七年级数学沪科版·核心素养导向下有理数加减混合运算（第3课时）运算律应用与符号体系建构教案

七年级数学沪科版·核心素养导向下有理数加减混合运算（第3课时）运算律应用与符号体系建构教案

一、课程标准与学习任务底层分析

【基础·课标锚点】

本课时隶属于2022年版义务教育数学课程标准“数与代数”领域初中阶段主题一“数与式”。具体对应内容要求为：“理解有理数运算律，能运用运算律简化有理数运算；能化减为加，理解省略加号与括号的代数和形式，并能熟练进行有理数的加减混合运算。”本课时并非孤立的新知传授，而是对有理数加法法则、减法法则、加法运算律三大模块的深度融合与结构化升级。学生在此前已经历了从正数到负数的认知跨越，掌握了单一运算法则，本课时的本质是实现从“程序性计算”向“策略性优化计算”的跃升，是算术思维向代数思维过渡的关键枢纽。

【重要·认知逻辑起点】

七年级上册第一章“有理数”是整个初中代数的基石，而加减混合运算又是数系扩充后首次出现的复合型运算结构。学生在小学阶段已熟练掌握非负数的连加、连减、加减混合运算（从左至右），但引入负数后，运算对象从“数量”拓展为“符号+绝对值”的二元结构，运算律的适用范围从自然数、正分数拓展到全体有理数。本课时的深层教学价值不在于机械操练，而在于帮助学生完成两大观念重构：第一，“减法即加法”的统一观——所有的减法均可转化为加法，进而将混合算式视为“若干有理数的和”；第二，“符号归属”的守恒观——在应用交换律时，数字必须连同其性质符号一同移动，这是后续学习整式加减、合并同类项、解方程移项的元认知基础。

【热点·学科发展前沿与跨学科接口】

当前国际数学教育研究强调“符号意识”与“运算策略”的协同发展。本课时不仅是计算技能课，更是数学符号语言的启蒙课。将“（-2）+（+8）+（+5）+（-7）+（-4）”改写为“-2+8+5-7-4”，本质上是数学符号系统的一次简化革命。这种省略联结符号、保留性质符号的书写方式，与物理学的矢量叠加、化学方程式的物料衡算、经济学中的净流量计算具有同构性。因此，本设计将渗透“符号即指令”的工程学思想，为学生的跨学科应用埋下伏笔。

二、学习目标叙写与核心素养定向

【基础·知识与技能】

1.能准确将有理数加减混合算式中的减法转化为加法，进而将算式统一为“和”的形式。

2.能熟练地把统一为加法后的算式写成省略加号与括号的代数和形式，并能用“和的读法”与“运算读法”两种方式正确朗读。

3.能识别代数和算式中的各项及其符号，灵活运用加法交换律、结合律进行凑整、同号合并、相反数抵消等简便运算，提升运算的速度与准确率。

【核心重点·过程与方法】

4.通过气温变化、海拔高度、水位涨落等现实情境，经历从“分步列式”到“综合算式”再到“优化算法”的完整建模过程，体悟运算律对简化计算的普适价值。

5.在错例辨析与算法优化的合作探究中，归纳出“同号结合”“凑整结合”“同分母或易通分结合”“相反数对结合”四大简化策略，形成策略性运算能力。

【难点突破·情感态度与价值观】

6.通过对“符号位移”现象的观察与操作，感受数学内部统一美与简洁美，建立“转化”是解决数学问题核心武器的观念，增强面对复杂算式时的结构洞察力与化简自信心。

三、教学实施过程（核心篇幅）

（一）认知冲突导入：为什么不能直接从左算到右？

【时长】7分钟

【导入设计】

教师投影呈现真实问题情境：

“合肥滨湖国家湿地公园监测站对某候鸟栖息地水质进行全天候监测。为模拟污染物扩散，科研人员在静水模型中进行了连续五次操作，每次操作记录为水位相对于初始基准面的变化（单位：厘米）：第一次：+3.5（注入）；第二次：-1.8（抽取）；第三次：-2.2（抽取）；第四次：+6.5（注入）；第五次：-4（抽取）。问：五次操作后，水位相对于初始基准面变化了多少？”

【师生活动】

学生根据已有经验，多数会列出从左至右的连加连减算式：

3.5-1.8-2.2+6.5-4。

此时教师不急于讲授新法，而是请两名学生上黑板板演，按小学顺序逐步计算。

生A：3.5-1.8=1.7；1.7-2.2=-0.5；-0.5+6.5=6.0；6-4=2。

生B：（同样顺序，计算无误）也得2。

【认知冲突引爆点】

教师追问：“很好，你们得到了正确答案。现在老师把这个算式变长一些，请预测计算时间和出错率。”

