六年级数学下册盈亏问题深度探究教案

六年级数学下册盈亏问题深度探究教案

一、教学指导思想与理论依据

本节课的设计立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，以“三会”——会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界——为终极目标。盈亏问题作为一类经典的算术应用题，其本质是分配过程中的数量关系模型。本教学设计超越传统的“公式套用”模式，致力于引导学生经历数学建模的全过程：从具体情境中抽象出数学模型（一元一次方程的雏形），通过逻辑推理分析数量关系，最终回归实际进行解释与应用。

理论层面，本节课融合了建构主义学习理论和问题解决教学法。教师扮演引导者和促进者的角色，通过精心设计的问题链和探究活动，激活学生已有的“平均分”、“份数”、“总量”等认知基础，引导他们在认知冲突（两种分配方案的结果差异）中主动建构“分配差”与“单位盈亏量”之间的内在联系，从而自主“发现”盈亏问题的核心数量关系。教学强调思维的深度参与和语言的外化表达，旨在培养学生的逻辑推理能力、模型意识、应用意识和创新意识。

二、教学内容与学情分析

1.教学内容解析

盈亏问题源于中国古代数学典籍《九章算术》中的“盈不足术”，是小学阶段解决问题策略中的重要组成部分，隶属于“数与代数”领域。其基本模式是：将一定数量的物品，按照一种方案分配，会有剩余（盈）；按照另一种方案分配，则会有不足（亏）。已知两种分配方案的结果和物品的总数（或人数），求物品总数（或人数）。

