6.1 二元一次方程组和它的解（习题）（原卷版）-华东师大版(2024)七下

专题6.1二元一次方程组和它的解教学目标1.理解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的概念。2.会检验一对数值是否为方程（组）的解。3.能根据定义求方程（组）中参数的值或取值范围。4.会根据实际问题列简单的二元一次方程（组）。5.培养分析问题、抽象概括的能力，树立数学建模思想。教学重难点重点（1）二元一次方程（组）的概念及识别方法。（2）方程（组）的解的检验步骤。（3）根据定义求参数的值。（4）根据实际问题列二元一次方程（组）。难点（1）理解“含未知数项的次数为1”的含义（区分项的次数与未知数次数）。（2）区分二元一次方程的解与方程组的解。（3）列方程（组）时准确寻找等量关系。（4）理解方程组解的唯一、无数、无解三种情况。【即学即练】知识点01：二元一次方程的概念1.定义：含有两个，且含未知数项的次数的。2.满足条件：①；②；③（非单个未知数次数）。3.一般形式：ax+by+c=0（a≠0，b≠0，a、b、c为常数）。【即学即练】1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）下列方程是二元一次方程的是（

）A．3x-2=0 B．x2-3知识点02：二元一次方程的解1.定义：使二元一次方程左右两边的一对未知数的值，用x=ay=b（ax+by+c=0、b2.检验方法：将数值代入方程，左右两边相等则为。3.解的个数：一般有无数个解，若对未知数取值有限制（如非负整数），则解可能有限个。【即学即练】1．（贵州省贵安新区2025-2026学年上学期1月期末八年级数学试题）下列满足二元一次方程2x-yA．x=-1y=2 B．x=1y=1知识点03：二元一次方程组的概念1.定义：把两个共含有、含未知数项的的合在一起，组成二元一次方程组。2.满足条件：①每个方程为；②每个方程为；③方程组共含两个未知数（允许单个方程含一个未知数）。3.一般形式：a1x+b1y=c1a2x+b2y=【即学即练】1．（2024七年级上·贵州广西·专题练习）下列方程组中，是二元一次方程组的是（

）A．3x-yC．5x+2y知识点04：二元一次方程组的解1.定义：使方程组中两个方程左右两边均相等的一对未知数的值，是两个方程的。2.检验方法：将数值代入两个方程，均则为解，缺一不可。3.解的情况：一般有唯一解；特殊情况（如方程等价）有无数个解；方程矛盾则无解。【即学即练】1．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）已知二元一次方程组的解是x=-1y=-2A．x+y=-3xy=2 B．x+题型01识别二元一次方程方法技巧：紧扣“整式方程+两个未知数+含未知数项次数为1”，排除含分式、高次项（如xy、x2【典例1】.（25-26八年级上·河南开封·月考）下列方程中，属于二元一次方程的是（

）A．x+y2=1 B．x-1y【变式1】.（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）二元一次方程的标准形式为．【变式2】.（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）下列方程是二元一次方程的是（）A．x+1y=2 B．xy+1=5 C【变式3】.（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）下列方程中，是二元一次方程的是（）A.mx+ny+cC．y=3x+5 题型02识别二元一次方程组方法技巧：满足“整式方程+一次方程+共含两个未知数”，单个方程可只含一个未知数，排除含分式、高次项的方程。【典例2】.（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（

）A．x+y=5xy=6 B．2x【变式1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）下列六个方程组中，是二元一次方程组的有（

）①1x+y=116x-6y=-9；②xy=9xA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式2】.（25-26七年级上·上海浦东新·期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（

）A．x+y=3x2+y=1 B【变式3】.（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（

）A．x+y=5xy=4 B．2x题型03检验数值是否为二元一次方程（组）的解方法技巧：检验方程的解，将数值代入方程左右两边，结果相等则为解；检验方程组的解，需将数值分别代入两个方程，均满足则为解，任一方程不满足则不是。【典例3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）下列哪组x，y的值是方程组①x=-13y=-20

