九年级数学拓展寒假作业 特殊平行四边形的最值训练9大题型巩固提升+能力培优+创新题型（巩固培优）（解析版）

限时练习：60min完成时间：月日天气：寒假作业特殊平行四边形的最值问题一、特殊平行四边形中的将军饮马问题【方法技巧】在解决将军饮马模型涉及的基本方法：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”或“两点之间线段最短”等。二、特殊平行四边形中的将军遛马问题【方法技巧】在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照长度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接连线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥（造桥）再也不是问题！三、特殊平行四边形的逆等线问题【方法技巧】逆等线模型特点：双动点，动线段长度相等，并且位置错开。解决逆等线问题的一般思路——拼接构造（也是凭空构造的一种，一般没见过的不太好想）。四、特殊平行四边形中的费马点问题【方法技巧】费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。结论：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。五、特殊平行四边形中的胡不归问题【方法技巧】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。【最值原理】垂线段最短。六、特殊平行四边形中的主从联动（瓜豆）问题【方法技巧】当动点轨迹为一条直线时，常用“垂线段最短”求最值。1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值；2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。3）确定动点轨迹的方法（重点）=1\*GB3①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线，即模型1）；=2\*GB3②当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线，即模型2）；=3\*GB3③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型题型一特殊平行四边形中的将军饮马问题1．（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，已知正方形的边长为4，M在边上，，N是上一动点．当点N在上移动到某处时，能使得的值达到最小，则这个最小值是．

【答案】5【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线对称，连接交于点，在中利用勾股定理即可求出的长即可．【详解】解：∵四边形是正方形，∴点B与D关于直线对称，连接，交于，连接，则的长即为的最小值，∵，在中，，故的最小值是5．故答案为：5．

【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，勾股定理，得出B关于直线的对称点D，是解答此题的关键．2．（2026九年级·全国·专题练习）如图，正方形的对角线长为10．是的平分线，点E是边上的动点，在上找一点F，使得的值最小，则最小值为．【答案】5【分析】要解决的最小值问题，需利用轴对称（反射法）将折线转化为直线段．结合正方形的性质（对角线与边长的关系、角平分线的对称性），找到点关于的对称点，则，因此．根据“两点之间线段最短”，当、、共线且上时，最小值为到的垂直距离（或对应线段长度）．【详解】正方形的对角线．设正方形边长为，由勾股定理（正方形邻边相等，），得：，整理得：，解得：，即正方形边长为，是的平分线，．作点关于的对称点，则是的垂直平分线，．，根据“两点之间线段最短”，当、、共线且上时，的最小值为到的距离（或对应线段长度）．∵,，,由勾股定理得：，设代入得：，解得（负值舍去），即，的最小值为5．故答案为：．【点睛】本题核心是利用轴对称（反射法）将折线距离转化为直线距离，结合正方形的对角线性质（对角线与边长的关系、角平分线的对称性）简化问题．关键步骤是找到对称点，将转化为两点间的线段长度，再利用正方形的几何特征确定最小值．3．（24-25八年级下·江苏常州·月考）如图，菱形的边长为，，为的中点，在对角线上存在一点，使的周长最小，则的周长的最小值为．【答案】/【分析】连接交于点，连接，．由的长为定值，即得出的长度最小时的周长最小．再根据菱形的性质可推出的最小长度为的长，此时点P与点重合．结合题意易证是等边三角形，进而可求出，最后由三角形周长公式求解即可．【详解】解：如图，连接交于点，连接，．的长度固定，要使的周长最小，只需要的长度最小即可．四边形是菱形，与互相垂直平分，，的最小长度为的长，此时点P与点重合．菱形的边长为，为的中点，，，，是等边三角形，，，，∴，的最小周长．故答案为：．【点睛】本题考查菱形的性质，垂线段最短，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识．理解的最小长度为的长，此时点P与点重合是解题关键．4．（24-25八年级下·天津·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O为坐标原点，顶点A，C的坐标分别为，．将矩形沿直线折叠，使得点A落在对角线上的点E处，折痕与x轴交于点D．(1)填空：点B的坐标为______，的长为______；(2)求的长及所在直线的解析式；(3)若P为x轴上一动点，请直接写出使最小时点P的坐标．【答案】(1)，(2)3，(3)【分析】（1）由矩形求出，得到，然后根据勾股定理求解即可；（2）设，则，勾股定理求出，求出，由待定系数法求出直线的解析式；（3）如图所示，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，过点E作轴于点F，首先根据对称得到性质得到，然后由得到当点，P，E三点共线时，有最小值，即的长度，然后利用等面积法求出，进而得到，然后求出直线所对应的函数表达式为，当时，代入求解即可．【详解】（1）解：∵顶点A，C的坐标分别为，，四边形是矩形，，∴，；（2）解：由折叠的性质得：，，设，则，在中，，即，解得，，，设直线所对应的函数表达式为，将点，代入得：，解得，则直线所对应的函数表达式为；（3）如图所示，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，过点E作轴于点F由对称得，∴∴当点，P，E三点共线时，有最小值，即的长度∵∴∵，，，∴∴∴∴∴∴设直线所对应的函数表达式为，∴∴∴直线所对应的函数表达式为，∴当时，∴∴使最小时点P的坐标为．【点睛】本题考查一次函数与几何图形，矩形与折叠，勾股定理，熟练掌握一次函数的图象及性质，待定系数法求函数解析式的方法，矩形的性质是解题的关键．5．（24-25八年级下·山东临沂·月考）如图，长方形中，，，在边上取一点E，将折叠后点D恰好落在边上的点F处．(1)求的长；(2)在（1）的条件下，边上是否存在一点P，使得值最小？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)1(2)【分析】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理等知识点，理解矩形的性质成为解题的关键．（1）由平行四边形的性质可得,再根据折叠的性质，进而利用勾股定理求出，最后在，利用勾股定理即可解答；（2）如图，延长至使，连接交于P，此时，最小，最小值为，进而求得，最后利用勾股定理即可解答．【详解】（1）解：∵长方形中，，，∴，由折叠知，，在中，根据勾股定理得，，∴，设，则，在中，根据勾股定理得，，∴，解得：，∴．（2）解：如图，延长至使，连接交于P，此时，最小，最小值为，∵，∴，在中，根据勾股定理得，．题型二特殊平行四边形中的将军遛马问题6．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，矩形中，，，E为边的中点，点P、Q为边上的两个动点，且，当（