核心数量关系为：(盈+亏)÷两次分配每份数的差=份数

本课将对此基础模型进行深度挖掘与拓展，涉及三种典型变式：

1.标准盈亏型：一盈一亏。

2.双盈/双亏型：两种分配方案结果同为“盈”或同为“亏”。

3.“不足”型（或称为“刚好分完”与“不足”）：一种方案刚好分完，另一种不足。

2.学情分析

授课对象为六年级下学期学生。他们具备以下基础与特点：

1.知识基础：熟练掌握整数、小数、分数的四则运算；深刻理解“平均数”、“每份数”、“份数”、“总数”之间的关系；初步接触过用字母表示数和简单的方程思想。

2.能力基础：具备一定的逻辑思维能力和从具体情境中提取数学信息的能力，能够用线段图等直观方式辅助分析数量关系。

3.思维障碍：学生容易将盈亏问题固化为记忆公式，对公式(盈+亏)÷分配差

的来源理解不深，尤其在面对“双盈”、“双亏”或条件表述变化的非标准题型时，容易机械套用公式导致错误。对盈亏问题与方程思想、函数思想的联系缺乏认识。

4.学习心理：六年级学生思维向抽象逻辑过渡，有挑战复杂问题的欲望，但需要系统化的思维引导和结构化的策略支持。

三、教学目标

1.知识与技能

1.理解盈亏问题的本质是两次分配中“总数不变”与“每份数变化”导致的差异。

2.掌握盈亏问题基本数量关系的推导过程，并能根据“盈”、“亏”、“尽”的不同组合，灵活运用和变通数量关系式。

3.能够熟练运用线段图、比较法等方法分析和解决典型的盈亏问题及其变式。

2.过程与方法

1.经历“情境导入—建立模型—解释应用—拓展延伸”的完整数学建模过程。

2.通过对比分析、合作探究，体会“将未知量设为标准份数”的化归思想，以及“寻找不变量”的解题策略。

3.初步感知算术解法与方程解法之间的联系，为中学学习方程奠定思维基础。

3.情感、态度与价值观

1.在解决古代数学问题的过程中，感受数学文化的悠久历史和实用价值，增强民族自豪感。

2.在克服复杂问题的挑战中，体验数学思维的严谨性和解决问题的成就感，培养坚韧的探究精神。

3.形成从数学模型角度审视生活中分配问题的意识（如资源调度、预算规划）。

四、教学重难点

1.教学重点：理解盈亏问题核心关系(盈+亏)÷分配差=份数

的算理，掌握其推导过程。

2.教学难点：

1.3.从“一盈一亏”到“双盈”、“双亏”、“一盈一尽（刚好）”等变式的数量关系迁移与灵活运用。

2.4.理解“分配差”的含义，尤其是在物品数量（被分配对象）和接受分配者（份数）角色转换时的辨析。

3.5.透过算术解法，洞察其背后“以不变量为核心建立等价关系”的方程思想本质。

五、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（含《九章算术》简介、动态线段图演示、分层例题与练习题）；实物道具（小糖果、信封，用于课堂导入演示）；小组探究学习任务单。

2.学生准备：直尺、铅笔、练习本。

六、教学过程

第一阶段：文化溯源，情境激疑(预计用时：8分钟)

【教师活动】

1.故事引入：课件呈现《九章算术》第七章“盈不足”的图文介绍。“同学们，今天我们要探究的问题，有着两千多年的历史，它出自中国古代数学名著《九章算术》。古人智慧地用它来解决分配中的难题。今天，我们就来做一回‘小古人’，破解‘盈不足’的奥秘。”

2.创设情境：“现在，老师这里有一包糖果，想要分给一些同学。如果每人分5颗，最后会多出12颗；如果每人分8颗，最后还差6颗。请问：有多少名同学？这包糖果一共有多少颗？”

3.动手演示：邀请两名学生上台，用实物（糖果和代表同学的信封）模拟第一种“每人5颗，多12颗”和第二种“每人8颗，少6颗”的情况，将抽象条件可视化。

【学生活动】

1.观看课件，了解数学文化背景。

2.倾听问题，思考可能的解决方法。

3.观察实物演示，直观感受“盈”与“亏”的状态。

【设计意图】

从数学史引入，赋予知识以文化厚重感，激发学习兴趣。真实、直观的情境创设与演示，将核心概念“盈”（多）、“亏”（少）生动具象化，有效降低了学生的认知门槛，为抽象思维活动提供了坚实的“脚手架”。提出的问题是标准的“一盈一亏”型，作为本课的锚点问题。

第二阶段：模型初建，探本溯源(预计用时：20分钟)

【教师活动】

1.引导画图：“面对这个问题，我们首先请出老朋友——线段图来帮忙。谁能用两条线段分别表示两种分配方案下的糖果总数？”教师逐步引导，在黑板上或用课件动态画出标准线段图。

1.2.第一条线段：等分成若干份（未知，用“？”表示），每份长代表5颗，后面多出一段代表“盈”12颗。

2.3.第二条线段：等分成相同的份数（“？”），每份长代表8颗，后面缺少一段代表“亏”6颗。

4.聚焦比较：“请大家仔细观察这两条线段图，它们代表的是同一包糖果，所以什么是不变的？”（总糖果数不变）“是什么导致了第一次多、第二次少呢？”（每次分的颗数不同，即每份数变了）

5.关键提问：

1.6.“从‘每人5颗’到‘每人8颗’，每个人多分了几颗？”(8-5=3颗)——明确“分配差”。

2.7.“这些多分的糖果是从哪里来的呢？”（学生可能回答：第一次多出来的12颗被重新分配了还不够，还得再拿6颗才够。）

3.8.核心追问：“那么，总共需要多少颗糖果，才能满足从每人5颗变成每人8颗呢？”引导学生将“盈”的12颗和“亏”的6颗联系起来思考。学生可能说出：需要12+6=18颗。

9.建立联系：“太好了！因为每人多分了3颗，导致原来多出的12颗不够了，反而还需要6颗。这意味着，多分的糖果总量就是12+6=18颗。现在，我们能求出人数了吗？”引导学生自主得出：总差额÷每人差额=人数