②x=-13y=20【变式1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程中，解为x=4y=-3A．x-y=1 B．x+y=1【变式2】.（25-26八年级上·山西运城·期中）在“班级原创数学题目”比赛中，四个数学小组设计出了四个方程组，其中以x=2y=-1A．2x+4yC．x+3y=0【变式3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）有这样一道题：判断x=3y=1是不是二元一次方程组x+2y=5,2题型04根据二元一次方程组的定义求参数方法技巧：结合“共含两个未知数”“含未知数项次数为1”“未知数系数不为0”列条件，联立求解参数，排除矛盾情况。【典例4】.（2025八年级上·山东青岛·专题练习）已知a-2xa2-3-【变式1】.（2026七年级下·全国·专题练习）已知xm-2+2【变式2】.（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）已知x2m-1-3y4-2nA．2 B．32 C．12 D【变式3】.（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知方程2xm-1题型05根据二元一次方程组的解求参数方法技巧：将解代入方程组的两个方程，得到关于参数的二元一次方程组，求解参数组合。【典例5】.（25-26八年级上·全国·期末）若关于x，y的方程组ax+y=7x+by=-2的解为x=3y=1则【变式1】.（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知x=1y=-1是方程组ax+by【变式2】.（25-26七年级上·安徽淮北·期末）已知关于x，y的二元一次方程组2x-5y【变式3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）已知x=1,y=-1和x=2,y=2都是二元一次方程题型06根据实际问题列二元一次方程（组）方法技巧：设两个未知数，找出2个独立等量关系（避免重复），分别列出方程，联立为方程组。【典例6】.（24-25七年级上·吉林·期末）列方程表示“x的四分之一与5的和等于y的2倍”．【变式1】.（24-25七年级下·全国·假期作业）某商品成本价为t元，商品上架前定价为s元，按定价的8折销售后获利45元．根据题意，可列方程．【变式2】.（24-25七年级下·浙江衢州·期中）某网店开展促销，则买3个鼠标和2个键盘，需支付260元．设鼠标单价为x元/个，键盘单价为y元/个，可列方程为．【变式3】.（24-25七年级下·江苏淮安·期中）设甲数为x，乙数为y，则“甲数的3倍等于乙数”列方程是．题型07求二元一次方程的特殊解（非负整数解、正整数解）方法技巧：用一个未知数表示另一个（如由ax+by=c得y=c-ax【典例7】.（24-25七年级下·河南南阳·期中）已知二元一次方程2x+y【变式1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）若二元一次方程3x+4y【变式2】.（22-23七年级下·贵州黔南·期末）阅读下面材料，完成任务．我们知道二元一次方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解．例：由3x+4y=15，得x=5-43又x=5-43∴y为3的正整数倍数，从而y∴x=5-43任务：(1)请你写出方程2x+3y(2)若8x-3为自然数，则满足条件的整数x(3)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为每本5元的笔记本与单价为每支7元的钢笔两种奖品，共花费75元，问有哪几种购买方案？【变式3】.（23-24七年级下·福建泉州·期中）综合与实践【问题情境】我们知道方程2x+3y=7【实践探究】但类似方程7x由7x+13y∵x，y是正整数，∴4+∴可用观察法，得y=②∴原方程的正整数解为：③．阅读以上材料，解决下列问题：(1)请补充上述探究过程中①②③所缺的内容；(2)一个正整数与23的和是5的倍数，与23的差是6的倍数．请结合以上探究方法，求满足条件的最小正整数．一、单选题1．已知x=2y=-1是二元一次方程mx-yA．1 B．-1 C．2 D．2．下列四组数值中，是二元一次方程5x+yA．x=1y=-3 B．x=2y=13．若x=my=n是方程2A．3 B．4 C．5 D．64．若x=-1y=2是关于x、y的二元一次方程5A．-1 B．1 C．-4 D二、填空题5．把方程3x+y=1改写成用含x的式子表示y6．若x=-2y=3是关于x和y的二元一次方程kx+2y7．若x=3y=-2是二元一次方程ax+by8．若m+1x+5ym+2=23-m三、解答题9．若x=1y=3是二元一次方程2x+10．已知二元一次方程x+3(1)写出它所有的正整数解：________________________________．(2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组有唯一解x11．【观察思考】第1个方