1.5角平分线（题型专练）（解析版）-北师大版(2024)八下

1.5角平分线题型一利用角平分线的性质进行简单计算1．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在内作一条射线，在上取一点P，过点P分别作于点Q，于点E，若，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了角平分线的判定定理，运用角平分线的判定定理，即角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，进而求出的度数．【详解】解：∵，，，根据角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，∴是的角平分线，∴，故选：B．2．（25-26八年级上·吉林·期末）如图，，点在上，于点，于点．若，则的长为．

【答案】7【分析】本题主要考查角平分线的性质．此题由两角相等可以确定是角的平分线，利用角平分线的性质即可得解．【详解】解：∵，∴是的平分线，∴，∵，∴，故答案为：7．3．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，平分，交于点E，于点D，如果，，那么的长是．【答案】2【分析】本题考查角平分线的性质．先根据线段的和差求出，再由角平分线的性质即可求解．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，∵平分，，∴．故答案为：2．4．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，、的角平分线交于点，过点作，分别交、于点、．若的周长为，，则的周长是．【答案】16【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由角平分线与平行线的性质，证出，得，同理可证，结合周长公式可得出结果．【详解】解：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，同理可证，∵的周长为，∴，∴，∵，∴的周长为，故答案为：16．题型二角平分线的判定定理1．（25-26八年级上·贵州黔西·期末）将两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与的边，重合，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（

）A．的平分线上 B．边的高线上C．边的垂直平分线上 D．边的中线上【答案】A【分析】本题考查的是角平分线的判定定理，掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解题的关键．作射线，根据角平分线的判定定理得到平分，得到答案．【详解】解：作射线，由题意得，，，，平分，故选：A．2．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）已知，如图，在中，D、E分别是边、延长线上的点，平分，平分，求证：平分．要求：在横线“______”上填证明步骤，在括号“（

）”中填证明依据证明：过点P分别作，，．∵平分（已知），且，，∴______（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．∵平分，且______，∴，∴______（等量代换）．又∵，，∴点P在的平分线上（

）∴平分．【答案】答案见解析【分析】本题考查角平分线的判定和性质，掌握角平分线的性质是解题关键．根据角平分线的性质和判定方法，进行作答即可．【详解】证明：过点P分别作，，．∵平分（已知），且，，∴（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．∵平分，且，，∴，∴（等量代换）．又∵，，∴点P在的平分线上（角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上）∴平分．3．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，中，，分别是边，延长线上的点，平分，平分，求证：平分．【答案】见解析【分析】此题考查了角平分线的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定和性质定理是解题的关键．过点P作于点，过点P作于点，过点P作于点，根据角平分线的性质得到，则，再根据角平分线的判定进行证明即可．【详解】解：过点P作于点，过点P作于点，过点P作于点，∵平分，平分，∴，∴，∵于点，于点∴平分．4．（25-26八年级上·河南三门峡·期中）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接．(1)求的度数；(2)求证：平分．【答案】(1)(2)见解析【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握角平分线的判定与性质定理是解题关键．（1）首先解得的值，结合，即可获得答案；（2）过点作于，于，利用角平分线的性质定理证明，然后证明结论即可．【详解】（1）解：∵，，∴，∵，∴；（2）证明：过点作于，于，如下图，∵，，，∴，∵平分，，，∴，∴，∵，，∴平分．5．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在和中，，，，分别交，于点，连接．(1)求证：；(2)求证：平分．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理；（1）证明即可得到；（2）过点分别作于点，于点，根据得到，，利用三角形的面积公式得到，再利用角平分线的判定定理即可证明平分．【详解】（1）证明：，，即，，，．（2）证明：过点分别作于点，于点，由（1）得，，，，，，又，，平分．题型三角平分线（尺规作图）1．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）用尺规作图作一个已知角的平分线如图所示，则下列结论中错误的是（

）A．说明的依据是B．C．上任意一点到两边的距离相等D．点M，N到的距离不相等【答案】D【分析】本题主要考查了角平分线的作图，角平分线性质的证明，三角形全等的判定和性质．根据作图可得，证明即可判断A；根据作图即可判断B；点E为上任意一点，过点E作于点G，于点H，证明即可判断C；过点N作于点P，过点M作于点Q，证明，即可判断D．【详解】解：A、由作图可知：，又，∴，∴，故A正确，不符合题意；B、由作图可得：，故B正确，不符合题意；C、点E为上任意一点，过点E作于点G，于点H，∵，，∴，∵，∴，∴，∴上任意一点到两边的距离相等，故C正确，不符合题意；D、过点N作于点P，过点M作于点Q，