）时，四边形的周长最小．A．3 B．4 C．5 D．【答案】B【分析】在上截取线段，作F点关于的对称点G，连接与交于一点即为Q点，过F点作的平行线交于一点，即为P点，此时四边形的周长最小，过G点作的平行线交的延长线于H点，先求出，得出，设，则，列出关于x的方程，解方程即可．【详解】解：如图，在上截取线段，作F点关于的对称点G，连接与交于一点即为Q点，过F点作的平行线交于一点，即为P点，此时四边形的周长最小，过G点作的平行线交的延长线于H点，∵四边形为矩形，∴，，，∴，∵E为边的中点，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵在中，，∴，∴，∴，设，则，∴，解得：，即时，四边形的周长最小，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，轴对称的性质，解题的关键是作出辅助线，找出使四边形的周长最小时，点P的位置．7．（24-25八年级下·江西南昌·期中）如图，在矩形中，，点P，Q分别在上，，线段在上，且，连接，则的最小长度为（

）A．8 B．10 C．12 D．16【答案】B【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识；在边上取，连接，则得四边形是平行四边形，有，问题转化为求的最小长度，当点E在上时，取得最小值；由勾股定理即可求解．取，求的最小值转化为求的最小值是解题的关键．【详解】解：如图，在边上取，连接，∵四边形是矩形，∴，，∵，∴，∴四边形是平行四边形，∴，∴，即当取最小值时，取得最小值；当点E在上时，取得最小值，最小值为线段的长；∵，，∴，由勾股定理得，即的最小长度为10；故选：B．8．（24-25七年级下·福建泉州·期中）如图，长方形ABCD中，AB＝CD＝6，BC＝AD＝10，E在CD边上，且CD＝3CE，点P、Q为BC边上两个动点，且线段PQ＝2，当BP＝时，四边形APQE的周长最小．【答案】6【分析】四边形APQE的周长中AE和PQ是定值，要使四边形APQE的周长最小，只要AP+QE最小即可；在AD上截取AF＝PQ＝2，作点F关于BC的对称点G连接GE与BC交于点Q，过点A作AP∥FQ，过G作GH∥BC交DC延长线于点H，根据题意可得＝，即可求出CQ，则BP＝BC﹣PQ﹣CQ即可求解；【详解】解：∵四边形APQE的周长中AE和PQ是定值，∴要使四边形APQE的周长最小，只要AP+QE最小即可；在AD上截取AF＝PQ＝2，作点F关于BC的对称点G连接GE与BC交于点Q，过点A作AP∥FQ，过G作GH∥BC交CD于点H，∴GQ＝FQ＝AP，∵AB＝6，BC＝10，PQ＝2，CD＝3CE，∴EC＝2，CH＝6，GH＝8，∴EH＝8，∴＝，∴＝，∴CQ＝2，∴BP＝10﹣2﹣2＝6；故答案为：6．【点睛】本题考查矩形的性质，轴对称求最短距离，直角三角形的性质；能够将四边形的周长最小转化为线段AP+QE的最小，通过构造平行四边形和轴对称找到AP+QE的最短时的P和Q点位置是解题的关键．9．（2024·陕西·模拟预测）如图，在矩形中，，在边上，，连接，则线段的最小长度为．【答案】【分析】根据题意取的中点，连接，作点关于的对称点，连接，利用矩形性质证明四边形为平行四边形，再根据对称性得，继而利用勾股定理即可得到本题答案．【详解】解：如图，取的中点，连接，作点关于的对称点，连接，，∵矩形中，，，∴，，∴四边形为平行四边形，∴，即，∵根据对称性可知，则，，∵，∴的最小长度：，故答案为：．【点睛】本题考查平行四边形判定及性质，矩形性质，对称性质，勾股定理等．10．（2024·陕西榆林·三模）如图，在矩形中，，点P、点Q分别在上，，线段在上，且满足，连接，则的最小长度为．【答案】5【分析】本题考查矩形的性质，涉及平行四边形判定与性质，最短路径等问题，解题的关键是作辅助线，把的长转化为的长．过E作交于G，连接，可知四边形是平行四边形，故，，根据勾股定理求出，而，知最小时，最小，此时E在线段上，最小值为的长，即可得的最小值为5．【详解】解：过E作交于G，连接，如图：∵，∴四边形是平行四边形，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∵，∴，∴最小时，最小，此时E在线段上，最小值为的长，如图：∴的最小值为5；故答案为：5．题型三特殊平行四边形的逆等线问题11．（25-26九年级上·陕西延安·月考）如图，在菱形中，，点为射线上的动点，点为射线上的动点，且，连接、，若菱形的面积为18，则的最小值为．【答案】【分析】本题考查了菱形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质及最短路径问题，解题的关键是通过轴对称将线段转化为，结合全等三角形得到，再利用两点之间线段最短确定最小值．作点关于的对称点，由菱形面积得边上的高，进而得且；通过证，得，故；由得，在中用勾股定理求出，即的最小值为．【详解】解：作点关于的对称点，连接交于，连接、．∵四边形是菱形，∴，，∵菱形的面积为，∴，即，解得由轴对称性质，，，且在和中，，∴，得，∴．∵，∴．在中，，，∴．故答案为：．12．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，在菱形中，，，对角线交于点O，点E是上一个动点，点F为菱形内部一点，连接，若，，则的最小值为．（结果保留根号）【答案】【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、最短距离问题，将问题转化为求长是解答的关键．取中点G，连接、，证明和得到，，进而得到，当C、E、G共线时取等号，此时最小，最小值为的长，然后利用等边三角形的性质和勾股定理求得即可．【详解】解：取中点G，连接、、，则，∵四边形是菱形，，，∴，，，∴，是等边三角形，∴，，∴，∵，∴，在和中，∴，∴；在和中，∴，∴；∴，当C、E、G共线时取等号，此时最小，最小值为的长，在等边中，G为的中点，∴，，∴，故的最小值为．故答案为：．13．（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）如图，正方形的边长为5，点E，F在对角线上（点E在点F的左侧），且．则的最小值为．【答案】【分析】作，，连接，得到四边形为平行四边形，进而得到，得到，进而得到当点在线段上时，的值最小为的长，作于点，作交的延长线于点，易得为等腰直角三角形，求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理，进行求解即可．【详解】解：作，，连接，则：四边形为平行四边形，∴，，∴，∴当点在线段上时，的值最小为的长，作于点，作交的延长线于点，∵正方形，∴，，∴，∴四边形为矩形，∴，∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴的最小值为．【点睛】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，二次根式的混合运算等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，进行等线段转化，是解题的关键．14．（2025·广西·一模）如图，已知正方形中，点，分别在边、上，且，连接、，若的最小值为，则．

【答案】【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．延长至点，使得，连接，，首先证明，易得，即有，故当点、、在同一直线上时，取最小值，然后利用勾股定理求解，即可获得答案．【详解】如图所示，