教师出示变式：

3.5-1.8-2.2+6.5-4+7.3-5.3+8.1-2.1-0.5+11。

【非常重要·思维转折】

此时课堂出现明显迟疑。教师顺势提问：“有没有一种方法，能让这些数字‘抱团取暖’，比如让互为朋友的数站在一起，让互为敌人的数互相抵消？”学生自然联想到加法交换律。但教师立即设障：“小学的交换律说a+b=b+a，可是这个算式里有减号啊！减号能随便交换吗？”——此问精准命中本课最大认知痛点。

（二）减法化加法：统一战线的建立

【时长】10分钟

【难点·符号统一化】

教师引导学生回归减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

师生共同将原式第一层转化：

3.5+（-1.8）+（-2.2）+6.5+（-4）。

【关键操作步骤】

教师在板书时，刻意使用彩色粉笔（或在PPT中用颜色区分）：保持所有数字本身的“性质符号”（正号可省略，负号保留），将运算符号“-”全部转化为“+”号。此时强调：这个式子不再是加减混合，而是五个有理数的和。

【概念精准锁定】

教师定义：“像这样，由几个有理数相加的式子，我们称之为‘几个有理数的和’。”板书核心概念。

【读法训练·高频考点】

师生互动朗读：

1.和式读法：正3.5、负1.8、负2.2、正6.5、负4的和。

2.运算读法：3.5加负1.8加负2.2加6.5加负4。（此处刻意保留“加负”，为后续省略做准备）

【小组对抗】

教师给出三组算式，每组均含有不同形式的减法（正减正、负减正、正减负、负减负），小组轮流将减法转化为加法，要求口述依据：“减去某某等于加上某某的相反数”。此环节实行积分制，重点纠正“-（-6）”变为“+（+6）”时易出现的符号混乱。

（三）符号体系革命：省略加号与括号的代数和

【时长】12分钟

【重中之重·符号形式转换】

教师引导观察：“我们已经把算式变成了3.5+（-1.8）+（-2.2）+6.5+（-4）。大家觉得这个式子书写起来有什么麻烦？”

学生反馈：括号和加号太多，视觉杂乱。

【历史溯源】

教师简短介绍数学史：数学家笛卡尔、莱布尼茨等人在创立现代代数符号时，也曾面临联结符号与性质符号的冗余问题。最终约定：在一个和式中，所有加法联结符号可以省略，只保留每个加数的性质符号。

【操作演示】

教师以动画效果展示：

3.5+（-1.8）+（-2.2）+6.5+（-4）

→擦掉所有“+”号→擦掉所有括号→得到3.5-1.8-2.2+6.5-4。

【惊诧与顿悟】

当学生发现最终形式竟然和最初的原始算式一模一样时，认知冲突达到顶峰。教师乘势点破：“现在我们回头看，原来这个式子从它诞生那一刻起，它本质上就是‘几个数的和’！减号不是减号，是负数的性质符号！我们小学时之所以按顺序算，是因为没有负数概念；现在有了负数，这个式子真正的身份是‘和’！”

【朗读深化】

再次朗读，但这次强制使用“和式读法”：

3.5、负1.8、负2.2、6.5、负4的和。

【难点辨析·高频错点】

教师出示关键判断题：

“-5+3-7-2可以读作‘负5加3减7减2’。”（正确，这是运算读法）

“-5+3-7-2可以读作‘负5、正3、负7、负2的和’。”（正确，这是本质）

“-5+3-7-2是负数-5、正数3、负数-7、负数-2相加。”（此处故意设置陷阱，-7本身就是负数，表述应为“负7、负2”）

通过辨析，彻底厘清“项”的概念：每一个数字连同它前面的符号（正号可省略不写但心中要有）是一个“项”，算式就是这些项的代数和。

（四）算法优化：运算律在代数和中的特权应用

【时长】15分钟

【基础·交换律的禁区与通行证】

教师呈现关键命题：“在3.5-1.8-2.2+6.5-4中，能否将-1.8与6.5交换位置？”

