甘肃省武威第十六中学2025-2026学年九年级下学期3月学情自测数学试卷(含答案)

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页九年级下学期3月学情自测数学试卷一、单选题1．四个有理数，0，，4，其中最小的有理数是（

）A． B．0 C． D．42．计算所得结果是（）A． B． C． D．3．如图，把一副三角板叠合在一起，则的度数是（

）A． B． C． D．4．如图，矩形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则点的坐标为（

）A． B． C． D．5．如图，一个正方形的四周恰好被四个正边形（阴影部分为正边形的一部分）无缝铺满，则（

）

A．4 B．6 C．8 D．106．关于的一元二次方程的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．有实数根 D．没有实数根7．已知点和都在反比例函数的图像上，则，的大小关系是（

）A． B． C． D．8．“千门万户曈曈日，总把新桃换旧符”．春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．某商家在春节期间开展商品促销活动，顾客凡购物金额满100元，就可以从“福”字、春联、灯笼这三类礼品中免费领取一件．礼品领取规则：顾客每次从装有大小、形状、质地都相同的三张卡片(分别写有“福”字、春联、灯笼)的不透明袋子中，随机摸出一张卡片，然后领取一件与卡片上文字所对应的礼品．现有2名顾客都只领取了一件礼品，那么他们恰好领取同一类礼品的概率是(

)A． B． C． D．9．《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值金，每只羊值金，可列方程为（

）A． B．C． D．10．如图，在矩形中进行如下操作：①以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接；②再以为圆心，长为半径作弧交于点，连接．下列结论不一定成立的是（）A． B． C． D．11．如图，在正方形中，，点，分别为，上的点，，交于点，．若四边形与的面积分别为，，则与的函数关系为（

）

正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系二、填空题12．因式分解___________．13．已知一组数据，，，，的平均数为2，方差为3，则数据，，，，的方差为______．14．如图，在菱形中，，点在上，若，则__________．15．已知顶角为的等腰三角形是黄金三角形，它的底与腰之比为，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（阴影部分），已知，则的长为______．三、解答题16．化简：17．解方程：．18．解不等式．19．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)求的面积；(3)直接写出不等式的解集．20．如图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架，的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮A到桌面的距离h（精确到）．（参考数据：，）21．吉林省教育厅为了推进冰雪运动在学校的普及，计划在年底前实现全省中小学校冰雪体育课全面普及，并将冰雪运动纳入中考体育测试选项．为了响应省厅精神，某九年级研究小组展开主题为“推测滑行距离与滑行时间关系”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题：【研究对象】推测滑行距离与滑行时间有什么关系？【数据收集】一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离与滑行时间（单位：）之间的关系式，测得一些数据（如下表）．滑行时间滑行距离【数据分析】如图，小组成员以表中各对应的值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．【数学建模】请你结合所学知识解答下列问题：(1)观察上述各点分布规律，可得关于的函数类型是___________．（填“一次函数”或“二次函数”）(2)求出关于的函数解析式．(3)当滑行距离为时，直接写出滑行时间．22．阅读与证明三大作图问题之三等分角三等分任意角是古希腊学者们于公元前5世纪提出并研究的三大作图问题之一．两千多年以来，数学家们为此耗费了许多心血．直到1837年，法国数学家闻脱兹尔证明了，只使用直尺和圆规无法三等分一个任意角，至此人类才走出了这座数学迷宫，在探究过程中发现，有些特殊度数的角如角，角，角等可用尺规三等分，任意角采用特殊的工具也可三等分．如图（1），，下面是两种三等分角的方法．(1)阿基米德创设的方法是：在图（2）中，预先在直尺上作了一个记号点P，点O为直尺的端点，以B为圆心，为半径作半圆，与边和分别交于点N和M；移动直尺，使直尺上的点O在边的反向延长线上移动，点P在圆周上，当直尺正好经过点N时，过点B画的平行线．求证：；(2)用“有刻度的勾尺”的方法是：在图（3）中，勾尺的直角顶点为点P，于点Q，．画直线，并且与之间的距离等于，移动勾尺到合适位置，使顶点P落在上，使勾尺的边经过点B，同时让点R落在边上．求证：．23．3月份是安全教育月，某校七、八年级各有学生400人，为了解这两个年级普及安全教育的情况，进行了抽样调查，过程如下：选择样本，收集数据从七、八年级各随机抽取20名学生，进行安全教育考试，测试成绩（百分制）如下：七年级八年级