延长至点，使得，连接，，，，，，，，，当点、、在同一直线上时，取最小值，，，在中，，，，，．故答案是：．15．（2025·四川雅安·一模）如图：菱形的边长为4，，点E，点F是对角线上的两动点，，连接，则的最小值为．【答案】【分析】连接交于点O，作，使得，连接交于点F，可得四边形是平行四边形，因此，根据两点之间线段最短可知，此时最短，再结合已知可得是等边三角形，进而得，在中，根据勾股定理即可求出的值，因此即可求出答案．【详解】解：连接交于点O，作，使得，连接交于点F，，四边形是平行四边形，，，根据两点之间线段最短可知，此时最短，四边形是菱形，，，是等边三角形，，，，在中，，的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．题型四特殊平行四边形中的费马点问题16．（25-26八年级上·陕西西安·月考）背景资料：在已知所在平面上求一点，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图①，当三个内角均小于时，费马点在内部，此时，此时，的值最小．解决问题：(1)如图②，等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出_____；(2)如图③，在中，，，，点为的费马点，连接，，求的值．

(3)如图④，在中，，在内部有一点，连接、、．求：的最小值．【答案】(1)(2)(3)的最小值为【分析】（1）连接，利用旋转的性质，易得为等边三角形，得到，，勾股定理逆定理，得到，进而推出的度数，即可得解；（2）将绕点顺时针旋转至处，连接，证是等边三角形，得，，再证、、、四点共线，然后证，即可解决问题．（3）如图，把放大倍，并逆时针旋转得到，连接，可得，，，，求解，，可得，，当四点共线时，，此时最小，取的中点，连接，证明为等边三角形，再进一步求解即可．【详解】（1）解：连接，

∵将绕顶点A逆时针旋转到∴，∴为等边三角形，∴，，∴，∴，∴．（2）解：将绕点顺时针旋转至处，连接，如图所示：则，，，，，，是等边三角形，，，点为直角三角形的费马点，，，，、、、四点共线，，，，，，在中，由勾股定理得：，，，在中，由勾股定理得：，．（3）解：如图，把放大倍，并逆时针旋转得到，连接，∴，，，，∴，，∴，，当四点共线时，，此时最小，取的中点，连接，∴，∴为等边三角形，∴，∵，∴，∴．∴的最小值为．【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，化为最简二次根式，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是通过旋转，构造全等三角形和特殊三角形．本题考查费马点问题，难度较大，属于压轴题．17．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值．(1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______；知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．(2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点．(3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，求的值．(4)如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、、，且边长；求的最小值．【答案】(1)150°；(2)见详解；(3)；(4)．【分析】（1）根据旋转性质得出≌，得出∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，根据△ABC为等边三角形，得出∠BAC=60°，可证△APP′为等边三角形，PP′=AP=3，∠AP′P=60°，根据勾股定理逆定理，得出△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，可求∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°即可；（2）将△APB逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，根据△APB≌△AB′P′，AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，根据∠PAP′=∠BAB′=60°，△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP，根据，根据两点之间线段最短得出点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，点P在CB′上即可；（3）将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，得出△APB≌△AP′B′，可证△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，根据，可得点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，利用30°直角三角形性质得出AB=2AC=2，根据勾股定理BC=，可求BB′=AB=2，根据∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，在Rt△CBB′中，B′C=即可；（4）将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F，得出△BCE≌△CE′B′，BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，可证△ECE′与△BCB′均为等边三角形，得出EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，，得出点C，点E，点E′，点B′四点共线时，最小=AB′，根据四边形ABCD为正方形，得出AB=BC=2，∠ABC=90°，可求∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根据30°直角三角形性质得出BF=，勾股定理BF=，可求AF=AB+BF=2+，再根据勾股定理AB′=即可．【详解】（1）解：连结PP′，∵≌，∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°，∴△APP′为等边三角形，,∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°，在△P′PC中，PC=5，，∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°，∴∠APB=∠AP′C=150°，故答案为150°；（2）证明：将△APB逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，∵△APB≌△AB′P′，∴AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，∴PP′=AP，∵，∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，∴点P在CB′上，∴过的费马点．（3）解：将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，∴△APB≌△AP′B′，∴AP′=AP，AB′=AB，∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，∵∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，∵，，，∴AB=2AC=2，根据勾股定理BC=∴BB′=AB=2，∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，∴在Rt△CBB′中，B′C=∴最小=CB′=；（4）解：将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F，∴△BCE≌△CE′B′，∴BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，∵∠ECE′=∠BCB′=60°，∴△ECE′与△BCB′均为等边三角形，∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，∵，∴点C，点E，点E′，点B′四点共线时，最小=AB′，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=2，∠ABC=90°，∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，∵B′F⊥AF，∴BF=，BF=，∴AF=AB+BF=2+，∴AB′=，∴最小=AB′=．【点睛】本题考查图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质，掌握图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质是解题关键．18．（24-25九年级下·湖南株洲·自主招生）若点是内一点，且它到三角形三个顶点的距离之和最小，则点叫的费马点（）．已经证明：在三个内角均小于的中，当时，就是的费马点．问题：已知在中，若P为的费马点，，，，则的值为．

【答案】【分析】由P为的费马点，得，从而求得，再由，，求得，即，即可得出，从而可证得出，得到，再把，代入，求得，，即可代入求解．【详解】解：∵P为的费马点，∴，∵∴，∵，，∴，∴，即，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形判定与性质，熟练掌握相似三角形判定与性质定理是解题的关键．19．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，已知矩形，，，点为矩形内一点，点为边上任意一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．20【答案】C【分析】此题考查旋转的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，解题关键在于利用旋转的性质求解，将绕点A逆时针旋转得到，可得，易得到和均为等边三角形，推出，可得，则共线时最短；由于点E也为动点，可得当时最短，此时易求得的值．【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到，则，∴和均为等边三角形，，∴，∴，∴、、共线时最短，由于点E也为动点，∴当时最短，而，∴，，∵和均为等边三角形，∴，，∴，，∴，∴的最小值为．故选C．20．（24-25九年级上·陕西西安·期中）正方形的边长为4,为正方形内任意一点，连接、、,的最小值为.【答案】【分析】顺时针旋转△APD，可得△PAP´为等边三角形，即得PA+PB+PD=PB+PP´+P´D´，所以只要点B、P、P´、D´在同一条直线上时，PB+PP´+P´D´值最小，最小值为线段BD´长，根据勾股定理求线段BD´长.【详解】解：如图，以A为中心，逆时针旋转△APD至△AP´D´，则△PAP´为等边三角形，则PA+PB+PD=PB+PP´+P´D´，∴当点B、P、P´、D´在同一条直线上时，PB+PP´+P´D´值最小，最小值为线段BD´长.作直线D´M⊥AB交BA延长线于M点，∵AD´=AD=4，∠D´AM=30°，∴D´M=2，∴根据勾股定理得，AM=，∴BM=4+，∴根据勾股定理得，BD´===.∴的最小值为.故答案为：【点睛】本题主要考查轴对称，路线最短问题，利用旋转进行等线段转换是解答此题的关键.题型五特殊平行四边形中的胡不归问题21．（2026九年级·全国·专题练习）如图，菱形中，，E是对角线上的任意一点，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】先得出，，从而可得，于是有．由于，可得当最小时，最小，即最小，再求得，利用勾股定理求得，从而可得的最小值为．【详解】解：过点E作于点F，连接．因为，且四边形为菱形，所以，，因此，所以．由于，因此当最小时，最小，即最小．根据垂线段最短，当时，最小，记此时的为．因为，，所以，因此，所以的最小值为．故选：A．【点睛】本题考查了垂线段最短，三角形三边关系的应用，含30度角的直角三角形，用勾股定理解三角形，利用菱形的性质求线段长等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．22．（25-26九年级上·黑龙江七台河·月考）如图，在菱形中，对角线，交于点，，，点是上的一个动点，连接，则的最小值为．