∵，，∴，∵，，∴，∴，故D错误，符合题意；故选：D．2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，以点为圆心，任意长度为半径画弧，交、于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧．两弧在内相交于点，作射线交边于点，若，则点到的距离（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．先根据尺规作图判断是的平分线，再利用角平分线的性质得出点到的距离等于的长度．【详解】解：设点到的距离为，由题意可得平分，∵，即，点到的距离为，∴，∵，∴，故选：．3．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）如图，在长方形中，连接，以A为圆心适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点H，画射线交于点M．若，则的大小为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了矩形的性质和基本作图，熟练掌握5种基本作图是解题的关键．先利用矩形的性质得到，则利用平行线的性质可计算出，再由作法得平分，所以．【详解】解：在长方形中，∵，，∴，由作法得：平分，∴．故选：C．4．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点．分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧．两弧在的内部相交于点．作射线交于点．以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点和点．分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点．连接交于点．若，则的周长为（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】本题考查了作图—角平分线和垂线、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质，理解题意是解决本题的关键．由作图可得，是的角平分线，，则根据角平分线的性质，证明，可得，进而即可求解．【详解】解：由作图可得，是的角平分线，，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴的周长为．又∵，且，∴，∴．故选：B．5．（25-26九年级上·重庆·月考）在学习了三角形和四边形的相关知识后，小明发现：在对角互补的四边形中，，若平分，则，请根据他的思路完成以下作图和推理填空：(1)用尺规完成以下基本作图：过点C作的垂线，交于点E（不写作法，保留作图痕迹）；(2)求证：．证明：过点C作交延长线于点F∵，∴．∵平分，且，，∴①．∵，②，∴．在和中，∴（④）．∴．【答案】(1)见解析(2)；；；【分析】本题考查了尺规作图之作高，角平分线的性质，平角的定义，三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）以点为圆心，以超过到的距离为半径画弧，交于，再分别以为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点，连接交于点，则为所求；（2）根据角平分线的性质，可得，结合平角，可知，接着利用证明，从而得出结论．【详解】（1）解：下图即为所求：（2）证明：过点C作交延长线于点F，∵，∴．∵平分，且，，∴．∵，，∴．在和中，，∴，∴．题型一与角平分线有关的几何辅助线作法1．（24-25八年级下·河南信阳·开学考试）如图，在中，的平分线交于点．若，则点到的距离为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】本题考查三角形中求线段长，涉及角平分线的性质，熟记角平分线性质是解决问题的关键．先由题意求出，过点作于点，如图所示，从而由角平分线的性质得到即可确定答案．【详解】解：，，过点作于点，如图所示：在中，的平分线交于点，由角平分线的性质可知，则点到的距离为，故选：A．2．（25-26八年级上·四川内江·期末）如图，是中的平分线，交于点E，若，，，则的长为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．过点D作，由角平分线的性质可得，，由题意知，计算求解即可．【详解】解：过点D作，如图，是的平分线，且，，，，，解得．故选：B．3．（25-26八年级上·北京海淀·期末）如图，在和中，，，，，连接，交于点M，连接，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理．证明，得到，，，，则，即，作于点I，于点L，可知，即点O在的平分线上，即可求出的度数．【详解】解：，，即，在和中，，∴，，，，，，，，作于点I，于点L，则，，，点O在的平分线上，平分，，故选：C．4．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）在四边形中，平分，，，且的面积为2，则．【答案】2【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，利用角平分线的性质，得到是解题的关键．过点作的延长线于点，利用角平分线的性质可得出，再利用三角形的面积公式求解即可．【详解】解：如图所示，过点作的延长线于点，平分，，，∵的面积为2，∴，即，∴．故答案为：2．5．（25-26八年级上·辽宁本溪·期末）在直角三角形中，，，，平分交于点，则的长为．【答案】【分析】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，过点D作于点E，利用勾股定理求出的长，由角平分线的性质得到，根据求出的长，再利用勾股定理即可求出的长．【详解】解：如图所示，过点D作于点E，∵在中，，，，∴，∵平分交于点，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：．6．（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，中，平分线和边的垂直平分线交于点，已知点到边距离为，那么点E和点A之间的距离为．【答案】【分析】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的性质，勾股定理，过点作，根据题意得到，由角平分线的性质可得，利用勾股定理即可求出．【详解】解：过点作，由题意得垂直平分，∴，∵，∴，∵平分，，∴，∴，∴点E和点A之间的距离为．故答案为：．7．（25-26八年级上·全国·期末）如图，点为的中点，平分．(1)若．①求证：平分．②猜想线段，，之间的数量关系，并证明．(2)若，请你思考应该满足什么条件，能使得（1）中结论依然成立，并说明理由．【答案】(1)①见解析；②，见解析(2)，见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理及判定定理等；添加恰当的辅助线构建全等三角形是解题的关键．（1）①过点作交于，由角平分线的性质得，再由角平分线的判定定理即可得证；②由可判定，由全等三角形的性质即可得证；（2）在上截取，连接，过点作交于，作交于，由判定，结合全等三角形的性质，再由判定、，由全等三角形的性质即可得证．【详解】（1）①证明：过点作交于，平分，，，点为的中点，，，，，平分；②，证明：，，（），，同理可证，；（2）解：，理由如下：在上截取，连接，过点作交于，作交于，，平分，，，（），，，，，，点为的中点，，，（），，平分，，，（），，．故时，能使得（1）中结论依然成立．题型二与角平分线有关的面积计算问题1．（山西省部分学校2025-2026学年上学期八年级综合素养评估（四）数学试卷）如图，是的角平分线，于点E，，，则的面积为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】本题主要考查了角平分线的性质．过点D作于点F，根据角平分线的性质定理可得，再由三角形的面积公式计算即可．【详解】解：如图，过点D作于点F，∵是的角平分线，，，∴，∵，∴．故选：B2．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，已知中，平分，于点，连接，若，则的面积是（

