圆心M1,−d若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=0,此时圆心M1,−2合题意;若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx,则d=k+所以直线l的方程为y=−34x综上可得直线l的方程为x=0或17.(1)因为AD//BC，AD⊂平面PAD，BC⊄平面所以BC//平面PAD又因为BC⊂平面PBC,平面PBC∩平面PAD=直线所以BC∥(2)取AD的中点O，连接OP,OB由题意可得:BC//OD，且BC则OBCD为平行四边形,可得OB//且CD⊥平面PAD,则OB⊥平面由OP⊂平面PAD,则OP又因为△PAD为等边三角形,则O为AB的中点,可得OPOB∩AD=O,OB,AD⊂平面ABCD如图,以O为坐标原点,OA,OB,OP分别为则A1可得AE=设平面AEF的法向量n=x,y,令x=2,则y=−1,由题意可知:平面PAD的法向量m=可得cosn所以平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值1717(3)由(2)可得:PC=−设PG=λPC,G可得a=−λb=2λ即G−λ,2λ,若DG∥平面AEF,则n可得n⋅DG=21所以存在点G,使得DG∥平面AEF,此时PG18.1(2)T(1)由2an+1=所以Sn又S1所以数列Sn是以-2为首项,3所以Sn当n≥2时,当n=1所以an(2)由(1)得bn=则Tn即−T−3两式相减得2T所以Tn19.(1