【答案】【分析】先根据题意作辅助线，过点作交于点，交于点，利用菱形的性质和勾股定理推出为等边三角形，根据角所对的直角边等于斜边的一半，推出，进而得到的最小值即的值，即可求解．【详解】解：如图所示，过点作交于点，交于点，此时的值最小，

在菱形中，对角线，交于点，∴，，，在中，根据勾股定理得，，∴，∴为等边三角形，∴，在中，，，∴，∴，∵，∴∴的最小值为，故答案为：．【点睛】此题考查了最短路线问题，掌握菱形的性质以及线段的性质：两点之间，线段最短，勾股定理，解直角三角形，等边三角形的判定与性质．23．（2024八年级下·湖南长沙·竞赛）如图，在长方形中，对角线，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，点是线段上一点，则的最小值是．【答案】【分析】过点作于点，连接，过点作于点，如图所示，由，知，得，推出的最小值为，然后通过含角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长即可．【详解】解：过点作于点，连接，过点作于点，如图所示：∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，，，∴在中可知，，即的最小值，∵将长方形沿对角线折叠，得，∴，∴，∴，∴的最小值为12，故答案为：12．【点睛】本题考查矩形的性质、翻折的性质、直角三角形两锐角互余、含角的直角三角形性质、三角形三边关系、垂线段最短、勾股定理等知识，通过作辅助线将的最小值转化为的长是解题的关键．24．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，在边长为的正方形中，点，分别是边、上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是；【答案】【分析】证明得，进而得到，则由直角三角形斜边中线的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，根据垂直平分线的性质得，可得当、、三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，求出，在中，利用勾股定理得，代入数据计算则可得结论．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵点是的中点，∴，如图所示，在延长线上截取，连接，∵，即，∴垂直平分，∴，∴，当、、三点共线时取“”，此时有最小值，最小值为，∵，正方形的边长为，∴，，∴，在中，，∴，∴的最小值是．故答案为：．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边中线的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，两点之间线段最短等，确定的最小值为是解题的关键．25．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在菱形中，，，点是对角线上的一个的动点，则的最小值为．【答案】【分析】本题考查了菱形的性质、垂线段最短、以及含角的直角三角形的性质．解题的关键是通过构造辅助线，将的最小值问题转化为点到直线的距离问题，利用勾股定理求解．【详解】解：如图，自点A作，垂足为Q，交于点P，∵，∴，又菱形对角线平分，则．∴．在上任取一点（不同于点P），连接，同理可证：．∵，即∴因此，点P是使可取得最小值的动点．∵在直角三角形中，，则，∴，∴，即的最小值为．故答案为：．题型六特殊平行四边形中的主从联动（瓜豆）问题26．（25-26九年级上·安徽·期中）如图，正方形的边长为8，为对角线上一动点，中，，，当点从点运动到点的过程中，的周长的最小值为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了垂线段最短、全等三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长，理解垂线段最短是解题的关键．根据题意证明，可得的周长为，当最小时周长最小，而，进而可得当时最小，求得此时的周长即可求解．【详解】解：四边形是正方形，，，，，，，的周长为，是等腰直角三角形，，如图，当时，最小，