）A．6 B．7.5 C．10 D．15【答案】B【分析】本题重点考查角平分线的性质、三角形的面积公式等知识，作于点F，由平分，于点E，根据角平分线的性质得，而，则，于是得到问题的答案．【详解】解：作于点F，∵平分，于点E，∴，∵，∴，故选：B．3．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积．【答案】4【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练运用全等三角形的判定与性质、三角形面积公式是解题的关键．过点作于点，过点作于点，根据角平分线性质定理得，结合三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义求出，再通过证明，，则，，，根据三角形面积公式求出，，再根据的面积求解即可．【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，，，分别为的角平分线，，，，，在和中，，，，同理可得，，，，，，的面积，，，为的角平分线，，，，，的面积，故答案为：4．4．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，中，点在边上，连接，的角平分线与的角平分线交于点，连接．若，，，则．【答案】【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积公式，利用角平分线的性质，推导点到、的距离相等是解题关键．作到、、的垂线，可由角平分线性质得三条垂线段相等，然后通过的面积求出垂线段长度，用该长度计算的面积即可．【详解】解：如图，过点分别作、、的垂线，交延长线于点，交延长线于点，交于点．平分，平分，，，，已知，，，，解得，即，．故答案为：．5．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，已知在中，，，，平分，平分，与交于点O，若过点O的直线平分面积，那么的长为．【答案】9【分析】本题主要考查角平分线的性质，勾股定理；过点O作，垂足分别为H、G、P，连接，由角平分线的性质得到，利用勾股定理求出，进而利用等面积法求出，再由过点的直线平分面积，得到，则，再根据可得答案．【详解】解：如图所示，过点O作，垂足分别为H、G、P，连接，

∵平分，平分，∴，∴∵在中，，，，∴，∵，∴，∴，∴，∵过点的直线平分面积，∴，∴，∴，∴，∴,故答案为：9．6．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接．

(1)求的度数；(2)求证：平分；(3)若，，，且，求的面积．【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)．【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形外角的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键．（1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数；（2）过点E作，，根据角平分线的性质得到，，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论；（3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出的面积．【详解】（1）解：，，，，，，，（2）证明：过点E作交于点G，交于点H，由（1）可知，，平分，，，，平分，，，，，，，平分；（3）解：，，，，，．题型三角平分线性质的实际应用1．（25-26八年级上·全国·期末）如图，直线，，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（

）．A．处 B．处 C．处 D．处【答案】D【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握其概念，作图分析是关键．根据角平分线上的点到角两边的距离相等，作图分析即可求解．【详解】解：如图所示，根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”得到点到三条公路的距离相等，∴可供选择的地址有4个，故选：D．2．（25-26八年级上·上海·月考）上海正建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等，则凉亭是的（

