新2026年人教版九年级数学知识点归纳总结

新2026年人教版九年级数学知识点归纳总结一、一元二次方程1.定义一元二次方程的一般形式是a+bx+c=0(a≠q0)，其中a是二次项，a是二次项系数；b2.解法直接开平方法：对于形如=p(p≥0)的方程，根据平方根的定义，可得x=±。例如，解方程=9，则x=±=±配方法：其步骤为：①把二次项系数化为1；②移项，使方程左边只含二次项和一次项，右边为常数项；③配方，在方程两边都加上一次项系数一半的平方；④将方程变形为(x+m例如，用配方法解方程+4移项得+4配方：在方程两边加上(=4，得到+4开平方得x+2=±3公式法：对于一元二次方程a+bx+c当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=例如，解方程2−3x1=0，其中a=2，因式分解法：当方程的一边为0，另一边能分解成两个一次因式的乘积时，就可以用因式分解法求解。例如，解方程−3x=0，提取公因式x得x(x3)=3.实际应用一元二次方程在实际生活中有广泛的应用，如面积问题、利润问题、增长率问题等。面积问题：例如，有一块长方形铁皮，长32cm，宽24cm，在四角都截去相同的小正方形，折起来做成一个无盖的盒子，使底面积是原来面积的一半，求盒子的高。设盒子的高为xcm，则盒子底面的长为(322x)cm，宽为(242x)cm，根据题意可得(322x利润问题：某商场销售某种商品，每件成本为50元，经市场调研，售价为60元时，可销售800件，售价每提高1元，销售量就减少20件。若该商场要获得12000元的利润，设每件商品售价提高x元，则每件商品的售价为(60+x)元，每件的利润为(60+x50)元，销售量为(80020x)件，根据利润=每件利润×销售量，可得(60+x50)(80020增长率问题：若原来的量为a，平均增长率为x，经过n次增长后的量为b，则b=a(1+x；若为平均降低率问题，公式为b=a(1x。例如，某厂今年一月份的产量是500吨，三月份的产量达到720吨，设平均每月的增长率为x二、二次函数1.定义一般地，形如y=a+bx+c(a2.图象和性质图象：二次函数y=a+bx当a>0时，抛物线开口向上；当例如，对于二次函数y=2−4x+1，其中a=2性质：当a>0时，在对称轴左侧（即x<−），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（即x>−），当a<0时，在对称轴左侧（即x<−），y随x的增大而增大；在对称轴右侧（即x>−），3.二次函数的三种表达式一般式：y=顶点式：y=a(xh+k交点式：y=a(x)(x)(a≠q0)，其中，是抛物线与x轴交点的横坐标。若抛物线与x轴交于(1,0)和4.二次函数与一元二次方程的关系二次函数y=a+bx+c(a≠q0)的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程a5.实际应用二次函数在实际生活中可用于解决最大利润、最大面积等问题。例如，某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件。根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件。问如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？设销售单价提高x元，利润为y元。则每件的利润为(30+x20)元，销售量为(40020x)件，所以y=(三、旋转1.图形的旋转在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。旋转的性质有：对应点到旋转中心的距离相等。对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。旋转前后的图形全等。例如，△ABC绕点O顺时针旋转得到△，则OA=O2.中心对称定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。性质：中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；中心对称的两个图形是全等图形。中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。如平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。3.关于原点对称的点的坐标在平面直角坐标系中，两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标都互为相反数，即点P(x,y)关于原点O的对称点(四、圆1.圆的有关概念圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，这个定点叫做圆心，定长叫做半径。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径；圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。2.圆的性质圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心。垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即垂径定理。例如，在圆O中，直径CD垂直弦AB于点E，则AE=B在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。3.圆周角顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。例如，在圆O中，∠AOB是圆心角，∠AC推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径。4.点和圆、直线和圆的位置关系点和圆的位置关系：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆外⇔d>r；点在圆上⇔直线和圆的位置关系：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线和圆相离⇔d>r；直线和圆相切⇔切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。例如，已知圆O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为3cm，因为3<5，所以直线l与圆5.正多边形和圆各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。把一个圆分成n(n≥3)等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形，这个圆叫做这个正n6.弧长和扇形面积弧长公式：在半径为R的圆中，的圆心角所对的弧长l=。扇形面积公式：扇形面积S=（n是扇形圆心角的度数，R是扇形的半径），也可以表示为S=lR（例如，半径为6cm，圆心角为的扇形的弧长l==2π五、概率初步1.随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。必然会发生的事件叫做必然事件，必然不会发生的事件叫做不可能事件。例如，掷一枚骰子，掷出的点数为7是不可能事件；掷出的点数小于7是必然事件；掷出的点数为3是随机事件。2.概率一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)。必然事件的概率P(A)=3.用列举法求概率当一次试验中，可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等时，我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率。直接列举法：适用于简单的概率问题。例如，掷一枚质地均匀的硬币，求正面朝上的概率。因为掷硬币的结果只有正面朝上和反面朝上2种，且每种结果出现的可能性相等，所以P(列表法：当一次试验涉及两个因素，且可能出现的结果数目较多时，可采用列表法列出所有可能的结果。例如，同时掷两枚质地均匀的骰子，求两枚骰子点数之和为7的概率。通过列表可知，所有可能的结果有6×6=36种，其中点数之和为7的有(1,6)，(2,5)，树状图法：当一次试验涉及