正方形的边长为8，，，的周长的最小值为，故选：A．27．（25-26九年级上·浙江台州·月考）如图，在矩形中，，点为边上的一个动点，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．当线段的长度最小时，的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含直角三角形的性质，等腰直角三角形以及等边三角形的判定和性质等知识，求出当时，的长度最小是解答本题的关键．线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，连接，首先证明，得到，则当时，的长度最小，然后设，，则，求出，可得是等腰三角形，再证明是等边三角形，求出，进而求出的度数．【详解】解：线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，连接，如图所示：∴，，线段绕点逆时针旋转得到线段，，，，，则当时，的长度最小，设，，则，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，是等边三角形，，，，即，，故选：B．28．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）在边长为的正方形中，为对角线上一动点，为直线上一动点，，若点从点出发，沿方向移动到停止，则此过程中的中点移动的路径长．【答案】【分析】本题考查了正方形的性质、中位线的性质和动点问题，解题关键是利用中位线的性质得出的中点移动的路径．取的中点，连接并延长，交于点，由题意可知，中点在上移动，点移动的路径长为时，中点移动的路径为，进而可得在从移动到时，中点移动的路径为，求出长度即可．【详解】解：取的中点，连接并延长，交于点，延长至，使得，取的中点，连接，是的中点，，即中点在上移动，为的中点，当点在点时，点与点重合，的中点即为的中点，同理可得：当点在点时，点与点重合，的中点即为的中点，的中点移动的路径长即为的长，由中位线性质得，，当点从点出发，沿方向移动到停止，此过程中的中点移动的路径长为．故答案为：．29．（25-26九年级上·吉林·期中）综合与实践旋转是初中学习的一种全等变换，通过旋转可以将已知条件中“分散”的条件相对地“集中”在一起，构成新的联系，从而解决问题．同时，旋转时图形中出现“有公共端点的线段相等”的条件，所以在等腰（等边）三角形、正方形中常进行旋转变换．【分析问题】(1)如图①，点分别是正方形的边上的点，连接，若，求证：．证明：将绕点顺时针旋转，得到，则三点在同一条直线上，由旋转可知，，，四边形为正方形，，，，．【解决问题】(2)如图②，点为正方形内一点，且，求的度数．（思路点拨：如图②，将绕点逆时针旋转，得到，连接，确定与分别为等腰直角三角形和直角三角形，并利用勾股定理和逆定理，问题得以解决．）【拓展问题】(3)如图③，点是等边内一点，且，直接写出的度数．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先根据旋转的性质可得，则，，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证；（2）如图②，将绕点逆时针旋转，得到，连接，将先根据旋转的性质可得：，则，，再求出，根据等腰三角形的性质可得，然后根据勾股定理的逆定理可得，最后求和可得；（3）如图③，将绕点逆时针旋转，得到，连接，先根据旋转的性质可得，则，再求出，根据等边三角形的判定与性质可得，然后根据勾股定理的逆定理可得，最后求和即可．【详解】（1）证明：将绕点顺时针旋转，得到，∴∵∴三点在同一条直线上，由旋转可知，，，四边形为正方形，，，，，，．故答案为：，，．（2）解：如图②，将绕点逆时针旋转，得到，连接，∵四边形是正方形，∴，由旋转的性质得：，∴，，∴，∴，∴，∵，∵，∴，∴是直角三角形，且，∴．（3）解：如图③，将绕点逆时针旋转，得到，连接，∵是等边三角形，∴，由旋转的性质得：，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴是直角三角形，且，∴．【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．30．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）如图，正方形的点D和正方形的点E重合，旋转正方形同时确保点H在正方形内部．(1)如图，连接，后，判断和的数量关系并证明．(2)如图，继续旋转，若，，发现A，H，F三点共线时，求的长．(3)如图，连接，，当正方形旋转时，的形状和面积也随之改变，若，，直接写出的面积的取值范围．【答案】(1)，证明见解析(2)(3)【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，解一元二次方程，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．（1）根据题意补全图形，利用证明即可证明；（2）连接，利用正方形的性质求得，，由，推出，，得到，设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解；（3）当点运动到时，高取得最小值，当点运动到时，高取得最大值，据此画出图形，利用三角形的面积公式即可求解．【详解】（1）解：连接，，证明如下：∵正方形和正方形，∴，∴，∴，∴．（2）解：连接，∵正方形和正方形，，，，∴，，由第一步知，，∴，，∴，设，在中，由勾股定理知，即，解得，∴．（3）解：设点到的距离为，则，如上图，当点运动到时，高取得最小值，最小值，∴的最小值，如上图，当点运动到时，高取得最大值，最大值，∴的最大值，同时点H在正方形内部，∴的面积的取值范围为．题型七特殊平行四边形中的中位线问题31．（2024·广东·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，点H、G分别是边上的动点．连接，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图，取的中点，连接，作于．首先证明，求出，利用三角形中位线定理，可知，求出的最大值以及最小值即可解决问题．【详解】解：如图，取的中点，连接，作于．∵四边形是平行四边形，，，，，∴是等边三角形，，，，，在中，∵，，，，则的最大值为的长，最小值为的长，∴的最大值为，最小值为，∴的最大值为，最小值为，∴的最大值与最小值的差为．故选：C．【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明，属于中考选择题中的压轴题．32．（24-25九年级上·陕西西安·月考）如图，在矩形中，点E，F分别是边的中点，连接，点G，H分别是的中点，连接，若，，则的长度为（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．连接并延长交于，连接，根据矩形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．【详解】解：如图，连接并延长交于，连接，∵四边形是矩形，∴，∵分别是边的中点，，∴，，∵，∴，在与中，，∴，∴，∴，∴，∵点是的中点，∴．故选：A．33．（24-25九年级上·安徽淮南·月考）如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是（

