九年级数学寒假作业12 与圆相关的计算题（16大题型）（巩固培优）（原卷版）

限时练习：60min完成时间：月日天气：作业12与圆相关的计算题知识点一、圆的有关性质1.圆的定义及性质圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。确定圆的条件：（1）圆心；（2）半径。圆的对称性：（1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；（2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。2.圆的有关概念弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。备注：（1）直径是同一圆中最长的弦。（2）直径长度等于半径长度的2倍。弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。知识点二、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。常见辅助线做法（考点）：（1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度；（2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分知识点三、圆心角、圆周角的概念（1）圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。（2）圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=）推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。知识点四、点和圆、直线和圆的位置关系1.点与圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d<r点P在⊙O内；d=r点P在⊙O上；d>r点P在⊙O外。2.过三点的圆（1）过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。（2）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。（3）三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。3.三角形的内切圆和内心（1）三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。（2）三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。注意：内切圆及有关计算（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r=。（3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。4.直线与圆的位置关系（1）直线与圆相离无交点；（2）直线与圆相切有一个交点；（3）直线与圆相交有两个交点；5.切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可。即：∵且过半径外端∴是⊙的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线6.切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵、是的两条切线；∴；平分知识点五、正多边形和圆1.圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在⊙中，∵四边是内接四边形∴∴2.圆内正多边形的计算（1）正三角形：在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：；（2）正四边形：同理，四边形的有关计算在中进行，：（3）正六边形：同理，六边形的有关计算在中进行，.3.与正多边形有关的概念、对称性正多边形有关的概念（1）正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。（2）正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。（3）正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。（4）中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。正多边形的对称性（1）正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。（2）正多边形的中心对称性：边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。（3）正多边形的画法：先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型题型一圆的基本概念1．（25-26八年级上·全国·阶段练习）某公园计划砌一个形状如图①所示的喷水池，有人改为如图②所示的形状．若外圆的直径不变，水池边沿的宽度和高度不变，则砌水池边沿需要的材料更多的是（

）A．图① B．图② C．两图一样多 D．无法确定2．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为作，直线交于、两点，若，则的值为．3．（24-25九年级上·浙江金华·月考）请用无刻度的直尺在以下图中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）(1)如图①，内接于中，画出中一条最长的弦；(2)如图②，等腰内接于中，，画出底边的中线；(3)如图③，已知四边形为矩形，点A、D在圆上，与分别交于点E、F．画出线段的垂直平分线；4．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图：(1)过点A作⊙O的直径AD；(2)过点B作⊙O的半径；(3)过点C作⊙O的弦．题型二点与圆的位置关系5．（25-26九年级上·山东济宁·期中）已知一个点到圆上的点的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径是（

）．A． B． C．或 D．不能确定6．（24-25九年级上·江苏盐城·月考）如图，在矩形中，，，若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点B、C、D只有一点在圆内，则r的取值范围为（

）A． B． C． D．7．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是．8．（25-26九年级上·全国·阶段练习）在矩形中，，．(1)若以A为圆心，8长为半径作，则B、C、D与圆的位置关系是什么？(2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是．题型三圆的对称性9．（25-26九年级上·青海西宁·期中）下列命题中，①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分；③等弦所对的弧相等；④等弧所对的弦相等；⑤在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．正确的是（

）A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②④⑤10．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，在中，若，则下列判断错误的是（）A． B．C． D．11．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，是的直径，点D，C在上，，，，则的半径为．12．（北京市大兴区2025-2026学年上学期九年级期末考试数学试卷）如图，内接于，是直径，交于点，，连接．(1)求证：；(2)若，，求的长．题型四利用垂径定理求值13．（25-26九年级上·天津西青·月考）如图，为的直径，弦于，，,则直径的长（

）．A． B． C． D．14．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为（

）A． B． C． D．15．（24-25九年级上·山东泰安·月考）如图，是圆的弦，直径，垂足为，若，，则的长为．16．（天津市红桥区2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷）已知为的直径，点在的延长线上，为上一点，，延长与相交于点．(1)如图①，若，求的大小；(2)如图②，若，，求弦的长．题型五垂径定理的实际应用17．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）如图是一个规格，球外径为的烧瓶正加热某种液体，在忽略烧瓶壁厚度的情况下，用弦表示球内液体液面的横截面，弦所在圆的圆心为，且弦时，液面深度为（

）A． B． C． D．18．（25-26九年级上·辽宁鞍山·月考）某数学兴趣小组仅用一张矩形纸条和一把刻度尺，测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边缘分别与杯底相交于A，B，C，D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则纸杯杯底的直径为（

