2026年内蒙古包头市高三一模高考数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026年普通高等学校招生全国统一考试（第一次模拟考试）数学注意事项：1．考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上．将条形码粘贴在规定区域．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若为虚数单位，则（

）A．2 B．0 C． D．2．设全集，集合，，则（

）A． B． C． D．3．若，为非零向量，则“”是“”的（

）A．必要不充分条件 B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件 D．充要条件4．记为正项等比数列的前项和，已知，则该数列的公比为（

）A．4 B． C．1 D．25．边长为2的等边三角形的外心为，则（

）A． B．2C． D．6．已知直线与圆相交于两点，则劣弧的长为（

）A． B． C． D．7．已知函数，若关于的方程有四个实根，，，（），则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．的最小值为168．袋中有9个除了颜色外完全相同的小球，其中有3个白球，2个红球，4个黄球.从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都取到时停止，记停止时取出的球的个数为，则（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数，则（

）A．B．的最小正周期为C．图象的对称中心为D．不等式的解集为10．设等差数列的前项和为，公差为，首项为，若，，则下列结论正确的是（

）A．B．当时，取最大值C．D．数列为等差数列并且与数列具有相同的单调性11．在长方体中，，点为的中点，点为平面内的一个动点（含边界），则（

）A．平面 B．四棱锥的外接球的表面积为C．平面平面 D．若，则点的运动轨迹长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则__________.13．某圆锥母线长为4，其侧面展开图为半圆面，则该圆锥体积为_______.14．已知椭圆和双曲线有公共焦点，（为左焦点），与在第三象限交于点，直线交轴于点且平分，则的离心率为_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．数列的前n项和，数列满足，．(1)求数列，的通项公式；(2)将数列和数列各取前100项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数只取一次，求数列的前100项和．16．随着人工智能的快速发展，它在社会生活中的应用将越来越广泛.某AI科技公司发明了一套人机交互软件，对用户输入的问题它会从数据库中自动检索并生成答案进行应答.大量试验统计表明，如果输入的问题没有语法错误，则软件生成正确答案的概率为85%；若出现语法错误，则软件生成正确答案的概率为35%.已知用户每次输入的问题没有语法错误的概率为90%，且对于每次输入的问题软件生成正确答案相互独立.(1)求用户输入一个问题软件生成正确答案的概率；(2)在某次试验中，用户输入（）个问题，记其中软件生成正确答案的个数为，事件（）的概率为.当取何值时，的值最大？17．如图，在棱长为的正四面体中，为棱的中点.(1)证明：平面；(2)记为正四面体内切球的球心.（ⅰ）求内切球的半径；（写出推导过程，直接写结果不给分）；（ⅱ）设是球的球面上一点，且平面，当最小时，求二面角的正弦值.18．已知平面直角坐标系上一动点满足，，．(1)求点的轨迹曲线的方程；(2)斜率为的直线与曲线交于，两点，点．①求直线，的斜率之和；②的外接圆圆心是否在某定直线上？说明理由．19．已知函数，，.(1)当时，若的图像与轴相切，求的值；(2)当时，若在有一个零点，求的取值范围；(3)设数列满足，.证明：.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．B【分析】利用化简原式，计算求解．【详解】，，．2．B【分析】先求出集合及，再根据交集的定义运算即可得解.【详解】要使函数有意义，须满足真数，解得，所以，所以.又因为，所以.故选：B3．A【分析】由向量共线用表示出，应用向量数量积的运算律得，结合充分、必要性的定义判断推出关系，即可得.【详解】由，为非零向量且知，存在实数，使，则，，当时，，故充分性不成立，由，则，故，所以，即，故，所以同向共线，必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件.4．D【分析】设公比为，首先判断，再由等比数列求和公式及通项公式得到方程，解得即可.【详解】设公比为，若，则由，可得，解得，不符合题意，所以；由，则，显然，所以，即，即，解得（负值已舍去）.故选：D5．A【分析】取BC边的中点D，连接AD，可得，利用向量的数量积的运算法则计算可求得.【详解】取BC边的中点D，连接AD，因为O为边长为2的等边三角形的外心，所以，所以，所以.故选：A.