）A．三条中线的交点 B．三条高的交点C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点【答案】C【分析】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．根据角平分线的性质求解即可．【详解】解：∵是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等，∴应建在三条角平分线的交点．故选：C．3．（22-23八年级下·河南郑州·月考）一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（

）A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三条中线的交点【答案】B【分析】本题考查三角形角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，三条角平分线的交点到三边的距离相等．【详解】解：∵凉亭到草坪三边的距离相等，∴该点应是三角形三条角平分线的交点，故选：B．4．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，点在点的北偏西的方向上，且，，．根据已知条件和图上尺规作图的痕迹判断，下列说法不正确的是（

）A．点在点北偏东方向上B．点在点南偏西方向上C．D．【答案】B【分析】本题考查方向角，作图—角平分线基本作图，角平分线的性质，含角的直角三角形，能根据作图得出是的角平分线是解决此题的关键.先得到是的角平分线，求出，，即可推导出，点在点北偏东方向上；点在点南偏西方向上；，，则，即可解答．【详解】解：如图，由题意，及图得是的角平分线，，∴，∴，即点在点北偏东方向上，故A正确；∵，，是的角平分线，∴，∴，∴点在点南偏西方向上，故B错误，C正确；∵，，∴，∴，∴．故D正确．综上所述，只有B错误．故选B．5．（25-26八年级上·山东滨州·月考）如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，现量得托板长，支撑板顶端的C恰好是托板的中点，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点B到直线的距离是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可．【详解】解：如图：过点作，垂足为点F，∵C是的中点，，∴，∵，，射线是的平分线，．故选：B．6．（25-26八年级上·河北衡水·期中）为发展经济，某地区加大交通运输建设，新修三条相互交叉的公路，我们把交叉处看作一个点，则形成了一块三角形区域．为了方便过往车辆、行人休息，打算在三角形区域内修建一个服务站P，且使服务站到三条公路的距离相等．(1)请你用尺规作图选定位置；（保留作图痕迹，不写作法）(2)若已知三角形区域周长是米，面积是平方米，请你计算这个服务站到三条公路的距离．【答案】(1)见解析；(2)这个服务站到三条公路的距离均为米．【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，角平分线性质的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．（）分别作和平分线即可；（）连接，设点到三边的距离均为，则有，然后代入即可求解．【详解】（1）解：作和平分线，交于点，则点即为所求，如图所示，（2）解：连接，设点到三边的距离均为，∴，解得，即这个服务站P到三条公路的距离均为米．7．（19-20九年级上·山东·课后作业）如图，直线a、b、c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的站址有几处？（不写作法，保留作图痕迹）【答案】4处，作图见解析【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理的应用，尺规作角平分线，作三角形内角的平分线，两条平分线交于点，点到这个三角形三边的距离相等；再作两个外角的平分线，交于点，点到这三条公路的距离相等；同理还有点，，则此题可解.【详解】解：如图所示，一共有4处，即点，，，.8．（25-26八年级上·江苏南通·月考）如图，聪明好学的小海同学看到课本第页第题：经过简单的整理，小海同学由这道题，得出一个结论：三角形一个内角平分线分对边得到的两线段的比，等于这个角的两邻边的比．过点作于点于点，过点作于点．平分，且点，于点，∴___________，∴___________，又∵___________，∴．(1)请你补全小海同学的证明过程；(2)如图2，小海同学又进行了深度思考，如果将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，是否仍成立？请你根据提供的图形帮助小海同学完成该命题的证明！【答案】(1)，，(2)成立，证明见解析【分析】本题考查角平分线性质、三角形面积公式等知识，数形结合，分别表示出是解决问题的关键．（1）由角平分线的性质得到，再由即可得到答案；（2）根据题意，将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，由角平分线的性质得到，再由即可得到答案．【详解】（1）解：过点作于点于点，过点作于点，如图所示：平分，且于点，于点，∴，∴，又∵，∴．故答案为：，，；（2）解：成立．已知：如图，在中，平分一个外角，交所在直线于点．求证：．证明：过点作于点于点，过点作于点，如图所示：平分，，，∴，∴，又∵，∴＝．题型一角平分线性质与判定的综合运用1．（25-26八年级上·辽宁辽阳·期末）【初步感知】（1）如图1，已知为等边三角形，点D是边上一动点（点D不与点B，点C重合），以为边向右侧作