）A．4 B．8 C． D．【答案】D【分析】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，中位线定理，勾股定理，根据中位线定理可得出点的运动轨迹是线段，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知，故的最小值为的长，由勾股定理求解即可．【详解】解：如图：当点与点重合时，点在处，，此时为中点，当点与点重合时，点在处，，此时为中点，∴是中位线，且，当点在上除点、的位置时，为中点，∴是中位线，是中位线，，，∴点在线段上，点的运动轨迹是线段，当时，取得最小值，矩形中，，，为的中点，为中点，∴，，、、为等腰直角三角形，，，∵，，，，即，的最小值为的长，在等腰直角中，，的最小值是．故选：D．34．（25-26九年级上·陕西西安·自主招生）在矩形中，，E为边中点，连接，P为上动点，F为中点，则的最小值为．【答案】【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，线段和最值问题，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．取线段的中点，连接，，作，过点作，交于点，过点作于点，交于点，在上找一点，使，判定出当点在同一条直线上时，的值最小，然后假设，则，表示出相关的线段，根据勾股定理列出方程进行求解即可．【详解】解：如图所示，取线段的中点，连接，，作，过点作，交于点，过点作于点，交于点，在上找一点，使，∵点为中点，∴为的中位线，∴，在矩形中，，∵点E为边中点，∴，∴四边形为平行四边形，∴，∴三点在同一条直线上，∴为等腰直角三角形，∴，∴，，∵，，∴，且，∵，∴，此时，，∴当点在同一条直线上时，的值最小，即，∴，假设，则，由勾股定理得，∵，∴，由勾股定理得，即，解得，∴，∴，∴，故答案为：．35．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，矩形中，，，E为中点，P为边上一动点（含端点），F为中点，则的周长最小值为．【答案】4【分析】根据三角形的中位线的性质得到，推导出，当的周长最小时，的周长最小；即的值最小时，的周长最小；如图，作A关于的对称点，连接交于P，于是得到结论．【详解】解：∵E为中点，F为中点，∴，∴，当的周长最小时，的周长最小，即的值最小时，的周长最小；如图，作A关于的对称点，连接交于P，连接，，∴，，∴四边形是平行四边形，∴，，∴，∴，故答案为：4．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，三角形中位线定理，矩形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．题型八特殊平行四边形中斜边中线有关问题36．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在△中，，，在上取点，使，作于，连接，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作，交的延长线于点，取的中点，连接、，因为于点，所以，而，则，推导出，进而证明△△，得，则，求得，由，得，所以，则的最小值为，于是得到问题的答案．【详解】解：作，交的延长线于点，取的中点，连接、，点在上，于点，，，，，，，在△和△中，，△△，，，，，，，的最小值为，故选：．【点睛】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．37．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在中，，，，．点、、分别是边、、上的动点，点是的中点，若，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，先结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而得点的运动轨迹，则当时，的长度最短，即最短，由直角三角形面积计算公式求出后即可得的最小值．【详解】解：连接，，点、、分别是边、、上的动点，点是的中点，，，即点在以为圆心，为半径的圆上运动，垂线段最短，当时，的长度最短，此时，也最短，，，最小值为．故选：．【点睛】本题考查的知识点是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、垂线段最短，解题关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出点的运动轨迹．38．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点和顶点分别在轴正半轴及轴正半轴上运动，若，，则在运动过程中，线段的最大值是．【答案】/【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．取的中点E，连接，当O，E及C三点共线时，最大，此时，由勾股定理求出，，即可得出结论．【详解】解：取的中点E，连接，则，当O，E及C共线时，最大，，，，，，故答案为：．39．（24-25九年级上·广东茂名·月考）如图，中，线段的两个端点分别在边上滑动，且，若点M、N分别是的中点，则的最小值为．【答案】【分析】本题考查直角三角形的性质（斜边中线）与垂线段最短，解题关键是连接、，利用斜边中线得、为定值，再结合三点共线时线段和差求最小值．根据三角形斜边中线的性质求得：由当、N在同一直线上时，取最小值，即可求得的最小值为3．【详解】解：如图，连接，，点M、N分别是、的中点，当C、M、N在同一直线上时，取最小值，的最小值为：．故答案为．40．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，是角平分线，点E，F分别在，上，且．若，，则的长的最小值是．【答案】【分析】作于点M，于点N，则，由，求得，而，则，所以，取的中点L，连接、，，，所以，由，得，则的最小值为，于是得到问题的答案．【详解】解：作于点M，于点N，则，∵平分，且，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，取的中点L，连接、，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴的最小值为，故答案为：．【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、两点之间线段最短，根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键．题型九特殊平行四边形中的最大值问题41．（2026九年级·全国·专题练习）如图，在菱形中，，对角线交于点，点分别在上，且．点为上一点，则的最大值为．【答案】4【分析】本题考查了菱形的性质，轴对称性质，等边三角形性质和判定，解题的关键在于灵活运用相关知识．作点关于的对称点，连接，延长与交于点，连接，结合轴对称性质得到点与点重合时，有最大值，最大值即为的长，利用菱形的性质证明为等边三角形，为等边三角形，再结合，等边三角形性质求解，即可解题．【详解】解：作点关于的对称点，连接，延长与交于点，连接，，当三点共线，即点与点重合时，有最大值，最大值即为的长．在菱形中，，为等边三角形，，点为的中点，．，，，．，，为等边三角形，，的最大值为4．故答案为：4．42．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）在中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点D落在边AB上，连接BE．(1)如图1，求证：；(2)如图2，过点E作交的延长线于点F．①有，求的长．②若，当的面积最大时，直接写出的面积．【答案】(1)见解析(2)①；②【分析】本题考查旋转性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．（1）根据旋转性质和等腰三角形的性质得到，进而求得即可；（2）①连接，先证明得到，则，利用勾股定理求得，再证明四边形是矩形得到，，在中，利用勾股定理求解即可；②连接，先得到当时，的面积最大，此时，，然后根据等腰三角形的性质求得，过A作于H，则是等腰直角三角形，，然后利用三角形的面积关系求解即可．【详解】（1）证明：由旋转性质，得，，，∴，∵，∴，∴；（2）解：①连接，∵，∴，，∵，，，∴，，∵，∴，又，∴，∴，又，∴，在中，，∵，，∴四边形是平行四边形，又，∴四边形是矩形，∴，，在中，；②连接，∵，，∴当时，的面积最大，此时，，∴，，∴，由①知，∴，又，∴垂直平分，∴，则，过A作于H，则是等腰直角三角形，∴，则，∴，∴，即当的面积最大时，的面积是．43．（2024·辽宁·模拟预测）【基础方法】（1）小明遇到这样一个问题：如图1、在正方形中，点分别为边上的点，，连接，求证：小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是，在图2中，请依据小明的思考过程，求的度数；

【方法应用】（2）如图3，在四边形中，，，，是上一点，若，，求的长度；【应用拓展】（3）如图4，已知线段，，以为边作正方形，连接．当线段的值最大时，求此时正方形的面积．【答案】（1）；（2）；（3）正方形的面积为．【分析】（1）根据旋转只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得，然后求出，再根据计算即可得解；（2）过点作交的延长线于点可得四边形是正方形，然后设，根据上面的结论表示出，再求出，然后在中,利用勾股定理列式进行计算即可得解；（3）过点作，取，连接，，推导出，由可证，可得，当三点共线时，取最大值，据此求解即可．【详解】解：（1）根据旋转知：，∴，，∵，，∴，∴，即；（2）过点作交的延长线于点，如图，

∵，，∴，∵，∴四边形是正方形，∴，根据上面结论可知，设，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，解得：，∴；（3）如图，过点作，取，连接，，如图，