分组整理，描述数据：

（说明：成绩分及以上为优秀，为良好，分以下为不合格）分析数据：年级平均数中位数众数优秀率七年级八年级a得出结论，说明理由．(1)______，______；(2)请补全八年级名学生安全教育频数分布直方图；(3)哪个年级的整体成绩较好?（至少从两个不同的角度说明合理性）．24．如图，是的内接三角形，是的直径，过C点作的切线，且，直线与直径的反向延长线交于P点．

(1)探究与之间的数量关系，并说明理由．(2)若，，求的长．25．综合与实践：开展“矩形的旋转”数学探究活动，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．在矩形纸片中，，．．【数学思考】如图1，圆圆将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使得点落在边上，点作．求证：；【解决问题】如图2，连结，求线段的长．【拓展研究】从图2开始，圆圆将矩形绕着点逆时针转动一周，若直线恰好经过线段中点时，连结，，直接写出的面积是26．在平面直角坐标系中，点不在坐标轴上，点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，称为点P的“关联三角形”．(1)已知点，求点的“关联三角形”的面积；(2)如图，已知点，的圆心为，半径为2．若点的“关联三角形”与有公共点，直接写出的取值范围；(3)已知的半径为，若点的“关联三角形”与有四个公共点，直接写出的取值范围．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案题号12345678910答案CCABCCACAC题号11答案B11．B12．13．314．115°/115度15．/16．17．18．19．（1）一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，，，，反比例函数解析式为：，，在一次函数的图象上，，解得，一次函数解析式为：．（2）在一次函数中，令，则，，；（3）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集为：或．20．解：如图，过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，则，∵，∴，∴是矩形，，，∵，∴，∴，在中，，，∵，，在中，，，，答：台灯的旋钮到桌面的距离约为．21．（1）解：由图上三点不在同一直线（一次函数图像是直线）可知函数类型为二次函数，故答案为：二次函数；（2）设函数解析式为，把，，，，解得：，∴关于的函数解析式为：；（3）把代入解析式得：，解得：，（不符合题意的根舍去）∴当滑行距离为时，滑行时间为：．22．（1）证明：∵，∴，，

∵是∆POB的外角，是的外角，∴，．∴，

∵，∴，

∴；（2）如图，连接，过点P作于点F，

∵于点Q，，∴是的垂直平分线，∴，∴，

∵，并且与间的距离等于，∴，

∵，，∴平分，∴，∴，∴．23．（1）解：八年级名学生安全教育考试成绩按从小到大的顺序排列为：∴中位数分；∵分出现的次数最多，故众数为分；故答案为：，；，（2）补全八年级名学生安全教育频数分布直方图如图所示，

.（3）整体成绩较好的年级为八年级，理由为八年级的中位数和优秀率都高于七年级．24．（1）解：，理由如下，连接，∵是的切线，∴，∵，，∴，，∵，∴，，∴，

；（2）解：过B作，∵是的切线，，∴，∵，，∴，∴，，在与中根据勾股定理可得，，，∴，∵，，∴；25．数学思考：证明：将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，，，，，，，，；解决问题：解：过点作，交的延长线于点，连接，，矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，，，，，，，∴∆ADE是等边三角形，，，，，，；拓展研究：解：当线段与交于点时，作于，是的中点，，，，，，，，，，，，当的延长线交于点时，由上知，，，综上所述，的面积是或．26．（1）解：∵点关于x轴的对称点为，点A关于y轴的对称点为，点的“关联三角形”的面积；（2）解：如图，作的外切四边形，点、是点D关于坐标轴对称