学生争议。教师引导：若想交换，必须保证交换后算式意义不变。如果把-1.8移动到6.5后面，仅仅是数字1.8跑过去吗？不是，必须是“-1.8”这个整体移动。

【核心法则板书·必记】

交换位置时，必须带着数字前面的符号（性质符号）一起搬家。符号是数字的私有财产，不可剥离。

【正例示范与反例警示】

示范正确：3.5+6.5-1.8-2.2-4。

反例（错误）：3.5-1.8+6.5-2.2-4。（交换-1.8与6.5时，-1.8变成1.8，这是毁灭性错误）

【高频考点·简便运算四大策略】

师生协同运算原题，教师逐步引导学生发现“谁和谁是一伙的”。

策略一：【非常重要】同号结合法。

将正数全部集中：3.5+6.5=10；将负数全部集中：（-1.8）+（-2.2）+（-4）=-8。最终10-8=2。

对比前期分步计算结果2，算法一致，但显然同号结合减少了中间环节的负数干扰，心算即可完成。

策略二：【重要】凑整结合法。

寻找小数部分能凑成整数的组合。如3.5+6.5=10，-1.8-2.2=-4。

策略三：【基础】相反数抵消法。

若算式中出现互为相反数的两项，如+8与-8，直接消除。

策略四：【重要】同分母或易通分优先结合。

若算式涉及分数，优先合并分母相同的分数。

【难点突破·大数混合与多重符号化简】

教师呈现沪科版教材经典例题（+7）-（+8）+（-3）-（-6）+2。

【全流程闭环演示】

步骤一：化减为加→（+7）+（-8）+（-3）+（+6）+2。

步骤二：省略加号和括号→7-8-3+6+2。

步骤三：移动项带符号→（7+6+2）+（-8-3）。

步骤四：计算→15-11=4。

【易错预警·高频失分点】

教师重点强调：在省略括号时，当括号前面是“-”且括号内是负数时，学生极易出错。例如-（-6）变为+6，这是负负得正；但-（+6）变为-6，这是负正得负。归纳法则：同号得正，异号得负。此口诀并非新法则，而是“减去一个数等于加上它的相反数”的速记版，但需防止学生滥用至乘法领域。

（五）分层闯关：从技能形成到策略自动化

【时长】20分钟

【第一关：符号转换与读法关·基础性全员覆盖】

题目设计：

1.将下列算式写成省略加号的和的形式，并用两种读法读给同桌听。

（-9）-（+5）+（-6）-（-3）+1

2.下列式子中，读法为“负8、正10、负3、负1、正7的和”的是（）

A.-8+10-3-1+7B.8+10-3-1+7C.-8-10+3+1-7D.-8+10+3-1+7

【第二关：简便运算策略优化关·重要】

题目设计（限时竞赛）：

计算（1）-2.4+3.5-4.6+3.5（2）（-18.25）-4.4+（+18.25）+（-5.6）

【深度思维追问】

第（1）题常规解法：从左到右。优化解法：3.5+3.5=7，-2.4-4.6=-7，和为零。

第（2）题显然考察相反数抵消（-18.25与+18.25）以及凑整（-4.4与-5.6）。

【第三关：实际应用与建模关·热点】

题目设计：

某登山队攀登珠穆朗玛峰，从海拔5200m的大本营出发，记录五次行程相对于大本营的上升与下降（上升为正）：+800m，-300m，+1200m，-200m，-150m。问此时登山队所在海拔高度是多少？

【跨学科渗透】

此处引入地理学科“海拔”概念，强调相对高度与绝对高度的转换。要求学生不仅列式，还需解释算式中每一项的物理意义。如+800表示从大本营向上800m，此时海拔6000m；但后续加减均基于大本营的相对变化累计，最终相对变化量+1350m，加上大本营5200m得6550m。

【第四关：思维拓展与符号意识高阶挑战·难点】

题目设计：

已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示（a<0，b>0，c>0且|a|>|b|），化简|a-b|+|a+c|-|b-c|。

【设计意图】

此题超前引入绝对值化简与符号判定，但核心仍是“代数和”思维。将绝对值内的算式先视为整体，判断其整体符号后，再转化为代数和形式。此为学有余力者提供思维爬坡通道，也为下一章“整式的加减”奠定符号操作基础。

（六）思维建模与课堂总结：从碎片算法到结构观念

【时长】6分钟

【师生共建思维导图】

教师引导，学生口头归纳，教师在黑板固定区域形成本课知识逻辑链：

情境问题→加减混合算式→减法转化为加法（统一）→省略加号与括号（简洁）→代数和（本质）→带符号搬家（交换律）→优化组合（结合律）→高效准确得结果。

【核心观念升华】

教师总结：“今天我们不仅学会了有理数加减混合运算的简便算法，更重要的是一步步看透了算式背后的‘真实身份’。今后，当你看到任何一个含有加法和减法的算式，你都要立刻警觉：这不是杂乱无章的指令，而是一群带着正负号使命的数字在列队。你的任务就是给它们重新排兵布阵，让敌人（负数）站在一起，朋友（正数）站在一起，互相抵消的伙伴手拉手离场。这种‘看透本质，重新组合’的能力，就是代数思维的开始。”

四、板书设计与时间轴规划

【黑板左侧·固定区】（全程保留）

课题：代数和视域下的加减混合运算与运算律优化

核心概念：

1.减法→加法（a-b=a+(-b)）

2.代数和形式：省略“+”与括号，读作“、、____...的和”

3.移动法则：数字移动时必须携带其性质符号

【黑板右侧·生成区】（随课堂推进分块呈现）

情境题原始算式→转化后和式→省略写法→优化策略：

①同号集结②凑整③相反数对④同分母

示范例题完整规范步骤（四步法）

【时间规划】

情境导入与冲突：7分钟

减法化加法与读法：10分钟

省略括号与和式本质：1