，即(12+6)÷(8-5)=6（人）

。

10.语言表征：带领学生用完整的数学语言复述解题思路：“由于总糖果数不变，第二次分配比第一次分配，每人多分了(8-5)颗。为了完成这次多分，不仅用掉了第一次多余的12颗，还需要补上6颗，所以总共需要多(12+6)颗糖果。因此，人数就等于总差额除以每人差额。”

11.抽象模型：板书核心关系式。并用字母进行一般化表示：

设人数为a

，第一次每份m

，盈r

；第二次每份n

，亏s

(s>0)。

则有：a=(r+s)÷(n-m)

【学生活动】

1.尝试在练习本上跟随老师绘制线段图。

2.观察、比较线段图，回答教师提问，理解“总糖果数”是不变量。

3.思考并回答关键问题，在教师引导下，理解“总差额=盈+亏”的逻辑。

4.自主完成人数和糖果总数的计算（糖果总数：6×5+12=42颗或6×8-6=42颗）。

5.同桌之间互相讲述解题的推理过程。

6.记录模型公式，并理解每个字母的含义。

【设计意图】

这是突破重难点的核心环节。摒弃直接告知公式的做法，通过线段图这一直观工具，将抽象的“盈”、“亏”转化为可视的线段长度。通过一系列层层递进的问题链，引导学生主动发现“总差额”与“分配差”之间的对应关系，自主“建构”出数学模型。强调“总数量不变”这一不变量，是贯穿所有盈亏问题变式的根本。用字母表示模型，初步渗透代数思想，实现从算术到代数的思维飞跃准备。

第三阶段：变式深究，融会贯通(预计用时：25分钟)

【教师活动】

1.提出变式，分组探究：

1.2.变式一（双盈）：如果每人分5颗，多20颗；每人分8颗，多2颗。求人数和糖果数。

2.3.变式二（双亏）：如果每人分10颗，少15颗；每人分8颗，少3颗。求人数和糖果数。

3.4.变式三（一盈一尽）：如果每人分6颗，正好分完；每人分10颗，少18颗。求人数和糖果数。

将学生分为三组，每组重点探究一种变式，要求：

(1)画线段图分析；(2)找出总差额和分配差；(3)尝试推导关系式；(4)派代表讲解。

5.巡视指导：深入各组，关注学生能否正确画出线段图，特别是“双盈”时两条线段都多出一截，“双亏”时都缺少一截，引导他们思考“总差额”如何计算。

6.组织汇报，思维碰撞：

1.7.请“双盈”组汇报。关键引导：第一次多的20颗，在第二次分配时，不仅被用掉，而且还“不够多”了，只剩下多2颗。所以，实际被用掉的“盈”是20-2=18颗。关系式：(大盈-小盈)÷分配差=份数

。

2.8.请“双亏”组汇报。关键引导：第一次缺15颗，第二次缺3颗。第二次比第一次缺得少了，是因为每人少分了（10-8=2颗），省下了一些糖果，使亏空从15颗减少到3颗。所以，节省的糖果总量是15-3=12颗。关系式：(大亏-小亏)÷分配差=份数

。

3.9.请“一盈一尽”组汇报。关键引导：“正好分完”可以看作是“盈0”或“亏0”。因此，总差额就是(0+18)或(盈+0)，具体取决于表述。统一为(盈+亏)÷分配差

，其中“尽”对应的值为0。

10.整合建模，提炼口诀：

1.11.在黑板上整合四种情况（一盈一亏、双盈、双亏、一盈一尽/一亏一尽）的线段图和关系式。

2.12.引导学生观察规律，提炼出普适性的数量关系：

总差额（的绝对值）÷两次分配每份数的差=份数

3.13.为了方便记忆，可以总结口诀：“盈亏加，盈盈减，亏亏减，遇到‘尽’来零替换。”同时强调，理解远比记忆口诀重要。

14.角色互换，深化理解：

抛出问题：“刚才我们都是求‘人数’（份数）。如果题目告诉了我们人数和盈亏情况，求‘每份数’或‘总数’，该如何分析？”引导学生意识到，核心关系式是一个三元关系，已知任意三个量可求第四量。