∵，，∴，又∵，，∴，∴，∴线段有最大值时，只需最大即可，在中，，当三点共线时，取最大值，此时，在等腰直角三角形中，，，作于点M，

则．在中，，∴正方形的面积．【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．44．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）已知四边形ABCD和BEFG均为正方形．（1）图1中线段AE与CG有何关系？说明理由．（2）把图1中正方形BEFG绕着点B顺时针旋转到图2，上述（1）的结论是否仍成立？说明理由．（3）在图1中，连接CF．若点E是BC中点，AB＝2．试问当正方形BEFG绕着点B顺时针旋转度时，线段CF的值最大，最大值是．（直接写结论）【答案】（1）AE＝CG，且AE⊥CG，见解析；（2）AE＝CG，且AE⊥CG仍然成立，见解析；（3）135，2+【分析】（1）由正方形的性质得出AB＝CB，BG＝BE，∠ABE＝∠CBG＝90°，由SAS证明△ABE≌△CBG，得出对应边相等AE＝CG；利用等角的余角相等，得到∠EHC＝90°，即可证明AE⊥CG；（2）由正方形的性质得出AB＝CB，BG＝BE，∠ABC＝∠CBG＝90°，证出∠ABE＝∠CBG，由SAS证明△ABE≌△CBG，得出AE＝CG，∠BAE=∠BCG，结合对顶角相等，则∠ABI=∠CHI=90°，即可证明AE⊥CG；（3）根据旋转的性质，以及用勾股定理求出BF的长度，即可得到答案．【详解】解：（1）如图1所示：延长AE交CE于H，∵四边形ABCD和四边形BGFE是正方形，∴AB＝CB，BG＝BE，∠ABE＝∠CBG＝90°，在△ABE和△CBG中，，∴△ABE≌△CBG（SAS），∴AE＝CG，∠EAB＝∠GCB，∵∠EAB+∠AEB＝90°，∠AEB＝∠CEH，∴∠GCB+∠CEH＝90°，∴∠EHC＝90°，∴AE⊥CG；（2）AE＝CG，且AE⊥CG仍然成立．理由如下：如图2所示：∵四边形ABCD和四边形BGFE是正方形，∴AB＝CB，BG＝BE，∠ABC＝∠EBG＝90°，∵∠ABE＝∠ABC+∠CBE，∠CBG＝∠EBG+∠CBE，∴∠ABE＝∠CBG，在△ABE和△CBG中，，∴△ABE≌△CBG（SAS），∴AE＝CG，∠BAE=∠BCG，∵∠AIB=∠CIE，∴∠ABI=∠CHI=90°，∴AE⊥CG；（3）当正方形BEFG绕着点B顺时针旋转135°时，∵AB＝BC＝2，E是BC的中点，∴BE＝1，∴BF＝＝，∴CF'＝2+．故答案为：135；2+．【点睛】本题是四边形的综合问题，主要考查了旋转的性质，正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．45．（2025·陕西榆林·一模）【问题背景】（1）如图1，在矩形中，，点是上一点，连接，，若，则______（2）如图2，在正方形中，，点在边上，将沿翻折至，连接，求周长的最小值；【问题解决】（3）如图3，某植物园在一个足够大的空地上拟修建一块四边形花圃，点是该花圃的一个入口，沿和分别铺两条小路，且，，，．管理员计划沿边上种植一条绿化带（宽度不计），为使美观，要求绿化带的长度尽可能的长，那么管理员是否可以种植一条满足要求的长度最大的绿化带？若可以，求出满足要求的绿化带的最大长度（用含的式子表示）；若不可以，请说明理由．【答案】（1）36；（2）；（3）管理员可以种植一条满足要求的长度最大的绿化带，绿化带的最大长度为【分析】（1）利用矩形的性质和勾股定理进行求解即可；（2）连接，根据翻折，得到，得到的周长，进而得到当的值最小时，的周长最小，进行求解即可；（3）将沿着翻折得到，将沿着翻折得到，连接，推出当、、三条线段共线时，有最大值，进行求解即可．【详解】解：（1）解：∵在矩形中，，∴，∵，∴，∴；故答案为：36．（2）连接，如图1∵沿翻折至，∴，∴，，∴的周长，∵，∴当点、、三点共线时，最小，即的周长最小，此时，∵，∴，∴的周长最小为；（3）管理员可以种植一条满足要求的长度最大的绿化带．如图2，将沿着翻折得到，将沿着翻折得到，连接∴，，，，，，∴，∵，∴，∴，∴；∵，∴当、、三条线段共线时，有最大值，此时，故管理员可以种植一条满足要求的长度最大的绿化带，绿化带的最大长度为．【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理．本题的综合性强，属于常见的中考压轴题．熟练掌握折叠的性质，勾股定理，是解题的关键．1．（25-26九年级上·四川德阳·月考）如图，在正方形中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边、上移动，连接和交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动．若，则线段的最小值是（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】先根据已知得，然后证明，得出，然后证明，取中点O，则为定值，根据两点之间线段最短得当P、C、O三点共线时，最小，然后根据勾股定理求解．【详解】解：动点，分别从两点同时出发，以相同的速度在边，上移动，，在和中，，，，，，，取中点，连接，如下图，则，根据两点之间线段最短，得、、三点共线时线段的值最小，在中，根据勾股定理得，，．故选：C．【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，确定点P到中点的距离是解此题的关键．2．（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，在菱形中，，分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点、，作直线，与交于点，如果点为线段上一动点，当取最小值时，（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，如图，连接，设交于点，交于点O．证明，推出，推出当点P与点重合时，的值最小，求出即可．【详解】解：如图，连接，设交于点，交于点O．∵四边形是菱形，∴，，，∴，∵，∴，∴，都是等边三角形，∵，∴，∴，∵，又，∴，∴，∵，∴，∴，由作图可知垂直平分，∴，，∵，∴，又，∴，∴（负值舍去），∵D，B关于对称，∴，∴，∴当点P与点重合时，的值最小，此时．故选：B．3．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，长方形的边，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段最短的计算，掌握以上知识，数形结合，合理作出辅助线是关键．如图所示，过点G作于点H，作，交于点M，交于点N，可证，得到，当点在线段上运动时，点在线段的某一部分上运动，再得到四边形，四边形都是矩形，则，，，由勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，过点G作于点H，作，交于点M，交于点N，∵四边形是矩形，∴，，∵，，∴，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，∴当点在线段上运动时，点在线段的某一部分上运动，如图所示，当点重合时，线段的值最小，根据作图，，∴四边形，四边形都是矩形，∴，，∴，在中，，∴的最小值为，故选：B．4．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在边长为4的正方形中，与相交于点O，E是同一平面内的一动点，，F是的中点，连接，则的最小值为（）A． B． C． D．2【答案】C【分析】本题考查了正方形的性质、直角三角形的外接圆性质、三角形中位线定理以及勾股定理的应用，解题的关键是通过构造辅助线，将求的最小值转化为求的最小值，利用三点共线时线段最短的原理求解．由，判定点在正方形的外接圆上；延长至使，根据是中点，得出为的中位线，即；利用正方形性质求出，，，再由勾股定理算出；当、、三点共线时最小，即，最后代入中位线公式求得的最小值．【详解】解：∵E是同一平面内的一动点，，∴点E为正方形的外接圆上的一点．如图，延长至点H，使．连接，∵F是的中点，∴为的中位线．∴．当点，H三点共线且点E在上时，最小，过点O作于点M，如图，∵四边形为边长为4的正方形，，．，．．．的最小值为．故选C．5．（25-26九年级上·广东揭阳·月考）如图，在正方形中，，点是边的中点，，是对角线上的动点，且，连接，，当的值最小时，的面积为（

）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】取的中点，连接，取的中点，连接，则是的中位线，有，，进一步求得和，即可判定四边形是平行四边形，那么，，连接，交于点，则当点位于点处时，的值最小，即的值最小，此时的点记为点，结合正方形的性质求得，，即可求得面积．【详解】解：如图，取的中点，连接，取的中点，连接，