6．B【分析】由弧长公式进行求解．【详解】圆化为标准方程为：，圆心，半径，如图所示：

则点到直线的距离为：，而，，得，则劣弧的长为：，故选：B7．D【分析】作出函数的图象，根据题意得到，，利用不等式性质判断A；数形结合求解判断B；利用对数性质可得，再利用基本不等式求解最小值判断D，构造函数，利用导数法求得，即可判断C.【详解】作出函数的图象，如图所示：由图象知：，所以，故选项A错误；由二次函数的对称性可得，令或，所以，因为方程有四个实根，所以，故选项B错误；又，则，即，则，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，故选项D正确；由得，由上面推导可知，所以，，设，则，所以在上单调递增，所以，所以，所以，所以，故选项C错误.故答案选D.8．C【分析】首先对前4次取球的颜色分类，再根据排列数和组合数公式列式，最后根据古典概型概率公式，即可求解.【详解】前4次只取到红球和黄球（两种颜色都有），第5次取到白球，；前4次只取到白球和黄球（两种颜色都有），第5次取到红球，；前4次只取到白球和红球（两种颜色都有），第5次取到黄球，.所以.故选：C.9．AD【详解】对于A，，故A正确；对于B，最小正周期，故B错误；对于C，由得，，则的对称中心为，故C错误；对于D，由得，则，解得，，故D正确.10．ABD【分析】利用等差数列的性质，以及前项和的性质，可判断ABC，利用前项和公式来求的通项公式可判断D.【详解】因为，所以，即，因为，所以；因为，又因为，所以，又因为，所以，则，故A正确；且当时，取最大值，且，故B正确，C错误；因为，所以数列单调递减；因为，所以，所以数列也是等差数列，并且也为单调递减数列，故D正确．故选:ABD．11．BCD【分析】由题意以为坐标原点，分别以所在直线为轴，写出相应的点坐标，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法判断即可得出选项A，根据已知条件分析得出四棱锥的外接球球心位置，画出图形分析，建立方程解出球体的半径，再利用球体表面积公式求解即可得出选项B，利用坐标系求出平面与平面的法向量，利用法向量数量积结果来判断选项C，设，，根据得出的轨迹，然后根据轨迹分析得出选项D.【详解】在长方体中，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系：由，则，可得，设平面的一个法向量为，由，令，则，所以，因为，所以与平面不平行，故A选项不正确；在长方体中，连接，如图所示：在长方体中，点为的中点，且，所以，且四边形为矩形，所以点的投影为矩形的中心，即平面，则四棱锥的外接球的球心在上，①设四棱锥的外接球的球心在的延长线上且为，球的半径为，如图所示，在长方体中,，所以，所以在直角三角形中，，则有，在直角三角形中，，即，解得：，此时四棱锥外接球的表面积为：，②设四棱锥的外接球的球心在上且为，球的半径为，如图所示，在长方体中,，所以，所以在直角三角形中，，则有，在直角三角形中，，即，解得：，因为，不满足题意，故四棱锥外接球的表面积为，故B选项正确；由A中，，则，设平面的法向量为，由，令，则，所以，设平面的法向量为，由，令，则，所以，因为，所以平面平面，故选项C正确，设，，则，，因为，即，因为点为平面内的一个动点（含边界），所以点的轨迹为一条线段，令，令，所以线段的端点为和，所以点的运动轨迹长度为，故D选项正确；故选：BCD.12．-3【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，再根据两直线垂直的判断方法列方程求解即得.【详解】由求导可得，则，因为该切线与直线垂直，则，解得.故答案为：.13．【解析】结合圆锥的立体图和平面展开图先求出圆锥底面半径和高，再联立体积公式即可求解【详解】可设圆锥底面半径为，则圆锥底面圆周长为，因为圆锥侧面展开图为半圆面，由知，，由几何关系可知圆锥的高，故圆锥体积为故答案为：【点睛】本题考查圆锥体积的求解，能熟练对圆锥立体图和展开图进行有效转化是解题关键，属于中档题14．【分析】利用椭圆方程求出，利用椭圆和双曲线定义求出，设点，利用角平分线定理、两点间距离公式结合椭圆方程求出，进而求出离心率．【详解】椭圆中，故，，，由题意可知，且，由椭圆定义可得①，由双曲线定义可得②，联立①②得，由角平分线定理可知，，设，在直线上，由分点比例得，则，解得，在椭圆上，则，解得，，，由得，，化简得，，，解得，．15．(1)；(2)【分析】（1）利用与的关系可求数列的通项公式，当时，由已知可得，两式相除可求数列的通项公式；（2）结合（1），利用分组求和法可求数列的前100项和．【详解】（1）令，则，，当时，，也符合上式，∴；当时，由，可得，两式相除可得，也符合上式，∴．（2），，，…，，，，，…，，将数列和数列各取前100项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数只取一次，则，，…，，，，…，，∴．16．(1)(2)或【分析】（1）根据全概率公式计算求解即可；（2）结合（1）得，再结合二项分布的概率公式计算求解即可.【详解】（1）解：记“用户输入一个问题没有语法错误”为事件，“用户输入一个问题软件生成正确答案”为事件，由题意可得，，，，.所以用户输入一个问题软件生成正确答案的概率为0.8.（2）解：由（1）知用户输入一个问题软件生成正确答案的概率为0.8，则，，令，则，令，则；令，则；令，则；所以或时，取最大值.17．(1)证明见解析(2)（ⅰ）3（ⅱ）【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明即可；（2）（ⅰ）根据正四面体的性质，确定内切球球心位置，利用等体积法求半径即可（ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值，再转化为正弦值即可.【详解】（1）因为均为等边三角形，且为棱的中点，所以,又,平面，所以平面.（2）（ⅰ）设点是底面正的中心，连接,则为正四面体的高，由题知，在中，，在中，由勾股定理可得，由等体积法得，，则，即，则内切球的半径为3.（ⅱ）因为平面，所以点在上，且在球面上,所以，当最小时，则,以为坐标原点，过作平行线为轴，以为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则；设平面的法向量，则，令，则，设二面角的大小为，则，所以.即二面角的正弦值为.18．(1)(2)①；②必在直线上，理由见解析【分析】（1）设，由题意列方程，化简即可求出答案.（2）①直线的方程为，，，将直线方程与双曲线方程联立得到，，用斜率公式列出直线，的斜率之和，代入即可求出答案；②求出直线，的中垂线，联立求出点的坐标，消去即可求出答案.【详解】（1）由题意知，，所以动点的轨迹为双曲线的右支，，，即，，所以，所以点的轨迹曲线的方程为.（2）①设直线的方程为，，，直线和的斜率分别为，，联立得，，由题意得，解得，于是，，所以，所以．②直线的中垂线为，直线的中垂线为，联立直线方程得：，消得，于是，所以，代入得，当时，点在直线上，不符合题意，故，又消得：，推出，推出：，得：，得：，又，则，又，所以，故外接圆圆心，令，消去得，故必在直线上.19．(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）设的图像与轴相切于点，根据导数的几何意义得，可得，和，设，可得方程只有一解，即得解；（2）求出导数，当时，所以函数在单调递增，且，所以在上无零点；当时，令，则，根据单调性可得解；（3）根据，则，所以，从而，所以，再根据，所以，利用对数运算性质可证.【详解