【学生活动】

1.以小组为单位，领取任务，进行合作探究。动手画图，讨论推理。

2.小组代表上台，利用投影或黑板展示本组的线段图，并讲解推理过程。

3.倾听其他小组的汇报，对比不同变式的异同，修正自己的理解。

4.在教师引导下，总结归纳出普适性的解题规律，并记录。

5.思考“角色互换”问题，从不同角度巩固对模型的理解。

【设计意图】

通过合作探究和对比分析，让学生亲身体验从基本模型到变式推广的数学发现过程。三种变式的设计具有代表性，覆盖了所有可能的情况。小组汇报促进了数学语言表达和思维共享。教师的引导关键点在于揭示不同情况下“总差额”的计算逻辑（盈与亏是相加还是相减）。最后整合建模，将分散的变式统一到一个更高的认知结构下，实现了知识的系统化和思维能力的升华。“角色互换”问题则培养了学生逆向思维和模型的多角度应用能力。

第四阶段：典例精析，综合应用(预计用时：15分钟)

【教师活动】

1.呈现典例，引导分析：

例题1（基础巩固）：学校给住宿生分配宿舍。若每间住8人，则有12人没位置；若每间住10人，则刚好空出2间宿舍。求住宿生人数和宿舍间数。

1.2.引导：“空出2间宿舍”是什么意思？是“亏”还是“盈”？亏了多少个床位？(空2间，即少了2×10=20个床位，所以是“亏20人”)

2.3.“12人没位置”是“亏12人”。

3.4.两次分配每间差2人。属于“双亏”型。宿舍间数=(20-12)÷(10-8)=4（间）

。

4.5.强调：准确将生活语言转化为“盈”、“亏”数值是解题第一步。

例题2（条件隐含）：小明从家到学校，若每分钟走50米，则要迟到3分钟；若每分钟走70米，则可提前5分钟到校。求小明家到学校的路程。

1.6.引导：这里的“盈”和“亏”是什么？“迟到3分钟”可以理解为“亏”了3分钟的路程，即距离终点还差50×3=150米。“提前5分钟”可以理解为“盈”了5分钟的路程，即走完全程后还能多走70×5=350米。

2.7.“份数”是什么？(计划时间)

3.8.转化后成为“一盈一亏”型：计划时间=(350+150)÷(70-50)=25（分钟）

。路程=50×(25+3)=1400米或70×(25-5)=1400米。

4.9.强调：识别题目中的“分配对象”（路程）、“份数”（时间）和“每份数”（速度）是难点，需要仔细分析“盈亏”所对应的具体数量。

例题3（综合拓展，衔接方程）：老师给美术小组的同学分发图画纸。如果每人发3张，则缺2张；如果其中两人每人发4张，其余人每人发5张，则刚好分完。问有多少同学？多少张纸？

1.10.引导：第二种分配方案不是统一的“每份数”。怎么办？

2.11.策略一（假设法，算术思想延伸）：假设所有人都发5张，那么原来缺2张会变成缺多少张？(因为有两人才发4张，每人少发了1张，所以总共节省出2张。因此，如果都发5张，总缺口会变成2+2=4张)。此时转化为“一亏一尽”型：每人3张，亏2张；每人5张，亏4张？不对，都发5张时是“亏4张”吗？注意“刚好分完”是目标。我们来列方程。

3.12.策略二（引入方程，展示通法）：设有x个同学。根据总纸数不变：3x-2=4×2+5×(x-2)