）A． B． C． D．19．（25-26九年级上·山东·月考）石磨是古代劳动人民的食品加工工具（如图），石磨的磨盘可以看作圆的一部分，图是一个石磨磨盘的示意图，是上一点，经过圆心，且弦，垂足为．已知，则这个石磨磨盘的最大宽度（的直径）为．20．（25-26九年级上·广东东莞·期中）综合与实践[素材1]在河面上建一座桥，现测得桥下水平面的宽度为，有两种方案可供选择：方案1：如图1，建设成拱顶高出水平面的圆弧形桥梁；方案2：如图2，建设成拱桥的最高点离水平面距离为的抛物线形拱桥．[素材2]已知在这条河流中通航的最大货船宽，船舱顶部为矩形并高出水平面．[问题解决](1)求出方案1中圆弧形拱桥的半径；(2)为了保证河流的正常通航，请通过计算说明应该选择哪个方案．题型六圆周角定理21．（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，线段是的直径，弦于点E．若，则的度数为（

）A． B． C． D．22．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，为的直径，交于点E，交于点D，，则的度数是（）A． B． C． D．23．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，以为直径作半圆O，交于点D，在上取一点E，使，连接．若，则的度数为．24．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图所示，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上．(1)若，求的度数；(2)若，求的长．题型七直径所对的圆周角是直角25．（辽宁省葫芦岛市2025-2026学年上学期期末九年级数学试题）如图，四边形内接于，是的直径，若，则的度数是（

）A． B． C． D．26．（2026九年级·全国·专题练习）如图，和均为直角三角形，，连接，若，则的度数为（

）A． B． C． D．27．（25-26九年级上·甘肃甘南·期末）如图，四边形内接于为的直径，D为的中点，过点D作于点E，若则．28．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，在中，，以为直径的分别交于点，过点作的垂线交的延长线于点．(1)求证：；(2)过点作于点，若，求的长．题型八90度圆周角所对的弦是直径29．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，经过原点的与两坐标轴分别交于点和点，C是优弧上的任意一点（不与点O、B重合），则的值为（

）A． B． C． D．30．（2025·辽宁鞍山·一模）在数学活动课中，小丁用自己做的“直角角尺”测量、计算圆的半径．如图所示是“直角角尺”，，将点O放在圆周上，分别确定与圆的交点C，D，读得数据，，则此圆的半径约为（

）A．10 B．5 C．8 D．631．（25-26九年级上·山东泰安·月考）如图，在中，，，，是内部的一个动点，满足，则线段的长度最小值为（）A．2 B．4 C．5 D．732．（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，在中，，点为上一点，过，，的圆交于点，已知点为的中点，连接．(1)求证：．(2)，求的半径．题型九圆的内接四边形33．（青海省西宁市2025-2026学年九年级上学期期末调研数学试卷）如图，点A，B，C都在上，，则的度数是．34．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，是圆内接四边形的一条对角线，点D关于的对称点E在边上，连接，若，则的度数为．35．（25-26九年级上·甘肃甘南·期末）如图，四边形内接于，分别延长，，使它们相交于点E，，且．(1)求证：；(2)若，点为的中点，求的长．36．（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，是的内接四边形的一个外角，连接，已知．(1)求证：．(2)若，求的度数．题型十确定圆的条件37．（25-26九年级上·天津蓟州·月考）如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心的是（

）A． B． C． D．38．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）下列说法正确的是（

）A．三点确定一个圆 B．相等的圆心角所对的弧是等弧C．在同圆中，相等的弦所对的圆心角也相等 D．三角形的外心是三个内角平分线的交点39．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）如图，与x轴交于点，，与y轴的正半轴交于点C．若．（1）圆心P的坐标为；（2）点C的纵坐标为．40．（25-26九年级上·北京东城·期末）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编修的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2，是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图．如图3，已知月洞门的横跨为，拱高为a．作法如下：①作线段的垂直平分线，垂足为点D；②在射线上截取；③连接，作线段的垂直平分线交于点O；④以点O为圆心，的长为半径作．则就是所要作的圆弧．解答下列问题：(1)请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）；(2)若，，求的半径长．题型十一直线与圆的位置关系41．（25-26九年级上·北京·期末）已知在中，，，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（

）．A．点B在内 B．点C在上C．直线与相切 D．直线与相离42．（2025九年级上·浙江·专题练习）在中，，，，若以为圆心的圆与斜边有且只有一个公共点，则该圆半径的取值范围为．43．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，，是上一点（点与点不重合）．若在的直角边上存在4个不同的点分别和点、成为直角三角形的三个顶点，则长的取值范围是．44．（25-26九年级上·广西崇左·月考）如图，在中，，以直角顶点C为圆心作，设的半径为r．(1)请直接写出当r为何值，与所在直线相切；(2)当与斜边只有一个公共点时，请直接写出r的取值范围；(3)当与的三条边只有两个公共点时，请直接写出r的取值范围．题型十二证明切线45．（25-26九年级上·福建福州·月考）在中，，点O在上，以为半径的与相交于点P，且；(1)求证：是的切线．(2)若，求的半径．46．（2026九年级上·江苏·专题练习）如图所示，是的直径，点是半圆上的一动点（不与，重合），弦平分，过点作交射线于点．