∵点是边的中点，∴是的中位线，∴，，∵在正方形中，，∴，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∴，∴，连接，交于点，当点位于点处时，的值最小，即的值最小，将此时的点记为点，由正方形的对称性可知，∴，又，，∴．故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质，三角形三边关系的应用，解题的关键是利用几何图形的性质（中位线、平行四边形、等腰直角三角形）将“折线和”转化为“线段长”，再结合角度、边长计算面积．6．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，矩形中，，，为边上一动点，以为边构造等边（点位于下方），连接，则的最小值为【答案】【分析】连接、相交于点，连接，，根据矩形的性质和勾股定理可求得、的长，从而可得是等边三角形，从而可证，可知，点在上运动，结合垂线段最短可知当时，有最小值，根据，，从而可得，即可解题．【详解】解：如图，连接、相交于点，连接，，四边形是矩形，，，，，，，是等边三角形，，，，是等边三角形，，，，，，，∴，∴点在上运动，当时，有最小值，此时，，，故的最小值为；故答案为：．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，垂线段最短，三角形外角性质，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．7．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）如图，在正方形中，，点E是对角线上的一个动点，且不与端点B、D重合，连接，过点B作，垂足为F，连接．则的最小值是．【答案】【分析】本题主要考查正方形的性质，线段最短的计算，理解点的运动是关键．如图所示，连接交于点，当点重合时，点与点重合，且点四点在以为直径的圆上，点的运动路径是，当点共线时，的值最小，由勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，连接交于点，∵四边形是正方形，，∴，∵点是线段上的动点，，∴当点重合时，点与点重合，且点四点在以为直径的圆上，∴点的运动路径是，设的中点为点，则，如图所示，连接，交于点，∵，∴当点共线时，，则值最小时，的值最小，且，在中，，∴的最小值为，故答案为：．8．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，正方形的边长为，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则线段长度的最小值是．【答案】/【分析】如图，取的中点，连接，，证明得，推出，根据勾股定理得，再根据可得结论．【详解】解：如图，取的中点，连接，，∵正方形的边长为，∴，，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵点Q是的中点，∴，，在中，，∵（当点、、共线时取等于号），∴长度的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形三边关系等知识点，确定是解题的关键．9．（25-26九年级上·浙江金华·月考）已知菱形中，，，边，上有点E、点F两动点，始终保持，连接，，取中点G，连接，则的最小值是．【答案】【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形中位线定理及点到直线的距离．先利用菱形的性质和已知条件推导出三角形关系，再构造辅助线并分析三角形关系，利用三角形中位线定理建立与的关系，最后求的最小值进而求的最小值．【详解】解：如图，过点D作交延长线于点H，延长交于点M，连接，在菱形中，，，∴，∵，∴，∵，，∴是等边三角形，∴，，∴，∴，∵，∴是的中位线，∴，∴当最小时最小，根据点到直线的距离垂线段最短可知：的最小值即为，在菱形中，，∴，在中，，∴，∴，∴的最小值为9，∴的最小值为，故答案为：．10．（25-26八年级上·河南鹤壁·月考）如图，在等腰中，，，是边上的一个动点，连接，则的最小值为．【答案】【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，垂线段最短，掌握垂线段最短是解题的关键．由勾股定理可得的长，过点作于，由垂线段最短可得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可得解．【详解】解：如图，过点作于，在等腰中，，，，点是的中点，，由垂线段最短可知，，的最小值为．故答案为：．11．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示，在正方形中，为上的一点，，，为上的一点，连接，．求的最小值．【答案】5【分析】利用正方形的对称性，将其中一个点关于对角线对称，转化线段长度，再根据“两点之间线段最短”求最小值．【详解】解：如图，连接交于点，连接交于点，连接．易知，且，，则，此时有最小值．，，．由勾股定理，得，即的最小值为．【点睛】本题考查了正方形的对称性与勾股定理的应用，解题关键是利用对称将折线线段和转化为直线段，结合“两点之间线段最短”求解．12．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）综合与实践：问题发现：（1）如图1，在等边中，点M为边上一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，可通过证明_______，得到线段和的数量关系是_______；变式探究：（2）如图2，在中，，，点M为边上一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，请写出线段和的数量关系，并说明理由；拓展应用：（3）如图3，在菱形中，，，点M为线段上一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接和．①求证：．②的最小值为_______．【答案】（1）；（2），理由见解析（3）【分析】（1）根据等边三角形的性质和旋转的性质，可推出，，，从而证得，推出；（2）过点N作于点H，根据直角三角形的性质可得，然后根据旋转的性质可证得，进而得到，可推出是的垂直平分线，即可得到结论；（3）过点N作直线交的延长线于点E，连接，根据平行线的性质和菱形的性质可推出，得到，，从而推出点N在的平行线上运动，然后根据垂线段最短可知，当时，取得最小值，最后利用直角三角形的性质和勾股定理求得此时的即可得．【详解】（1）解：∵是等边三角形，∴，∵线段绕点A逆时针旋转得到线段，∴，∴，∴，∴，∴；故答案为：；；（2）解：，理由如下：如图，过点N作于点H，∵在中，，，∴，∴，∵线段绕点A逆时针旋转得到线段，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即，又∵，∴是的垂直平分线，∴；（3）①证明：根据题意，如图：∵菱形中，，∴，∵线段绕点A逆时针旋转得到线段，∴，∴，∴，∴；②解：如图，过点N作直线，交的延长线于点E，连接，则，，由（1）可知，，∴，，∵四边形是菱形，，，∴，，，，∴，为等边三角形，∴，，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵点M在运动过程中，，且点E在的延长线上，，∴点M在运动过程中，点N在过点E且平行于的直线l上运动，∴当时，取得最小值，此时，，，∴，∴，∴，即的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，菱形的性质，勾股定理，垂线段最短等，熟练掌握全等三角形的判定与性质，得到点N的运动轨迹是解题的关键．13．（25-26九年级上·山东淄博·月考）如图，在中，．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，E是边上的一动点，连接交于点F，连接．(1)求证：；(2)点H在边上，且，连接交于点N．①判断与的位置关系，并证明你的结论；②连接．若，请直接写出线段长度的最小值．【答案】(1)见解析(2)①，理由见解析；②【分析】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题．（1）根据等边对等角，结合旋转的性质得，证明即可得结论；（2）①首先证明四边形是正方形，再证明即可解决问题．②如图，取的中点O，连接．利用三角形的三边关系解决问题即可．【详解】（1）证明：如图1中，∵，∴，∵线段绕点A逆时针旋转得到线段，∴，∴，∵，∴，∴．（2）①解：结论：．理由：如图2中，连接．∵，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．②如图3中，取的中点O，连接．∵，∴，在中，，∵，∴，∴的最小值为．14．（25-26八年级上·广东佛山·月考）【项目式学习】阅读并完成以下任务：如图①，若A、E两点在直线l同侧，分别过点A、E作，，C为线段上一动点，连接、．已知，，，设．【任务一】（1）用含x的代数式表示为______；（2）请在图找出点C，使得的值最小，简要说明作法，并求出的最小值．【任务二】由可得代数式的几何意义；如图②，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值．（3）求代数式的最小值．【答案】（1）

（2）的值最小为17

（3）【分析】本题主要考查勾股定理和几何模型求最值，矩形的判定和性质，轴对称求最短线段，根据题干将代数式的几何意义表示出来和熟练运用两点间的距离公式是解题的关键．（1）利用线段的加减表示为的长即可；（2）作点E关于l的对称点，连接，依据两点之间线段最短的原理，