。解方程得x=6，纸数=16张。

4.13.对比升华：算术方法巧妙但需要转化，方程方法直接而通用。这正是我们用字母表示数、寻找等量关系的优势。盈亏问题的算术模型本质上是特定形式的方程。

【学生活动】

1.独立审题，尝试分析例题1和2。

2.跟随教师的引导，学习将复杂生活语言和隐含条件转化为标准盈亏模型。

3.对于例题3，感受算术解法的巧妙与局限，体会方程思想的普适性和优越性。

4.记录解题过程，重点标注关键转化步骤。

【设计意图】

本环节旨在提升学生的实际应用能力和数学转化能力。例题1训练学生准确翻译生活语言。例题2是经典的“行程盈亏问题”，需要学生进行跨情境迁移，识别出核心模型不变。例题3作为拓展挑战题，旨在打破思维定式，让学生意识到当条件复杂时，盈亏模型可能不是最直接的工具，从而自然引出方程思想，实现小学算术思维到中学代数思维的平滑衔接与观念提升。通过对比，让学生看到不同数学工具的特点和适用范围。

第五阶段：分层练习，诊断反馈(预计用时：12分钟)

【教师活动】

发布分层练习题，限时完成，并进行当堂巡阅和点评。

A组（基础达标）

1.植树小组种树。如果每人种5棵，还剩14棵；如果每人种7棵，就缺4棵。这个小组有多少人？一共要种多少棵树？

2.幼儿园老师给小朋友分梨。如果每人分3个，多出12个；如果每人分5个，少20个。有多少个小朋友？多少个梨？

B组（能力提升）

3.用一根绳子测量井深。把绳子三折来量，井外余4米；把绳子四折来量，井外余1米。求井深和绳长。（提示：折数即等分的段数，盈亏的是绳长）

4.学校买来一批图书分给各班。若每班分30本，则多余50本；若每班分35本，则正好分完。学校有多少个班？买了多少本书？

C组（思维拓展）

5.动物园为猴山的猴子买来一批桃子。如果每只猴子分5个，还剩32个；如果其中10只猴子每只分4个，其余每只分8个，则恰好分完。猴山有多少只猴子？共买来多少个桃子？

【学生活动】

1.根据自身情况，至少完成A、B两组题目，鼓励挑战C组。

2.独立完成练习，书写规范。

3.与同桌交流有疑问的题目。

【设计意图】

设计分层练习，满足不同层次学生的学习需求，实现“下要保底，上不封顶”。A组巩固基本模型，确保全体学生掌握核心知识。B组涉及测量和“一盈一尽”变式，需要一定的转化和应用能力。C组是复杂分配问题，供学有余力的学生探究，进一步强化方程思想的运用。教师通过巡视，能及时诊断学情，对共性问题和典型错误进行即时反馈。

第六阶段：全课总结，展望延伸(预计用时：5分钟)

【教师活动】

1.引导学生总结：“回顾今天这节课的探究之旅，你有哪些收获和体会？”引导学生从知识（模型、变式）、方法（画图、比较、转化）、思想（不变量、模型、方程）等多个维度进行总结。

2.教师精要提升：

1.3.知识层面：我们掌握了盈亏问题的核心——抓住“总数不变”，利用两次分配产生的“总差额”和“每份差额”来求解份数。关键是理解“盈”、“亏”、“尽”的含义与联系。

2.4.方法层面：线段图是我们分析数量关系的利器；比较法是我们寻找关系的钥匙。

3.5.思想层面：盈亏问题是数学建模的一个绝佳范例。我们从实际问题中抽象出模型，解决了成类的问题。同时，我们也看到了算术解法与方程解法的密切联系，算术是“巧解”，方程是“通法”。

6.布置作业与延伸：

1.7.必做作业：整理课堂笔记，完成练习册相关基础题。

2.8.选做作业（探究性）：

(1)查阅资料，了解《九章算术》中“盈不足术”的原文表述和更多古代应用。

(2)在生活中寻找一个可以用盈亏模型解释或解决的实际例子，并尝试建立模型。

(3)思考：如果分配方案超过两种，该如何解决问题？（为中学学习线性方程组埋下伏笔）

9.结束语：“数学的魅力在于从纷繁复杂的世界中寻找不变的规律。希望同学们不仅能解好书本上的盈亏题，更能用数学的眼光去发现和解决生活中的‘盈亏’智慧。”

【学生活动】

1.积极参与课堂总结，分享自