(1)求证：与相切；(2)若，，求长．47．（25-26九年级上·广东云浮·月考）已知是的内接三角形，的平分线与相交于点，连接．(1)如图1，过点作直线，求证：是的切线；(2)如图2，点在弦上，且，求证：平分；48．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，以为直径的交于点D，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F．(1)写一个与相等的角__________；(2)求证：是的切线；(3)若，，求的半径．题型十三三角形的外接圆49．（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图，已知．(1)尺规作图：作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）的条件下，若的半径为10，点O到的距离为5，求的度数．50．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，点为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1）(1)该圆弧所在圆的圆心的坐标为______；(2)的半径为______；（结果保留根号）(3)点在______；（填“上”、“内”或“外”）(4)扇形刚好是某圆锥的侧面展开图，该圆锥底面半径为____．51．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）如图，已知等边．(1)在图上画出的外接圆（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)若，则的半径_____．52．（25-26九年级上·江苏南京·月考）已知等腰三角形，如图．(1)用直尺和圆规作的外接圆；(2)设的外接圆的圆心为，若，，则的外接圆的半径为．题型十四三角形内心的有关问题53．（25-26九年级上·福建泉州·月考）如图，是四边形的外接圆，是的直径，平分，．(1)求的度数；(2)若点E是弦上一点，且点E是的内心，，求的长．54．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，中直径弦于E，点F是的中点，交于I，连接．(1)求证：．(2)若，求的半径长．55．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点．(1)求证：．(2)连接．若，求的度数．56．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于D，过D作直线．(1)求证：是的切线；(2)若，求的半径．题型十五切线长定理57．（2025·四川广元·一模）如图，在中，，以为直径作．为上一点，且，连接并延长交的延长线于点．(1)求证：直线与相切；(2)若，求的长．58．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，为外一点，和为的两条切线，和为切点，为直径．(1)求证：①．②．(2)若，求的长．59．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）已知：如图，是的切线，B，C是切点，过上的任意一点P作的切线与分别交于点D，E．(1)连接和，若，则_______；(2)已知，求的周长．60．（25-26九年级上·广东潮州·期末）如图，为的直径，切于点C，与的延长线交于点D，交延长线于点E，连接，已知．

(1)求证：是的切线；(2)求的半径．(3)连接，求的长．题型十六圆内接正多边形61．（25-26九年级上·辽宁朝阳·期末）如图，有一个亭子，它的地基是正六边形，其外接圆的半径为，则该亭子地基的面积为（

）A． B． C． D．∵是正六边形，∴，，∴为等边三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴．62．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期末）正六边形蜂巢的建筑结构密实度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为8的正六边形，则的长为（

）A．12 B． C． D．63．（25-26九年级上·江苏常州·期中）我国古代数学家刘徽发现，圆内接正多边形边数不断增加时，多边形的周长就逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起完善的算法．如图，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接，，交于点，若，则半径的长为．64．（25-26九年级上·广西南宁·月考）综合与实践：广西灵山是“中国荔枝之乡”，灵山荔枝以果大核小、清甜多汁闻名遐迩，荣获国家地理标志保护．请你根据下面信息和素材，运用数学知识帮果农解决问题．信息及素材素材一在农科院技术人员的正确指导下，果农对荔枝种植养护技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2025年荔枝年产量是5000千克，2025年达到了7200千克，年增长率基本相同．素材二荔枝一般用长方体包装盒包装后进行售卖．素材三市场调查发现，顾客们也很愿意购买美观漂亮的其它造型的包装纸盒．任务1：求荔枝年产量的平均增长率；任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了装下适当数量的荔枝，需要设计底面积为的纸盒，计算此时纸盒的高；任务3：为了增加包装盒的种类，打算将任务2中的纸板通过图3的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（如图4），寓意“六合甜美”．请直接写出此时纸盒的底面正六边形的边长是多少．（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计）1．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，四边形是的内接四边形，连接、，，若等于，则的度数为（

）A． B． C． D．2．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）已知平面内有一个角，一个圆与这个角的两边都有两个交点．若此圆在角的两边上截得的两条弦恰好是某个正五边形的两边，则这个角的度数为（

）A． B．或 C．或 D．或3．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，弦过弦的中点，，，则长为（

）A． B． C． D．4．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（

）A．4 B．5 C．6 D．75．（北京市大兴区2025-2026学年上学期九年级期末考试数学试卷）如图，在中，点在弦上，半径，，若，，则的面积为．6．（25